Volume Benda-Pejal Putar. Kulit Silinder. [PDF]

Citation preview

MATERI KALKULUS INTEGRAL PERTEMUAN KEENAM



Oleh Vara Nina Yulian, M. Pd. NIDN. 0415078801



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SUBANG 2020



Volume Benda-Pejal Putar: Kulit Silinder



Terdapat metode lain untuk mencari volume benda-pejal putar, yakni metode kulit silinder. Untuk banyak persoalan, metode ini lebih mudah diterapkan ketimbang metode cakram atau metode cincin. Sebuah kulit silinder adalah sebuah benda-pejal yang dibatasi oleh dua silinder tegak yang terpusst (Gambar 1). Jika jari-jari dalam adalah r, dan jari-jari luar adalah 𝑟1 dan tinggi silinder adalah h, maka volumenya adalah:



Gambar 1 𝑉 = (𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠) . (𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖) = (𝜋𝑟22 = 𝜋𝑟12 )h = 𝜋(𝑟2 + 𝑟1 )(𝑟2 − 𝑟1 )ℎ = 2𝜋 (



𝑟2 + 𝑟1 ) ℎ(𝑟2 − 𝑟1 ) 2ℎ



Ekspresi (𝑟1 + 𝑟2 )/2, yang akan kita nyatakan oleh 𝑟1 adalah rata-rata 𝑟1 dan 𝑟2 . Sehingga 𝑉 = 2𝜋. (𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎). (𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖). (𝑡𝑒𝑏𝑎𝑙) = 2𝜋𝑟ℎ∆𝑟 Berikut adalah cara yang bagus untuk mengingat rumus ini; jika kulit silinder sangat tipis dan lentur (seperti kertas) kita dapat memotong sisinya, membukanya sehingga membentuk selembar segiempat, kemudian menghitung volumenya dengan menganggap bahwa lembaran ini berbentuk sebuah kotak tipis dengan panjang 2𝜋𝑟 tinggi h dan tebal ∆𝑟. (Gambar 2)



(Gambar 2) 1



Metode Kulit Silinder Perhatikan suatu daerah semacam yang diperlihatkan pada Gambar 3. Irislah bagian itu secara tegak dan kemudian putar mengelilingi sumbu-y. Maka akan terbentuklah sebuah benda pejal putar dan tiap irisan akan membentuk sebuah potongan yang menyerupai kulit silinder . Untuk memperoleh volume benda ini, kita hitung volume suatu kulit silinder ∆𝑉, tambahkan dan kemudian ambil limit jika tebal kulit silinder mendekati nol. Tentu saja yang belakanan adalah sebuah integral. Sekali lagi, kata kuncinya adalah iris, aproksimasikan, integrasikan.



Gambar 3 Contoh 1 Daerah yang dibatasi oleh 𝑦 = 1/√𝑥, sumbu-x, x= 1 dan x=4 diputar mengelilingi sumbu-y. Carilah volume benda pejal yang terbentuk. Penyelesaian Dari Gambar 3 kita lihat bahwa volume kulit silinder yang dibentuk oleh irisan adalah ∆𝑉 = 2𝜋𝑥𝑓(𝑥)∆𝑥 Yang untuk 𝑓(𝑥 ) = 1/√𝑥, menjadi ∆𝑉 = 2𝜋𝑥



1 √𝑥



∆𝑥



Kemudian volumenya ditemukan dengan mengintegrasikan 4



𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥 1 4



1



= 2𝜋 [ 1 1+2



1 𝑥 2+1 ] 1



1 √𝑥



4



𝑑𝑥 = 2𝜋 ∫ 𝑥 1/2 𝑑𝑥 1



4



1 3 2 3 4 2 2 28𝜋 = 2𝜋 [ 𝑥 2 ] = 2𝜋 [ 𝑥 2 ] = 2𝜋 ( ∙ 8) − ( ∙ 1) = ≈ 29,32 3 3 3 3 3 1 2 1



Contoh soal Daerah yang dibatasi oleh garis y = (r/h)x, sumbu-x, dan x = h diputar mengelilingi sumbu-x, sehingga terbentuk sebuah kerucut (anggap bahwa r > 0, h > 0). Carilah volumenya dengan menggunakan metode cakram dan metode kulit silinder. Penyelesaian Metode cakram ikuti langkah-langkah yang disarankan oleh Gambar 4 yakni iris, aproksimasikan, integrasikan. ℎ 𝑟2 ℎ 2 𝑟2 1 𝑟 2 1 3 ℎ 𝜋𝑟 2 ℎ3 1 2 2+1 𝑉 = 𝜋 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋 2 [ 𝑥 ] =𝜋 2[ 𝑥 ] = = 𝜋𝑟 ℎ ℎ 0 ℎ 1+2 ℎ 3 3ℎ2 3 0 0



2



Gambar 4 Metode kulit silinder ikuti langkah-langkah yangdiberikan pada gambar 5, volumenya adalah 𝑟 𝑟 ℎ 1 𝑉 = ∫ 2𝜋𝑦 (ℎ − 𝑦) 𝑑𝑦 = 2𝜋ℎ ∫ (𝑦 − 𝑦 2 ) 𝑑𝑦 𝑟 𝑟 0 0 𝑟



𝑦2 𝑦3 𝑟2 𝑟3 𝑟2 𝑟2 1 = 2𝜋ℎ [ − ] = 2𝜋ℎ [ − ] = 2𝜋ℎ [ − ] = 𝜋𝑟 2 ℎ 2 3𝑟 0 2 3𝑟 2 3 3



Gambar 5 Seperti yang diduga, keduametode menghaasilkan rumus yang terkenal untuk volume kerucut lingaran tegak. Contoh 3 Carilah volume benda[pejal yang terbentuk dengan memutar daerah di kuadran pertama yang terletak diatas parabola 𝑦 = 𝑥 2 dan dibawah parabola 𝑦 = 2 − 𝑥 2 , mengelilingi sumbu-y. Penyelesaian Pilihan terbaik (karena batas kanan terdiri atas bagian-bagian dari dua kurva, sehingga diperlukan dua integral). Namun pengirisan tegak yang menghasilkan kulit silinder akan bekerja dengan baik. 1



1 2



𝑉 = ∫ 2𝜋𝑥(2 − 2𝑥 )𝑑𝑥 = 4𝜋 ∫ (𝑥 − 𝑥 3 )𝑑𝑥 0



0 1



𝑥2 𝑥4 1 1 [ = 4𝜋 − ] = 4𝜋 [ − ] = 𝜋 ≈ 3,14 2 4 0 2 4



3



Gambar 6 Penggabungan Keseluruhan walaupun banyak diantara kita dapat menggambarkan dengan baik seluruh gambar datar, beberapa diantara kita kurang baik dalam mengggambarkan bendapejal tiga dimensi. Tetapi tidak ada hukum yang mengatakan bahwa kita harus mengggambarkan suatu benda pejal untuk dapat menghitung volumunya. Biasanya sebuah gambar pada bidang dapat membantu asal kita dapat memvisualisasikan benda-pejal yang berpadanan dalam pikiran kita. Dalam contoh berikutnya, kita bermaksud membayangkan memutar daerah R pada Gambar 7 mengelilingi berbagai sumbu. Tugas kita adalah menyusun sebuah integral untuk volume benda yang dihasilkan dan kita bermaksud melakukannya dengan memperhatikan gambar pada bidang. Yakinkan untuk mengkaji contoh tersebut secara seksama. Contoh 4 Sususnlah dan hitunglah integral untuk volume benda yang dihasilkan apabila daerah R yang diperlihatkan pada Gambar 7 diputar mengellingi. (a) Sumbu-x



(b) Sumbu-y



(c) Garis y = -1



(d) Garis x = -4



Penyelesaian



Metode Cakram Sumbu



3



𝑉 = 𝜋 ∫ (3 + 2𝑥 − 𝑥 0



3 2 )2



𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ (3 + 2𝑥 − 𝑥 2 ) (3 + 2𝑥 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 0



4



2 3 1 5 3 4 = 𝜋 ∫ (9 + 12𝑥 − 2𝑥 − 4𝑥 + 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋 [9𝑥 + 6𝑥 − 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 ] 3 5 0 0 3



2



3



4)



2



2 1 = 𝜋 ((9.3) + (6. 32 ) − ( . 33 ) − 34 + ( . 35 )) − 0 3 5 = 𝜋 (27 + 54 − 18 − 81 +



243 243 −90 + 243 153 ) = 𝜋 (−18 + ) = 𝜋( )= 𝜋 ≈ 96,13 5 5 5 5



Sumbu



Metode Kulit Silinder



3



𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥(3 + 2𝑥 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = 0



45 𝜋 ≈ 70,69 2



Metode Cincin Sumbu



3



𝑉 = 𝜋 ∫ [(3 + 2𝑥 − 𝑥 2 )2 − 1]𝑑𝑥 = 0



243 𝜋 ≈ 152,68 5



5



Sumbu



Metode Kulit Silinder



3



𝑉 = 2𝜋 ∫ (4 − 𝑥 )(3 + 2𝑥 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = 0



99 𝜋 ≈ 155,51 2



Perhatikan bahwa dalam keempat kasus diatas, batas-batas integrasi sama; daerah rata semula itulah yang menentukan batas-batas ini.



6