9 0 395 KB
MA-1223 Aljabar Linier Transformasi Linear
Definisi
Suatu fungsi yang memetakan suatu vektor di ruang vektor V ke ruang vektor W ( dinotasikan dengan T : V W) disebut transformasi linear jika untuk setiap vektor u dan v V berlaku: 1. T(u+v) = T(u) + T(v) 2. T(ku) = k T(u), dengan k skalar x y Contoh: x 1. Diketahui T : R2 R3 dengan T x
y
y
Apakah T merupakan transformasi linear?
Contoh (Lanj.) x x 3 2 2. Diketahui T : R R dengan T y z x y z Apakah T merupakan transformasi linear?
3. Diketahui T : R2 R2 dengan
x x2 T y y
Apakah T merupakan transformasi linear?
Contoh (Lanjt.) 4. Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam, dan misalkan W adalah subruang V berdimensi berhingga yang mempunyai basis ortonormal S ={w1, w2, …,wn} Diketahui T : V W dengan fungsi yang memetakan vektor v di V ke dalam proyeksi ortogonalnya yang terletak pada W, yaitu T (v) = w1 + w2 + … + wn Pemetaan T disebut proyeksi ortogonal dari V pada W. Apakah T pemetaan linear?
Beberapa Istilah dalam TL
Tranformasi linear yang bekerja pada ruang vektor yang sama, T: V V disebut Operator Linear. Transformasi linear T : V W dengan T (u ) = 0 disebut Transformasi Nol. Transformasi linear T : V W dengan T (u ) = A u disebut Transformasi Matriks. Sedangkan A disebut matriks transformasi.
Matriks Transformasi Penentuan matriks transformasi tergantung dari faktorfaktor yang diketahui. Contoh: 1. Misalkan T : R3 R2 adalah transformasi matriks.
Dan misalkan
1 1 T 0 0 1
0 3 T 1 0 0
a. Cari matriks transformasinya
x b. Cari T y z
1 dan T 3 8
0 4 T 0 1 7
Contoh (Lanjt.) 2. Tinjaulah basis S = {v1, v2, v3} untuk R3, dimana v1=(1,1,1), v2=(1,1,0) dan v3=(1,0,0) dan misalkan T : R3 R2 adalah transformasi linear sehingga
1 T v1 0
T v 2
2
1
a. Cari matriks transformasinya
x b. Cari T y z
2
dan T 3
5
4 T v 3 3
Contoh (Lanjt.) 3.
Carilah transformasi linear T : P 2 P2 yang mana T(1)=1+x, T(x) = 3 – x2 dan T(x2) = 4 + 2x – 3x2 Hitunglah T(2 – 2x + 3x2)! 4. Carilah transformasi linear T : P 2 P2 yang mana T(3x + 3x2) = 16 +51x+19x2, T(–1 + 3x + 2x2) = –6 –5x + 5x2, dan T(3 + 7x + 2 2 2 2x )=7 + 40x + 15x , Hitunglah T(1 + x )! 5. Misalkan T : R3 W adalah proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang xz yaitu W a. Carilah rumus untuk T b. Carilah T (2, 7, -1) 6. Misalkan T : R3 W adalah proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang W yang mempunyai persamaan x+y+z =0 a. Carilah rumus untuk T b. Carilah T (3, 8, 4)
Kernel (Inti) dan Jangkauan Diketahui transformasi linear T:V W dengan fungsi T(u), u V. Kernel dari T (disingkat Ker(T)) adalah himpunan u sedemikian hingga T(u) = 0 atau {u| T(u)=0}. Ker(T) juga disebut ruang nol dari T. Himpunan dari b sedemikian hingga T(u)=b disebut Jangkauan dari T (disingkat R(T)). R(T) disebut juga dengan bayangan u oleh T(u). Contoh: Tentukan basis dan dimensi dari Ker(T) dan R(T) dari transformasi linear T:R3 R2 dengan T(u) = A u, dengan u R3 dan 1 1 2
A
2
2 4
Matriks Baku/Standar Misalkan transformasi matriks T : Rn Rm dengan T(x) = A x memiliki basis standar S={e1, e2, …,en}. Maka matriks transformasi dari transformasi diatas (matriks standar untuk T) adalah A = [T(e1) T(e2) … T(en)] Contoh: Diketahui transformasi matriks T : R 3 R4 dengan
2x 2 y xy
x T y z
xz y z
Tentukan matriks standar untuk T!