Luas Benda Putar [PDF]

Citation preview

MAKALAH KALKULUS BAB IX LUAS BENDA PUTARAN



Dosen Pengampu : Esty Saraswati N.H. S.Pd, M.Pd



Nama Kelompok : 1. Muhmmad Rizki



205027



2. Widhia Lailatul Mubarokah



205017



3. Silvia Lailatunnissa



205004



4. Carina Rizky



205033



5. Anang Abdul Rohmansyah



175968



PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA JOMBANG 2021



Indikator Pembelajaran : 1. 2. 3. 4.



Menentukan luas permukaan benda putar Menentukan luas permukaan benda putar dengan/menggunakan kerucut terpancung Menentukan luas permukaan benda putar mengelilingi sumbu x Menentukan luas permukaan benda putar mengelilingi sumbu y



Tujuan Pembelajaran : 1. Peserta didik dapat menggambarkan suatu daerah/permukaan benda putar yang dibatasi oleh beberapa kurva 2. Peserta didik dapat menggunakan integral untuk menghitung luas suatu permukaan benda putar menggunakan kerucut terpancung 3. Peserta didik dapat menggunakan integral untuk menghitung luas suatu permukaan benda putar yang mengelilingi sumbu x 4. Peserta didik dapat menggunakan integral untuk menghitung luas suatu permukaan benda putar yang mengelilingi sumbu y



5.



BAB IX LUAS BENDA PUTARAN



Gb. 16 menunjukkan kurva y = f(x) antara dua titik a dan b berabsis x = a dan x = b. Akan ditentukan luas benda putaran yang terjadi, jika busur y = f(x) tersebut diputar pada sumbu x.



Gb.16 Lihat Gb.16 Pada kurva itu diantara titik a dan b ditentukan dua titik P(x,y) dan Q(x+∆ x, y+∆ y) yang berdekatan letaknya. Jika ruas garis PQ diputar pada sumbu x, terjadi suatu kerucut terpancung yang jari-jari alasnya = QQ1, jari jari bidang alasnya = PP1 dan apotemanya = PQ. Lihat Gb.17



Jika kerucut terpancung itu dipotong menurut suatu bidang meridian, kemudian dibeber pada suatu bidang datar maka terjadi bangun datar seperti tampak pada Gb. 18 Luas kerucut terpancung itu ialah : 1 L= . PQ ( 2 π P P1 +2 π Q Q 1) =π . PQ ( P P1 +Q Q 1 ) 2



1 Jika S titik tengah PQ dan S1 proyeksinya pada sumbu x, maka S S 1= ( P P1 +QQ 1), jadi 2 L=2 π . PQ . S S 1 Jika α sudut antara PQ dengan sumbu x positif, maka : PR ∆ x ∆x = atau PQ= PQ PQ cos α



cos α=



Jadi L=2 π . S S 1 .



∆x cos α



Jika titik Q bergerak sepanjang kurva mendekati titik P, berarti ∆ x →0, maka Q Q1 ≈ S S 1 ≈ P P1= y , sedangkan α menjadi sudut antara garis singgung di titik P dengan sumbu x positif. Jadi berlaku tan α=



dy 1 dy atau =sec α =√ 1+ tg2 α = 1+ dx cos α dx



√



√



2



( )



dy 2 dx dx



( )



Maka L=2 π y 1+



Luas benda putaran sama dengan jumlah luas kerucut-kerucut terpancung itu bila ∆ x →0. Kita peroleh b



√



a



dy 2 dx dx



( )



L=2 π ∫ y 1+



Perhatikan contoh-contoh berikut ini. Contoh 1 . Hitunglah luas benda putaran yang terjadi jika busur ellips x2 y 2 + =1 (y > 0 ) diputar pada sumbu x sejauh 360 ° a2 b 2 Jawab : Dari



b 2 2 x2 y 2 b2 2 2 2 + =1 y = (a −x ) atau y= √ a −x . kita peroleh 2 2 2 a a b a



dy −b x Maka dx = a . 2 2 √ a −x a4 −( a2 −b2 ) x2 dy 2 b2 x 2 =1+ 2 2 2 = Jadi 1+ dx a ( a −x ) a 2 ( a 2−x 2 )



( )



Jika c 2=a2−b 2 4 2 2 dy 2 a −c x = 2 2 2 dx a ( a −x )



( )



Maka 1+



Kita peroleh a



a



1 b a 4−c 2 x 2 b L=2 π ∫ √ a2−x 2 . √ 2 2 dx=2 π 2 ∫ √ a 4−c2 x 2 dx 2 a 0 0 a a √ a −x Subsitusi c x=a2 sin t , dx=



a2 cos t dt dan √ a 4−c 2 x 2= √ a4 −a4 sin2 t=a2 cos t c



Untuk c = 0 , sin t = 0, t = 0 Untuk x = a , sin t= Jadi L= =



c c , t=arcsin a a



4πb a2 2 a cos t . cos t dt ∫ c a2 2 π a2 b ( ∫ 1+cos 2t ) dt c



2 π a2 b 1 t+ sin 2 t L= c 2



[



]



arcsin



c a



0



[



√ ]



2 2 = 2 π a b arcsin c + c 1− c 2 c a a a



2 π a2 b c bc arcsin + 2 = c a a



[



]



Dengan rumus di atas, hitunglah luas benda putar yang terjadi jika busur ellips 3 x 2+ 4 y 2=12 diputar pada sumbu x. Jawab : persamaan ellips dapat diubah menjadi x2 y 2 + =1 , jadi a = 2, b = √ 3 , maka c = √ 4−3=1 4 3 L=



2 π . 4 √3 1 √3 arcsin + 1 2 4



= 8 π √3



(



( π6 + √43 )



)



Catatan: Jika a = b , berarti c = 0 , maka persamaan ellips menjadi x 2+ y 2=a2. Kita peroleh lingkaran ( 0 , a ) . Benda putaran yang terjadi adalah suatu bola berjari jari a 2



L=2 π b +



2 π b2 b c arcsin c a



Untuk a=b dan c=0, kita peroleh :



2



arcsin



3



L=2 π a +2 π a ∙ lim



c



c →0



¿ 2 π a 2+2 π a3 lim c →0



¿ 2 π a 2+2 π a3 x



c a



1



√



a 1−



c2 a2



1 a



¿ 4 π a2



Contoh 2 Hitunglah luas benda putaran yang terjadi jika busur ellips x2 y 2 + =1 ( x> 0 ) diputar dalam sumbu y a2 b 2 Jawab : Bagaimanakah rumus luas benda putaran yang terjadi , jika daerah bidang yang dibatasi oleh kurva x=g( y) , sumbu y , garis y = c dan y = d , diputar pada sumbu y ? Rumusnya ialah d



L=2 π ∫ x √ 1+ ¿¿ ¿ c



Dari



a 2 x2 y 2 a2 2 2 2 2 + =1kita x = (b − y ) atau ¿ √ b − y , peroleh 2 2 2 b a b b



dx −ay sehingga dy = b √ b 2− y 2 Jadi, 1+¿ =



b 4 +c 2 y 2 b2 ( b2− y2 )



Kita peroleh b



b



1 a b4 + c2 y 2 b L=2 π ∫ √b 2− y 2 ∙ √ 2 dy=2 π 2 ∫ √b−c 2 y 2 dy 2 2 b b 0 0 b √b − y b2 dt Substitusi cy =b tgt ,dy = ∙ dan c cos 2 t 2



Untuk y=0 ,tg t=0 , t=0 c c Untuk y=0 ,tg t= , t=arctg b b Jadi L=4 π ∙



a b2 dt 4 πa b2 dt ∙ = ∫ ∫ 2 2 cos t cos t c b cos3 t



Jadi rumus reduksi diperoleh 4 πa b 2 sin t 1 1 π L= + ln tan t + 2 c 2 4 2cos t 2 ¿



[ [



(



)]



arctg



c b



0



4 πa b2 c a2 1 1 c π . 2 + ln tan arctg + c a 2b 2 2 b 4



¿ 2 π a 2+



(



2 πa b 2 1 c π ln tan arctg + c 2 b 4



(



)]



)



Contoh 3 Hitunglah luas benda putaran yang terjadi jika busur lingkaran x 2+( y−5)2=1 diputar pada sumbu x Jawab :



Lihat gb. 15



Dari x 2+( y−5)2=1 kita peroleh y 1=5+ √1−x 2 dan y 2=5−√ 1−x 2 Luas benda putaran yang dijalani oleh busur y 1 ialah 1



L1=2 π ∫ y 1 −1



√



d y1 2 1+ dx dx



( )



Sedangkan yang dijalani oleh busur y 2 ialah 1



√



−1



d y1 −x d y 2 x = , = , jadi dx √ 1−x 2 dx √ 1−x 2 d y1 2 d y2 2 x2 1 1+ =1+ =1+ = 2 dx dx 1−x 1−x 2



( ) ( )



L=L1 + L2 1



¿ 2 π ∫ y1 −1



1



dx



√1−x



2



1



−1



dx



√1−x



−1



dx



√ 1−x 2



dx ¿ √ 1−x 2



¿ 2 π ∫ ( y 1+ ¿ y 2) ¿ 2 π ∫ 10



+ 2 π ∫ y2



1



2



=20 π [ arcsin x ]−1



¿ 20 π [ arcsin 1−arcsin (−1) ] ¿ 20 π



[



π −π −( ) =20 π 2 2 2



]



d y2 2 dx dx



( )



L2=2 π ∫ y 2 1+



DAFTAR PUSTAKA