11-Melukis Grafik Fungsi Polinom [PDF]

Citation preview

PENERAPAN TURUNAN FUNGSI B. Melukis Grafik Fungsi Polinom Langkah- Langkah melukis Grafik Fungsi polinom 1. Menentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y (jika mudah ditentukan) 2. Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun serta titik-titik stasionernya 3. Menentukan Interval cekung atas dan cekung bawah fungsi serta titik beloknya 4. Melukis sketsa grafik Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Lukislah grafik fungsi polinom f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 10 Jawab Langkah 1 : Menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat. Titik potong dengan sumbu-x sulit ditentukan Titik potong dengan sumbu-y Syarat : x = 0 Maka : y = (0)3 – 9(0)2 + 24(0) – 10 y = –10 Titiknya (0, –10)



Langkah 2 : Interval fungsi naik dan turun f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 10 f’(x) = 3x2 – 18x + 24 maka : f’(x) = 0 3x2 – 18x + 24 = 0 x2 – 16x + 8 = 0 (x – 4)(x – 2) = 0 x1 = 2 dan x2 = 4



()



()



2



()



4



Uji : x = 0 maka f’(0) = 3(0)2 – 18(0) + 24 = 24 > 0



(fungsi naik)



2



Uji : x = 3 maka f’(3) = 3(3) – 18(3) + 24 = –3 < 0 (fungsi turun) 2



Uji : x = 5 maka f’(4) = 3(5) – 18(5) + 24 = 9 > 0



Penerapann Turunan Fungsi



(fungsi naik)



1



Sehingga interval fungsi naik pada x < 2 atau x > 4 interval fungsi turun pada 2 < x < 4 Titik stasionernya : x = 2 maka f(2) = (2)3 – 9(2)2 + 24(2) – 10 = 10 , Titik maksimum di (2, 10) x = 4 maka f(4) = (4)3 – 9(4)2 + 24(4) – 10 = –5 , Titik minimum di (4, –42) Langkah 3 : Menentukan interval cekung atas dan cekung bawah f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 10 f’(x) = 3x2 – 18x + 24 f’’(x) = 6x – 18 maka f’’(x) = 0 6x – 18 = 0 6x = 18 maka x = 3 ()



()



3 Uji : x = 0 maka f’’(0) = 6(0) – 18 = –18 < 0 (cekung bawah) Uji : x = 4 maka f’’(4) = 6(4) – 18 = 6 > 0 (cekung atas) Koordinat titik beloknya : x = 3 maka f(3) = (3)3 – 9(3)2 + 24(3) – 10 = 29 Jadi titiknya (3, 8) Gambar grafiknya : y



(2, 10)



(3, 8)



x O



(0,  10)



(4,  42) 02. Lukislah grafik fungsi polinom f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 20 Jawab Langkah 1 : Menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat. Titik potong dengan sumbu-x sulit ditentukan Titik potong dengan sumbu-y Penerapann Turunan Fungsi



2



Syarat : x = 0 Maka : y = (0)3 + 3(0)2 – 9(0) – 20 y = –20 Titiknya (0, –20) Langkah 2 : Interval fungsi naik dan turun f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 20 f’(x) = 3x2 + 6x – 9 maka : f’(x) = 0 3x2 + 6x – 9 = 0 x2 + 2x – 3 = 0 (x + 3)(x – 1) = 0 x1 = –3 dan x2 = 1



()



()



–3



()



1



Uji : x = –4 maka f’(–4) = 3(–4)2 + 6(–4) – 9 = 15 > 0 (fungsi naik) Uji : x = 0 maka f’(3) = 3(0)2 + 6(0) – 9 = –9 < 0 (fungsi turun) Uji : x = 2 maka f’(2) = 3(2)2 + 6(2) – 9 = 15 > 0 (fungsi naik) Sehingga interval fungsi naik pada x < –3 atau x > 1 interval fungsi turun pada –3 < x < 1 Titik stasionernya : x = –3 maka f(–3) = (–3)3 + 3(–3)2 – 9(–3) – 20 = 7 , Titik maksimum di (–3, 7) x = 1 maka f(1) = (1)3 + 3(1)2 – 9(1) – 20 = –25 , Titik minimum di (1, –25) Langkah 3 : Menentukan interval cekung atas dan cekung bawah f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 20 f’(x) = f’(x) = 3x2 + 6x – 9 f’’(x) = 6x + 6 maka f’’(x) = 0 6x + 6 = 0 6x = –6 x = –1 ()



()



–1 Uji : x = –2 maka f’’(–2) = 6(–2) + 6 = –6 < 0 Uji : x = 0 maka f’’(0) = 6(0) + 6 = 6 > 0



(cekung bawah) (cekung atas)



Koordinat titik beloknya : x = –1 maka f(–1) = (–1)3 + 3(–1)2 – 9(–1) – 20 = –9 Jadi titiknya (–1, –9)



Penerapann Turunan Fungsi



3



Gambar grafiknya :



y



(3, 7)



x



O



(1,  9)



(1,  20) (1,  25) 03. Lukislah grafik fungsi polinom f(x) = x4 – 8x2 + 12 Jawab Langkah 1 : Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat Titik potong dengan sumbu-x (syarat y = 0) x4 – 8x2 + 12 = 0 (x2)2 – 8(x2) + 12 = 0 (x2 – 6)(x2 – 2) = 0 (x –



6 )(x +



6 )(x – 2 )(x + 2 ) = 0



x1 =



6 , x2 = – 6 , x3 =



2 , x4 = – 2



Jadi titiknya : ( 6 , 0) , (– 6 , 0) , ( 2 , 0) , (– 2 , 0) Titik potong dengan sumbu-y (syarat x = 0) y = (0)4 – 8(0)2 + 12 y = 12 Titiknya : (0, 12) Langkah 2 : Interval fungsi naik dan turun f(x) = x4 – 8x2 + 12 f’(x) = 4x3 – 16x maka : f’(x) = 0 4x3 – 16x = 0 4x(x2 – 4) = 0



Penerapann Turunan Fungsi



4



4x(x – 2)(x + 2) = 0 x1 = 0 , x2 = 2 , x3 = –2



()



()



()



–2



0



2



Uji : x = –3 maka f’(–3) = 4(–3)3 – 16(–3) = –60 < 0 (fungsi turun) Uji : x = –1 maka f’(–1) = 4(–1)3 – 16(–1) = 12 > 0 (fungsi naik) Uji : x = 1 maka f’(1) = 4(1)3 – 16(1) = –12 < 0 (fungsi turun) Uji : x = 3 maka f’(3) = 4(3)3 – 12(3) = 60 > 0 (fungsi naik) Sehingga interval fungsi naik pada –2 < x < 0 atau x > 2 interval fungsi turun pada x < –2 atau 0 < x < 2 Titik stasionernya : x = –2 maka f(–2) = (–2)4 – 8(–2)2 + 12 = –4 , Titik minimum di (–2, –4) x = 0 maka f(0) = (0)4 – 8(0)2 + 12 = 12 , Titik maksimum di (0, 12) x = 2 maka f(2) = (2)4 – 8(2)2 + 12 = –4 , Titik minimum di (2, –4)



Langkah 3 : Menentukan interval cekung atas dan cekung bawah f(x) = x4 – 8x2 + 12 f’(x) = 4x3 – 16x f’’(x) = 12x2 – 16 maka f’’(x) = 0 12x2 – 16 = 0 3x2 – 4 = 0 x2 = 4/3 2 2 3 dan x2 = 3 x1 = – 3 3 ()



()



()



–



2 3 3



2 3 3



Uji : x = –2 maka f’’(–2) = 12(–2)2 – 16 = 32 > 0 (cekung atas) Uji : x = 0 maka f’’(0) = 12(–2)2 – 16 = –16 < 0 (cekung bawah) 2 Uji : x = 2 maka f’’(2) = 12(2) – 16 = 32 > 0 (cekung atas)



Penerapann Turunan Fungsi



5



Koordinat titik beloknya : 28 28 2 2 2 2 2 3 maka f(– 3 ) = (– 3 )4 – 8(– 3 )2 + 12 = – 3, ) x=– titiknya (– 3 3 3 3 3 3 3 28 28 2 2 2 2 2 3 maka f( 3)=( 3 )4 – 8( 3 )2 + 12 = – 3, ) x= Jadi titiknya ( 3 3 3 3 3 3 3 Gambar grafiknya :



y 12



(



2 28 3, ) 3 3



(



2 28 3, ) 3 3



x  6



 2



(2,  4)



Penerapann Turunan Fungsi



O



2



6



(2,  4)



6