12 22 [PDF]

Citation preview

13. When an experiment is performed, one and only one of the events, A1 , A 2 , or A3 will occur. Find



P ( A 1 ) , P ( A 2) , and P ( A 3 ) under each of the following assumption: (a) P ( A 1 )=P ( A 2) =P ( A 3 ) (b) P ( A 1 )=P ( A 2) and P ( A 3 ) =



1 2



(c) P ( A 1 )=2 P ( A2 ) =3 P ( A3 ) Translate : Ketika percobaan dilakukan, satu dan hanya satu peristiwa A1 , A 2 atau A3 akan terjadi. Tentukan



P ( A 1 ) , P ( A 2) , dan P ( A 3 ) masing-masing dibawah ini dengan asumsi : (a) P ( A 1 )=P ( A 2) =P ( A 3 ) (b) P ( A 1 )=P ( A 2) dan P ( A 3 ) =



1 2



(c) P ( A 1 )=2 P ( A2 ) =3 P ( A3 ) Jawab :



S= { A 1 , A 2 , A 3 } (a) P ( A 1 )=P ( A 2) =P ( A 3 )



P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + P ( A3 ) =1 P ( A 1 ) + P ( A 1 ) + P ( A 1 )=1 3 P ( A 1 )=1 1 P ( A 1 )= 3 Sehingga diperoleh, P ( A 1 )=P ( A 2) =P ( A 3 )= (b) P ( A 1 )=P ( A 2) dan P ( A 3 ) =



1 3



1 2



P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + P ( A3 ) =1 1 P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + =1 2 1 P ( A 1 ) + P ( A 1 )=1− 2 1 2 P ( A 1 )= 2 1 P ( A 1 )= 4 Sehingga diperoleh P ( A 1 )=P ( A 2) = (c) P ( A 1 )=2 P ( A2 ) =3 P ( A3 )



P ( A 1 )=3 P ( A3 ) 2 P ( A 2 )=3 P ( A 3 ) 3 P ( A 2 )= P ( A 3 ) 2 Kemudian :



1 1 dan P ( A 3 ) = 4 2



P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + P ( A3 ) =1 3 3 P ( A 3 ) + P ( A 3 ) + P ( A3 ) =1 2 6 P ( A 3 ) +3 P ( A 3 ) +2 P ( A3 ) =1 2 11 P ( A3 ) =1 2 2 P ( A 3)= 11 Maka,



2 6 = 11 11 2 P ( A 2 )=3 P ( A 3 ) 6 2 P ( A 2 )= 11 6 3 P ( A 2 )= = 22 11 P ( A 1 )=3 ×



Sehingga diperoleh P ( A 1 )=



6 3 2 , P ( A 2) = , P ( A 3 )= 11 11 11



14. Koin yang seimbang dilemparkan sebanyak empat kali. Buatlah daftar kemungkinan hasil eksperimen dan hitung probabilitas masing-masing kejadian berikut: (a) Tepat muncul gambar tiga kali (b) Paling tidak muncul gambar kali (c) Jumlah muncul gambar dan angka sama (d) Jumlah muncul gambar lebih dari muncul angka Jawab: Misal: G: hasil muncul gambar dan A: hasil muncul angka GGGG, GGGA, GGAA, GAAA,  S



 AAAA, AAAG, AAGG, AGGG,    GAGG, GGAG, AGAA, AAGA,   GAAG, AGGA, AGAG, GAGA 



Misal K:



kejadian Tepat muncul gambar tiga kali



L:



Paling tidak muncul gambar satu kali



M:



Jumlah muncul gambar dan angka sama



N:



Jumlah muncul gambar lebih dari muncul angka



Maka,



K  GGGA, AGGG, GAGG, GGAG GGGG, GGGA, GGAA, GAAA,  L



 AAAG, AAGG, AGGG, GAGG,    GGAG, AGAA, AAGA, GAAG,   AGGA, AGAG, GAGA







M  GAAG, AGGA, AGAG, GAGA, GGAA, AAGG N  GGGG, GGGA, AGGG, GAGG, GGAG



15. Two part-time teachers are hired by the mathematics department and each is assigned at random to teach a single course, in trigonometry, algebra, or calculus. List the outcomes in the sample space and find the probability that they will teach different courses. Assume that more than one section of each course is offered. Jawab: Misal: T: Trigonometri, A: Aljabar, dan K: Kalkulus. Ruang sampel pada soal adalah



S={( TT ) , ( TA ) , (TK ) , ( AA ) , ( AK ) , ( KK ) } Himpunan yang menyatakan bahwa kedua guru mengajar dua mata kuliah yang berbeda adalah



X ={( TA ) , ( KA ) , ( KT ) } Sehingga, P ( X )=



n( X ) 3 1 = = n(S) 6 2



16. Buktikan Teorema 1.4.4. Petunjuk: Tulis 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 . Dapat menerapkan Teorema 1.4.3. Jawab :



17. Prove Theorem 1.4.5. Hint : If



A ⊂B



then we can write B= A∪( B∩ A ' ) , a



disjoint union Buktikan Teorema 1.4.5. Petunjuk : Jika



A ⊂B



kemudian kita dapat menulis



B= A∪( B∩ A ' ) , suatu kesatuan yang terputus-putus Jawab : Karena A ⊂ B maka dapat ditulis B= A∪( B∩ A ' ) dimana A dan B∩ A ' lepas. Jadi berlaku :



P(B )=P( A )+P(B∩ A ' )≥P( A ) sebab P( B∩ A ' )≥0



18. If A and B are events, show that: a. P(A ∩ B') = P(A) - P(A ∩ B) b. P(A ∪ B) = 1 - P(A' ∩ B') Penyelesaian: a.



P  A  B '  P  A  B   P  B 



saling



 P  A  P  B   P  A  B   P  B   P  A  P  A  B b.



P(A ∪ B)



= 1 - P(A' ∩ B')



P(A ∪ B)



= 1 - P(A' ∩ B') = 1−P( A ∪ B)' = 1−P ( A )' . P( B)'



19) Let P(A) = P(B) = 1/3 and P(A ∩ B) 1/10, Find the following a) P(B') b) P(A ∪ B') c) P(B ∩ A') d) P(A' ∪ B'). Jawaban : a) P(B') = 1 - P(B) = 1 – 1/3 = 2/3 b) P(A ∪ B') = P(A) + P(B’) – P(A∩B) = 1/3+2/3-1/10 = 27/30 = 9/10 c) P(B ∩ A') = P(B) – P(B∩A) = P(B) – P(A∩B) = 1/3-1/10= 7/30 d) P(A' ∪ B') = 1 – P(A ∪ B) = 1 – (P(A)+P(B)-P(A∩B)) = 1 – (1/3 + 1/3 – 1/10) = 1-(



20−3 ) 30



=1-



17 30



=



20. Let P(A) =



13 30



1 1 1 , P(B) = , and P(C) = , where A, B, and C are mutually exclusive. 2 8 4



Find the following: a. P( A ∪ B∪ C ) b. P( A ' ∩ B ' ∩C ') Translate: 20. Misalkan 𝑃 (𝐴) = 1 2 , 𝑃 (𝐵) = 1 8 , 𝑑𝑎𝑛 𝑃 (𝐶) = 1 4 , di mana A, B, dan C saling bebas. Temukan yang berikut ini: a. P( A ∪ B∪ C ) b. P( A ' ∩ B ' ∩C ') Jawab :



1 1 1 4+1+2 7 P ( A ∪ B ∪C ) =P ( A )+ P ( B ) + P ( C )= + + = = 2 8 4 8 8 1 1 1 7 8 7 1 ' ' ' b. P ( A ∩ B ∩ C ) =1−[ P ( A ) + P ( B )+ P ( C ) ] =1− + + =1− = − = 2 8 4 8 8 8 8 a.



[



21.



]



The event that exactly one of the events A or B occurs can be represented as



( A ∪ B' ) ∪ ( A ' ∩ B ) .Show that P [ ( A ∩ B' ) ∪ ( A ' ∩ B ) ]=P ( A )+ P ( B )−2 P( A ∩ B) Penyelesaian: Kejadian yang persis salah satu peristiwa A atau B terjadi dapat direpresentasikan sebagai ( A ∩ B' ) ∪ A ' ∩ B. Menunjukan bahwa: P [ ( A ∩ B' ) ∪ ( A ' ∩ B ) ]=P ( A )+ P ( B )−2 P( A ∩ B) P ( A )=P ( A ∩B )+ P ( A ∩ B' ) P ( B )=P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) 22. Bintang trek melakukan dua balapan pada hari tertentu. Probabilitas bahwa ia memenangkan balapan pertama adalah 0,7, probabilitas bahwa ia memenangkan balapan kedua adalah 0,6, dan probabilitas bahwa ia menang kedua ras adalah 0,5. Temukan probabilitas bahwa: A. dia memenangkan setidaknya satu balapan. B. dia menang tepat satu balapan. C. dia tidak memenangkan perlombaan. Jawaban: Peluang menang setidaknya satu balapan yaitu:



MK = P(MK)-P(MM)=0,7-0,5=0,2 KM=P(KM)-P(MM) = 0,6-0,5=0,1



Total = 0,2+0,1 +0,5=0,8



(a) he wins exactly one race Jawab: Peluang menang tepat 1 balapan: MK = P(MK)- P(MM)=0,7-0,5=0,2 KM = P(KM)-P(MM)=0,6-0,5=0,1 Total = 0,2 + 0,1 =0,3 (b) he wins neither race. Jawab: Peluang tidak menang sama sekali: P(KK)= 1-Peluang menang paling sedikit 1 kali = 1-0,8 = 0,2