1 TP Konsep Dasar Probabilitas (Peluang) [PDF]

Citation preview

MK TEORI PROBABILITAS 1. KONSEP DASAR PROBABILITAS (PELUANG) Dr. Ahmad Mubin, MT.



1



Pengantar



•



•



•



Kesimpulan yang diambil dari hasil analisis data kebenarannya tidaklah pasti, sehingga timbul persoalan bagaimana keyakinan kita untuk mempercayai kebenaran kesimpulan yang dibuat. Untuk ini diperlukan teori baru yang disebut probabilitas (peluang). Teori ini antara lain membahas tentang ukuran atau derajat ketidakpastian suatu kejadian



2



1



Pemahaman Konsep Probabilitas (1) •



•



•



•



Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti, apalagi kejadian di masa yg akan datang. Meskipun kejadian-2 tersebut tidak pasti, kita bisa melihat fakta-2 yg ada utk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Pemikiran mengenai probabilitas diawali dari pertanyaan seorang bangsawan Prancis Chevalier de Mere (penjudi) kpd Pascal (1623-1662), selanjutnya Pascal melakukan diskusi melalui surat kpd Fermat (1601-1665). Saat ini konsep probabilitas telah dapat diterapkan pada berbagai masalah yaitu sosial, teknik, kesehatan, biologi, industri, transportasi, manajemen, akuntansi, pendidikan, dan lain-lain.



3



Pemahaman Konsep Probabilitas (2)



•



Probabilitas merupakan besarnya kesempatan (kemungkinan) suatu peristiwa akan terjadi.



•



Besarnya kesempatan dari suatu peristiwa akan terjadi adalah antara 0 sampai dengan 1.



•



Besarnya kesempatan ini dapat ditulis dalam bentuk bilangan desimal, pecahan dan bentuk persen.



•



Misal, probabilitas suatu peristiwa adalah 0,25 atau ¼ atau 25%.



4



2



RUANG SAMPEL (1) • Ruang sampel didefinisikan sebagai himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan dan dilambangkan dengan huruf S. • Setiap kemungkinan hasil dalam suatu ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel tersebut, atau lebih singkat lagi sebagai titik sampel. • Misalnya ruang sampel S untuk percobaan pelemparan sekeping uang logam dapat ditulis: S = {G, A} dengan G = sisi gambar dan A = sisi angka.



5



RUANG SAMPEL (2)



• Contoh 1.1: Suatu percobaan berupa pelemparan dadu. Bila yang diamati adalah nomor yang muncul di bagian atas, maka ruang sampelnya adalah S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Bila yang ingin diselidiki pada percobaan diatas apakah nomor genap atau ganjil yang muncul, maka ruang sampelnya menjadi: S2 = {genap, ganjil}



6



3



RUANG SAMPEL (3) •



Contoh 1.2: Misalkan kita mengambil secara acak tiga produk yang dihasilkan dari suatu proses produksi di pabrik. Kemudian setiap produk tersebut diperiksa dan digolongkan sebagai cacat (C) atau tidak cacat (B). Untuk merinci atau mendaftarkan semua anggota ruang sampel yang mengandung informasi maksimum, dibuat diagram pohon.



• Ruang sampelnya adalah S = {CCC, CCB, CBC, CBB, BCC, BCB, BBC, BBB}



7



RUANG SAMPEL (4)



•



•



Ruang sampel yang besar atau titik sampelnya tak hingga paling baik diterangkan dengan sebuah pernyataan atau yang dikenal sebagai notasi pembangun himpunan. Misal, S = {x|x adalah kota berpenduduk lebih dari 1 juta jiwa} yang dibaca; S adalah himpunan semua x dan x adalah kota berpenduduk lebih dari 1 juta jiwa. Demikian pula, jika S adalah himpunan semua titik (x, y) pada lingkaran berjari-jari 3 dan berpusat di titik asal, maka dapat ditulis: S = {(x, y)|x2 + y2 = 9}



8



4



KEJADIAN (1) • Kejadian dapat didefinisikan sebagai suatu himpunan-bagian dari ruang sampel. • Contoh 1.3: Bila diketahui ruang sampel S = {t|t ≥ 0}, dimana t menyatakan umur (tahun) suatu komponen mesin tertentu, maka kejadian A bahwa komponen rusak sebelum akhir tahun kelima adalah himpunan-bagian A = {t|0 ≤ t < 5}. Himpunan A merupakan himpunan-bagian dari ruang sampel S.



9



KEJADIAN (2) • Kejadian sederhana dan kejadian majemuk Bila suatu kejadian dapat dinyatakan sebagai sebuah himpunan yang hanya terdiri dari satu titik sampel, maka kejadian itu disebut kejadian sederhana. Sedangkan kejadian majemuk adalah kejadian yang dapat dinyatakan sebagai gabungan beberapa kejadian sederhana. • Contoh, terambilnya kartu wajik dari sekumpulan kartu bridge dapat dinyatakan sebagai A = {wajik} yang merupakan himpunan-bagian dari ruang sampel S = {wajik, hati, sekop, klaver}. Jadi A adalah kejadian sederhana. Sedangkan kejadian B = {kartu merah} adalah kejadian majemuk, karena B = {wajik  hati} = {wajik, hati}. 10



5



KEJADIAN (3) • Ruang Kosong, atau ruang nol atau himpunan kosong adalah himpunan-bagian ruang sampel yang tidak mengandung satupun anggota. Kejadian ini diberi lambang khusus . • Hubungan antara kejadian dengan ruang sampelnya dapat digambarkan dengan diagram Venn. • Dalam diagram Venn ruang sampelnya digambarkan sebagai empat persegi panjang, sedangkan kejadian digambarkan sebagai lingkaran-lingkaran di dalam persegi panjang tersebut.



11



KEJADIAN (4) • Misal, sebagai ruang sampelnya adalah semua mahasiswa perguruan tinggi tertentu. Kejadian A adalah mahasiswa yang mengambil mata kuliah kalkulus, kejadian B adalah mahasiswa yang mengambil mata kuliah statistika dan kejadian C adalah mahasiswa yang mengambil mata kuliah kalkulus dan statistika.



12



6



PENGOLAHAN TERHADAP KEJADIAN (1) 1. Irisan atau interseksi dua kejadian • Irisan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A ∩ B, adalah kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan B. Dengan kata lain, A ∩ B = {x|x є A dan x є B} …………………………… (1.1) dimana lambang є berarti ‘adalah anggota’ atau ‘termasuk dalam’. Dalam diagram Venn pada Gambar diatas, kejadian C merupakan kejadian A∩B. • Contoh 1.4: Misalkan A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dan B = {8, 10, 12, 14}, maka A ∩ B = {8, 10}. Misalkan M = {a, i, u, e, o} dan N = {p, q, r}, maka M ∩ N =  13



PENGOLAHAN TERHADAP KEJADIAN (2)



2. Kejadian saling terpisah Dua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah bila A ∩ B = ; artinya A dan B tidak memiliki unsur persekutuan.



14



7



PENGOLAHAN TERHADAP KEJADIAN (3) 3. Paduan dua kejadian • Paduan dua kejadian A dan B, dilambangkan dengan A  B, adalah kejadian yang mencakup semua unsur atau anggota A atau B atau keduanya. Dengan kata lain, A  B = {x|x є A atau x є B} …………………………. (1.2) • Contoh 1.5: Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dan B = {8, 10, 12, 14}, maka A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14}. Misalkan M = {x|3 < x < 10} dan N = {y|5 < y < 14}, maka M  N = N = { z|3 < z < 14}.



15



PENGOLAHAN TERHADAP KEJADIAN (4) 4. Komplemen suatu kejadian • Komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A. Komplemen A dilambangkan dengan A’. dengan kata lain, A’ = {x|x є S dan x є A} …………………………… (1.3) Contoh 1.5a: Perhatikan ruang sampel S = {buku, pensil, penghapus, penggaris, peta, kalkulator}. Jika A = {pensil, penghapus}, maka A’ = {buku, penggaris, peta, kalkulator}.



16



8



PENGOLAHAN TERHADAP KEJADIAN



5. Beberapa dalil A∩= A=A A ∩ A’ =  A  A’ = S S’ =  ’ = S (A’)’ = A



17



PELUANG SUATU KEJADIAN (1) • Besarnya



peluang kejadian A merupakan jumlah peluang semua titik sampel yang menyusun kejadian A. • Jumlah ini disebut peluang A dan dilambangkan dengan P(A). Sehingga peluang himpunan  adalah nol dan peluang S adalah satu. • Dengan kata lain, peluang suatu kejadian A adalah jumlah peluang semua titik sampel dalam A. Dengan demikian, maka: 1). 0 ≤ P(A) ≤ 1 2). P() = 0 3). P(S) = 1. 18



9



PELUANG SUATU KEJADIAN (2) •



Contoh 1.6 Jika sekeping uang logam dilemparkan dua kali, berapa peluang sekurang-kurangnya sisi angka muncul sekali? Jawab: Ruang sampel bagi percobaan ini adalah S = { AA, AG, GA, GG} Dengan asumsi kedua sisi uang logam tersebut seimbang, maka setiap kejadian mempunyai peluang yang sama untuk terjadi. Besarnya peluang masing-masing yaitu ¼. Sehingga, bila M menyatakan kejadian bahwa paling sedikit satu sisi angka muncul, maka; M = { AA, AG, GA}, dan P(M) = ¼ + ¼ + ¼ = ¾



19



PELUANG SUATU KEJADIAN (3) •



Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yang berbeda dan masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi, dan bila tepat n di antara hasil percobaan itu menyusun kejadian A, maka peluang kejadian A adalah 1.4



•



Contoh 1.7: Sebuah kotak berisi 30 kelereng yang identik kecuali warnanya yang berbeda. 30 kelereng tersebut terdiri atas 10 warna biru, 15 warna putih dan sisanya warna kuning. Jika diambil satu klereng secara acak dan tanpa melihat kedalam kotak, berapa peluang yang terambil adalah kelereng warna biru?, kelereng warna putih?, dan kelereng warna kuning?



20



10



HUBUNGAN EKSKLUSIF • Kejadian-kejadian yang saling eksklusif (saling asing) yaitu apabila



terjadinya kejadian yang satu mencegah terjadinya kejadian yang lain, dihubungkan dengan kata “atau”, • Berlaku aturan: jika k buah kejadian E1, E2,……..Ek saling eksklusif, maka peluang terjadinya E1 atau E2 atau………..atau Ek sama dengan jumlah peluang tiap kejadian: P(E1 atau E2 atau ………atau Ek) = P(E1) + P(E2) + P(Ek). ….. (1.5) •



Contoh 1.8: Enam kejadian mata dadu yang nampak diatas ketika melakukan undian dengan sebuah dadu merupakan kejadian-kejadian yang saling eksklusif. Untuk dadu homogin, P(mata 1) = P(mata 2) = ……..= P(mata 6) = 1/6. Maka P(mata 1 atau mata 2 atau ….atau mata 6) = P(1) + P(2) +.…+ P(6) = 1. 21



HUBUNGAN BERSYARAT • Dua kejadian dikatakan mempunyai hubungan bersyarat jika



kejadian yang satu menjadi syarat terjadinya kejadian yang lain. • P(A | B) disebut peluang bersyarat untuk terjadinya kejadian A dengan syarat B. P(A dan B) = P( B ). P(A | B) ; P(A  B) = P (B). P(A | B) Jika A dan B independen (bebas), maka: P(A | B) = P(A), sehingga, P( A dan B ) = P(A).P(B). Untuk k buah kejadian E1, E2, …., Ek yang independen: P(E1 dan E2 dan ….dan Ek) = P(E1).P(E2) ….P(Ek). …………. (1.6) • Contoh 1.9: Kita lakukan undian dengan sebuah mata uang sebanyak dua kali. Ambil, A = nampak muka G pada undian pertama dan B = nampak muka G pada undian kedua. Jelas A dan B dua kejadian yang independen, maka: P(A dan B) = P(A).P(B) = (1/2).(1/2) = ¼. 22



11



HUBUNGAN INKLUSIF



 Dua



kejadian A dan mempunyai hubungan inklusif, berlaku hubungan: atau A atau B atau kedua-duanya terjadi, dan dinyatakan: P(A dan atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B) ……………… (1.7)



•



Contoh 1.10: Misalkan A = menarik kartu Q dari tumpukan kartu bridge dan B = menarik kartu “heart”. Berapa peluang menarik sebuah Q dan atau sebuah “heart”?



23



SOAL LATIHAN 1. Bila satu buku diambil secara acak dari suatu rak yang berisi 2 kamus, 18 buku teks dan 5 novel, berapakah peluang bahwa; (a) novel terpilih, (b) buku teks terpilih, dan (c) kamus terpilih 2. Peluang suatu perusahaan akan membangun pabriknya di kota Surabaya 0,6, di kota Malang 0,7 dan peluang di kota Surabaya atau Malang atau kedua-duanya 0,8. Berapa peluang pabrik itu dibangun di kedua kota?. 3. Peluang sebuah mobil yang sedang diisi bensin juga memerlukan ganti oli 0,25, peluang memerlukan saringan oli 0,40 dan peluang memerlukan ganti oli dan saringan oli 0,14. a. Bila oli perlu diganti, berapa peluangnya bahwa saringan oli juga diperlukan? b. Bila saringan oli diperlukan, berapa peluangnya bahwa oli juga perlu diganti?



24



12



SOAL LATIHAN



4.Peluang sebuah pompa bensin kedatangan 0, 1, 2, 3, 4, atau 5 atau lebih sepeda motor selama periode 10 menit tertentu berturut-turut adalah 0,01, 0,15, 0,26, 0,29, 0,12 dan 0,17. Hitunglah peluang bahwa dalam periode 10 menit, pompa bensin tersebut kedatangan: a. Lebih dari 3 sepeda motor b. Paling banyak 4 sepeda motor c. 4 atau lebih sepeda motor d. Antara 1 sampai dengan 3 sepeda motor



25



13