Vektor [PDF]

Citation preview

PENGANTAR VEKTOR(GEOMETRIS) Dosen Pengasuh



: Fitriana Rahmawati, S.Si, M.Pd.



Disusun Oleh : Matematika IV E



Nama Anggota



:



1. Fatimah Vonita Amalia



10130101



2. Novita Sari N



10130



3. Ratna Sari



10130255



4. Ochi Yosi Siska



10130



SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA STKIP-PGRI BANDAR LAMPUNG Tahun Akademik 2012



VEKTOR GEOMETRIS



Jika, sebagaimana gambar 1a, titik pangkal suatu vektor v adalah A dan titik ujungnya adalah B, maka kita tuliskan → B



A (a)



(b)



Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗



Vektor-vektor yang ekuivalen



Gambar 1 Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama, seperti pada gambar 1b, disebut ekuivalen. Oleh karena kita ingin suatu vektor ditentukan hanya oleh panjang dan arahnya, maka vektor-vektor yang ekuivalen dipandang sama walaupun mungkin terletak pada posisi yang berbeda. Jika v dan w ekuivalen, kita tuliskan v=w Devinisi. Jika v dan w adalahdua vektor sembarang, maka jumlah v + w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut: Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik ujung v. Vektor v + w dinyatakan oleh panah dari titik pangkal v ke titik ujung w (Gambar 2a). Pada gambar 2b, kita telah menyusun dua jumlah, v + w (panah 1) dan w+v (panah II). Terbukti bahwa v+w=w+v w v



w v+w



Jumlah v+w (a) Gambar 2



v I



v+w II



w (b)



w+v



v v+w = w+v



Bahwa jumlah tersebut bertautan denga diagonal jajaran genjang yang ditentukan oleh v dan w jika vektor-vektor ini diletakkan sehingga keduanya mempunyai titik pangkal yang sama. Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0. Kita mendevinisikan 0+v=v+0=v Untuk setiap vektor v. Karena tidak ada arah alami untuk vektor nol, kita setuju bahwa vektor nol dapat mempunyai sembarang arah yang sesuai dengan masalah yang sedang dipertimbangkan. Jika v adalah sembarang vektor tak nol, maka –v, negative dari v, devinisikan sebagai vektor yang besarnya sama denga v, tetapi arahnya terbalik (Gambar 3).



v -v



Gambar 3



Negatif dari v mempunyai panjang yang sama dengan v, tetapi arahnya terbalik.



Vector ini mempunyai sifat v + (-v) = 0 (Mengapa?) Di samping itu, kita devinisikan -0 = 0. Pengurangan vektor didevinisikan sebagai berikut. Definisijika v dan w adalah dua vector sembarang, maka selisih w dari v didevinisikan sebagai v – w = v + ( -w ) (Gambar 4a).



GAMBAR



v–w



v



-w



w



v



v +(- w) w



Gambar 4 Untuk mendapatkan selisih v - w tanpa menyusun –w, posisikan v dan w sehingga titik pangkalnya berimpitan; vektor dari titik ujung w ke titik ujung v adalah vektor v-w (Gambar 4b).



Definisi. Jika v adalah suatu vector tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya| | kali panjang v dan yang arahnya sama dengan arah v jika k 0 dan berlawanan arah dengan v jika k 0. Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 jika k=0 atau v=0.



Gambar 5 mengilustrasikan hubungan antara suatu vektor v dan vektor v, (-1)v, (-2)v, 2v, dan (-3)v. perhatikan bahwa vektor (-1)v mempunyai panjang yang sama dengan v, tetapi berlawanan arah. Jadi, (-1)v hanyalah negative dari v; yaitu, (-1) v = -v



V



v



(-1)



2v



(-3)v



Gambar 5



Suatu vektor berbentuk kv disebut suatu penggandaan scalar dari v. sebagaimana yang ditunjukkan dalam Gambar 5, vektor-vektor yang merupakan penggandaan skalar satu sama lain adalah sejajar. Sebaliknya, dapat ditinjukkan bahwa vektor tak nol yang sejajar adalah penggandaan sklar satu sama lain. Kami melewati buktinya.



VEKTOR-VEKTOR DALAM SISTEM KOORDINAT



Masalah-masalah yang melibatkan vektor sering kali dapat disederhanakan dengan memperkenalkan suatu system koordinat persegi empat. Untuk saat ini kita akan membatasi 2 (bidang). Anggap v adalah sembarang vektor pada bidang dan asumsikan, sebagaimana pada Gambar 6, bahwa v telah diletakkan sehingga titik pangkalnya berda pada titik asal system koordinat segi empat. Koordinat ( , ) dari titik ujung v disebut komponen v dan kita tuliskan v=( , )



. v



Jika vektor-vektor ekuivalen, v dan w, diletakkan sehingga titik pangkalnya berada dititik asal, maka jelas bahwa titik ujungnya harus berimpitan (karena vektor-vektor tersebut mempunyai panjang dan arah yang sama). Sebaliknya, vektor-vektor dengan komponen yang sama ekuivalen karena vektorvektor itu mempunyai panjang dan arah yang sama. Ringkasannya, dua vektor v=( , )



dan



w=(



,



)



ekuivalen jika dan hanya jika =



dan



=



Operasi penjumlahan dan perkalian vektor dengan skalar mudah dilakukan dalam bentuk komponen. Sebagaimana yang diilustrasikan dalam Gambar 7, jika v=



dan



maka v+w=



w



v+w



v



Gambar 7



w=



Jika v = ( v1 , v2 ) dan k adalah sembarang skalar , maka dengan menggunakan suatu uraian geometris yang melibatkan segitiga – segitiga serupa , dapat ditunjukkan ( Latihan 15 ) bahwa kv = ( kv1 , kv2 ) ( Gambar 8 ) . Jadi , misalnya , jika v = ( 1 , -2 ) dan w = ( 7 , 6 ) , maka v + w = ( 1 , -2 ) + ( 7 , 6 ) = ( 1 + 7 , -2 - 6 ) = ( 8 , 4 )



dan 4v = 4 ( 1 , -2 ) = ( 4(1) , 4(-2)) = ( 4 , -8 ) Karena v – w = v + (-1)w , maka dari Rumus (1) dan (2) kita dapatkan bahwa v – w = (v1 – w1 . v1 – w2 ) ( Periksalah ).



VEKTOR-VEKTOR ALAM RUANG DIMENSI 3



Sama seperti vektor – vektor pada bidang yang dapat diuraikan dengan pasangan bilangan real, vektor – vektor dalam ruang dimensi 3 dapat diuraikan dengan tiga bilangan real dengan memperkenalkan suatu sistem koordinat segi empat . Untuk membangun suatu sistem koordinat tersebut , pilih suatu titik O, yang disebut titik asal , dan pilih tiga garis yang saling tegak lurus , yang disebut sumbu – sumbu koordinat , yang melalui titik asal. Beri nama sumbu – sumbu ini dengan x, y, dan z, dan pilih suatu arah positif untuk masing – masing sumbu koordinat dan juga satu satuan panjang untuk mengukur jarak ( Gambar 9a ). Setiap pasangan sumbu koordinat menentukan suatu bidang yang disebut bidang koordinat. Bidang – bidang koordinat ini disebut sebagai bidang xy, bidang xz, dan bidang yz . Untuk setiap titik P dalam ruang dimensi 3 kita beri tiga bilangan (x, y, z),



yang disebut koordinat P, sebagai berikut : Lewatkan tiga bidang yang sejajar dengab bidang koordinat yang melalui P , dan nyatakan titik potong ketiga bidang ini dengan tiga sumbu koordinat X, Y, dan Z ( Gambar 9b ).



Koordinat P didefinisikan sebagai panjang bertanda x = OX,



y = OY ,



z = OZ



Pada Gambar 10 kami telah menyusun titik – titik yang koordinatnya adalah (4 , 5 , 6) dan (-3 , 2 , -4).



Gambar 10 Sistem koordinat segi empat dalam ruang dimensi 3 mempunyai dua kategori, tangan kiri dan tangan kanan. Suatu sistem tangan kanan mempunyai sifat yang ditunjukan oleh suatu sekrup biasa dalam arah positif pada sumbu z jika sumbu x positif diputar 90⁰ ke arah sumbu y positif ( Gambar



11a ). Sistem itu disebut system tangan kiri , jika sekrup diputar ke arah mengendurkan ( Gambar 11b ).



Tangan Kiri



Tangan Kanan



Gambar 11



Jika, seperti pada Gambar 12, suatu vector v dalam ruang dimensi 3 diposisikan sehingga titik pangkalnya ada pada titik asal sistem koordinat segi empat , maka koordinat titik ujungnya disebut komponen v, dan kita tulis v = ( v 1 , v 2 , v3 )



Gambar 12



Jika v = ( v1, v2, v3 ) dan w = ( w1, w2, w3 ) adalah dua vektor pada ruang dimensi 3, maka uraian yang serupa dengan yang digunakan untuk vektor pada bidang dapat digunakan untuk menyusun hasil berikut ini.



v dan w ekuivalen jika dan hanya jika v1 = w1, v2 = w2, dan v3 = w3 v + w = ( v1 + w1 , v2 + w2 , v3 + w3 ) kv = ( kv1 , kv2 , kv3 ) . dengan k adalah sembarang skalar



Contoh 1 . Jika v = ( 1 , -3 , 2 ) dan w = ( 4 , 2 , 1 ) maka v + w = ( 5 , -1 , 3 ) ,



2v = ( 2 , -6 , 4 ),



-w = ( -4 , -2 , -1 )



v – w = v + ( -w ) = ( -3 , -5 , 1 )



Kadang – kadang suatu vektor diposisikan sedemikian rupa sehingga titik pankalnya tidak berada di titik asal . Jika vektor titik p1 p 2 titik pangkal P1 ( x1 , y1 , z1 ) dan titik ujung P2 (x2 , y2 , z2 ) , maka



P1 P2 = ( x2 – x1 , y2 – y1 , z2 – z1 ) Yaitu , komponen P1 P2 dengan mengurangkan koordinat titik pangkal dari koordinat titik ujung . Hal ini dapat dilihat dengan menggunakan Gambar 13 : Vektor P1 P2 selisih vektor OP2 dan OP1 sehingga



P1 P2 = OP2 - OP1 = (x2 , y2 , z2 ) – ( x1 , y1 , z1 ) = ( x2 – x1 , y2 – y1 , z2 – z1 )



→



→



Gambar 13 Contoh 2 Komponen vektor v = P1 P2 titik pangkal P1 ( 2 , -1 , 4 ) dan titik ujung P2 ( 7 , 5 , -8 ) adalah v = ( 7 – 2 , 5 – ( -1 ) – 4 ) = ( 5 , 6 , -12 ) Dalam ruang dimensi 2 vektor dengan titik pangkal P1 ( x1 , y1 ) dan titik ujung P2 ( x2 , y2 ) adalah



P1 P2 = ( x2 – x1 , y2 – y1 )



PERGESERAN SUMBU



Penyelesaian atas banyak permasalahan dapat disederhanakan dengan menggeser sumbu koordinat untuk memperoleh sumbu baru yang sejajar dengan sumbu aslinya. Pada gambar 14a kita telah menggeser sumbu suatu sistem koordinat xy untuk mendapatkan suatu sistem koordinat x’y’ yang titik awalnya O’ berada pada titik ( x , y ) = ( k , l ). Suatu titik P pada ruang dimensi 2 sekarang mempunyai koordinat ( x, y ) dan koordinat ( x’, y’ ) . Untuk melihat bagaimana keduanya terkaitan, tinjau vector O' P ( Gambar 14b ). Pada sistem xy titik pangkalnya berada pada ( k , l ) dan titik ujungnya berada pada titik ( x , y ) , sehingga O' P . Pada sistem x’y’ titik pangkalnya berada pada ( 0 , 0 ) dan titik ujungnya berada pada ( x’ , y’ ) sehingga O' P = ( x’ , y’ ). Oleh krena itu x’ = x – k



y’ = y – 1



Rumus ini disebut persamaan pergeseran .



{



(a)



}



(b)



Gambar 14 Contoh 3 Anggap suatu sistem koordinat xy digeser untuk memperoleh suatu sistem koordinat x’y’ yang titik asalnya mempunyai koordinat xy ( k , l ) = ( 4 , 1 ). (a) Cari koordinat x’y’ dari titik dengan koordinat xy P ( 2 , 0 ). (b) Cari koordinat xy dari titik dengan koordinat x’y’ Q (-1 , 5 ).



Penyelesaian : (a ) persamaan pergeseran adalah x’ = x – 4



y’ = y -1



sehingga koordinat x’y’ dari P ( 2 , 0 ) adalah x’ = 2 – 4 = -2 dan y’ = 0 – 1 = -1 . penyelesaian : ( b ) persamaan pergeserannya dalam ( a ) dapat ditulis ulang sebagai x = x’ + 4



y = y’ + 1



sehingga koordinat xy dari Q adalah x = -1 + 4 = 3 dan y = 5 + 1 = 6 . Dalam ruang dimensi 3 persamaan pergeserannya adalah x’ = x – k



y’ = y – 1



dengan ( k , l , m ) adalah koordinat xyz dari koordinat asal x’y’z’.



z’ = z - m