Ukuran Pemusatan Data (Nilai Pusat) [PDF]

Citation preview

UKURAN PEMUSATAN DATA Pengertian Ukuran Pemusatan Data atau ukuran tendensi pusat merupakan ukuran yang dapat mewakili data secara keseluruhan. Artinya jika keseluruhan nilai yang ada dalam data tersebut diurutkan besarnya dan selanjutnya dimasukkan nilai rata-rata kedalamnya, nilai rata-rata tersebut memiliki kecenderungan (tendensi) terletak di urutkan paling tengah atau pusat.



Jenis Ukuran Pemusatan Data 1. Rata-Rata Hitung; merupakan nilai rata-rata dari data yang ada. Rata-rata hitung dari populasi disimbulkan µ (baca miu) dan rata-rata hitung sampel disimbolkan (baca eks bar) X Jumlah semua nilai data Rata  rata  jumlah data



atau



Rata-rata hitung untuk data tunggal : 1. Jika X1, X2, …, Xn merupakan n buah nilai dari variabel, maka dapat dirumuskan sebagai berikut : X



 Xi n







X1  X 2  , , ,  X n n



Dimana : X = Rata-rata hitung (mean) Xi = Data ke- i n =Observasi atau banyaknya data



Example : Hitunglah rata-rata dari IPK mahasiswa yang sudah kuliah 7 semester dengan nilai sebagai berikut : 2,87 2,90 3,15 3,20 2,98 2,99 3,10 Penyelesaian :  X  2,87  2,90  3,15  3,20  2,98  2,99  3,10  21,19



Jumlah n = 7  X 21,19 X   3,03 n 7



2. Median Data Tunggal; nilai tengah dari data yang ada setelah data diurutkan. Cara menentukan Median data tunggal, sebagai berikut : 1. Jika jumlah data ganjil, mediannya adalah data yang berada paling tengah. Dengan Rumus :



Me  X n 1 2



2. Jika jumlah data genap, mediannya adalah hasil bagi jumlah dua data yang berada di tengah.



Xn  Xn



Me 



2



2



2



1



Example : Tentukan Median dari data berikut :



1. 65 70 90 40 35 45 70 80 50 2. 3 2 5 2 4 6 6 7 9 6



Penyelesaian : Untuk Data Tunggal : Data setelah diurutkan : Jumlah n = 9 35 40 45 50 65 70 70 80 90



Me  X 91  X 10  X 5 ; X5 = 65 2



2



Jadi Mediannya adalah 65



Penyelesaian : Untuk Data Genap : Data setelah diurutkan : Jumlah n = 10 2 2 3 4 5 6 6 6 7 9



X 10  X 10 Me 



2



2



2



1



X 5  X 51 X 5  X 6   2 2



X5  X 6 5  6 11 Me     5,5 2 2 2



3. Modus Data Tunggal; merupakan data yang paling sering muncul dalam data. Example : Tentukan Modus dari data berikut : 1. 65 70 90 40 35 45 70 80 50



2. 3 2 5 2 4 6 6 7 9 6



Penyelesaian : Data setelah diurutkan : Jumlah n = 9 35 40 45 50 65 70 70 80 90, jadi Modusnya =70



Data setelah diurutkan : Jumlah n = 10 2 2 3 4 5 6 6 6 7 9; jadi Modusnya = 6



Rata-rata hitung untuk data berkelompok Untuk data berkelompok, rata-rata hitung (Mean) dihitung dengan menggunakan : Metode biasa; Apabila telah dibentuk distribusi frekuensi dengan fi = frekuensi pada interval kelas ke – i, Xi = titik tengah interval kelas ke – i, maka rata-rata hitung (mean) dapat dihitung dengan rumus :



X



 f i Xi f i



Data yang sudah ditabulasikan dengan distribusi frekuensi Tabel Distribusi Frekuensi Investasi



Turus



Frekuensi



65 - 67 68 - 70 71 - 73 74 - 76 77 - 79 80 - 82 Jumlah



III IIII I IIII IIII II IIII IIII III IIII II



3 6 12 13 4 2 40



Tabel Distribusi Frekuensi Titik Tengah



Frekuensi



Xi



fi



65 - 67



66



3



198



68 - 70



69



6



414



71 - 73



72



A



864



74 - 76



75



13



975



77 - 79



78



4



312



80 - 82



81



2



162



40



2925



Investasi



Jumlah



X



 fi Xi  fi



2925   73,13 40



Xi x fi



 f  40 i



 f X  2925 i i



Median untuk data berkelompok Median adalah nilai tengah dari data yang ada setelah data diurutkan. Median merupakan ratarata apabila ditinjau dari segi kedudukannya dalam urutan data, atau median sering disebut rata-rata posisi. Median untuk data berkelompok dapat dihitung dengan rumus :



1 f i  ( f )  sMe 2 Me  Bb  xI f Me Dimana : Bb : Tepi bawah kelas median Σfi : Frekuensi total ∑fsMe : Jumlah Frekuensi sebelum kelas median fme : Frekuensi kelas median I : Panjang interval kelas



Modus untuk data berkelompok Modus untuk data berkelompok, dalam tabel distribusi frekuensi nilai modus hanya dapat diperkirakan. Dimana nilai yang paling sering muncul akan berada pada kelas yang memiliki frekuensi terbesar, maka nilai tersebut disebut modus. Modus untuk data berkelompok dapat dihitung dengan rumus :



d1 Mo  Bb  xI d1  d 2 Dimana : Bb : Tepi bawah kelas Modus d1 (fMe–fBMe) : Selisih frekuensi median dengan frekuensi kelas sebelumnya d2 (fMe–fAMe) : Selisih frekuensi median dengan frekuensi kelas sesudahnya I : Panjang interval kelas



Kuartil (Q) Data Tunggal Kuartil (Q) data adalah nilai yang membagi seperangkat data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama. Terdapat tiga (3) kuartil sebagai berikut : 1. Kuartil (Q1) Bawah (Pertama)



1 Q 1  Nilai ke (n  1) 4 2. Kuartil (Q2) Tengah (Kedua)



1 Q 2  Nilai ke (n  1) 2



3. Kuartil (Q3) Atas (ketiga)



3 Q3  (n  1) 4 Tentukan Q1, Q2 dan Q3 dari data dibawah ini 2



6



8



5



4



9



12



Data setelah diurutkan : 2



4



5



6



8



9 12



1 1 Q1  Nilai ke (7  1)= (8)  2, jadi Q 1  4 4 4



1 1 Q 2  Nilai ke (7  1)= (8)  4, jadi Q 2  6 2 2 3 1 Q 3  Nilai ke (7  1)= (8)  6, jadi Q 3  9 4 4



Kuartil (Q) Data Berkelompok 1. Kuartil (Q1) Bawah (Pertama)



1  f  f    i BQ1  4  Q  Bb   1 f Q1



xI



2. Kuartil (Q2) Tengah (Kedua) 1    f i   f BQ2  2   x I Q  Bb  2 f Q2



3. Kuartil (Q3) Atas (Ketiga) 3  f  f   i  BQ3  4   x I Q  Bb  3 f Q3



Dimana : Bb : Tepi bawah kuartil ke - i fi : Frekuensi total ∑fBQ1 : Jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil ke - 1 ∑fBQ2 : Jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil ke - 2 ∑fBQ3 : Jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil ke - 3 fQi : Frekuensi kelas kuartil ke - i I : Panjang interval kelas



Dalam menentukan masing-masing kuartil, yang perlu diperhatikan adalah frekuensi kelas-kelas masing-masing kuartil, diantaranya : 1. Kelas Kuartil Bawah (Q1), jika ∑fBQ1 ≥ ¼ (ft)



2. Kelas Kuartil Tengah (Q2), jika ∑fBQ2 ≥ ½ (ft) 3. Kelas Kuartil Atas (Q3), jika ∑fBQ3 ≥ ¾ (ft)



Example : Tentukan Rata-rata, Median dan Modus dari data yang sudah dikelompokan dibawah ini : No.



Interval



Frekuensi



1



17 - 23



8



2



24 - 30



18



3



31 - 37



13



4



38 - 44



23



5



45 - 51



17



6



52 - 58



12



7



59 - 65



8



8



66 - 72



1



Kelas



Jumlah



100



1. Menentukan Nilai Rata-rata (Mean) data berkelompok : No. Kelas



Interval



Titik Tengah



Frekuensi



X i x fi



1



17 - 23



20



8



160



2



24 - 30



27



18



486



3



31 - 37



34



13



442



4



38 - 44



41



23



943



5



45 - 51



48



17



816



6



52 - 58



55



12



660



7



59 - 65



62



8



496



8



66 - 72



69



1



69



Jumlah



 f  100  f X  4072 i i i  fi Xi 4072 X   40,72 100  fi



100



4072



2. Menentukan Nilai Median data berkelompok :



Diketahui : Jumlah frekuensi (∑ft) = 100 ½(ft) = ½(100) = 50



Kelas Median (Me) = Kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi = 23 Bb (Batas bawah kelas median) = 37,5 ∑ftBMe = 8 + 18 + 13 = 39 fMe = 23 I (panjang interval dalam kelas) = 7



1 ft  ( f ) BMe Me  Bb  2 xI f Me



1 100  (39) Me  37,5  2 x7 23



50  39 Me  37,5  x7 23



11 Me  37,5  x7 23 Me  37,5  3,35  40,85



Desil Data Tunggal Desil adalah nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi sepuluh bagian yang sama



i Di  Nilai ke (n  1) 10 Tentukan D3 dan D7 dari data dibawah ini 30 23 32 34 39 38 38 41 40 43 Data setelah diurutkan : 23 30



32



34



38



38



39 40



41 43



46 45 44 44 45



46



Data setelah diurutkan : 23



30



32



34



38



38 39 40 41 43



44



45



46



3 42 D3  Nilai ke (13  1)   data ke 4,2 10 10



Jadi data ke-4 atau X4 + 0,2 (X5 – X4) Jadi data ke-4 atau 34 + 0,2 (38 – 34)



Jadi data ke-4 atau 34 + 0,2 (4) = 34,8 Jadi D3 adalah 34,8



7 98 D7  Nilai ke (13  1)   data ke 9,2 10 10 Jadi data ke-9 atau X9 + 0,8 (X10 – X9) Jadi data ke-9 atau 41 + 0,8 (43 – 41) Jadi data ke-9 atau 41 + 0,8 (2) = 42,6 Jadi D7 adalah 42,6



Rumus Desil Data Berkelompok i fi  ( f )  BDi 10 Di  Bb  xI f Di



Persentil Data Tunggal Persentil adalah nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi seratus bagian yang sama



i Pi  Nilai ke (n  1) 100 Tentukan persentil ke 10 (P10) dan Persentil ke 76 (P76) dari data berikut ini 21 20 36 35 44 41



22 35 42



24 38 27



26 33 41



26 37 46



43 37 47



50 35 48



31 39 49



31 40 30



Data setelah diurutkan : maka jumlah data 30 20 21 33 35 41 41



22 35 42



24 35 43



26 36 44



26 37 46



27 37 47



30 38 48



31 39 49



31 40 50



10 310 P10  Nilai ke (30  1)   data ke 3,1 100 100 Jadi data ke-3 atau X3 + 0,1 (X4 – X3) Jadi data ke-3 atau 22 + 0,1 (24 – 22) Jadi data ke-3 atau 22 + 0,1 (2) = 22,2 Jadi P10 adalah 22,2



Rumus Persentil Data Berkelompok i fi  ( f )  BPi 100 Pi  Bb  xI f Pi



RATA-RATA UKUR



(RATA-RATA GEOMETRIS)



Rata-rata Ukur Data Tunggal Jika perbandingan setiap dua data berurutan adalah tetap atau hampir tetap maka rata-rata ukur lebih baik digunakan daripada rata-rata hitung. Jika X1, X2’ X3, …, Xn merupakan n buah nilai dari variabel, maka dapat dirumuskan sebagai berikut :



G  n x1.x2.x3 ,...,xn G  (x1.x 2 .x3 ,...xn )



atau



1 n



1 Log G  (log x1  log x 2  log x3  ...  log xn n



Example : 2,2 4,7 4,2 2,5 3,5 3,0 4,2 2,5 1,5 3,5 4,2 2,5 3,9 2,0 4,2



Data sudah diurutkan : 1,5 2,0 2,2 2,5 2,5 2,5 3,0 3,5 3,5 3,9 4,2 4,2 4,2 4,2 4,7



Untuk menentukan persen kenaikan rata-rata seperti persen kenaikan rata-rata penjualan, ratarata ekspor dan lain-lain dari suatu periode ke periode yang lain, maka gunakan rumus rata-rata ukur adalah : Nilai akhir periode G  n1 1 Nilai awal periode



Rata-rata Ukur Data Berkelompok Untuk data berkelompok (data dalam tabel distribusi frekuensi), rata-rata ukur dapat dihitung dengan rumus : (f.log X)  Log G  f



RATA-RATA HARMONIS Rata-rata Harmonis Data Tunggal Jika X1, X2’ X3, …, Xn merupakan n buah nilai dari variabel, maka dapat dirumuskan sebagai berikut : n n RH   1 1 1 1 1  X X  X  X  ...  X 1 2 3 n



Rata-rata Ukur Data Berkelompok Untuk data berkelompok (data dalam tabel distribusi frekuensi), rata-rata ukur dapat dihitung dengan rumus : f  RH  f X