09 Transformasi Linear [PDF]

Citation preview

MA-1223 Aljabar Linier Transformasi Linear



Definisi 







Suatu fungsi yang memetakan suatu vektor di ruang vektor V ke ruang vektor W ( dinotasikan dengan T : V  W) disebut transformasi linear jika untuk setiap vektor u dan v  V berlaku: 1. T(u+v) = T(u) + T(v) 2. T(ku) = k T(u), dengan k skalar  x  y Contoh:   x  1. Diketahui T : R2  R3 dengan T     x 



 y











y 



Apakah T merupakan transformasi linear?



Contoh (Lanj.)  x    x  3 2 2. Diketahui T : R  R dengan T  y      z   x  y  z   Apakah T merupakan transformasi linear?



3. Diketahui T : R2  R2 dengan



 x   x2   T       y  y 



Apakah T merupakan transformasi linear?



Contoh (Lanjt.) 4. Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam, dan misalkan W adalah subruang V berdimensi berhingga yang mempunyai basis ortonormal S ={w1, w2, …,wn} Diketahui T : V  W dengan fungsi yang memetakan vektor v di V ke dalam proyeksi ortogonalnya yang terletak pada W, yaitu T (v) = w1 + w2 + … + wn Pemetaan T disebut proyeksi ortogonal dari V pada W. Apakah T pemetaan linear?



Beberapa Istilah dalam TL 











Tranformasi linear yang bekerja pada ruang vektor yang sama, T: V  V disebut Operator Linear. Transformasi linear T : V  W dengan T (u ) = 0 disebut Transformasi Nol. Transformasi linear T : V  W dengan T (u ) = A u disebut Transformasi Matriks. Sedangkan A disebut matriks transformasi.



Matriks Transformasi Penentuan matriks transformasi tergantung dari faktorfaktor yang diketahui. Contoh: 1. Misalkan T : R3  R2 adalah transformasi matriks.



Dan misalkan



 1    1 T  0      0   1  



 0    3 T  1      0  0  



a. Cari matriks transformasinya



 x   b. Cari T  y   z  



 1   dan T  3   8  



 0    4  T  0     1   7  



Contoh (Lanjt.) 2. Tinjaulah basis S = {v1, v2, v3} untuk R3, dimana v1=(1,1,1), v2=(1,1,0) dan v3=(1,0,0) dan misalkan T : R3  R2 adalah transformasi linear sehingga



  1 T  v1      0



  T  v 2   



2 



  1



a. Cari matriks transformasinya



 x   b. Cari T  y   z  



 



2 



dan T   3 











5 



 4  T  v 3      3



Contoh (Lanjt.) 3.



Carilah transformasi linear T : P 2  P2 yang mana T(1)=1+x, T(x) = 3 – x2 dan T(x2) = 4 + 2x – 3x2 Hitunglah T(2 – 2x + 3x2)! 4. Carilah transformasi linear T : P 2  P2 yang mana T(3x + 3x2) = 16 +51x+19x2, T(–1 + 3x + 2x2) = –6 –5x + 5x2, dan T(3 + 7x + 2 2 2 2x )=7 + 40x + 15x , Hitunglah T(1 + x )! 5. Misalkan T : R3  W adalah proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang xz yaitu W a. Carilah rumus untuk T b. Carilah T (2, 7, -1) 6. Misalkan T : R3  W adalah proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang W yang mempunyai persamaan x+y+z =0 a. Carilah rumus untuk T b. Carilah T (3, 8, 4)



Kernel (Inti) dan Jangkauan Diketahui transformasi linear T:V  W dengan fungsi T(u), u  V. Kernel dari T (disingkat Ker(T)) adalah himpunan u sedemikian hingga T(u) = 0 atau {u| T(u)=0}. Ker(T) juga disebut ruang nol dari T. Himpunan dari b sedemikian hingga T(u)=b disebut Jangkauan dari T (disingkat R(T)). R(T) disebut juga dengan bayangan u oleh T(u). Contoh: Tentukan basis dan dimensi dari Ker(T) dan R(T) dari transformasi linear T:R3  R2 dengan T(u) = A u, dengan u  R3 dan  1  1 2



A



 2



2  4



Matriks Baku/Standar Misalkan transformasi matriks T : Rn  Rm dengan T(x) = A x memiliki basis standar S={e1, e2, …,en}. Maka matriks transformasi dari transformasi diatas (matriks standar untuk T) adalah A = [T(e1) T(e2) … T(en)] Contoh: Diketahui transformasi matriks T : R 3  R4 dengan



 2x  2 y     xy 



 x   T  y    z     



xz  y  z 







Tentukan matriks standar untuk T!