15a Hasil Kali Dalam [PDF]

Citation preview

15a. HASIL KALI DALAM I. Pendahuluan 1. Sasaran Belajar : Setelah menyelesaikan kuliah ini, mahasiswa diharapkan : • mampu menerapkan prinsip-prinsip deduksi matematis dilengkapi dengan kemampuan simbolik dan abstraksi dalam proses analisis dan sintesis terhadap berbagai masalah baku (standard problem-solvings) yang bisa diselesaikan dengan menggunakan Aljabar Linear, khususnya konsep matriks. • dapat melakukan komputasi matriks dan Aljabar Linear dengan menggunakan paket-paket komputasi dalam MAPLE, MATLAB, dsb. 2. Sasaran Pembelajaran : Mahasiswa mampu menyatakan suatu ruang vektor adalah Ruang Hasil Kali Dalam (RHKD) dan mampu memberikan definisi hasi kali dalam di dalam RKHD tersebut. 3. Deskripsi Kegiatan Belajar Definisi Ruang Hasil Kali Dalam (RHKD), hasil kali dalam terboboti di ruang Euclid, hasil kali dalam yang dibangun oleh matriks, hasil kali dalam di ruang M22, P2, C[a, b] dan di ruang L2(R).



II.



Uraian Materi



Pada bagian ini, diharuskan menggunakan sifat paling penting dari hasil kali dalam Euclid sebagai aksioma untuk pendefinisian konsep umum dari hasil kali dalam. Kemudian akan ditunjukkan bagaimana hasil kali dalam dapat digunakan untuk mendefinisikan pengertian panjang dan jarak dalam ruang vektor selain Rn.



Hasil kali Dalam secara Umum Pada bagian 4.1 hasil kali dalam Euclid dari dua vektor di Rn disimbolkan dengan notasi u . v. Agar lebih memudahkan pada bagian ini, digunakan notasi alternatif untuk memperkenalkan hasil kali dalam secara umum. Dengan notasi baru ini, sifat dasar dari hasil kali dalam Euclid yang didaftar dalam Teorema 4.1.2 adalah aksioma pada definisi berikut.



267



DEFINISI Hasil kali dalam dalam ruang vektor real V adalah fungsi yang menghubungkan bilangan real dengan masing-masing pasangan dari vektor u dan v dalam V, yaitu aksioma berikut terpenuhi untuk semua vektor u, v, dan z dalam V dan semua skalar k. 1. 2. 3. 4.



= [Aksioma simetri] = + [Aksioma penjumlahan] = k [Aksioma kehomogenan] ≥ 0 [Aksioma positif] dan = 0 jika dan hanya jika v = 0 ruang vektor real dengan hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam real Karena aksioma hasil kali dalam didasarkan pada sifat hasil kali dalam Euclid, hasil kali dalam Euclid memenuhi aksioma-aksioma berikut ini. CONTOH 1 Hasil Kali Dalam Euclid pada Rn Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah vektor Rn, kemudian rumus 〈𝒖, 𝒗〉 = 𝒖. 𝒗 = 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 + ⋯ + 𝑢𝑛 𝑣𝑛 mendefinisikan 〈𝒖, 𝒗〉 menjadi hasil kali dalam Euclid pada Rn. Hasil kali dalam Euclid adalah hasil kali dalam yang paling penting pada Rn. Meskipun demikian, terdapat berbagai aplikasi yang mana membutuhkan modifikasi hasil kali dalam Euclid dengan syarat berbeda. Lebih tepatnya, jika 𝑤1 , 𝑤2 , ⋯ , 𝑤𝑛 adalah bilangan real positif, yang mana disebut bobot, dan jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah vektor di Rn, kemudian dapat ditunjukkan bahwa rumus 〈𝒖, 𝒗〉 = 𝑤1 𝑢1 𝑣1 + 𝑤2 𝑢2 𝑣2 + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑢𝑛 𝑣𝑛 (1) n mendefinisikan hasil kali dalam pada R yang disebut pembobotan hasil kali dalam Euclid dengan bobot 𝒘𝟏 , 𝒘𝟐 , ⋯ , 𝒘𝒏 . Sebagai ilustrasi pembobotan hasil kali dalam Euclid, misalkan bahwa beberapa eksperimen fisika dapat memproduksi sebarang nilai numerik yang mungkin 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 dan bahwa deret dari pengulangan m eksperimen menghasilkan nilai ini dengan berbagai frekuensi; yaitu, x1 terjadi f1 kali, x2 terjadi f2 kali, dan begitu seterusnya. Karena terdapat keseluruhan m pengulangan eksperimen, 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑛 = 𝑚 Oleh karena itu, rata-rata aritmetika atau mean, dari nilai numerik yang terobeservasi (dinyatakan dengan 𝑥̅ ) adalah 𝑓1 𝑥1 + 𝑓2 𝑥2 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑥𝑛 1 𝑥̅ = = (𝑓1 𝑥1 + 𝑓2 𝑥2 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑥𝑛 ) 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑚 (2) 268



Jika dimisalkan 𝒇 = (𝑓1 , 𝑓2 , ⋯ 𝑓𝑛 ) 𝒙 = (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) 𝑤1 = 𝑤2 = ⋯ = 𝑤𝑛 = 1⁄𝑚 kemudian 2 dapat dibentuk dalam pembobotan hasil kali dalam 𝑥̅ = 〈𝒇, 𝒙〉 = 𝑤1 𝑓1 𝑥1 + 𝑤2 𝑓2 𝑥2 + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑓𝑛 𝑥𝑛 CATATAN Selalu diasumsikan bahwa Rn memiliki hasil kali dalam Euclid jika tidak beberapa hasil kali dalam yang lain ditetapkan dengan sangat jelas. Seperti yang didefinisikan pada Bagian 6, Rn dengan hasil kali dalam Euclid ditetapkan sebagai nruang Euclid. CONTOH 2 Hasil Kali Dalam Euclid Terboboti Misalkan 𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2 ) dan 𝒗 = (𝑣1 , 𝑣2 ) adalah vektor pada 𝑅 2 . Periksa apakah hasil kali dalam terboboti Euclid 〈𝒖, 𝒗〉 = 3𝑢1 𝑣1 + 2𝑢2 𝑣2 memenuhi keempat aksioma hasil kali dalam. Penyelesaian: Perhatikan bahwa jika u dan v bertukar dalam persamaan ini, ruas kanan tetap sama. Karena itu, 〈𝒖, 𝒗〉 = 〈𝒗, 𝒖〉 Jika 𝒛 = (𝑧1 , 𝑧2 ), kemudian 〈𝒖 + 𝒗, 𝒛〉 = 3(𝑢1 + 𝑣1 )𝑧1 + 2(𝑢2 + 𝑣2 )𝑧2 = (3𝑢1 𝑧1 + 2𝑢2 𝑧2 ) + (3𝑣1 𝑧1 + 2𝑣2 𝑧2 ) = 〈𝒖, 𝒛〉 + 〈𝒗, 𝒛〉 memenuhi aksioma kedua. 〈𝑘𝒖, 𝒗〉 = 3(𝑘𝑢1 )𝑣1 + 2(𝑘𝑢2 )𝑣2 = 𝑘(3𝑢1 𝑣1 + 2𝑢2 𝑣2 ) = 𝑘〈𝒖, 𝒗〉 membuktikan aksioma ketiga. Akhirnya, 〈𝒗, 𝒗〉 = 3𝑣1 𝑣1 + 2𝑣2 𝑣2 = 3𝑣12 + 2𝑣22 Jelas bahwa 〈𝒗, 𝒗〉 = 3𝑣12 + 2𝑣22 ≥ 0. Selain itu, 〈𝒗, 𝒗〉 = 3𝑣12 + 2𝑣22 = 0 jika dan hanya jika 𝑣1 = 𝑣2 = 0 – yaitu, jika dan hanya jika 𝒗 = (𝑣1 , 𝑣2 ) = 𝟎. Oleh karena itu, keempat aksioma terpenuhi. Panjang dan Jarak pada Ruang Hasil Kali Dalam Sebelum mendiskusikan lebih banyak contoh dari hasil kali dalam, sebaiknya berhenti sejenak untuk menjelaskan bagaimana hasil kali dalam digunakan untuk memperkenalkan pengertian panjang dan jarak dalam ruang hasil kali dalam. Mengingat kembali bahwa dalam ruang-n Euclid, panjang Euclid dari vektor 𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2 , . . . , 𝑢𝑛 ) dapat diubah ke bentuk hasil kali dalam Euclid ‖𝒖‖ = (𝒖. 𝒖)1⁄2



269



dan jarak Euclid antara dua sebarang titik 𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2 , . . . , 𝑢𝑛 ) dan 𝒗 = (𝑣1 , 𝑣2 , ⋯ 𝑣𝑛 ) dapat dinyatakan sebagai 𝑑(𝒖, 𝒗) = ‖𝒖 − 𝒗‖ = [(𝒖 − 𝒗)(𝒖 − 𝒗)]1⁄2 [lihat Rumus 1 dan 2 pada Bagian 6]. Terdorong dari rumus ini, diperoleh definisi berikut. DEFINISI Jika V adalah ruang hasil kali dalam, maka norm (atau panjang) dari vektor u di V disimbolkan dengan ‖𝒖‖ dan didefinisikan ‖𝒖‖ = 〈𝒖. 𝒖〉1⁄2 Jarak antara dua titik (vektor) u dan v disimbolkan dengan 𝑑(𝒖, 𝒗) dan didefinisikan 𝑑(𝒖, 𝒗) = ‖𝒖 − 𝒗‖



Jika vektor memiliki norm 1, maka vektor tersebut dinamakan vektor satuan. CONTOH 3 Norm dan Jarak pada Rn Jika titik 𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2 , . . . , 𝑢𝑛 ) dan 𝒗 = (𝑣1 , 𝑣2 , ⋯ 𝑣𝑛 ) adalah vektor-vektor di 𝑅 𝑛 dengan hasil kali dalam Euclid, maka ‖𝒖‖ = 〈𝒖. 𝒖〉1⁄2 = (𝒖. 𝒖)1⁄2 = √𝑢12 + 𝑢22 + ⋯ + 𝑢𝑛2 dan 𝑑(𝒖, 𝒗) = ‖𝒖 − 𝒗‖ = (𝒖 − 𝒗, 𝒖 − 𝒗)1⁄2 = [(𝒖 − 𝒗). (𝒖 − 𝒗)]1⁄2 = √(𝑢1 − 𝑣1 )2 + (𝑢2 − 𝑣2 )2 + ⋯ + (𝑢𝑛 − 𝑣𝑛 )2 Amati bahwa ini adalah formula standar sederhana untuk norm dan jarak Euclid yang dibahas pada Bagian 4.1 [lihat rumus 1 dan 2 pada bagian itu]. CONTOH 4 Menggunakan Hasil Kali Dalam Euclid Terboboti. Penting untuk diingat bahwa norm dan jarak bergantung pada hasil kali dalam yang digunakan. Jika hasil kali dalam diubah, maka norm dan jarak antar vektor juga berubah. Sebagai contoh, untuk vektor 𝒖 = (1,0) dan 𝒗 = (0,1) di 𝑅 2 dengan hasil kali dalam Euclid, ‖𝒖‖ = √12 + 02 = 1 dan 𝑑(𝒖, 𝒗) = ‖𝒖 − 𝒗‖ = ‖(1, −1)‖ = √12 + (−1)2 = √2 Dengan demikian, jika diubah ke hasil kali dalam Euclid terboboti dari Contoh 2, 〈𝒖, 𝒗〉 = 3𝑢1 𝑣1 + 2𝑢2 𝑣2 maka diperoleh ‖𝒖‖ = 〈𝒖, 𝒖〉1⁄2 = [3(1)(1) + 2(0)(0)]1⁄2 = √3 dan 270



𝑑(𝒖, 𝒗) = ‖𝒖 − 𝒗‖ = 〈(1, −1), (1, −1)〉1⁄2 = [3(1)(1) + 2(−1)(−1)]1⁄2 = √5



Lingkaran dan Bola pada Ruang Hasil Kali Dalam Jika V adalah ruang hasil kali dalam, maka himpunan titik-titik di V memenuhi ‖𝒖‖ = 1 disebut bola satuan atau kadang-kadang lingkaran satuan di V. Pada 𝑅 2 dan 𝑅 3 terdapat titik-titik yang terbentang 1 satuan jauh dari titik asal.



CONTOH 5 Lingkaran Satuan yang Tidak Biasa di 𝑅 2 (a) Gambar lingkaran satuan pada sistem koordinat-xy dalam 𝑅 2 menggunakan hasil kali dalam Euclid 〈𝒖, 𝒗〉 = 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 . (b) Gambar lingkaran satuan pada sistem koordinat-xy dalam 𝑅 2 menggunakan hasil kali dalam Euclid terboboti 1 1 〈𝒖, 𝒗〉 = 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 9 4 Solusi (a) Jika 𝒖 = (𝑥, 𝑦), maka ‖𝒖‖ = 〈𝒖, 𝒖〉1⁄2 = √𝑥 2 + 𝑦 2 , jadi persamaan lingkaran satuan adalah √𝑥 2 + 𝑦 2 = 1, atau, dengan mengkuadratkan kedua sisi, seperti yang diperkirakan, graf dari persamaan ini adalah lingkaran dengan jari-jari 1 terpusat di titik asal



15.1 (a) Lingkaran satuan dengan norm Euclid ‖𝒖‖ = √𝑥 2 + 𝑦 2



1



1



15.1 (b) Lingkaran satuan dengan norm ‖𝒖‖ = √9 𝑥 2 + 4 𝑦 2



271



Solusi (b) 1



1



Jika 𝒖 = (𝑥, 𝑦), maka ‖𝒖‖ = 〈𝒖, 𝒖〉1⁄2 = √9 𝑥 2 + 4 𝑦 2 , jadi persamaan lingkaran 1



1



satuan adalah √9 𝑥 2 + 4 𝑦 2 = 1, atau, dengan mengkuadratkan kedua sisi, 𝑥2 𝑦2 + =1 9 4 Gambar untuk persamaan ini adalah elips yang terlihat pada Gambar 15.1b. Adalah beralasan jika hasil pada contoh terakhir dirasa tidak lazim, karena walaupun definisi dari panjang dan jarak kembali ke definisi standar ketika menerapkan hasil kali dalam Euclid di Rn. Diperlukan imajinasi untuk memikirkan “lingkaran” satuan yang memiliki bentuk elips. Meskipun demikian, hasil kali dalam yang tidak standar memutar balikkan ruang yang sudah dikenal dan menuntun ke nilai yang aneh untuk panjang dan jarak. Banyak teorema dasar dari geometri Euclid melanjutkan untuk menerapkan pada ruang yang tidak biasa ini. Sebagai contoh, fakta dasar dalam geometri Euclid bahwa jumlahan dari panjang dua sisi segitiga setidaknya sama besar dengan sisi ketiga (Gambar 15.2a). Akan dilihat nanti bahwa hasil yang sudah biasa ini memenuhi semua ruang hasil kali dalam, tanpa memeperdulikan betapa tidak biasanya hasil kali dalam yang mungkin terjadi. Contoh yang lain, ingat kembali teorema dari geometri Euclid yang menyatakan bahwa jumlahan kuadrat dari diagonal jajargenjang dama dengan jumlahan kuadrat dari keempat sisinya (Gambar 15.2b). Hasil ini memenuhi semua ruang hasil kali dalam, tanpa mempedulikan hasil kali dalamnya.



(a) ‖𝒖 + 𝒗‖ ≤ ‖𝒖‖ + ‖𝒗‖



(b) ‖𝒖 + 𝒗‖2 + ‖𝒖 − 𝒗‖2 = 2(‖𝒖‖2 + ‖𝒗‖2 ) Gambar 15.2.



272



Hasil Kali Dalam yang Dibangkitkan dengan Matriks Hasil kali dalam Euclid dan hasil kali dalam Euclid terboboti adalah kasus khusus dari jenis umum hasil kali dalam pada 𝑅 𝑛 . Misalkan 𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 𝒖 = [ ⋮ ] dan 𝒗 = [ ⋮ ] 𝑢𝑛 𝑣𝑛 𝑛 adalah vektor-vektor pada 𝑅 (dibentuk sebagai matriks 𝑛 × 1), dan misalkan A adalah matriks invertible berukuran 𝑛 × 𝑛. Dapat ditunjukkan bahwa jika u.v adalah hasil kali dalam Euclid pada 𝑅 𝑛 , maka rumus 〈𝒖, 𝒗〉 = 𝑨𝒖. 𝐴𝒗 (3) 𝒏 Mendefinisikan hasil kali dalam; yang disebut hasil kali dalam pada 𝑹 yang dibangkitkan oleh A. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa hasil kali dalam Euclid u.v dapat dituliskan sebagai hasil kali matriks 𝒗𝑇 𝒖 [lihat 7 pada bagian 6], memenuhi bahwa 3 dapat dituliskan dalam bentuk lain, yaitu 〈𝒖, 𝒗〉 = (𝐴𝒗)𝑇 𝑨𝒖 atau equivalen dengan 〈𝒖, 𝒗〉 = 𝒗𝑇 𝐴𝑇 𝑨𝒖 (4) CONTOH 6 Hasil Kali Dalam yang Dibangkitkan dengan Matriks Identitas Hasil kali dalam pada 𝑅 𝑛 dibangkitkan dengan matriks identitas 𝑛 × 𝑛 adalah hasil kali dalam Euclid, karena substitusikan 𝐴 = 𝐼 pada 3 menghasilkan 〈𝒖, 𝒗〉 = 𝐼𝒖. 𝐼𝒗 = 𝒖. 𝒗 Hasil kali dalam terboboti 〈𝒖, 𝒗〉 = 3𝑢1 𝑣1 + 2𝑢2 𝑣2 yang telah didiskusikan pada Contoh 2 adalah hasil kali dalam pada 𝑅 2 yang dibangkitkan oleh 𝐴 = [√3 0 ] 0 √2 karena mensubstitusikan matriks ini ke 4 sehingga menghasilkan 𝑢 〈𝒖, 𝒗〉 = [𝑣1 𝑣2 ] [√3 0 ] [√3 0 ] [𝑢1 ] 0 √2 0 √2 2 = [𝑣1



𝑢 𝑣2 ] [3 0] [ 1 ] 0 2 𝑢2



= 3𝑢1 𝑣1 + 2𝑢2 𝑣2 Bentuk umumnya, hasil kali dalam terboboti 〈𝒖, 𝒗〉 = 𝑤1 𝑢1 𝑣1 + 𝑤2 𝑢2 𝑣2 + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑢𝑛 𝑣𝑛 adalah hasil kali dalam pada 𝑅 𝑛 yang dibangkitkan oleh



273



(5) (periksa). Pada contoh berikut, akan dijelaskan beberapa hasil kali dalam pada vektor ruang selain 𝑅 𝑛 . CONTOH 7 Hasil Kali Dalam pada M22 Jika 𝑢1 𝑢2 𝑣1 𝑣2 𝑈 = [𝑢 𝑢 ] dan 𝑉 = [𝑣 𝑣 ] 3 4 3 4 adalah sebarang matriks 2 × 2, kemudian rumus berikut mendefinisikan hasil kali dalam pada M22 (periksa) (𝑈, 𝑉) = tr(𝑈 𝑇 𝑉) = tr(𝑉 𝑇 𝑈) = 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 + 𝑢3 𝑣3 + 𝑢4 𝑣4 (Berhubungan dengan bagian 2 untuk definisi trace). Sebagai contoh, jika 𝑈=[



1 2 −1 0 ] dan 𝑉 = [ ] 3 4 3 2



kemudian (𝑈, 𝑉) = 1(−1) + 2(0) + 3(3) + 4(2) = 16 Norm matriks U berhubungan dengan hasil kali dalam adalah ‖𝑈‖ = (𝑈, 𝑈)1⁄2 = √𝑢12 + 𝑢22 + 𝑢32 + 𝑢42 dan bola satuan pada ruang ini terdiri dari semua matriks U 2×2 yang entri-entrinya memenuhi persamaan ‖𝑈‖ = 1, yang mana hasil pengkuadratannya menghasilkan 𝑢12 + 𝑢22 + 𝑢32 + 𝑢42 = 1



CONTOH 8 Hasil Kali Dalam pada P2 Jika 𝒑 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 dan 𝒒 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 adalah dua sebarang vektor di P2, maka rumus berikut mendefinisikan hasil kali dalam pada P2 (periksa): 〈𝒑, 𝒒〉 = 𝑎0 𝑏0 + 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 Norm dari polinomial p yang berhubungan dengan hasil kali dalam ini adalah ‖𝒑‖ = 〈𝒑, 𝒑〉1⁄2 = √𝑎02 + 𝑎12 + 𝑎22 dan bola satuan pada ruang ini terdiri dari semua polinomial p di P2 yang mana koefisiennya memenuhi persamaan ‖𝒑‖ = 1, sehingga diperoleh 274



𝑎02 + 𝑎12 + 𝑎22 = 1 CONTOH 9 Hasil Kali Dalam pada C[a,b] Misalkan 𝒇 = 𝑓(𝑥) dan 𝒈 = 𝑔(𝑥) adalah dua fungsi di C[a,b] dan mendefinsikan 𝑏



〈𝒇, 𝒈〉 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎



(6) Persamaan di atas dirumuskan dengan baik karena fungsi pada C[a,b] kontinu. Harus ditunjukkan bahwa rumus ini mendefinisikan hasil kali dalam pada C[a,b] dengan memeriksa keempat aksioma hasil kali dalam untuk fungsi 𝒇 = 𝑓(𝑥), 𝒈 = 𝑔(𝑥), dan 𝒔 = 𝑠(𝑥) di C[a,b]: 1. 𝑏



𝑏



〈𝒇, 𝒈〉 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 〈𝒈, 𝒇〉 𝑎



𝑎



membuktikan Aksioma 1 berlaku.



2. 𝑏



〈𝒇 + 𝒈, 𝒔〉 = ∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) 𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎 𝑏



𝑏



= ∫ 𝑓(𝑥)𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎



𝑎



= 〈𝒇, 𝒔〉 + 〈𝒈, 𝒔〉 membuktikan Aksioma 2 berlaku. 3. 𝑏



𝑏



〈𝑘𝒇, 𝒈〉 = ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘〈𝒇, 𝒈〉 𝑎



4.



𝑎



membuktikan Aksioma 2 berlaku. Jika 𝒇 = 𝑓(𝑥) adalah sebarang fungsi di C[a,b], maka 𝑓 2 (𝑥) ≥ 0 untuk semua x di [a,b]; karena itu, 𝑏



〈𝒇, 𝒇〉 = ∫ 𝑓 2 (𝑥) 𝑑𝑥 ≥ 0 𝑎 2 (𝑥)



Lebih jauh, karena 𝑓 ≥ 0 dan 𝒇 = 𝑓(𝑥) kontinu di [a,b], memenuhi bahwa 𝑏 2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑓𝑎 𝑓 = 0 jika dan hanya jika 𝑓(𝑥) = 0 untuk semua x di [a,b]. Dengan demikian,



275



𝑏



〈𝒇, 𝒇〉 = ∫ 𝑓 2 (𝑥) 𝑑𝑥 = 0 𝑎



jika dan hanya jika f = 0. Hal ini membuktikan bahwa Aksioma 4 berlaku. CONTOH 10 Norm Vektor pada C[a,b] Jika C[a,b] memiliki hasil kali dalam yang telah dijelaskan sebelumnya pada contoh sebelumnya, kemudian norm dari fungsi 𝒇 = 𝑓(𝑥) berhubungan dengan hasil kali dalam adalah 𝑏



‖𝒇‖ = 〈𝒇, 𝒇〉1⁄2 = √∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑎



(7) dan bola satuan dalam ruang ini terdiri dari semua fungsi f di C[a,b] yang memenuhi persamaan ‖𝒇‖ = 1, yang menghasilkan 𝑏



∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑑𝑥 = 1 𝑎



Catatan: karena polinomial adalah fungsi kontinu di (−∞, ∞), sehingga polinomial juga kontinu di selang [a,b]. Jadi, untuk selang [a,b], vektor ruang 𝑃𝑛 adalah subruang dari C[a,b], dan Rumus 6 mendefinisikan hasil kali dalam di 𝑃𝑛 . Catatan: Ingat kembali dari kalkulus bahwa panjang busur dari kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) yang berada pada selang [a,b] diberikan oleh rumus 𝑏



𝐿 = ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑎



(8) Jangan salah tafsirkan konsep ini sebagai panjang busur dengan ‖𝒇‖, yang mana panjang (norm) dari f ketika f dipandang sebagai vektor di C[a,b]. Rumus 7 dan 8 sangat berbeda. Teorema-teorema di bawah berikut ini adalah sifat aljabar dasar dari hasil kali dalam. Teorema 15a.1 Sifat Hasil Kali Dalam Jika u, v, dan w adalah vektor pada ruang hasil kali dalam real, dan k adalah sebarang skalar, kemudian (a) 〈𝟎, 𝒗〉 = 〈𝒗, 𝟎〉 = 0 (b) 〈𝒖, 𝒗 + 𝒘〉 = 〈𝒖, 𝒗〉 + 〈𝒖, 𝒘〉 (c) 〈𝒖, 𝑘𝒗〉 = 𝑘〈𝒖, 𝒗〉 276



(d) 〈𝒖 − 𝒗, 𝒘〉 = 〈𝒖, 𝒘〉 − 〈𝒗, 𝒘〉 (e) 〈𝒖, 𝒗 − 𝒘〉 = 〈𝒖, 𝒗〉 − 〈𝒖, 𝒘〉 Bukti: Akan dibuktikan bagian (b) dan sisanya sebagai tugas. 〈𝒖, 𝒗 + 𝒘〉 = 〈𝒗 + 𝒘, 𝒖〉 [Sifat Simetri] = 〈𝒗, 𝒖〉 + 〈𝒘, 𝒖〉 [Sifat Penjumlahan] = 〈𝒖, 𝒗〉 + 〈𝒖, 𝒘〉 [Sifat Simetri] Contoh berikut ini menerangkan bagaimana Teorema 15.1 dan penjelasan sifat dari hasil kali dalam dapat digunakan untuk mengerjakan komputasi aljabar dengan hasil kali dalam. Seperti yang dibaca pada contoh, akan ditemukan pelajaran untuk membenarkan langkah-langkahnya. CONTOH 11 Menghitung dengan Hasil Kali Dalam 〈𝒖 − 2𝒗, 3𝒖 + 4𝒗〉 = 〈𝒖, 3𝒖 + 4𝒗〉 − 〈2𝒗, 3𝒖 + 4𝒗〉 = 〈𝒖, 3𝒖〉 + 〈𝒖, 4𝒗〉 − 〈2𝒗, 3𝒖〉 − 〈2𝒗, 4𝒗〉 = 3〈𝑢, 𝑢〉 + 4〈𝑢, 𝑣〉 − 6〈𝑣, 𝑢〉 − 8〈𝑣, 𝑣〉 = 3‖𝑢‖2 + 4〈𝑢, 𝑣〉 − 6〈𝑢, 𝑣〉 − 8‖𝑣‖2 = 3‖𝑢‖2 − 2〈𝒖, 𝒗〉 − 8‖𝒗‖2 Karena teorema 15a.1 adalah hasil umum, sehingga menjamin semua ruang hasil kali dalam real berlaku. Hal ini adalah kekuatan nyata dari perkembangan aksioma ruang vektor dan hasil kali dalam – satu buah teorema membuktikan sejumlah besar hasil sekaligus. Contoh, akan dijamin tanpa pembuktian lebih jauh bahwa kelima sifat yang diberikan pada Teorema 15a.1 berlaku untuk hasil kali dalam di 𝑅 𝑛 dibangkitkan oleh sebarang matriks A [Rumus 3]. Contoh, misalkan akan diperiksa bagian (b) Teorema 15a.1 untuk hasil kali dalam ini:



III.



〈𝒖, 𝒗 + 𝒘〉 = (𝒗 + 𝒘)𝑇 𝐴𝑇 𝐴𝒖 = (𝒗𝑇 + 𝒘𝑇 )𝐴𝑇 𝐴𝒖 = (𝐯 𝐓 𝐀𝐓 𝐀𝐮) + (𝐰 𝐓 𝐀𝐓 𝐀𝐮) = 〈𝐮, 𝐯〉 + 〈𝒖, 𝒘〉 Penutup



a. Kesimpulan Jika u, v, dan w adalah vektor pada ruang hasil kali dalam real, dan k adalah sebarang skalar, maka (i) 〈𝟎, 𝒗〉 = 〈𝒗, 𝟎〉 = 0 (ii) 〈𝒖, 𝒗 + 𝒘〉 = 〈𝒖, 𝒗〉 + 〈𝒖, 𝒘〉 (iii) 〈𝒖, 𝑘𝒗〉 = 𝑘〈𝒖, 𝒗〉 (iv) 〈𝒖 − 𝒗, 𝒘〉 = 〈𝒖, 𝒘〉 − 〈𝒗, 𝒘〉 (iv) 〈𝒖, 𝒗 − 𝒘〉 = 〈𝒖, 𝒗〉 − 〈𝒖, 𝒘〉 277



b. Latihan Soal 1. Misalkan 〈𝐮, 𝐯〉 adalah hasil kali dalam Euclid di 𝑅 2 , dan misalkan 𝒖 = (3, −2), 𝒗 = 〈4,5〉, 𝒘 = 〈−1,6〉, dan 𝑘 = −4. Periksa kebenaran dari: (a) 〈𝒖, 𝒗〉 = 〈𝒗, 𝒖〉 (b) 〈𝒖 + 𝒗, 𝒘〉 = 〈𝒖, 𝒘〉 + 〈𝒗, 𝒘〉 (c) 〈𝒖, 𝒗 + 𝒘〉 = 〈𝒖, 𝒗〉 + 〈𝒖, 𝒘〉 (d) 〈𝑘𝒖, 𝒗〉 = 𝑘〈𝒖, 𝒗〉 = 〈𝒖, 𝑘𝒗〉 (e) 〈𝟎, 𝒗〉 = 〈𝒗, 𝟎〉 = 0 2. Ulangi latihan nomor 1 untuk hasil kali dalam Euclid terboboti 〈𝒖, 𝒗〉 = 4𝑢1 𝑣1 + 5𝑢2 𝑣2 . 3. Hitunglah 〈𝒖, 𝒗〉 menggunakan hasil kali dalam pada Contoh 7. 3 −2 −1 3 (a) 𝒖 = [ ], 𝒗 = [ ] 4 8 1 1 1 2 4 6 (b) 𝒖 = [ ], 𝒗 = [ ] −3 5 0 8 4. Hitunglah 〈𝒑, 𝒒〉 menggunakan hasil kali dalam pada Contoh 8. (a) 𝒑 = −2 + 𝑥 + 3𝑥 2 , 𝒒 = 4 − 7𝑥 2 (b) 𝒑 = −5 + 2𝑥 + 𝑥 2 , 𝒒 = 3 + 2𝑥 − 4𝑥 2 5. (a) Gunakan Rumus 3 untuk menunjukkan bahwa〈𝒖, 𝒗〉 = 9𝑢1 𝑣1 + 4𝑢2 𝑣2 adalah hasil kali dalam pada 𝑅 2 dibangkitkan oleh 3 0 𝐴=[ ] 0 2 (b) Gunakan hasil kali dalam pada bagian (a) untuk menghitung 〈𝒖, 𝒗〉 jika 𝒖 = (3, −2) dan 𝒗 = 〈1,7〉 6. (a) Gunakan rumus 3 untuk menunjukkan bahwa 〈𝒖, 𝒗〉 = 5𝑢1 𝑣1 − 𝑢1 𝑣2 − 𝑢2 𝑣1 + 10𝑢2 𝑣2 2 1 adalah hasil kali dalam di 𝑅 2 dibangkitkan oleh [ ] −1 3 (b) Gunakan hasil kali dalam pada bagian (a) untuk menghitung 〈𝒖, 𝒗〉 jika 𝒖 = (0, −3) dan 𝒗 = (6,2). 7. Misalkan 𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2 ) dan 𝒗 = (𝑣1 , 𝑣2 ). Pada setiap bagian, persamaan yang diberikan adalah hasil kali dalam di 𝑅 2 . Tentukan matriks yang pembangkitnya. (a) 〈𝒖, 𝒗〉 = 3𝑢1 𝑣1 + 5𝑢2 𝑣2 (b) 〈𝒖, 𝒗〉 = 4𝑢1 𝑣1 + 6𝑢2 𝑣2 8. Misalkan 𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2 ) dan 𝒗 = (𝑣1 , 𝑣2 ). Tunjukkan bahwa persamaan berikut adalah hasil kali dalam di 𝑅 2 dengan memeriksa bahwa aksioma hasil kali dalam berlaku. (a) 〈𝒖, 𝒗〉 = 3𝑢1 𝑣1 + 5𝑢2 𝑣2 (b) 〈𝒖, 𝒗〉 = 4𝑢1 𝑣1 + 𝑢1 𝑣2 + 𝑢2 𝑣1 + 4𝑢2 𝑣2 9. Misalkan 𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) dan 𝒗 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ). Tentukan persamaan di bawah ini yang merupakan hasil kali dalam di 𝑅 3 . Untuk bagian yang tidak memenuhi, daftarlah aksioma yang tidak memenuhi. (a) 〈𝒖, 𝒗〉 = 𝑢1 𝑣1 + 𝑢3 𝑣3 278



10.



11. 12.



13.



14. 15.



(b) 〈𝒖, 𝒗〉 = 𝑢12 𝑣12 + 𝑢22 𝑣22 + 𝑢32 𝑣32 (c) 〈𝒖, 𝒗〉 = 2𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 + 4𝑢3 𝑣3 (d) 〈𝒖, 𝒗〉 = 𝑢1 𝑣1 − 𝑢2 𝑣2 + 𝑢3 𝑣3 Pada setiap bagian, gunakan hasil kali dalam yang diberikan di 𝑅 2 untuk menentukan ‖𝒘‖, dimana 𝒘 = (−1,3) (a) hasil kali dalam Euclid (b) hasil kali dalam Euclid terboboti 〈𝒖, 𝒗〉 = 3𝑢1 𝑣1 + 2𝑢2 𝑣2 , di mana 𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2 ) dan 𝒗 = (𝑣1 , 𝑣2 ) (c) hasil kali dalam yang dibangkitkan dengan matriks 1 2 𝐴=[ ] −1 3 Gunakan hasil kali dalam pada Latihan 10 untuk menentukan 𝑑(𝒖, 𝒗) untuk 𝒖 = (−1,2) dan 𝒗 = (2,5). Misalkan 𝑃2 memiliki hasil kali dalam pada Contoh 8. Pada setiap bagian, tentukan ‖𝒑‖ (a) 𝒑 = −2 + 3𝑥 + 2𝑥 2 (b) 𝒑 = 4 − 3𝑥 2 Misalkan 𝑀22 memiliki hasil kali dalam pada Contoh 7. Pada setiap bagian, tentukan ‖𝐴‖. −2 5 (a) 𝐴 = [ ] 3 6 0 0 (b) 𝐴 = [ ] 0 0 Misalkan 𝑃2 memiliki hasil kali dalam pada Contoh 8. Tentukan 𝑑(𝒑, 𝒒). 𝒑 = 3 − 𝑥 + 𝑥 2 , 𝒒 = 2 + 5𝑥 2 Misalkan 𝑀22 memiliki hasil kali dalam pada Contoh 7. Tentukan 𝑑(𝐴, 𝐵). 2 6 −4 7 (a) 𝐴 = [ ],𝐵 = [ ] 9 4 1 6 −2 4 −5 1 (b) 𝐴 = [ ],𝐵 = [ ] 1 0 6 2



16. Misalkan bahwa u, v, dan w adalah vektor-vektor sedemikian sehingga 〈𝒖, 𝒗〉 = 2, 〈𝒗, 𝒘〉 = −3, 〈𝒖, 𝒘〉 = 5, ‖𝒖‖ = 1, ‖𝒗‖ = 2, ‖𝒘‖ = 7. Hitunglah persamaan di bawah ini. (a) 〈𝒖 + 𝒗, 𝒗 + 𝒘〉 (b) 〈2𝒗 − 𝒘, 3𝒖 + 2𝒘〉 (c) 〈𝒖 − 𝒗 − 2𝒘, 𝟒𝒖 + 𝒗〉 (d) ‖𝒖 + 𝒗‖ (e) ‖2𝒘 − 𝒗‖ (f) ‖𝒖 − 2𝒗 + 4𝒘‖ 17. Tunjukkan bahwa identitas berikut berlaku untuk vektor di sebarang ruang hasil kali dalam ‖𝒖 + 𝒗‖2 + ‖𝒖 − 𝒗‖2 = 2‖𝒖‖2 + ‖𝒗‖2 18. Tunjukkan bahwa identitas berikut berlaku untuk vektor di sebarang ruang hasil kali dalam 279



1 1 ‖𝒖 + 𝒗‖2 + ‖𝒖 − 𝒗‖2 4 4 𝑢1 𝑢2 𝑣1 𝑣2 19. Misalkan 𝑈 = [𝑢 𝑢 ] dan 𝑉 = [𝑣 𝑣 ]. Tunjukkan bahwa (𝑈, 𝑉) = 𝑢1 𝑣1 + 3 4 3 4 𝑢2 𝑣3 + 𝑢3 𝑣2 + 𝑢4 𝑣4 bukan merupakan hasil kali dalam di 𝑀22 20. Misalkan p = p(x) dan q = q(x) adalah polinomial di 𝑃2 . Tunjukkan bahwa 1 1 〈𝒑, 𝒒〉 = 𝑝(0)𝑞(0) + 𝑝 ( ) 𝑞 ( ) + 𝑝(1)𝑞(1) 2 2 adalah hasil kali dalam di 𝑃2 . Apakah persamaan di atas merupakan hasil kali dalam di 𝑃3 ? Jelaskan. 21. Misalkan 𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2 , ⋯ , 𝑢𝑛 ) dan 𝒗 = (𝑣1 , 𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛 ). Tunjukkan bahwa 〈𝒖, 𝒗〉 = 𝑤1 𝑢1 𝑣1 + 𝑤2 𝑢2 𝑣2 + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑢𝑛 𝑣𝑛 adalah hasil kali dalam di 𝑅 𝑛 jika 𝑤1 , 𝑤2 , ⋯ , 𝑤𝑛 adalah bilangan real positif. 〈𝒖, 𝒗〉 =



Diskusi & Penemuan 22. Di bawah ini adalah bukti dari bagian (c) dari Teorema 15a.1. Isilah semua bagian yang kosong dengan nama dari aksioma hasil kali dalam yang membenarkan langkah-langkah di bawah Hipotesis: Misalkan u dan v adalah vektor di ruang hasil kali dalam real. Kesimpulan: 〈𝒖, 𝑘𝒗〉 = 𝑘〈𝒖, 𝒗〉 Bukti: 1) 〈𝒖, 𝑘𝒗〉 = 〈𝑘𝒗, 𝒖〉 ________ 2) = 𝑘〈𝒗, 𝒖〉 ________ 3) = 𝑘〈𝒖, 𝒗〉 ________ 23. Buktikan bagian (a), (d), dan (e) dari Teorema 15a.1., benarkan setiap langkah dengan memberikan nama dari aksioma vektor ruang atau menghubungkan dengan hasil yang telah ditentukan sebelumnya. 24. Buatlah hasil kali dalam Euclid terboboti 〈𝒖, 𝒗〉 = 𝑎𝑢1 𝑣1 + 𝑏𝑢2 𝑣2 di 𝑅 2 untuk yang mana lingkaran satuan di sistem koordinat-xy adalah elips yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini



Gambar Latihan 34 25. Menyamaratakan hasil pada Masalah 24 untuk elips dengan axis a semimajor dan axis b semiminor, dengan a dan b positif.



280



c. Pedoman Penilaian Mahasiswa yang dapat menyelesaikan soal latihan dengan benar minimal 30% dapat melanjutkan pembelajaran materi selanjutnya.



d. Daftar Pustaka Horward Anton, Chris Rorres, 2005. Elementary Linier Algebra, Applications Version, Edisi 9, John Wiley & Sons. Jack L. Goldberg. MatrixTheory, McGraw-Hill, 1991. Karim M. Abadir, Jan R. Magnus, 2005. Matrix Algebra, Cambridge University Press. Leslie Hogben et al (editors), 2007. Handbook of Linier Algebra, Chapman & Hall/CRC. Seymour Lipschutz, Marc L. Lipson, 2004. Schaum’s Outline of Linier Algebra, Edisi 3, McGraw-Hill.



281