11 0 490 KB
BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR 1. Definisikan pemetaan f : R2
R2 dengan 𝑓
𝑎 𝑏
=
1 3 −1 2
𝑎 𝑏
𝑥1 𝑦1 Ambil dua vektor sembarang, 𝑥 = 𝑥 , 𝑦 = 𝑦 . 2 2 a)
𝑓 𝑥+ 𝑦 =
b) 𝑓 𝑘𝑥 =
1 3 −1 2
𝑥1 + 𝑦1 (𝑥1 + 𝑦1 ) + 3(𝑥2 + 𝑦2 ) = 𝑥2 + 𝑦2 −(𝑥1 + 𝑦1 ) + 2(𝑥2 + 𝑦2 )
1 3 −1 2 =
(𝑥1 + 3𝑥2 ) + (𝑦1 + 3𝑦2 ) (−𝑥1 + 2𝑥2 ) + (−𝑦1 + 2𝑦2 )
=
(𝑥1 + 3𝑥2 ) (𝑦1 + 3𝑦2 ) + (−𝑥1 + 2𝑥2 ) (−𝑦1 + 2𝑦2 )
=
1 −1
𝑘𝑥1 𝑘𝑥2
=
3 2
𝑥1 1 3 𝑥2 + −1 2
𝑦1 𝑦2
= 𝑓 𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝑘𝑥1 + 3𝑘𝑥2 𝑥1 + 3𝑥2 = 𝑘 = 𝑘𝑓 𝑥 −𝑥1 + 2𝑥2 −𝑘𝑥1 + 2𝑘𝑥2
Jadi f merupakan transformasi linear. 2. Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M2x2
ke R
yang
didefinisikan oleh
T (A) = det (A), untuk setiap A M2x2, Apakah T merupakan Transformasi linier? Penyelesaian : 𝑎 𝑏 M2x2 𝑐 𝑑 maka untuk setiap R berlaku Misalkan 𝐴 =
𝑎 𝑏 = 2(ad – bc) = 2 det(A) 𝑐 𝑑 Perhatikan bahwa det(A) ≠ det(A)
det (A) = 𝑑𝑒𝑡
Jadi T bukan transformasi linier. 3. Definisikan pemetaan f : P2
P2 dengan
f(ao + a1x + a2x2) = (ao + a1 – a2) + (2ao – a1)x + (a1 – 3a2)x2 Periksa apakah f merupakan transformasi linear? Transformasi_Linear/heri sutarno/15-Jan-15
Page 1
4. Definisikan pemetaan f : P2
P2 dengan
f(ao + a1x + a2x2) = (ao + 1) + a1x + a2x2 Periksa apakah f merupakan transformasi linear?
5. Periksa kelinearan transformasi f : R3
x
R2 dengan
f[(x, y, z)] = (x + y, x – y + 2z) 6. Andaikan T adalah transformasi linear dari R2 ke P2 dengan: 𝑻
𝟐 𝟏 −𝟏 = 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝒙𝟐 𝒅𝒂𝒏 𝑻 = 𝟏 − 𝒙𝟐 . 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑻 . 𝟑 𝟏 𝟐
Penyelesaian: Ambil 𝐵 =
1 2 , 1 3
basis untuk R2.
Cari nilai-nilai c1 dan c2 yang memenuhi persamaan: 𝑐1
2 1 −1 + 𝑐2 = . 3 1 2
Didapat nilai-nilai c1 = -7 dan c2 = 3 , sehingga: 𝑻
−𝟏 = −𝟏𝟏 + 𝟐𝟏𝒙 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 . 𝟐
7. Misalkan f : R3
R2 dengan definisi 𝑓 𝑥 =
1 2 −1 𝑥. −2 −3 3
Carilah Ker(f) dan tentukan basisnya. Penyelesaian: Berdasarkan definisi, jika 𝑥 =
𝑎 𝑏 𝑐
elemen ker(f) maka berlaku
𝑎 𝑏 = 0 0 𝑐 Selanjutnya kita ubah matriks koefisien ke bentuk eselon baris 1 2 −1 hubungan: 𝑥 = −2 −3 3
1 2 −1 −2 −3 3
1 2 −1 1 2 −1 ~ −2 −3 3 0 1 1 Jadi kita peroleh himpunan solusi SPL homogennya yang tidak lain merupakan kernel dari f , yaitu
Transformasi_Linear/heri sutarno/15-Jan-15
Page 2
ker( 𝑓) =
3 𝑡 −1 1
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡 𝑟𝑒𝑎𝑙 .
8. Tinjaulah basis S = {v1, v2, v3} untuk R3, di mana v1 = (1,1,1), v2 = (1,1,0), v3 = (1,0,0). Misalkan T : R3 → 𝑅2 adalah transformasi linear sehingga T(v1) = (1,0), T(v2) = (2,-1), T(v3) = (4,3). a). Carilah rumus untuk T(v1, v2, v3) b). Hitunglah T(2,-3,5). Petunjuk: Selesaikan kombinasi linear: k1(1,1,1) + k2(1,1,0) + k3(1,0,0) = (x1, x2, x3) (diperoleh k1 = x3 , k2 = x2 – x3 , k3 = x1 – x2 ), sehingga: (x1, x2, x3) = k1(1,1,1) + k2(1,1,0) + k3(1,0,0) = x3v1 + (x2 – x3)v2 + (x1 – x2)v3 Jadi, T(x1, x2, x3) = x3 T(v1) + (x2 – x3) T(v2) + (x1 – x2) T(v3) = x3(1, 0) + (x2 – x3)(2, -1) + (x1 – x2)(4,3) = (4x1 – 2x2 – x3 , 3x1 – 4x2 + x3) dan T(2, -3, 5) = (9, 23). 9. Tentukanlah basis dan dimensi untuk ruang pemecahan dari sistem homogen: 2x1 + 2x2 -x1 – x1 +
x3
+ x5 = 0
x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0 x2 - 2x3 x3 +
– x5 = 0 x4 + x5 = 0
Penyelesaian: Basisnya v1 = (-1, 1, 0,0,0) dan v2 = (-1,0,-1,0,1) dan ruang berdimensi dua. Karena matriks koefisiennya mempunyai lima kolom, maka menurut teorema-3 diperoleh: Dim N = n – rank(A) 2 = 5 – rank (A). Sehingga rank (A) = 3.
Transformasi_Linear/heri sutarno/15-Jan-15
Page 3