Vektor Random [PDF]

Citation preview

Vektor Random Dan Statistik Matematika Vektor random merupakan perluasan variabel random. Bila suatu unit eksperimen menghasilkan hanya satu variabel terukur, maka variabel tersebut dinamai variabel random; tetapi bila menghasilkan beberapa variabel terukur, misal m variabel, maka hasil pengukuran terse-but dinamai vektor random, dengan m kompo-nen. Jadi komponen atau elemen vektor random adalah variabel random.



Bila vektor random x ~ Nm(µ, Ω), maka setiap 2 xi ~ N(µi, σi ), i = 1, 2, … , m; tetapi sebaliknya belum tentu berlaku.



Statistik matematika yang dimaksud di sini hanya sebatas : distribusi, ekspektasi, variansi, kovariansi, dan korelasi, masing-masing ditujukan kepada vektor random.



Kovariansi antara xi dengan xj , dinotasikan cov(xi,xj), atau σ ij , didefinisikan sbb : σ ij = cov(xi,xj) = E[(xi − µi)(xj −µj)]



Barisan variabel random x1, x2, … , xm yang saling berhubungan dimodelkan oleh fungsi probabilitas multivariat, yaitu px(t) bila diskrit; atau fungsi densitas multivariat, yaitu fx(t) bila kontinyu. Pada uraian ini hanya sebatas fungsi kontinyu, khususnya fungsi densitas multivariat normal.



Pada kondisi xi dan xj saling bebas, maka : E(xi,xj) = E(xi) E(xj) = µiµj, sehingga : σ ij = µiµj −µiµj = 0



Fungsi densitas normal (PDF normal ) : 1 exp(− 12 ( x − µ ) 2 ) / σ 2 ) f(x) = σ 2π atau,  x−µ   σ 



− 12  1 f(x) = e  σ 2π



2



i =1



− 1 ( zT z ) 1 − 12 ( zi ) 2 1 e = e 2 , m/2 (2π ) 2π



dinotasikan pula z ~ Nm(0, Im). Ini berarti : setiap zi ~ N(0,1), i = 1, 2, … , m, dan antar zi saling independen. Fungsi densitas multivariat normal (PDF multivariate normal) : f(x) =



1 (2π )



m/2



|Ω|



1/ 2



dinotasikan x ~ Nm(µ, Ω).



e



(



− 12 ( x − µ )T Ω -1 ( x − µ )



2 Bila i = j maka σ ij = σii = σi , ini dinamai variansi xi, dinotasikan var(xi).



cov(α1 + β1xi , α2 + β2xj) = β1β2 cov(xi,xj)



Fungsi densitas multivariat normal standar (PDF multivariate normal standart) : f(z) = ∏



= E(xi,xj) −µiµj



Diketahui α1, α2, β1, dan β2 masing-masing skalar, maka berlaku :



Fungsi densitas normal standar (PDF normal standar) : 1 exp( − 12 ( z ) 2 )) f(z) = 2π atau, 1 − 12 ( z ) 2 e f(z) = 2π



m



Mean vektor x, dinotasikan µ, µ = (µ1, µ2, ... µm)T = E(x) = E(x1, x2, ... , xm)T = [E(x1), E(x2), ... E(xm)]T



)



,



Matrik variansi kovariansi vektor x, atau matrik kovariansi vektor x, dinotasikan Ω, x1 x2 x3 x1  σ 11 σ12 L σ1 m  x2 σ 21 σ 22 L σ 2 m  Ω= M M M O M   xm σ m1 σ m 2 L σ mm  Ω = var(x) = E[(x −µ)( x −µ)T] = E(x xT) − µµ T



Ekspektasi Fungsi Vektor Random y = αTx,



E(y) = E(αT x) = ... = αTµ



w = β Tx



cov(y,w) = cov(αTx, β Tx) = ... = αT Ω β



var(y) = cov(y,y) = αT Ω α var(w) = cov(w,w) = β T Ω β



Matrik P bersifat definit tak negatif. Contoh :



y=Ax Matrik A berukuran p× m, maka : E(y) = E(Ax) = A E(x) = A µ var(y) = E[{y − E(y)}{y − E(y)}T] = E[{Ax −E(Ax)}{ Ax − E(Ax)}T] = ... = A Ω AT



Data berikut ini diambil dari populasi yang berdistribusi multivariate normal.



Bila v dan w masing-masing adalah vektor random, maka berlaku : cov(v,w) = E(v wT) −E(v) E(w)T Selanjutnya, bila v = A x dan w = B x, maka : cov(v,w) = A cov(x, x) B = ... = A Ω BT Matrik Korelasi vektor x , dinotasikan P, x1 x1  ρ11 x2  ρ 21 P=    xm  ρ m1 dengan ρij =



x2 ρ12 ρ 22  ρm2



   



cov( xi , x j ) var( xi ) var( x j )



σ ij σ ii σ jj



,



ini merupakan hubungan antara korelasi dengan kovarian. Bila i = j, maka ρii = 1 , sehingga elemen diagonal utama matrik korelasi, yaitu P selalu bernilai 1. Hubungan antara matrik korelasi, P, dengan matrik kovariansi, Ω, dapat di turunkan sbb; didefinisikan suatu matrik diagonal, dinotasi-kan DΩ−1/ 2 , yang setiap elemennya bernilai satu per simpangan baku setiap variabel random yang −1/ 2 membentuk matrik random, yaitu ( σ ii ) , i = 1, 2, … , m, −1/ 2 −1/ 2 −1/ 2 DΩ−1/ 2 = diag ( σ 11 , σ 22 , ... , σ mm )



σ 11−1/ 2 0 L  −1/ 2 σ 22 L DΩ−1/ 2 =   O  



    −1/ 2  σ mm  0 0 0



selanjutnya, hubungan antara matrik korelasi dan matrik kovarian dapat dinyatakan sbb, P = DΩ−1/ 2 Ω DΩ−1/ 2 .



x2



x3



x4



7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10



26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68



6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8



60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12



Hitunglah penaksir-penaksir : - vektor mean, µ - matrik kovariansi, Ω - matrik korelasi, P - matrik diagonal, DΩ−1/ 2 dan tuliskan PDF multivariate vektor x .



x3 ρ1m  ρ11  ,   ρ mm  =



x1



Kemudian dilakukan transformasi sebagai berikut : ziu = ( xiu − xi ) / simpangan baku xi , dengan i = 1, 2, 3, 4, dan u = 1, 2, … , 13. Dengan demikian, vektor random x = (x1,x2,x3,x4)T berubah menjadi vektor random z = (z1,z2,z3,z4)T. Hitunglah penaksir-penaksir (untuk vektor z ): - vektor mean, µ - matrik kovariansi, Ω - matrik korelasi, P - matrik diagonal, DΩ−1/ 2 dan tuliskan PDF multivariate vektor z . Pilihlah dua variabel random diantara x1, x2, x3, x4. Hitunglah penaksir-penaksir : - vektor mean, µ - matrik kovariansi, Ω - matrik korelasi, P - matrik diagonal, DΩ−1/ 2 , tuliskan PDF bivariate (xi , xj), dan gambarlah kurva PDF tersebut. Diketahui : vektor α = (10,11,12,13)T, vektor β = (21,22,23,24)T,



1 11 23 31   matrik A =  2 13 21 33  3 12 22 32  Hitunglah : Ekspektasi : αx, αz, βx, βz, Ax dan Az, Variansi : αx, αz, βx, βz, Ax dan Az, Kovariansi : (αx, βx) , (αz, βz) , (Ax, Bx) , (Az, Bz)



(Tentukan lebih dulu matrik B dengan elemen anda tentukan sendiri, yang penting ukurannya sesuai)