Grafik Fungsi [PDF]

Citation preview

BAHAN AJAR



GRAFIK FUNGSI MATEMATIKA KELAS XI Kelompok 10 : 1. Eko Pujianto



(4101417082)



2. Novita Triska P



(4101417095)



3. Rifki Maulana A



(4101417098)



4. Nur Asri



(4101417102)



BAHAN AJAR Satuan Pendidikan



: SMP



Kelas



: IX



Semester



: Ganjil



Materi



: Grafik Fungsi



GRAFIK FUNGSI



Kompetensi Inti 1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. 2. Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (toleransi, gotong royong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara



efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya. 3. Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata. 4. Mengolah, menyajika, dan manalar dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori.



Kompetensi Dasar dan Indikator



Kompetensi Dasar



3. 3 Menjelaskan fungsi kuadrat dengan menggunakan tabel, persamaan, dan grafik



Indikator Pembelajaran 3.3.1 Menentukan nilai optimum dari fungsi kuadrat 3.3.2 Membuat sketsa grafik fungsi kuadrat 4.3.1 Menentukan fungsi kuadrat jika



4.3 Menyajikan fungsi kuadrat menggunakan



tabel, persamaan, dan grafik



sudah diketahui grafiknya 4.3.2 Menentukan fungsi kuadrat jika diketahuititik puncak, titik potong, sumbu simetris atau beberapa titik pada persamaan kuadrat



PETA KONSEP



Materi Prasyarat



Sebelumnya, kalian telah mempelajari persamaan linear dan persamaan kuadrat. Apakah kalian masih ingat tentang materi tersebut? Mari kita ulang sebentar materi tersebut dengan menjawab soal berikut. Persamaan Linear 1. 3x + 1 = -7



2. 5m + 4 = 2m +16



Penyelesaian 1. 3x + 1



= -7



2. 5m + 4 = 2m +16



⇔3x + 1 - 1 = -7 -1



⇔5m + 4 +(-4) = 2m + 16 + (-4)



⇔3x = -8



⇔5m + 0 = 2m + 12



⇔



3𝑥 −8 = 3 3



⟺x =



−8 3



⇔5m =2m +12 ⇔5m – 2m = 2m - 2m + 12 ⇔3m = 12 ⇔



3𝑚 3



=



12 3



⇔m = 4



Persamaan Kuadrat Saat kalian melempar bola ke udara, ketinggian bola tergantung pada tiga faktor, yaitu posisi awal, kecepatan saat bola di lemparkan, dan gaya gravitasi. Gravitasi bumi menyebabkan bola yang terlempar ke atas mengalami percepatan ketika benda semakin mendekati bumi. Besar percepatan gravitasi bumi sebesar 9,8 m/𝑠 2 . Ini berarti bahwa kecepatan



bola ke bawah meningkat 9,8 m/s untuk setiap detik di udara. Jika kalian menyatakan ketinggian bola pada setiap waktu dengan suatu persamaan, maka persamaan yang terbentuk adalah persamaan kuadrat.



Ayo Kita Mengingat Kembali



Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang memuat tanda sama dengan (=) dan hanya memuat satu variabel dengan pangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah ax + b = 0 dan a ≠ 0. Penyelesaian



persamaan



linear



adalah



pengganti



variabel



yang



menyebabkan persamaan bernilai benar. Persamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang memiliki pangkat tertingginya dua. Contoh bentuk persamaan kuadrat : 3x2-7x + 5 = 0, x2 – x + 12 = 0, x2 – 9 = 0, 2x ( x – 7) = 0. Secara umum bentuk persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, a,b,c ϵ R. Persamaan kuadrat terbagi menjadi 3, yaitu 1. Persamaan kuadrat lengkap ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 untuk setiap a, b, c ϵ R 2. Persamaan kuadrat tak lengkap ax2 + bx = 0, a ≠ 0 untuk setiap a, b ϵ R 3. Persamaan kuadrat murni ax2 + c = 0, a ≠ 0 untuk setiap a, c ϵ R



FUNGSI KUADRAT



Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berbentuk y = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0, x, y є R. Fungsi kuadrat dapat pula dituliskan sebagai f(x) = ax2 + bx + c. Bagaimanakah cara menggambar fungsi kuadrat pada bidang kartesius? Apa pengaruh nilai a, b, dan c terhadap grafik fungsi kuadrat?



Kegiatan 1 menggambar Grafik Fungsi y = ax2



Menggambar grafik fungsi kuadrat yang paling sederhana, yakni ketika b = c = 0. Untuk mendapatkan grafiknya kamu dapat membuat gambar untuk beberapa nilai x dan subsitusikannya pada fungsi y = ax2 , misalkan untuk a = 1, a = 2, dan a = -2 Untuk mendapatkan grafik suatu fungsi kuadrat , kamu terlebih dahulu harus mendapatkan beberapa titik koordinat yang dilalui oleh fungsi kuadrat tersebut. 1. Melengkapi tabel 𝑥



y = x2



(x,y)



y = 2x2



(x,y)



-3



(-3)2



(-3,9)



-3



(-3)2



(-3,18)



-2



(-2)2



(-2,4)



-2



(-2)2



-1



(-1)2



(-1,1)



-1



0



(0)2



(0,0)



1



(1)2



2



(2)2



𝑥



y =-2x2



(x,y)



-3



(-3)2



(-3,-18)



(-2,8)



-2



(-2)2



(-2,-8)



(-1)2



(-1,2)



-1



(-1)2



(-1,-2)



0



(0)2



(0,0)



0



(0)2



(0,0)



(1,1)



1



(1)2



(1,2)



1



(1)2



(1,-2)



(2,4)



2



(2)2



(2,8)



2



(2)2



(2,-8)



𝑥



2. Tempatkan titik-titik koordinat yang berada dalam tabel pada bidang koordinat (gunakan tiga warna berbeda) 3. Sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut Keterangan : Kurva y = x2 ditandai dengan warna biru Kurva y = 2x2 ditandai dengan warna hijau Kurva y = -2 x2 ditandai dengan warna merah



Nilai a pada fungsi y = ax2 akan mempengaruhi bentuk grafiknya -



Jika a > 0 maka grafiknya akan terbuka ke atas



-



Jika a < 0 maka grafiknya akan terbuka ke bawah.



-



Jika a > 0 dan nilai a makin besar maka grafiknya akan semakin “kurus”



-



Jika a < 0 dan nilai a makin kecil maka grafiknya akan semakin “gemuk”



Kegiatan 2 menggambar grafik fungsi y = ax2 + c Kegiatan ini dibagi menjadi menjadi dua sub kegiatan. Pada kegiatan ini kamu menggambar grafik fungsi y = ax2 + c sebanyak tiga kali, yakni untuk c = 0, c = 2 dan c = -2 1. Melengkapi tabel y = x2 - 2



(x,y)



-3



(-3)2 - 2 = 7



(-3,7)



(-2,6)



-2



(-2)2 - 2 = 2



(-2,2)



(-1)2 + 2 = 3



(-1,3)



-1



(-1)2 - 2 = -1



(-1,-1)



0



(0)2 + 2 = 2



(0,2)



0



(0)2 - 2 = -2



(0,-2)



1



(1)2 + 2 = 3



(1,3)



1



(1)2 - 2 = -1



(1,-1)



2



(2)2 + 2 = 6



(2,6)



2



(2)2 - 2 = 2



(2,2)



3



(3)2 + 2 = 11



(3,11)



3



(3)2 - 2 = 7



(3,7)



y = x2 + 2



(x,y)



-3



(-3)2 + 2 = 11



(-3,11)



-2



(-2)2 + 2 = 6



-1



𝑥



𝑥



2. Tempatkan titik-titik koordinat yang berada dalam tabel pada bidang koordinat (gunakan tiga warna berbeda) 3. Sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut Keterangan : Kurva y = x2 ditandai dengan warna biru seperti pada gambar sebelumnya Kurva y = x2 + 2 ditandai dengan warna orange Kurva y = x2 – 2 ditandai dengan warna pink



Berdasarkan hasil pengamatan dapat diliihat bahwa 1. Grafik fungsi y = x2 memotong sumbu – Y di titik koordinat (0,0) 2. Grafik fungsi y = x2 + 2 memotong sumbu – Y di titik koordinat (0,2) 3. Grafik fungsi y = x2 -2 memotong sumbu – Y di titik koordinat (0,-1) 4. Grafik fungsi y = x2 + 2 merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang 2 satuan keatas 5. Grafik fungsi y = x2 - 2 merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang 2 satuan kebawah 6. Nilai c pada fungsi y = x2 – c akan mempengaruhi geseran grafik y = x2, yaitu bergeser c satuan ke atas jika c > 0 dan bergeser c satuan ke bawah jika c < 0 7. Grafik fungsi y = x2 – c memotong sumbu – Y di titik koordinat (0,c)



Kegiatan 3. Menggambar grafik fungsi y = x2 + bx



Kegiatan ini akan menjadi tiga sub kegiatan, yakni ketika b = 2, b = -2. Pada kegiatan ini kamu akan mengenal titik puncak dari suatu grafik fungsi kuadrat. 1. Melengkapi tabel dibawah ini y = x2 – 2x



(x,y)



-3



(-3)2 – 2(-3) = 15



(-3,15)



(-2,0)



-2



(-2)2 - 2(-2) = 8



(-2,8)



(-1)2 + 2(-1) = -1



(-1,-1)



-1



(-1)2 - 2(-1) = 3



(-1,3)



0



(0)2 + 2(0) = 0



(0,0)



0



(0)2 - 2 (0) = 0



(0,0)



1



(1)2 + 2(1) = 3



(1,3)



1



(1)2 - 2(1) = -1



(1,-1)



2



(2)2 + 2(2) = 8



(2,8)



2



(2)2 - 2(2) = 0



(2,0)



3



(3)2 + 2(3) = 15



(3,15)



3



(3)2 - 2(3) = 3



(3,3)



y = x2 + 2x



(x,y)



-3



(-3)2 + 2(-3) = 3



(-3,3)



-2



(-2)2 + 2(-2) = 0



-1



𝑥



𝑥



y = -x2 + 2x



(x,y)



-3



-(-3)2 + 2(-3) = -15



(-3,-15)



-2



-(-2)2 + 2(-2) = -8



(-2,-8)



-1



-(-1)2 + 2(-1) = -3



(-1,-3)



0



-(0)2 + 2(0) = 0



(0,0)



1



-(1)2 + 2(1) = 1



(1,1)



2



-(2)2 + 2(2) = 0



(2,0)



3



-(3)2 + 2(3) = 3



(3,3)



𝑥



2. Tempatkan titik-titik koordinat yang berada dalam tabel pada bidang koordinat (gunakan tiga warna berbeda) 3. Sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut Keterangan : Kurva y = x2 + 2x ditandai dengan warna biru Kurva y = x2 – 2x ditandai dengan warna hijau Kurva y = -x2 + 2x ditandai dengan warna merah



1. Titik puncak adalah titik koordinat yang merupakan titik paling atas atau paling bawah 2. Sumbu simetri adalah garis vertikal yang melalui titik puncak. 3. Pengaruh nilai b pada grafik fungsi y = ax2 + bx adalah titik puncaknya berasa di koordinat (xp, yp) dengan xp =



−𝑏 2𝑎



dan yp = f (xp)



Info Penting! Nilai a pada fungsi y = ax2 + bx + c akan



mempengaruhi



grafiknya.



Jika



a



grafiknya



akan



terbuka



Sebaliknya



jika



a



bentuk



positif



maka keatas.



negatif



maka



grafiknya akan terbuka kebawah. Jika nilai a semakin besar maka grafiknya menjadi lebih “kurus”



Mari Kita Amati Dari gambar di atas kita bisa tahu bahwa : a. Garis putus-putus pada gambar diatas merupakan sumbu simetri. Koordinat yang ditandai dengan bulatan merupakan titik puncak sedangkan koordinat yang ditandai dengan persegi merupakan titik potong dengan sumbu – Y b. Nilai b pada grafik y = ax2 + bx + c menunujukkan dimana koordinat titik



puncak dan sumbu simetri berada (titik puncak dan sumbu simetri dibahas lebih lanjut pada sun-bab selanjutnya). Jika a > 0 maka grafiknya y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak minimum. Jika a < 0 maka grafik y = ax2 + bx + c memiliki titik pucak maksimum. c. Nilai c pada grafik y = ax2 + bx + c menunjukkan titik perpotongan grafik



fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu – Y, yakni pada koordinat (c,0).



Grafik Fungsi Kuadrat yang Berbeda Berikut ini adalah grafik fungsi kuadrat yang berbeda



1. Grafik yang berwarna hitam merupakan grafik fungsi kuadrat y = x2 – x + 2. Grafik y = x2 – x + 2 memotong sumbu – Y pada koordinat (0,2) dan memiliki titik puncak minumum 2. Grafik yang berwarna merah merupakan grafik fungsi kuadrat y =2x2 – 6x + 4. Grafik y =2x2 – 6x + 4 memotong sumbu -Y pada koordinat (0,4) dan memiliki titik puncak minimum 3. Grafik yang berwarna biru merupakan grafik fungsi kuadrat y =-2x2 + 8. Grafik y =-2x2 + 8 memotong sumbu -Y pada koordinat (0,8) dan memiliki titik puncak maksimum



4. Grafik yang berwarna merah dengan garis putus-putus merupakan grafik fungsi kuadrat y =x2 – 7x + 10.Grafik y =x2 – 7x + 10 memotong sumbu -Y pada koordinat (0,10) dan memiliki titik puncak minimum 5. Grafik yang berwarna bitu dengan garis putus-putus merupakan grafik fungsi kuadrat y = -x2 – 5x - 6.Grafik y = -x2 – 5x - 6 memotong sumbu -Y pada koordinat (0,-6) dan memiliki titik puncak maksimum



Ayo Berlatih !



1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y =



1 2



𝑥2



2. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = 𝑥 2 + x 3. Gambarlah fungsi kuadrat y = x2 - 3x + 2



Ringkasan Materi



1. Bentuk umum fungsi kuadrar y = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0, x, y є R. Fungsi kuadrat dapat pula dituliskan sebagai f(x) = ax2 + bx + c. 2. Dalam membuat grafik fungsi kuadrat dapat dilakukan dengan cara -



Melihat bentuk persamaan kuadrat yang akan dibuat



-



Buat tabel fungsi kuadrat



-



Tempatkan titik-titik koordinat dalam tabel pada bidang koordinat



-



Sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut



3. Nilai a pada fungsi y = ax2 akan mempengaruhi bentuk grafiknya -



Jika a > 0 maka grafiknya akan terbuka ke atas



-



Jika a < 0 maka grafiknya akan terbuka ke bawah.



-



Jika a > 0 dan nilai a makin besar maka grafiknya akan semakin “kurus”



-



Jika a < 0 dan nilai a makin kecil maka akan semakin “gemuk”



4. Nilai c pada fungsi y = x2 – c akan mempengaruhi -



geseran grafik y = x2, yaitu bergeser c satuan ke atas jika c > 0 dan bergeser c satuan ke bawah jika c < 0



-



memotong sumbu – Y di titik koordinat (0,c)



5. Pada fungsi y = x2 + bx didapat -



Titik puncak adalah titik koordinat yang merupakan titik paling atas atau paling bawah



-



Sumbu simetri adalah garis vertikal yang melalui titik puncak



-



Pengaruh nilai b pada grafik fungsi y = x2 + bx adalah titik puncaknya berada di koordinat (xp, yp) dengan x𝑝 =



−𝑏 2𝑎



dan yp = f (xp)



6. Nilai a pada fungsi y = ax2 + bx + c akan mempengaruhi bentuk grafiknya. Jika a positif maka grafiknya akan terbuka keatas. Sebaliknya jika a negatif maka grafiknya akan terbuka kebawah. Jika nilai a semakin besar maka grafiknya menjadi lebih “kurus”. 7. Nilai b pada grafik y = ax2 + bx + c menunujukkan dimana koordinat titik puncak dan sumbu simetri berada (titik puncak dan sumbu simetri dibahas lebih lanjut pada sun-bab selanjutnya). Jika a > 0 maka grafiknya y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak minimum. Jika a < 0 maka grafik y = ax2 + bx + c memiliki titik pucak maksimum. 8. Nilai c pada grafik y = ax2 + bx + c menunjukkan titik perpotongan grafik fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu – Y, yakni pada koordinat (c,0).