Turunan Berarah Dan Gradien [PDF]

Citation preview

TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN Makalah Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kalkulus Peubah Banyak



Disusun Oleh: KELOMPOK 3



PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA 3D



FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2021



KATA PENGANTAR Puji syukur kita panjatkan ke hadirat Allah SWT atas berkat rahmat, izin dan kehendak-Nya kami dapat menyelesaikan makalah berjudul Perbandingan dan Aritmatika Sosial. Makalah ini kami susun sebagai tugas mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak. Dalam penyelesaikan makalah ini, tak sedikit ditemui kesulitan dan halangan. Namun, berkat pertolongan Allah SWT, bimbingan dari dosen pengampu, usaha, kerja keras, ketekunan, dan kersabaran serta bantuan dari berbagai pihak, semua dapat diatasi. Sebagai manusia biasa, kami menyadari bahwa kami tidak luput dari kesalahan, begitupun makalah ini masih jauh dari kesempurnaan serta memiliki banyak kekurangan dan kesalahan. Namun, kami harap makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Aamiin.



Bandung, 13 Desember 2021



Penulis



BAB I PENDAHULUAN A. Latar



Belakang



Konsep turunan pada fungsi peubah banyak mengacu pada konsep turunan berarah. Misalnya, turunan fungsi dua variabel akan mengacu pada turunan berarah vektor satuan u yang terdiri dari dua unsur yaitu x dan y. Hal ini sangat wajar karena fungsi dua variabel tentu saja akan bergerak dalam arah x dan arah y. Turunan berarah dari fungsi f di titik p dalam arau u biasanya dinotasikan dengan D u f(p). Turunan berarah dari fungsi f di titik p dalam arau u sama dengan hasil kali vektor satuan u dan gradien ∇f(p). Perkalian dua vektor ini merupakan perkalian dot. A. Rumusan Masalah 1. Apa definisi dan Teorema pada Turunan Berarah dan Gradien? 2. Bagaimana contoh soal Turunan Berarah dan Gradien? B. Tujuan 1. Untuk mengetahui definisi dan Teorema pada Turunan Berarah dan Gradien 2. Untuk mengetahui contoh soal Turunan Berarah dan Gradien



BAB II PEMBAHASAN A. Definisi dan Teorema Turunan Berarah dan Gradien Misalkan p = (x,y) dan misalkan i dan j adalah vektor-vektor satuan pada araharah x dan y positif. Maka dua turunan parsial di p dapat dituliskan sebagai berikut: fx ( p )=lim



f ( p+hi )−f ( p) h



fy ( p )=lim



f ( p+ hj ) −f ( p) h



h→0



h→0



Yang harus dikerjakan hanyalah mengganti i dan j dengan suatu vektor satuan sebarang u. Definisi Untuk setiap vektor satuan u, misalkan Duf ( p )=lim h →0



f ( p+hu ) −f ( p) h



Limit ini, jika ia ada, disebut turunan berarah f di p pada arah u.



Jadi, Dif ( p )=fx ( p ) dan Djf ( p )=fy( p). Karena p = (x,y) dapat menggunakan cara penulisan Duf ( x , y ) .



Hubungan dengan Gradien Sebelumnya ∇ f ( p )diberikan oleh ∇ f ( p )=fx ( p ) i+fy ( p ) j



Teorema A Misalkan f terdiferensialkan di p. Maka f mempunyai turunan berarah di p dalam arah vektor satuan u=ui i+u2 j dan Duf ( p )=u. ∇ f ( p) Yakni, Duf ( x , y ) =u1 fx ( x , y ) +u2 fy (x , y ) Bukti Karena f dapat didiferensialkan di p, f ( p+ hu )−f ( p ) =∇ f ( p ) . ( hu ) + ε ( hu ) . u Dengan ε ( hu ) → 0 ketika h → 0. jadi , f ( p+hu ) −f ( p) =∇ f ( p ) . ( hu )+ ε ( hu ) .u h



CONTOH Jika f ( x , y )=4 x2− xy+ 3 y 2, tentukan turunan berarah f di (2,-1) pada arah vektor a=4i+3j . PENYELESAIAN Vektor satuan u pada arah a adalah



4 3 i+ j . Juga, fx ( x , y )=8 x− y dan 5 5



fy ( x , y )=−x +6 y jadi fx (2 ,−1 )=17 dan fy ( 2,−1 )=−8. Akibatnya, menurut teorema A,



( 45 , 35 ) .( 17 ,−8 ) = 45 (17 ) + 35 (−8 )= 445



Duf ( 2 ,−1 ) =



Laju Perubahan Maksimum



Untuk suatu fungsi f yang diketahui di suatu titik yang diberikan p, pada arah mana fungsi berubah paling cepat , yakni pada arah mana Duf(p) adalah yang terbesar. Dari rumus geometri untuk hasil kali titik, dapat dituliskan Duf ( p )=u. ∇ f ( p )=||u||||∇ f ( p )||cos θ=||∇ f ( p )||cos θ Dengan θ sudut antara u dan ∇ f ( p). Jadi, Duf ( p ) dimaksimumkan ketika θ=0 dan diminimumkan ketika θ=π /2. Teorema B Suatu fungsi bertambah secara paling cepat di p pada arah gradien (dengan laju ||∇ f ( p )||) dan berkurang paling cepat pada arah berlawanan (dengan laju −||∇ f ( p )||).



CONTOH Andaikan seekor kutu berada pada paraboloida hiperbolik z= y 2−x 2 di titik (1,1,0). Pada arah mana ia seharusnya bergerak untuk panjatan yang paling curam dan berapa kemiringan pada waktu ia memulai? PENYELESAIAN Misalkan f ( x , y )= y 2−x 2. Karena fx ( x , y )=−2 x dan fy ( x , y )=2 y , ∇ f ( 1,1 )=−2 i+ 2 j Jadi kutu harus bergerak mulai dari (1,1,0) pada arah −2 i+2 j, dengan kemiringan akan sebesar ||−2i+2 j||=√ 8=2 √ 2. B. Contoh Soal pada Turunan Berarah dan Gradien PILIHAN GANDA 1. Jika diketahui f ( x , y )=2 x2−xy − y 2 maka, turunan berarahnya di p (1,-2) pada arah vektor a=2 i− j adalah....



a.



1 √5 5



b. 2/5



c.



9 √5 5



d. 2



e. √ 5



Penyelesaian: Vektor satuan u=



2i− j 2



2



√ 2 +(−1)



=



2 1 √ 5i− √ 5 j 5 5



∇ f ( 1 ,−2 )=fx ( 1 ,−2 ) + fy(1 ,−2) ∇ f ( 1 ,−2 )=(4 ( 1 )−(−2 ) )i + ( (−1 )−2 (−2 ) ) j ∇ f ( 1 ,−2 )=6 i+3 j



( 25 √5 i− 15 √ 5 j)(6 i+3 j)



Duf ( 1 ,−2 ) =



Duf ( 1 ,−2 ) =



12 3 9 √ 5− √ 5= √ 5 5 5 5



Jawaban: C 2. Vektor satuan u pada arah a=2 i+2 jadalah.... a. 2 i+2 j



b.



√2 i+ √ 2 j 2



2



c. √ 2i+ √ 2 j



d. 3i+3j



e. i+j



Penyelesaian: Vektor satuan u=



2 i+ 2 j √ 2 √ 2 = i+ j √ 22 +22 2 2



Jawaban: B 3. Turunan berarah f ( x , y )=x 2 ln y jika p (1,1) dan a=3 i+ 4 j adalah.... a. 5



b. 1/5



c. 2/5



d. 3/5



Penyelesaian: Vektor satuan u=



3 i+4 j



3 4 = i+ j √ 3 +4 5 5 2



2



∇ f ( 1,1 )=fx ( 0,1 )+ fy(0,1)



e. 4/5



∇ f ( 1,1 )=0 i+1 j= j Duf ( 1,1 )=



( 35 i+ 45 j )( 0 i+ j ) = 45



Jadi, turunan berarahnya adalah 4/5 Jawaban: E 1 2 1 2 4. Jika seekor semut berada pada f ( x , y )= x − y di titik (-1,-1) pada arah 2 2 mana ia harus bergerak? a. i+ j



b. i− j



c. −i+ j



d. −i− j



e. 2 i− j



Penyelesaian: ∇ f (−1 ,−1 )=fx (−1 ,−1 ) i+ fy (−1 ,−1 ) j ∇ f (−1 ,−1 )=−i− j Jadi, ia harus bergerak pada arah −i− j Jawaban: D 5. f ( x , y , z )=x 2 +2 y −z 2 dan p = (1,1,1) maka vektor satuannya adalah.... a. 2 i−2 j−2 k



b. 2 i+2 j+2 k



e. i-j+k Penyelesaian: ∇ f ( 1,1,1 )=2 ( 1 ) i+2 j+ (−2 ) .1k ∇ f ( 1,1,1 )=2 i+2 j−2 k u=



2 i+ 2 j−2 k 2



2



√ 2 + 2 +(−2 )



2



3 3 3 u= √ i + √ j− √ k 3 3 3



c.



√ 3 i+ √ 3 j− √ 3 k 3



3



3



d. 3 i+ 3 j−3 k



Jawaban: C 6. Laju perubahan dimana f ( x , y )=x y 2 bertambah secara paling cepat di p = (2,3) adalah.... a.



√ 120



b. √ 160



c. √ 130



d. √ 125



e. √ 144



Penyelesaian: ∇ f ( 2,3 )=22 i+ 2 ( 2 ) ( 3 ) j ∇ f ( 2,3 )=4 i+12 j



||4 i+12 j||= √ 42 +122= √16+144=√ 160 Jadi laju perubahannya adalah √ 160 Jawaban: B 7. Jika seseorang berada pada suatu fungsi f ( x , y )=2 x2 +2 y 2 di titik (-1,2) maka kemiringannya adalah.... a.



√ 80



b. √ 40



c. √ 50



d. √ 60



e. √ 35



Penyelesaian: ∇ f (−1,2 )=4 (−1 ) i+ 4 ( 2 ) j ∇ f (−1,2 )=−4 i+8 j



||−4 i+8 j||=√(−4)2 +82= √16+ 64=√ 80 Jadi, kemiringannya adalah √ 80 Jawaban: A 8. Tentukan turunan berarah dari f ( x , y )=xy +2 x 2 dengan P=(1 , 0) dan a´ =i+ 2 j a.



6 √5 5



b.



4 √5 5



c.



2√ 5 5



d.



√5 5



Jawaban : A Pembahasan: ∇ f ( x , y )=



∂ ( xy +2 x2 ) i+ ∂ ( xy + 2 x 2 ) j ∂x ∂y



¿ ( y +4 x ) i+ ( x ) j ∇ f ( 1 ,0 )=4 i+ j Dari a´ =i+ 2 j diperoleh vektor satuan u´ =i+



2j 2



√1 +2



2



=



i 2j + √5 √ 5



Dengan demikian diperoleh turunan berarahnya adalah: D u f ( 1 ,0 )=( 4 i+ j ) ∙



¿



( √i5 + √25j )



4 2 6 5 + = √ √5 √5 5



9. Tentukan turunan berarahnya dari f ( x , y )=tan−1 xy dengan P= (1,3 ) dan 1 a´ = i+3 j 2 3 a.



37 4 + 20



√



3 10



√



37 4



b.



37 4 + 20



√



1 10



√



37 4



c.



3 √3 3 + 20 10 √3



d.



√3 + 1 20 10 √3



Jawaban: A Pembahasan: ∇ f ( x , y )=



¿



(



∂ ( tan−1 xy ) i+ ∂ ( tan −1 xy ) j ∂x ∂y



y x i+ j 2 2 1 + ( xy ) 1+ ( xy )



)(



∇ f ( 1 ,3 )=



)



3 1 i+ j 10 10



37 1 4 3 i+ j Dari a´ = i+3 j diperoleh vektor satuan u´ = 2 2 37 4



√



√



Dengan demikian diperoleh turunan berarahnya adalah:



( 103 i+ 101 j) ∙ √



(



Du f ( 1 ,3 )=



37 4 ¿ + 20 3



√



3 10



√



37 4



37 4 3 i+ j 2 37 4



√



)



ESSAY 1. Carilah turunan berarah dari f ( x , y )=xy; p = (2,5) ; a=2 i+ j Penyelesaian: Diperoleh vektor satuan: u´ =



2 i+ j 2



√ 2 +1



2



∇ f ( x , y )=



=



2 1 √ 5 i+ √ 5 j 5 5



d d ( xy ) i+ ( xy ) j dx dy



∇ f ( x , y )= yi+ xj ∇ f ( 2,5 )=5 i+2 j



D U f ( 2,5 )=



( 25 √ 5 i+ 15 √5 j )( 5 i+2 j )



D U f ( 2,5 )=



12 √5 5



2. Diketahui fungsi f ( x , y , z )=x y 2− y z 2 ; p= (−1,1,2 ) ; a´ =2 i+2 j−k. Carilah turunan berarahnya! Penyelesaian: Vektor satuan u´ =



∇ f ( x , y , z )=



2i+2 j−k



2 2 1 = i+ j− k √ 2 +2 +(−1) 3 3 3 2



2



2



d ( x y 2− y z 2 ) i+ d ( x y 2− y z 2 ) j+ d ( x y 2− y z 2 ) k dx dy dz



∇ f ( x , y , z ) = y 2 i+ ( 2 xy−z 2 ) j+2 yz k ∇ f (−1,1,2 )=i−6 j+ 4 k Duf (−1,1,2 )=



( 23 i+ 32 j− 13 k )( i−6 j+4 k )



2 4 Duf (−1,1,2 )= −4− 3 3



Duf (−1,1,2 )=



−14 3



( 12 ) dan



3. Tentukan turunan berarahnya dari f ( x , y )=e xy dengan P= 0 , a´ =i+ j Pembahasan: ∇ f ( x , y )=



∂ xy ( e ) i+ ∂ ( e xy ) j ∂x ∂y



¿ ( e xy ∙ y ) i+ ( e xy ∙ x ) j 1 ∇ f ( 1 ,3 )= i 2 Dari a´ =i+ j diperoleh vektor satuan u´ =



1 1 i+ j √ 2 √2



Dengan demikian diperoleh turunan berarahnya adalah:



( 12 i )∙( √12 i + √12 j)



D u f ( 1 ,3 )=



¿



1 √2 4



4. Tentukan turunan berarahnya dari f ( x , y , z )=xyz + y 2 z dengan P= (1 , 1,2 ) dan a´ =i+ √ 3 j+ k Pembahasan: ∇ f ( x , y , z )=



∂ ( xyz + y 2 z ) i+ ∂ ( xyz+ y 2 z ) j+ ∂ ( xyz+ y 2 z ) k ∂x ∂y ∂z



¿ ( yz ) i+ ( xz+2 yz ) j+ ( xy + y 2 ) k ∇ f ( 1 ,1 , 2 )=4 i+10 j+ 6 k Dari a´ =i+ √ 3 j+ k diperoleh vektor satuan u´ =



1 √3 1 i+ j+ k √ 5 √5 √5



Dengan demikian diperoleh turunan berarahnya adalah: D u f ( 1 ,1 , 2 )=( 4 i+10 j+ 6 k ) ∙



( √15 i+ √√ 35 j+ √15 k )



¿ 2 √5+ 2 √ 15 5. Tentukan turunan berarahnya dari f ( x , y , z )=sin xyz dengan P= (1 , π ,1 ) dan a´ =i+ 2 j+ 3 k Pembahasan: ∇ f ( x , y , z )=



∂ ∂ ∂ ( sin xyz ) i+ ( sin xyz ) j+ ( sin xyz ) k ∂x ∂y ∂z



¿¿ ∇ f ( 1 , π , 1 )=−πi− j−πk Dari a´ =i+ 2 j+ 3 k diperoleh vektor satuan u´ =



1 2 3 i+ j+ k √ 14 √ 14 √ 14



Dengan demikian diperoleh turunan berarahnya adalah: D u f ( 1 ,1 , 2 )=(−πi− j−πk ) ∙



¿



−2−4 π √14



( √114 i+ √214 j+ √314 k )



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Jadi, definisi dari suatu turunan parsial untuk memperoleh laju perubahan suatu fungsi terhadap sembarang arah menghasilkan konsep mengenai turunan berarah.