LKS Integral Pada Volume Benda Putar PDF [PDF]

Citation preview

LEMBAR KERJA SISWA : Penggunaan Integral Tentu Untuk Menghitung Volume



1. Judul (Materi Pokok)



Benda Putar 2. Mata Pelajaran



: Matematika : XII / 1



3. Kelas / Semester



: 4 x 45 menit



4. Waktu 5. Standar Kompetensi 6. Kompetensi Dasar



: 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah. : 1.3. Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar : 1.3.2. Menghitung volume benda putar mengelilingi sumbu X. 1.3.3. Menghitung volume benda putar mengelilingi sumbu Y.



7. Indikator



. 8. Petunjuk Belajar (bagi peserta didik)



a. Baca buku paket Matematika yang berkaitan dengan luas daerah y ang dibatasi oleh dua kurva b. Baca seksama LKS sebelum anda melakukan interaksi dengan program c. Lakukan menurut langkah-langkah yang telah disajikan. 9. Informasi : 1. Perputaran mengelilingi sumbu X



Perhatikan gambar :



Y



x=a



y=f(x)



x=b



X



Jika pada waktu itu menentukan luas , bagian kecil yang dibuat berupa persegi panjang kecil, pada volume benda putar ini bagian kecil yang dibuat berupa silinder-silinder kecil.



LKS Integral (volume benda putar)



Hal. 1



y = f (x)



x 2



Volume silinder = p r t = p y2 x Oleh karena benda pejal dibagi menjadi silinder sampai dengan x = b.



-silinder kecil maka pada interval x = a



x b



ð y 2 Äx



V= x a



Jika diambil x



0 (silinder semakin banyak) b



V = Lim Äx



0



ð y 2 Äx



x a



Ditulis dalam notasi integral b



b



V = p y 2 dx atau V = p { f (x) }2 dx a



a



10. Langkah Kerja



Tugas ---1. Salin dan lengkapilah



Daerah yang diarsir pada gambar diputar 3600 mengelilingi sumbu X. Tentukan volumenya. y = f (x) Y



3



0



b



X



......



Vol = p y 2 dx = p ........ dx = p ........... a



.......



..... .....



= p ......... (.............) = ......... p satuan volume. Tugas ---2. Salin dan lengkapilah



Tentukan volume dari daerah D yang diputar 3600 mengelilingi sumbu X.



y = 3x - x 2 Batas integrasi y=0 LKS Integral (volume benda putar)



Hal. 2



.............. = 0 .....(........) = 0 x = .... atau x = ..... inilah batas-batas a dan b ........



........



y 2 dx = p



Volume = p



........



(.............. ) 2 dx ........



........



(......................)dx



=p



........



..... = p ............................ ......



= p ............................ (.......................) = p (.....) = ..... p. satuan volume Penilaian Penilaian kognitif : tes tertulis Bentuk instrumen : soal uraian Instrumen : Kerjakan soal-soal dibawah ini 1. Tentukan volume benda putar daerah yang diarsir berikut jika diputar 360 sumbu X a. b.



Y



Y



y = 2x



0



X



2



c.



mengelilingi



x2 +y 2 = 16



0



X



d.



Y 0



y = -x2+ 1



X



Y 0



y 2 = 8x 2



X



2. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang batas diputar 360o mengelilingi sumbu X. a. y = 3x + 1, sumbu X, x = 1 dan x = 2, b. y = x2 ---4 dan sumbu X c. d.



o



-batasnya dibawah ini



y = x 3 , sumbu X dan x = 2. 4x2 + 9y2 = 36 dan sumbu X.



LKS Integral (volume benda putar)



Hal. 3



2. Perputaran Mengelilingi sumbu Y



Analog dengan cara menentukan volume jika daerah diputar360 maka untuk perputaran sekeliling sumbu Y adalah :



o



mengelilingi sumbu X,



Y



b



x = g (y)



Y y = f (x)



a



X b



Volume = Lim Äy



o



ð x 2 Äy.



a b



b



Jika ditulis dalam notasiintegral : V = p x 2 dy atau V = p { f (y)}2 dy a



a



Contoh 1



Daerah diarsir diputar 360o mengelilingi sumbu Y, tentukan volumenya !



Y y = x2 5



0



X



5



5



V = p x 2 dy = p ...... dy



Jawab :



0



=p



0



1 ....... 2



5



=p 0



1 1 . 5......2 ...... 2 2



= .......... p satuan volume



Contoh 2.



Daerah diarsir diputar 360o mengelilingi sumbu Y, tentukan volumenya ! Y y= x 2



0



X



Keterangan : Nyatakan menjadi fungsi Y, y = x LKS Integral (volume benda putar)



Hal. 4



y2 = x, jadi f (y) = y2 2



2



2



Vol = p f (y)2 dy = p (y 2 ) 2 dy = p y 4 dy 0



0



= p .... y



0



..... 2 0



= p .... 2 ..... 0 = .....p satuan volume. Latihan Uji Kompetensi



1. Tentukan volume daerah yang diarsir berikut jika diputar 360o mengelilingi sumbu Y. a.



b.



c.



Y



Y



d. Y



y = 2x x+y = 3



3



0



0



X



X



2. Hitung volume benda putar daerah yang batas diputar 360o mengelilingi sumbu Y a. b. c. d.



1



y2 = x - 1



1



0



X



0 x2 +y2 = 4



X



-batasnya ditentukan berikut ini jika



2 , sumbuYX, dan garis y = 2. y = x2x--, 1sumbu dansumbu garis Y y =8. 2 y = x ---4, sumbu Y, garis y = 0 dan y = 2 y = 9 ---y2, y = ---3 dan y = 3



3. Volume Benda Putar dar i Daerah Anta ra Dua Kurva Yang Diputar Terhadap Sum bu X



Perhatikan gambar :



Y



E



D



D



F



C



A



0



x=a



y1 = f(x) y 2= g(x)



B



X



x=b



Daerah yang dibatasi kurva y 1 = f(x), y 2 = g(x), garis x = a, dan garis x = b diputar 360 mengelilingi sumbu X. Volume Benda Putar = Volume putaran ABDE ---Volume putaran ABCF b



o



b



= p f (x) 2 dx --- g (x) 2 dx a



a



b



= p f (x) 2 - g (x) 2 dx a



LKS



Jadi volume benda putar yang dibatasi y1 = f(x), y2 = g(x), garis x = a, dan garis x = b adalah : Integral (volume benda putar) Hal. 5



b



b



V = p ((y1 ) 2 - (y 2 ) 2 ) dy atau V = p f (x) 2 - g (x) 2 dx a



a



Contoh 1



o Tentukan volume daerah yang diarsir jika diputar 360 mengelilingi sumbu X. Y



y = x2 y2 = x



0



X 1



= p y12 - y 2 2 dx



Volume



0 1



= p ..... - (.....2 ) 2 dx 0 1



= p ....... - ....... 4 dx 0



= p ............. ........... 10 = p (.....................) ..... = p ....... ....... = ......... p satuan volume. Contoh 2



o Tentukan volume daerah yang diarsir jika diputar 360 mengelilingi sumbu X.



y=x



Y



y = x2



X



0



Batas integrasi merupakan perpotongan kedua kurva. y=x Jadi : Batas bawah x = 0 y = x2 Batas atas x = 1 0 = x ---x2 0x = = 0x dan (1--x)x = 1 1



1



1



Volume = p y1 2 - y 2 2 dx = p x 2 - ( x 2 ) 2 dx = p (x 2 - x 4 ) dx 0



0 ....



0



.... 1 x 0 ....



= p ....x .... = p (....1.... ....1 ) 0 = …. p .



LKS Integral (volume benda putar)



Hal. 6



Latihan Uji Kompetensi o 1. Tentukan volume daerah yang diarsir berikut jk diputar 360 mengelilingi sumbu X. a. b.



Y



Y y=



x2



x 2 + y2 = 4 X



0



X



0 y= -x2 +2



c.



d. Y



Y x2 + y2 = 25



x2 + y2 =1 9 4 0 x2 +y 2= 16



X



X



0



2. Tentukan volume benda putar daerah yang batas -batasnya seperti berikut jk diputar 360 o mengelilingi sumbu X. a. y = 2x, y = x + 1 dan sumbu Y b. y = x2 dan y = 2x c. y = 2 + x2 dan y = 10 ---x2 d. y = x2 dan y = 4x ---x2 4. Volume Benda Putar Dari Daerah Antara Dua Kurva Yang Diputar Terhadap Sumbu Y.



Daerah yang dibatasi kurva x1 = f(y) dan x 2 = g(y) garis y = a dan garis y = b yang diputar 360o mengelilingi sumbu Y. Analog dengan mentukan volume benda putar daerah dua kurva yang diputar mengelilingi sumbu X, untuk yang mengelilingi sumbu Y. b



b



Vol = p x 1 2 x 2 2 dy atau V = p f(y) 2 g(y) 2 dy a



a



Contoh 1



o



Tentukan volumenya, jika daerah yang diarsir diputar 360mengelilingi sumbu Y Y y = 2x y = x2



X Penyelesaian Nyatakan dalam fungsi y untuk kedua fungsi tersebut y = x2 x2 = y 1 y = 2x x= y 2 LKS Integral (volume benda putar)



Hal. 7



Batas integrasi potongkan kedua kurva x2 = y 1 x2 = y 2 4 1 0 = y --- y 2 4 1 0 = y(1 --- y ) 4 y = 0 atau y = 4 4



Jadi. Batas bawah y = 0 batas atas y = 4



4



x 2 2 ) dy =



1 y ( y) 2 dy 2 0



1 y ( y) 2 dy = 4 0



....y ..... .....y ....



(x 1 2



Volume = 0 4



=



4 0



= (....4..... .....4 .... ) 0 = ..... . Latihan uji Kompetensi o 1. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir diputar 360 mengelilingi sumbu Y. a. b. c. d.



Y



Y y = 2x 3



Y



y=x



y 2= - x + 2 y2 + x2 = 4



Y x2 9



y2 = x



y2 1 4



X X



X



X



o 2. Hitung volume benda putar daerah yang batas-batasnya seperti berikut jika diputar 360 mengelilingi sumbu Y. a. y = 2x , y = x + 1 , dan sumbu Y b. y2 = 4x dan x = 1 c. y2 = x dan y = x2 d. x2 + y2 = 9 dan x + y = 3



LKS Integral (volume benda putar)



Hal. 8