![Tugas Stokastik [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/tugas-stokastik.jpg)
7 0 111 KB
c
á
Pada bagian ini kita beri hasil atas keberadaan dan keunikan dari solusi lemah terhadap SDE. Pembentukan solusi lemah membutuhkan pengetahuan lanjut, dan bagian ini dapat diabaikan.
J c ¦ ! ¦ " " " " # ! " "$
Hasil ini dibuktikan pada bab 6, buku Stroock dan Varadhan (1979). Pembuktian lebih jauh tersedia di Corollary 6.5.5 Stroock dan Varadhan (1979) berikut : "% &" '" " ( ) ) ÿ " "" ) ÿ ÿ " " * " " ! + " " "" , ) - " ( .
/"" ( 0"( + " " ! " " " % " ( 1 Sementara mengacu kepada lemma 6.5.1 Stroock dan Varadhan disebutkan : Lemma 6.5.1 : Dengan R ÿ R! ÿ ÿ sebagai fungsi yang
dibatasi dan dapat diukur. Maka untuk setiap " # $ ÿ terdapat
sebuah kesesuaian antara solusi terhadap masalah martingel nya untuk a dan b dimulai dari (0, ). lihat pula teorema 1.10.2 buku Pinsky (1995). Pembuktian ini menguatkan teorema 5.10 di atas. J c ¦ " - " 2- " " %
&' & ( &) & * +, - ( & &
#" " % ! 3 "$ î Penyelesaian pada SDEs atau difusi (diffusions), dapat direalisasikan pada ruang probability (," %) fungsi kontinyu. Kita tunjukkan : bagaimana menentukan kemungkinan pada ruang probability tersebut melalui sebuah fungsi transisi, bagaimana mendapatkan fungsi transisi dari SDE yang diberikan dan bagaimana memverifikasi bahwa proses yang dibentuk benar-benar memenuhi SDE tersebut.
!"L" Solusi lemah dapat dibangun pada ruang kanonikal (' % %) = '([0, )) dari fungsi kontinyu [0, ) sampai %. Bidang (¿ ) ı Borel pada (ohmega) adalah satu-satu nya yang dibangkitkan oleh kumpulan terbuka ( ). Open sets secara bergiliran didefinisikan dengan bantuan dari sebuah matrik, sebagai contoh, sebuah bola terbuka ( ) dengan radius D
(Ȧ) = {ȫ : d(Ȧ, ȫ)
?
Dimana 7> (') = P(¢( ) " '). Sifat ini dapat diperluas hingga kumpulan silinder
berdimensi±n w " < B 1 " C1 D, dimana C1 %1 , dengan
7> B7EF> C1G VH
EF>
?1G 1G ?1 1 7>B7E ? B ?1 .
Kemungkinan-kemungkinan ini menghasilkan distribusi dengan dimensi terbatas B 1 " C1 . Konsistensi dari kemungkinan ini adalah sebuah konsekuensi dari persamaan Chapman-Kolomogorov untuk fungsi transisi. Sehingga oleh teorema perluasan Kolomogrov, P dapat diperluas terhadap ç melalui sebuah cara yang unik. Kemungkinan ukur P =
ini sesuai dengan proses Markov dimulai
di pada waktu dibagian sebelumnya dinotasikan dengan : (halaman 136 Remark 5.4). Jadi setiap fungsi transisi menetapkan sebuah kemungkinan ( " ) sedemikian sehingga proses kanonikal adalah sebuah proses Markov. Kita dijelaskan secara khusus sebuah bentuk ukur Wiener, atau gerak Brownian.
¿ J Pada keadaan memenuhi untuk koefisien ' dan ) ? ditentukan dari sebuah persamaan turunan parsial (PDE), I8 I
( J 4
(5.49)
Disebut dengan PDE terbalik (%!" ,), melibatkan sebuah operator diferensial orde dua, Ls, IL M
IM
J K J K ) . I L ( ' I .
(5.50)
Persamaan tersebut menyertai sifat kunci fungsi transisi, bahwasanya 7
K: V J8 K:4 4
(5.51)
adalah sebuah martingale pada terhadap ç7 untuk N , untuk setiap fungsi K diturunkan dua kali secara kontinyu menghilang di luar interval terbatas (dengan dukungan padu), K " OP. %.
#$ Tambahan konsep (bahwa lokal martingale dan integral nya) adalah diperlukan untuk membuktikan konsesi tersebut. Dasar pemikiran utama nya adalah sebagai berikut. Seandainya persamaan (5.51) berlaku untuk fungsi K dan K . . (Sekalipun fungsi tersebut tidak memiliki sebuah dukungan padu, fungsi tersebut dapat didekati dengan fungsi OP. pada setiap interval terbatas). Penerapan persamaan (5.51) pada fungsi linier, kita mendapatkan bahwa 7
Q : V ': 4 4 4
(5.52)
adalah sebuah martingale. Penerapan (5.51) pada fungsi kuadratik, kita mendapati bahwa 7
: . V ) . : 4 4 ( 0': 4 4:4 4
(5.53)
adalah sebuah martingale. Dengan sifat pengkarakterisasian variasi kuadratik 7
#Q QR V ) . :4 4 4 untuk martingale kontinyu Q . #Q QR adalah sebuah martingale, dan sifat tersebut menyertai mulai dari persamaan di atas. Satu 7
dapat menjelaskan STUV proses integral W V Q4X):4 4. Dari sifat-sifat integral stokastik kemudian bahwa B(t) adalah sebuah martingel local kontinyu [/ /]()5. Jadi B(t) adalah sebuah gerak Brownian dengan teorema Levy. Dengan menempatkan kedua nya bersama-sama dan membubuhkan notasi diferensial, maka diperoleh SDE yang diperlukan. Untuk lebih jelas, lihat contoh, Halaman 160 buku Rogers and Williams (1990), serta Stroock dan Varadhan (1979).
Menggunakan persamaan (5.51) sebagai dasar, Stroock dan Varadhan menyatakan sebuah solusi untuk SDE : ': ( ): W
(5.54)
sebagai sebuah solusi untuk permasalahan yang selanjutnya disebut dengan problem martingel (" " ).
# c % ," " "" 7 " 8 " % " " ç 0 Ê :4 * 4 * - 2.Ê 8 " " "$ " %" " " " ç7
7
K: YJ8 K:4 4
Pada kasus ketika hanya ada tepat satu solusi untuk masalah martingel, maka problem martingel ini disebut ! + .
Contoh 5.17 : Gerak Brownian B(t) adalah sebuah solusi dari masalah martingel untuk operator laplace J
L
. L
, karena itu, untuk sebuah fungsi dapat
didiferensiasi secara kontinyu dua kali akan hilang diluar dari sebuah interval terbatas 7
KW Y
- Z K W 0
adalah sebuah martingel. Ketika muncul gerak bronian dan diselesaikan dengan unik oleh distribusi nya, maka problem martingel untuk 7 adalah ! + c cJika sebuah fungsi hilang diluar dari interval linier, maka turunannya juga hilang diluar interval tersebut. Jadi untuk sebuah diferensiasi dua kali secara kontinyu akan menghilang diluar sebuah fungsi interval terbatas K K " OP. J K adalah kontinyu dan hilang di luar interval tersebut. Ini meyakinkan bahwa harapan/ekspektasi dari proses (5.55) diketahui ( ). Jika satu maksud hanya untuk dapat didifrensiasi dua kali secara kontinyu dengan turunan terbatas () K " O[. , maka J K diketahui ( ) namun tidak dapat diikat
(), dan harapan/espektasi pada (5.55) dapat tidak diketahui. Jika satu pengambilan/cuplikan K " O[. maka sebuah solusi pencarian untuk masalah lokal martingel, dan apapun solusi tersebut memasukkan proses (5.55) kedalam sebuah lokal martingel. ( % " ). Lokal martingel akan tercakup pada bab 7). Karena terdapat dua definisi dari solusi lemah (5.8 dan 5.12) kita tunjukkan bahwa keduanya adalah sama. J c & ! " 9 " 0.
BUKTI : Kita telah mengindikasi pembuktian pada sebuah cara, bahwa jika problem martingle memiliki sebuah solusi, maka penyelesaian tersebut memenuhi SDE. Cara lain diperoleh dengan menggunakan formula STUV. Pada definisi 5.8 ¢() adalah sebuah solusi lemah (! ). Karenanya terdapat sebuah gerak Brownian /() sehingga 7
7
: : ( V ' :4 4 4 ( V ) :4 4 W4, dan ¢() = .
(5.56)
terpenuhi untuk semua . Dengan dua kali diferensiasi secara kontinyu. Menerapkan formula STUV (¢()), kita mendapatkan 7
7
K: K: ( V J8 K:4 4 ( V K \ :4):4 4 W4 (5.57)
sehingga 7
7
K: V J8 K:4 4 K: ( V K \ :4):4 4 W4 (5.58) Karena dan turunanya hilang diluar sebuah interval, missal [-2, 2], fungsi K \ ) 4 juga hilang diluar interval ini, untuk setiap . Asumsikan bahwa ) 4 adalah dibatasi () di pada interval terbatas dengan konstanta tetap untuk 7
semua , maka &K \ ) 4& ; + . Sehingga integral V K \ :4):4 4 W4 Adalah sebuah martingel di , untuk ; jadi problem martingel memiliki sebuah solusi/penyelesaian.
c ' ( Dalam banyak penerapan, seperti pada bidang fisika, rekayasa dan keuangan, pentingnya difusi (
) terletak pada hubungan nya terhadap PDE, dan seringkali difusi (
) ditentukan oleh sebuah PDE yang disebut persamaan Fokker±Plank (dikenalkan pada subab sebelumnya (5.62)). Sekalipun PDE tergolong sulit untuk diselesaikan dalam bentuk tertutup (' "), namun dengan mudah dapat diselesaikan secara numerik. Dalam prakteknya seringkali cukup dengan memeriksa bahwa kondisi dari keberadaan dan keunikan hasil telah dipenuhi dan kemudian solusi dapat dikomputasi dengan sebuah penyelesaian PDE (, $") hingga derajat akurasi yang diinginkan. Pada bagian ini dikemukakan bagaimana cara mendapatkan fungsi transisi yang menyelesaikan kelemahan dari solusi sebuah SDE. : ': ( ): W 44] N
5.59
Berikut adalah hasil akhir teori PDE yang digunakan untuk pembentukan difusi (
) (lihat contoh buku friedman 1975) stroock dan varadha (1979) Tentukan operator diferensial Ls, * * ^ oleh J K J K ) . .
IL
I L
( '
IM I
5.60
Operator 7 bekerja pada dua kali diferensiasi secara kontinyu pada fungsi ( ), dan penerapannya pada ( ) menghasilkan fungsi berbeda, dinyatakan oleh (7 ), nilai pada titik ( ) dinyatakan pada persamaan (5.60).
# c ) ", I8 I
( J 4
5.61
Adalah sebuah fungsi non negatif dengan ciri sebagai berikut : 1.Ê Secara kontinyu bersama pada dua kali terdiferensial secara kontinyu di dan memenuhi persamaan (5.61) terhadap dan . X Ê Untuk setiap fungsi kontinyu dibatasi () pada %, dan setiap > 0 Ê
4 Y _ ? 5? ?Ê %
adalah dibatasi (), memenuhi persamaan (5.61) dan limsĹt = , untuk " %. J c c " ) '
`-) . N a b
`0' R) . "":; "
" " % &'? ' & ( &) . ? ) . & * +&? &c ( & &c
* , (0 " " % ¦ ' R) " " " "":; "" ,.
Id
( I7
IL
. Ie L
) . ? 5
I
Ie
' ? 5
5.62
J c * " 7 " ( "" 0. " 0 , (0 " e
¿ ? V 2 54 4 " " % " " %" K " O[. %# R. 7
Y K ? ? K Y Y f %
untuk seluruh * ; " %
%
g ( J8 h K ? 4 ? 4 4 g4
Fungsi transisi , pada teorema diatas menyatakan secara unik sebuah proses markov ¢, karenanya, untuk seluruh dan * *
? : * ?&:
5.64
Persamaan 5.61 adalah sebuah PDE pada $" %!" ( ) dan selanjutnya disebut persamaan backward, juga dikenal sebagai persamaan backward Kolomogorov. Persamaan 5.62 adalah sebuah PDE dalam $" "!" ( ) dan selanjutnya disebut persamaan forward, juga dikenal sebagai persamaan ¿"+ , %, persamaan difusi (
), atau persamaan forward kolomogorov. Proses ¢() disebut sebuah difusi (
), dengan Ls operator differensial sebagai generator nya. Ciri persamaan 5.63 menyiratkan bahwa ¢() memenuhi SDE (5.59). c + : Diketahui sebuah solusi lemah dan bersifat unik, mencakup karekteristik kuat markov dan memiliki kepadatan dibawah persyaratan teorema 5.11, lebih lemah dibandingkan teorema 5.15.
