Bab 7 Soal Transformasi Linear [PDF]

Citation preview

BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR 1. Definisikan pemetaan f : R2



R2 dengan 𝑓



𝑎 𝑏



=



1 3 −1 2



𝑎 𝑏



𝑥1 𝑦1 Ambil dua vektor sembarang, 𝑥 = 𝑥 , 𝑦 = 𝑦 . 2 2 a)



𝑓 𝑥+ 𝑦 =



b) 𝑓 𝑘𝑥 =



1 3 −1 2



𝑥1 + 𝑦1 (𝑥1 + 𝑦1 ) + 3(𝑥2 + 𝑦2 ) = 𝑥2 + 𝑦2 −(𝑥1 + 𝑦1 ) + 2(𝑥2 + 𝑦2 )



1 3 −1 2 =



(𝑥1 + 3𝑥2 ) + (𝑦1 + 3𝑦2 ) (−𝑥1 + 2𝑥2 ) + (−𝑦1 + 2𝑦2 )



=



(𝑥1 + 3𝑥2 ) (𝑦1 + 3𝑦2 ) + (−𝑥1 + 2𝑥2 ) (−𝑦1 + 2𝑦2 )



=



1 −1



𝑘𝑥1 𝑘𝑥2



=



3 2



𝑥1 1 3 𝑥2 + −1 2



𝑦1 𝑦2



= 𝑓 𝑥 + 𝑓(𝑦)



𝑘𝑥1 + 3𝑘𝑥2 𝑥1 + 3𝑥2 = 𝑘 = 𝑘𝑓 𝑥 −𝑥1 + 2𝑥2 −𝑘𝑥1 + 2𝑘𝑥2



Jadi f merupakan transformasi linear. 2. Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M2x2



ke R



yang



didefinisikan oleh



T (A) = det (A), untuk setiap A  M2x2, Apakah T merupakan Transformasi linier? Penyelesaian : 𝑎 𝑏  M2x2 𝑐 𝑑 maka untuk setiap  R berlaku Misalkan 𝐴 =



𝑎 𝑏 = 2(ad – bc) = 2 det(A) 𝑐 𝑑 Perhatikan bahwa det(A) ≠  det(A)



det (A) = 𝑑𝑒𝑡



Jadi T bukan transformasi linier. 3. Definisikan pemetaan f : P2



P2 dengan



f(ao + a1x + a2x2) = (ao + a1 – a2) + (2ao – a1)x + (a1 – 3a2)x2 Periksa apakah f merupakan transformasi linear? Transformasi_Linear/heri sutarno/15-Jan-15



Page 1



4. Definisikan pemetaan f : P2



P2 dengan



f(ao + a1x + a2x2) = (ao + 1) + a1x + a2x2 Periksa apakah f merupakan transformasi linear?



5. Periksa kelinearan transformasi f : R3



x



R2 dengan



f[(x, y, z)] = (x + y, x – y + 2z) 6. Andaikan T adalah transformasi linear dari R2 ke P2 dengan: 𝑻



𝟐 𝟏 −𝟏 = 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝒙𝟐 𝒅𝒂𝒏 𝑻 = 𝟏 − 𝒙𝟐 . 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑻 . 𝟑 𝟏 𝟐



Penyelesaian: Ambil 𝐵 =



1 2 , 1 3



basis untuk R2.



Cari nilai-nilai c1 dan c2 yang memenuhi persamaan: 𝑐1



2 1 −1 + 𝑐2 = . 3 1 2



Didapat nilai-nilai c1 = -7 dan c2 = 3 , sehingga: 𝑻



−𝟏 = −𝟏𝟏 + 𝟐𝟏𝒙 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 . 𝟐



7. Misalkan f : R3



R2 dengan definisi 𝑓 𝑥 =



1 2 −1 𝑥. −2 −3 3



Carilah Ker(f) dan tentukan basisnya. Penyelesaian: Berdasarkan definisi, jika 𝑥 =



𝑎 𝑏 𝑐



elemen ker(f) maka berlaku



𝑎 𝑏 = 0 0 𝑐 Selanjutnya kita ubah matriks koefisien ke bentuk eselon baris 1 2 −1 hubungan: 𝑥 = −2 −3 3



1 2 −1 −2 −3 3



1 2 −1 1 2 −1 ~ −2 −3 3 0 1 1 Jadi kita peroleh himpunan solusi SPL homogennya yang tidak lain merupakan kernel dari f , yaitu



Transformasi_Linear/heri sutarno/15-Jan-15



Page 2



ker( 𝑓) =



3 𝑡 −1 1



𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡 𝑟𝑒𝑎𝑙 .



8. Tinjaulah basis S = {v1, v2, v3} untuk R3, di mana v1 = (1,1,1), v2 = (1,1,0), v3 = (1,0,0). Misalkan T : R3 → 𝑅2 adalah transformasi linear sehingga T(v1) = (1,0), T(v2) = (2,-1), T(v3) = (4,3). a). Carilah rumus untuk T(v1, v2, v3) b). Hitunglah T(2,-3,5). Petunjuk: Selesaikan kombinasi linear: k1(1,1,1) + k2(1,1,0) + k3(1,0,0) = (x1, x2, x3) (diperoleh k1 = x3 , k2 = x2 – x3 , k3 = x1 – x2 ), sehingga: (x1, x2, x3) = k1(1,1,1) + k2(1,1,0) + k3(1,0,0) = x3v1 + (x2 – x3)v2 + (x1 – x2)v3 Jadi, T(x1, x2, x3) = x3 T(v1) + (x2 – x3) T(v2) + (x1 – x2) T(v3) = x3(1, 0) + (x2 – x3)(2, -1) + (x1 – x2)(4,3) = (4x1 – 2x2 – x3 , 3x1 – 4x2 + x3) dan T(2, -3, 5) = (9, 23). 9. Tentukanlah basis dan dimensi untuk ruang pemecahan dari sistem homogen: 2x1 + 2x2 -x1 – x1 +



x3



+ x5 = 0



x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0 x2 - 2x3 x3 +



– x5 = 0 x4 + x5 = 0



Penyelesaian: Basisnya v1 = (-1, 1, 0,0,0) dan v2 = (-1,0,-1,0,1) dan ruang berdimensi dua. Karena matriks koefisiennya mempunyai lima kolom, maka menurut teorema-3 diperoleh: Dim N = n – rank(A) 2 = 5 – rank (A). Sehingga rank (A) = 3.



Transformasi_Linear/heri sutarno/15-Jan-15



Page 3