Hasil Kali Transformasi [PDF]

Citation preview

HASIL KALI TRANSFORMASI Definisi: Andaikan F dan G dua transformasi, dengan F :V  V G :V  V



Maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G o F didefinisikan sebagai (G o F)(P) = G [F(P)], P  V . Teorema 5.1: Jika F : V  V dan G : V  V masing-masing suatu transformasi, maka hasilkali H= G o F : V  V adalah juga suatu transformasi.



Bukti : i. Harus dibuktikan bahwa H= G o F : V  V ada. 1) Jelas



adalah seluruh bidang V



2) Jelas



adalah seluruh bidang V ada sehingga H = G o F : V  V ada.



Jadi



ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1) H surjektif, 2) H injektif. 1)



Misal H(y) = (G o F)(y) = x Akan dibuktikan H(y) = x surjektif. Ambil sebarang x



V.



Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya x



V



z



V



G(z) = x.



Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya pada z



V



Jadi ada y



y V



V



z = F(y).



(G o F)(y) = H(y) = x.



Jadi H surjektif. 2)



Ambil x, y dengan x



y



H(x)



H(y)



Andaikan H(x) = H(y) maka (G o F)(x) = (G o F)(y) Karena G injektif maka F(x) = F(y). Karena F injektif maka x = y. Ini suatu kontradiksi. Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x



y.



Jadi H injektif. Berdasarkan i dan ii maka H= G o F : V  V adalah suatu transformasi. Catatan: 1|Hasilkali Transformasi



Hasil kali J = F o G : V  V adalah juga suatu transformasi. Bukti : i. Harus dibuktikan bahwa J = F o G : V  V ada. 1) Jelas



adalah seluruh bidang V



2) Jelas



adalah seluruh bidang V ada sehingga J = F o G : V  V ada.



Jadi



ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1). J surjektif, 2). J injektif. 1) Misal J(y) = (F o G)(y) = x. Akan dibuktikan J(y) = x surjektif. Ambil sebarang x



V.



Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya x



V



z



V



F(z) = x.



Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya pada z



V



Jadi ada y



y V



V



z = G(y).



(F o G)(y) = J(y) = x.



Jadi J surjektif. 2) Ambil x, y dengan x



y



J(x)



J(y).



Andaikan J(x) = J(y) maka (F o G)(x) = (F o G)(y) Karena F injektif maka G(x) = G(y). Karena G injektif maka x = y. Ini suatu kontradiksi dengan x



y.



Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x



y.



Jadi J injektif. Berdasarkan i dan ii maka J = F o G : V  V adalah suatu transformasi. Contoh: Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi T : V  V yang didefinisikan sebagai berikut. 1. Jika X



g maka T(X) = X.



2. Jika X



g maka T(X) adalah titik tengah ruas garis dari X ke g yang tegak lurus.



a. Buktikan T suatu transformasi. 1) Adb T surjektif Kasus 1: Untuk X



g



g X = T(X) Gambar 1 2|Hasilkali Transformasi



Menurut definisi maka X’= X karena T(X) = X’ = X. X’



Jadi



V



X



T(X) = X’ = X.



V



Kasus 2 : Untuk X



g



X



X ’ g Gambar 2 Ambil sebarang titik X’



V.



Menurut teorema dasar geometri Euclides: ada satu garis yang tegak lurus pada garis tertentu melalui titik di luar garis tersebut. Dengan demikian, dapat dibuat sebuah segmen garis yang tegak lurus g melalui X’. Namai



.



Menurut postulat geometri Euclides: sebuah segmen dapat diperpanjang sehingga sama dengan segmen tertentu. Jadi dapat dibuat perpanjangan segmen dengan



=



Karena



=



sepanjang segmen tersebut sehingga diperoleh titik X



. dan V bidang euclides maka ada X tunggal dengan X’ dan X’ adalah satu-satunya titik tengah



titik tengah



Dengan X’ adalah



.



Ini berarti X adalah prapeta dari X’. X’



Jadi



V



X



T(X) = X’.



V



Jadi T surjektif. 2) Adb T injektif Ambil sembarang titik X, Y



X



dengan X



Y jelas ruas garis ortogonal X ke g



Ditunjukkan X Andaikan



ruas garis ortogonal Y ke g



Y .



Maka T(X) adalah titik tengah ruas garis ortogonal Y ke g dan X ke g. T(Y) adalah titik tengah ruas garis ortogonal X ke g dan Y ke g. Ruas garis ortogonal X ke g berpotongan ruas garis ortogonal Y ke g. Jadi X = Y 3|Hasilkali Transformasi



Kontradiksi dengan X Haruslah X



Y.



Y



.



Jadi T adalah injektif. Dari 1) dan 2) didapat T adalah transformasi.



a. Apakah T suatu isometri? Penyelidikan: Ambil sebarang titik



Kasus 1: g



.



dan



dengan



P=T(P)



Q=T(Q) Gambar 3



Jelas T(P) = P’ = P



Q = Q’ = T(Q).



Jadi P’Q’ = PQ. Kasus 2:



dan



.



Q Q’=T(Q ) g



P=T(P) Gambar 4



Jelas T(P) = P’ = P. Jelas T(Q) = Q’ dengan Q’ adalah titik tengah ruas garis ortogonal dari Q ke Q’. Jadi PQ



P’Q’= PQ’.



PR! Kasus 3 : Kasus 4 :



dan dan



, dengan Q tidak segaris . dengan



Berdasarkan kasus 1 dan kasus 2, diperoleh bahwa T bukan isometri.



b. Ambil transformasi kedua misalnya sebagai berikut: Ambil sebuah garis



h  g dan Mh adalah



refleksi pada garis h. Jadi hasilkali Mh[T(X)] = Y juga suatu transformasi sehingga Y = (Mh o T)(X). Apakah hasilkali ini isometri? h 4 | H a s i l k a l i T rXa n s f o r m a s i X’=T(X)



Y



Adb. (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X) Bukti: Dari gambar 5, ambil garis g misalkan sebagai sumbu X suatu koordinat ortogonal dan garis h sebagai sumbu Y. Titik potong h dan g sebagai titik asal.



sb. Y y



X(x,y)



X’=T(X)



x



Mh(X) =(-x,y)



Y



O



Misalkan X = (x,y) maka T(X) = (x,



Gambar 6 1 1 y) dan Mh[T(X)] = (-x, y). 2 2



Jadi (Mh o T)(X) = Mh[T(X)] = (-x,



1 y). 2



sb. X



Jelas (T o Mh) (X) = T[Mh(X)]. Sehingga apabila X = (x,y) maka Mh(X) = (-x, y) dan T[Mh(X)] = (-x, Jadi (T o Mh)(X) = T[Mh(X)] = (-x,



1 y). 2



1 y). 2



Karena Mh[T(X)] = T[Mh(X)] maka (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X) yang berlaku untuk setiap X  V. Jadi (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X). Jadi hasilkali ini isometri. TETAPI SIFAT KOMUTATIF TIDAK SELALU BERLAKU Bukti: Ambil garis g dan garis h yang tidak tegak lurus pada g. 5|Hasilkali Transformasi



h X



X’=T(X)



g



> >



T[Mh(X)] Mh(X)



Mh[T(X)] Gambar 7 Jelas bahwa Mh[T(X)] Jadi (Mh o T)(X)



T[Mh(X)].



(T o Mh)(X).



Berdasarkan hal di atas dapat dikatakan bahwa apabila S dan T transformasi maka S o T T o S. Buktikan bahwa pada gambar 7, Mh[T(X)]  T[Mh(X)]. Bukti: Dari gambar 7, ambillah garis g sebagai sumbu X suatu sistem koordinat ortogonal dan garis h sebagai grafik persamaan y = x . Titik potong h dan g kita ambil sebagai titik asal O. sb. Y y=x y



X(x,y)



X’=T(X)



sb. X



O



x



Mh[T(X)]



> T[M (X)] h > Mh(X)



1 1 Misalkan X = (x,y) maka T(x) = (x, y) dan Mh[T(x)] = ( y, x). 2 Gambar 28



Jadi (Mh o T)(X) = Mh[T(x)] = (



1 y, x). 2



Jelas (T o Mh) (X) = T[Mh(X)]. Apabila X = (x,y) maka Mh(X) = (y, x) dan T[Mh(X)] = (y, Oleh karena Mh[T(X)]



T[Mh(X)] maka (Mh o T)(X)



6|Hasilkali Transformasi



1 x). 2



(T o Mh)(X) yang berlaku untuk setiap X  V.



Jadi Mh[T(X)]



T[Mh(X)].



Hasil kali transformasi tidak hanya terbatas oleh dua transformasi. Andaikan T1, T2, T3 adalah transformasi. Untuk menyelesaikan masalah tersebut kita dapat menyusun terlebih dahulu hasil kali T1 o T2 kemudian kalikan dengan T3. Hasilkali transformasinya dapat kita sebagai T3(T2T1). Jadi andaikan P’ = T1(P), P” = T(P’), P”’ = T3(P”), maka [T3(T2T1)](P) = T3[T2T1(P)] = T3[T2{T1(P)}] = T3[T2(P’)] = T3(P’’) = P’’’ Selain cara di atas kita juga dapat mengalikan sebagai berikut: [(T3T2 )T1](P) = (T3T2 ) [T1(P)]



= (T3T2)(P’) = T3 [T2(P)] = T3(P’’)



= P”’ Jadi hasilkali transformasi bersifat asosiatif. Kita dapat mengatakan bahwa T3(T2T1) = (T3T2)T1 = T3T2T1.



PEMBAHASAN SOAL BAB V HASILKALI TRANSFORMASI



1). Diketahui : garis-garis g dan h dan titik-titik P,Q dan K. Lukislah : a). A = Mg[Mh(P)] b). B = Mh[Mg(P)] c). C = Mh[Mh(P)] d). D = Mg[Mh(K)] e). R sehingga Mh[Mg(R)] = Q f). Apakah Mg  Mh = Mh  Mg? Penyelesaian: a)



A = Mg[Mh(P)]



7|Hasilkali Transformasi



P



Q



g



b)



P g Mg(P) B = Mh[Mg(P)]



h



P = Mh[Mh(P)] c) g



h Mh(P) d)



P



g



K = D= Mg[Mh(K)] Q e)



R



h



P Q = Mh[M g g(R)] 8|Hasilkali Transformasi Mh(Q)



f) Tidak, sebab terlihat pada nomor (a) dan (b), diperoleh Mg[Mh(P)]  Mh[Mg(P)]. Selain itu, sifat komutatif tidak berlaku secara umum pada hasilkali transformasi. Pembuktian dapat dilihat di materi.



2). Diketahui : T dan S isometri Selidiki : a). TS sebuah isometri b). TS = ST c). Jika g sebuah garis maka g’ = (TS)(g) juga sebuah garis. d). Jika g // h dan g’ = (TS)(g), h’ = (TS)(h) maka g’ // h’ Penyelesaian : a). T dan S adalah isometri-isometri sehingga T dan S adalah suatu transformasi Berdasarkan teorema “Jika F : V  V dan G : V  V masing-masing suatu transformasi, maka hasil kali H = G  F : V  V adalah juga suatu transformasi”, maka TS juga transformasi. Adb. TS isometri. Ambil sebarang titik A, B  V. Jelas S(A) = A’,



S(B) = B’.



Karena S isometri maka AB = A’B’. Jelas T(A’) = A”,



T(B’) = B”.



Karena T suatu isometri maka A’B’ = A”B”. Diperoleh AB = A’B’ = A”B”. Jelas TS(A) = T[S(A)] = T(A’) = A” dan TS(B) = T[S(B)] = T(B’) = B”. Karena AB = A”B” maka TS sebuah isometri. Jadi TS adalah suatu isometri. b). Adb TS = ST Didefinisikan T(P) = P’ dan T(Q) = Q’. Misalkan |PQ| = |P’Q’|



|PQ| = |T(P) S(Q)|.



TS(P) = P’ dan ST(P) = P’. Karena TS(P) = ST(P) = P’ maka TS = ST = 1. Jadi TS = ST. 9|Hasilkali Transformasi



c). Apabila g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis. Telah diketahui bahwa TS sebuah isometri. Berdasarkan teorema “sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”. Maka g’ = TS(g) adalah sebuah garis. Jadi pernyataan “jika g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis” benar. d). Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’. Karena TS sebuah isometri, berdasarkan teorema “sebuah isometri mengawetkan kesejajaran dua garis” sehingga diperoleh g’// h’ dengan g’ = TS(g), h’ = TS(h), g // h . Jadi pernyataan “Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’” benar. 3). Diketahui : garis-garis g dan h, A  g, B  h, C  h Lukislah : a). Mg[Mh(  ABC)] b). Mh[Mg(  ABC)] c). K sehingga Mg[Mh(K)] = K d). R sehingga Mh[Mg(R)] = D Penyelesaian: a).



A” C” B”



A g C B



h C’ A’



Mh(A) = A’ Mh(B) = B (karena B  h ) Mh(C) = C’ Mg(A’) = A” Mg(B’) = B” Mg(C’) = C” 10 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



Jadi, Mg[Mh(ABC)] = A”B”C”. B’



b).



C’ A = A’ g C



B



h



A”



C”



B” Mg(A) = A’ = A (karena A  g ) Mg(B) = B’ Mg(C) = C’ Mh(A’) = A” Mh(B’) = B” Mh(C’) = C”



Jadi, Mh[Mg(ABC)] = A”B”C”. c). Akan dilukis K sehingga Mg[Mh(K)] = K. Mg[Mh(K)] = K  (MgMh)(K) = K. Hasil kali persamaan (MgMh)(K) = K hanya akan terjadi pada titik potong antara garis g dan garis h. Oleh karena itu K adalah titik potong garis g dan garis h. K



g



h d). Akan dilukiskan titik R sehingga Mh[Mg(R)] = D. Karena D  h maka D’ = Mh(D) = D. Diperoleh Mg(R) = D. Jadi, R adalah prapeta D oleh Mg R g 11 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i D h



4). Diketahui : garis-garis g, h, k dengan g // k Lukislah : a). g’ = Mh[Mg(g)] b). g’ = Mg[Mh(g)] c). k’ = Mg[Mh(k)] Penyelesaian: a) g’= Mh[Mg(g)] Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik P dan Q serta namai titik perpotongan garis g dan h di R . Setelah mendapatkan pencerminan P di P’, R di R dan Q di Q’, hubungkan titik P’, R, dan Q’ menjadi suatu garis yaitu garis g’. g’ P’



h



g



Q



R



k



P



b) g’= Mg[Mh(g)] Q’ anggota garis g, misal titik P dan Q. Ambil dua titik sebarang g ’



Q’’ h



P’



Q



R P’’



P



Q’



12 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



g



k



c) k’= Mg[Mh(k)] Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik A dan B. namai titik perpotongan garis h dan k di C.



B’’



A’’ h



g k’ A’



k B



C A



B’ 5). Diketahui : dua garis g dan h yang berpotongan Lukislah : a). k sehingga Mg[Mh(k)] = g b). m sehingga Mh[Mg(m)] = g c). n sehingga Mh[Mg(n)] membagi sama besar sudut lancip antara g dan h Penyelesaian: a)



k sehingga Mg[Mh(k)] = g Mg[Mh(k)] berarti k dicerminkan terlebih dulu terhadap garis h kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis g. Karena hasil pencerminan terhadap garis g adalah g maka (Mh(k)) = g.



g



h k 13 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



b) m sehingga Mh[Mg(m)] = g Mh[Mg(m)] berarti m dicerminkan terhadap garis g terlebih dulu kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis h. Misalkan Mg(m) = i. Karena hasil pencerminan terhadap garis h adalah g berarti Mh[Mg(m)] = Mh(i) = g. Karena hasil pencerminan Mg(m) = i maka g merupakan sumbu antara i dan m. i m h



g



c) n sehingga Mh[Mg(n)] membagi sama besar sudut lancip antara g dan h. Misalkan Mh[Mg(n)] = l sehingga l membagi sama besar sudut lancip antara g dan h, serta Mg(n) = k. Karena hasil pencerminan terhadap garis h adalah l berarti Mh[Mg(n)] = Mh(k) = l. Karena hasil pencerminan Mg(n) =k maka g merupakan sumbu antara k dan m. n



g



l



h 6). Diketahui : padanan S dan T sebagai berikut



k



Daerah asal S adalah g, S(X) adalah titik tengah AX Daerah asal T adalah daerah di luar lingkaran l dan T(X) = BX  l 14 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



Ditanyakan : a). TS(P) b). Daerah asal dan daerah nilai TS c). R sehingga (TS)(R) = Q dengan Q  l d). Apakah ST ada? Jika ya, tentukan daerah asal dan daerah nilainya Penyelesaian: a). Ambil P  g sehingga S(P) pertengahan AP . TS(P) = T[S(P)]. TS(P) perpotongan lingkaran l dengan S(P) B . A B



l



TS(P)



S(P)



g



P



b). Karena TS(X) = T[S(X)] berarti daerah asal T adalah S, sementara daerah asal S adalah g. Jadi, daerah asal TS di g. Daerah nilai S adalah S(X) yaitu pertengahan AX . Daerah nilai T(X) adalah BX  l , dan untuk TS(X) maka BS(X)  l  l Jadi, daerah nilai TS adalah pada lingkaran l. c). R sehingga (TS)(R) = Q dengan Q  l



A Q



B



l



S(R)



R



d). Ambil sebarang titik P Maka T(P) di l karena daerah hasil T di l. S[T(P)] tidak ada karena T(P)  l , sementara daerah asal S di g. Jadi, ST tidak ada. 15 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



g



7). Diketahui : garis g adalah sumbu X sebuah sumbu ortogonal dan h  x, y  y  x. Ditanyakan : a). Persamaan garis Mh[Mg(g)] b). P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3) c). Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1) d). R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y) e). Besarnya  ROR” apabila O titik asal Penyelesaian: a). Mh[Mg(g)] = Mh(g) = Mh x,0, x  R Ingat! misalkan diketahui titik A (a, b), maka penerminan A terhadap garis y = x adalah A’ (b, a). Jadi Mh[Mg(g)] = 0, x , x  R. Jadi, diperoleh Mh[Mg(g)] adalah sumbu-Y sebuah sistem sumbu ortogonal. Jadi persamaan garis Mh[Mg(g)] adalah x = 0. b). Akan ditentukan P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3) Mh[Mg(P)] = Mh[Mg(0,3)] = Mh[(0,-3)] = (-3,0) Jadi P” = (-3,0). c). Akan ditentukan Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1) Mh(Q) = Mh(3,-1) = (-1,3) Diperoleh Q” = Mg[Mh(Q)] = Mg(-1,3) = (-1,-3) Jadi Q” = (-1,-3). d). Akan ditentukan R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y) R” = Mg[Mh(R)] = Mg[Mh(x, y)] = Mg(y, x) = (y,-x) Jadi R” = (y,-x). e). m(  ROR”) = ...? Cara 1 R(x,y) 16 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i O(0,0) α) R”(y,-x)



Misalkan m(  ROR”) = α 2



2



2



RR"  OR  OR"  2 OR OR" cos α















 x  y    y  x   x 2  y 2  y 2   x   2 x 2  y 2 y 2   x  cos α 2



2



2







2







 x 2  2 xy  y 2  y 2  2 xy  x 2  x 2  y 2  y 2  x 2  2 x 2  y 2 cos α











Jadi, m(  ROR”) = 90



 2 x  y cos α  0  cos α  0 2



2



 α  90 atau α  270 Cara 2 Menentukan besar  ROR” dengan O adalah titik asal R(x, y) dan R’’(y, -x). R dicerminkan dulu terhadap garis g = sumbu X, dilanjutkan dicerminkan terhadap garis h. Persamaan garis yang melalui O dan R adalah



y y0 x0  y R x y R  0 xR  0 xR Persamaan garis yang melalui O dan R’’ adalah



y y0 x0   y  R '' x y R ''  0 x R ''  0 x R '' Karena y R ''   x dan x R ''  y maka diperoleh OR  OR' ' . Jadi  ROR” = 90.



8). Diketahui : dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P Buktikan : Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P Bukti : Garis g dan h berpotongan di titik P, maka P  g dan P  h



 Diketahui Mg[Mh(A)] = P ..........(i) Akan dibuktikan jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P Karena P  g , menurut definisi pencerminan, Mg(P) = P ..........(ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh Mg[Mh(A)] = P = Mg(P)  Mh(A) = P ..........(iii) Karena P  h, menurut definisi pencerminan, Mh(P) = P ..........(iv) 17 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



Dari (iii) dan (iv) diperoleh Mh(A) = P = Mh(P)  A = P Jadi, jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P (terbukti)



 Diketahui A = P Akan dibuktikan jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P Karena A = P dan P  h, menurut definisi pencerminan, Mh(A) = Mh(P) = P Karena P  g , menurut definisi pencerminan, Mg(P) = P = Mg[Mh(A)] sehingga Mg[Mh(A)] = P Jadi, jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P (terbukti) Dari   dan  diperoleh : Jika dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P, maka Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P (terbukti).



9). Diketahui : andaikan g sumbu X dan h =



x, y  y  x



S adalah padanan yang didefinisikan sebagai berikut : Jika P  g maka S(P) = P, jika P  g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g Ditanyakan : a). Buktikan S suatu transformasi! b). Jika P = (x,y) sebuah titik sembarang, tentukan koordinat-koordinat titik S[Mg(P)]! c). Selidiki apakah S Mg = Mg S? d). Selidiki apakah S Mh = Mh S? Penyelesaian: a). Akan dibuktikan S suatu transformasi. S:VV Akan dibuktikan S bijektif. (i). Akan dibuktikan S surjektif. (1). Untuk P  g . Ambil sebarang P  V. Jelas prapeta P = P sebab S(P) = P. (2). Untuk P  g . Oleh karena V bidang euclide maka terdapat dengan tunggal P. dengan P  PT dimana T  g dan PT  g. 18 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



Sehingga PX = XT. Karena PX = XT maka X merupakan titik tengah PT . Jadi, X adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g atau X = S(P), karena X = S(P) maka P prapeta dari X. Dari (1) dan (2) diperoleh S surjektif. (ii). Akan dibuktikan S injektif. Ambil sebarang P, Q  V dengan P  Q. (1). Untuk P, Q  g . Jelas S(P) = P dan S(Q) = Q. Karena P  Q maka S(P)  S(Q). (2). Untuk P  g dan Q  g . Jelas S(P) = P dan S(Q) = X, dimana X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g, maka X  g . Karena P  g dan X  g maka P  X atau S(P)  S(Q). (3). Untuk P, Q  g . Jelas S(P) = Y, dimana Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g dan S(Q) = X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g. Andaikan S(P) = S(Q) atau Y = X. Karena Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g, misalkan ruas garis tersebut dinamakan PT dimana T  g . Maka Y  PT dan PY = YT Karena X = Y maka X  PT dan PX = XT ..........(*) Karena S(Q) = X maka X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g, maka X  UQ dan QX = XU ..........(**) Dari (*) dan (**) diperoleh PT dan UQ berimpit. Karena T  g dan U  g maka T = U dan P = Q, hal ini kontradiksi dengan P  Q. b). Diketahui P = (x, y). (i). Untuk P  g . Mg(P) = P maka S[Mg(P)] = P. (ii). Untuk P  g . Mg(P) = (x,-y). S[Mg(P)] = ( x,



1 y) . 2



c). Akan diselidiki apakah S Mg = Mg S. 19 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



Ambil sebarang P = (x, y). (i). Untuk P  g . M g (P)  P maka S [M g (P)]  S(P)  P    S [M g (P)]  M g [S(P)] S(P)  P maka M g [S(P)]  M g (P)  P 



(ii). Untuk P  g .



1  y)  2   S [M g (P)]  M g [S(P)] 1 1 S(P)  ( x, y ) maka M g [S(P)]  M g ( x, y )   2 2  M g (P)  ( x, y ) maka S [M g (P)]  S(P)  ( x,



Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh S [Mg (P)]  Mg [S(P)] atau S Mg = Mg S. d). Akan diselidiki apakah S Mh = Mh S. Ambil sebarang P = (x, y). (i). Untuk P  g .



1  M h (P)  (0, x) maka S [M h (P)]  (0, x) 2  M h [S(P)]  S [M h (P)]  S(P)  ( x, 0) maka M h [S(P)]  (0, x)  (ii). Untuk P  g .



1  M h (P)  ( y, x) maka S [M h (P)]  ( y, x) 2  M [S(P)]  S [M (P)]  h h 1 1 S(P)  ( x, y ) maka M h [S(P)]  ( y, x)  2 2  Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh M h [S(P)]  S [M h (P)] atau S Mh  Mh S.



10). Diketahui : g =



x, y  y  0 dan h = x, y  y  x



S transfomasi (yang didefinisikan seperti nomor 9) A = (2,-8) dan P = (x, y)



Tentukan koordinat-koordinat titik-titik berikut : a). Mh Mg S(A)



d). Mh S Mg(P)



b). Mg S Mh(A)



e). S2 Mh(P)



c). S Mh S(A)



f). S M2g(P)



Penyelesaian: a). A = (2, -8) A’ = S(A)



20 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



Sesuai definisi S (jika P  g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g) maka A’ adalah titik tengah garis yang melalui A dan  g. A’ = (



2  2 0  (8) , )  (2,4) . 2 2



Jadi, S(A) = (2,-4). A” = MgS(A) = Mg(2,-4) Sesuai definisi pencerminan, maka garis g adalah garis sumbu titik (2, -4) dan A”. Misal: A” = (a, b), maka: (2,0)  (



2a 4b a b , )  (2,0)  (1  ,  2)  a  2, b  4 2 2 2 2



Jadi, A” = MgS(A) = Mg(2,4) = (4,2) Selanjutnya A” (4,2) dicerminkan terhadap garis h =



x, y  y  x diperoleh A’” (2,4).



Jadi koordinat titik Mh Mg S(A) adalah A’” (2,4).



b). Diketahui A(2,-8) dicerminkan terhadap garis h =



x, y  y  x.



diperoleh A’ (-8,2) Selanjutnya A’ ditransformasikan terhadap S. Karena A’  g , maka hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui A’ dan  g. Titik potong garis yang melalui A’ dan  g adalah P(-8,0). Diperoleh titik A’(-8,2) dan P(-8,0). Jelas x1 = -8 dan y1 = 2, x2 = -8 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A’ dan P adalah



Diperoleh



= y = 2.



Jadi hasil transformasi A’ terhadap S adalah A” (x, y) = A” (-8, .2) = A” (-8,1). Kemudian A” (-8,1) dicerminkan terhadap garis g =



x, y  y  0 diperoleh A’” (-8,-1).



Jadi koordinat titik Mg S Mh(A) adalah A’” (-8,-1). c). Diketahui A(2,-8) ditransformasikan terhadap S. Karena A  g , maka hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui A dan  g. 21 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



Titik potong garis yang melalui A dan  g adalah P(2,0). Diperoleh titik A(2,-8) dan P(2,0). Jelas x1 = 2 dan y1 = -8, x2 = 2 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A dan P adalah



Diperoleh



= y = 8.



Jadi hasil transformasi A terhadap S adalah A’ (x, y) = A’ (2, .8) = A’ (2,4). Selanjutnya A’(2,4) dicerminkan terhadap garis h =



x, y  y  x diperoleh A”(4,2).



Kemudian A”(4,2) ditransformasikan terhadap S. Karena A”  g , maka hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui A” dan  g. Titik potong garis yang melalui A” dan  g adalah P(4,0). Diperoleh titik A”(4,2) dan P(4,0). Jelas x1 = 4 dan y1 = 2, x2 = 4 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A” dan P adalah



Diperoleh



= y = 2.



Jadi hasil transformasi A” terhadap S adalah A”’ (x, y) = A’” (4, .2) = A’” (4,1). Jadi koordinat titik S Mh S(A) adalah A’” (4,1). d). Diketahui titik P (x, y). Titik P (x, y) dicerminkan terhadap garis g =



x, y  y  0 diperoleh P’ (x, -y).



Selanjutnya P’(x, -y) ditransformasikan terhadap S. (i) Untuk P’  g . Diperoleh P’’(x, -y) = P’(x, -y). Kemudian P’’(x, -y) dicerminkan terhadap garis h = Jadi koordinat titik Mh S Mg(P) adalah P”’(- y, x).



22 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



x, y  y  x diperoleh P”’(-y, x).



(ii) Untuk P’  g ,. Jelas hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui P’ dan  g. Titik potong garis yang melalui P’ dan  g adalah Q (x, 0). Diperoleh titik P’(x, -y) dan Q (x, 0). Jelas x1 = x dan y1 = -y, x2 = x dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah



Diperoleh



= y.



Jadi hasil transformasi P’ terhadap S adalah P” (x, y). Kemudian P”(x, y) dicerminkan terhadap garis h =



x, y  y  x diperoleh P”’(



y, x).



Jadi koordinat titik Mh S Mg(P) adalah P”’( y, x).



e). Diketahui P(x, y). Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis h =



x, y  y  xdiperoleh P’(y, x).



Selanjutnya P’(y, x) ditransformasikan terhadap S. Jelas hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui P’ dan  g. Titik potong garis yang melalui P’ dan  g adalah Q (y, 0). Diperoleh titik P’(y, x) dan Q (y, 0). Jelas x1 = y dan y1 = x, x2 = y dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah



Diperoleh



= x.



Jadi hasil transformasi P’ terhadap S adalah P” (y, x). Kemudian P” (y,



x) ditransformasikan terhadap S. Jelas hasil transformasinya merupakan titik



tengah garis yang melalui P” dan  g. Titik potong garis yang melalui P” dan  g adalah Q (y, 0).



23 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



Diperoleh titik P” (y, x) dan Q (y, 0). Jelas x1 = y dan y1 = x, x2 = y dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah



Diperoleh



.



Jadi hasil transformasi P” terhadap S adalah P”’ (y, Jadi koordinat titik S2 Mh(P) adalah P”’ (y,



f).



x).



x).



Diketahui titik P(x, y).



x, y  y  0 diperoleh P’(x, -y). Selanjutnya P’(x, -y) dicerminkan terhadap garis g = x, y  y  0 diperoleh P’’(x, y). Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis g =



Kemudian P’’(x, y) ditransformasikan terhadap S. (i) Untuk P’’  g . Diperoleh P’’’(x, y) = P’’(x, y). Jadi koordinat titik S M2g(P) adalah P’’’(x, y). (ii) Untuk P’’  g ,. Jelas hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui P’’ dan  g. Titik potong garis yang melalui P’’ dan  g adalah Q (x, 0). Diperoleh titik P’’(x, y) dan Q (x, 0). Jelas x1 = x dan y1 = y, x2 = x dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah



Diperoleh



= y.



Jadi hasil transformasi P’’ terhadap S adalah P”’ (x, y). 24 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



Jadi koordinat titik S M2g(P)adalah P”’ (x, y). 11). Diketahui : andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus A, B, C adalah tiga buah titik, sehingga Mg(A) = B dan Mh(A) = C Ditanyakan : tentukan titik-titik a). M3g(A)



c). MhMgMhMhMg(A)



b). MhMgMh(A)



d). M2gM3h(A)



Penyelesaian:



A(-x,y)



g



B(x,y)



Misalkan seperti gambar berikut: h



a). M3g(A) = (MgMgMg)(A)



c). MhMgMhMhMgD(x,-y) (A) C(-x,-y) = (MhMgM2h)[Mg(A)]



= (MgMg)[Mg(A)] = (MgMg)(B)



= (MhMgM2h)(B)



= Mg[Mg(A)]



= (MhMg)[M2h(B)]



= Mg(A)



= (MhMg)(B)



=B



= Mh[Mg(B)] = Mh(A) =C



b). (MhMgMh)(A)= (MhMg)[Mh(A)]



d). M2gM3h(A) = (M2gMh)[M2h (A)]



= (MhMg)(C)



= (M2gMh)(A)



= Mh[Mg(C)]



= M2g[Mh(A)]



= Mh(D)



= M2g(C)



=B



=C



12). Diketahui : dua garis, g // h, titik-titik P dan Q, P  g dan P  h Ditanyakan : a). Lukislah P” = MgMh(P) dan Q” = MgMh(Q)! b). Berbentuk apakah segiempat PP”QQ”? c). Buktikan pendapat anda! Penyelesaian: a).



g



h



MgMh(Q) = Q” 25 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



Q’ = Mh(Q) Q



b). Segiempat PP”Q”Q berbentuk jajargenjang c). g // h, P” = MgMh(P), dan Q” = MgMh(Q) Jadi, P" Q" = MgMh( PQ ) Karena pencerminan suatu isometri, maka P" Q" // PQ dan



P" Q" = PQ , dengan demikian



segiempat PP”Q”Q suatu jajargenjang (berdasarkan teorema “segiempat yang memiliki sepasang sisi yang sejajar dan sama panjang adalah jajargenjang”).



13). Diketahui : g =



x, y  y  3, h = x, y  y  1, dan k sebuah garis yang melalui A = (1,4) dan B = (-



1,-2) Tentukanlah : a). Persamaan k’ = MgMh(k) b). Luas segiempat AA”BB” apabila A” = MgMh(A) dan B” = MgMh(B) c). Koordinat P” = MgMh(P), P” = MgMh(P) apabila P = (x, y) d). Nilai  dalam persamaan garis h  x, y  y  α apabila g  x, y  x  2, A = (5,1), dan A” = MhMg(A) = (-3,1) Penyelesaian: a). k’ = MgMh(k) Karena A(1,4)  k dan B(-1,-2)  k , sehingga A”=MgMh(A)  k dan B”=MgMh(B)  k . Diperoleh A” = MgMh(A) = Mg[Mh(1,4)] = Mg (1,-6) = (1,12), dan B” = MgMh(B) = Mg[Mh(-1,-2)] = Mg (-1,0) = (-1,6). Misal A” = ( x1 , y1 ) dan B” = ( x2 , y 2 ) sehingga x1 = 1 dan y1 = 12, x2 = -1 dan y2 = 6 Persamaan garis k’:



y  y1 x  x1 y  12 x 1    y 2  y1 x2  x1 6  12  1  1



26 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



y  12 x  1  6 2  y  12  3 ( x  1) 



 y  12  3 x  3  y  3x  9



Jadi, persamaan garis k ': y  3x  9



A”(1,12)



12



B”(-1,6)



6



A(1,4)



4



-1



1



B(-1,-2) -2 b). Dari gambar dapat dilihat bahwa AA”B”B membentuk bangun jajargenjang dengan alas(a) = 2 dan tinggi(t) = 8. Diperoleh luas jajargenjang = a x t = 2 x 8 = 16 Jadi, luas AA”B”B = 16 satuan luas. c). Diketahui titik P ( x, y) . Pencerminan titik P terhadap garis h = Karena garis h =



x, y  y  1,  Mh(P) = P’ ( x' , y' )



x, y  y  1, merupakan sumbu PP’, sehingga -1 merupakan titik tengah dari



dan y’:



y  y'  1  y  y'  2  y'   y  2 dan x'  x 2 Jadi, koordinat titik P’(x, -y – 2). Pencerminan titik P’ terhadap garis g =



27 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



x, y  y  3,  Mg[Mh(P)] = P” ( x", y")



y



Karena garis g =



x, y  y  3,



merupakan sumbu P’P”, sehingga 3 merupakan titik tengah dari y’



dan y”: y'  y"  3  y'  y"  6  y"  6  y'  y"  6  ( y  2)  y"  y  8 2



Dan x"  x'  x Jadi, koordinat titik P”(x, y + 8). d). h  x, y  y  α, g  x, y  x  2, A = (5,1), dan A” = MhMg(A) = (-3,1), berapa ? Pencerminan titik A terhadap garis g  x, y  x  2: Mg(A) = A’ ( x' , y' ) Karena garis g  x, y  x  2 merupakan sumbu AA’ (dari definisi pencerminan), sehingga x = 2 merupakan titik tengah 5 dan x’ sedangkan y’ = 1 (tetap). 5  x'  2  5  x'  4  x'  1 2



Jadi, A’ = Mg(5,1) = (-1,1) Pencerminan titik A’ terhadap garis h  x, y  y  α: A” = Mh(A’) = Mh(-1,1) = (-3,1) Karena garis h  x, y  y  α merupakan sumbu A’A” (dari definisi pencerminan), sehingga x =  merupakan titik tengah -1 dan -3 sedangkan y” = y = 1.  1  (3)  α  α  2 2



Jadi, α  2 . Jadi, persamaan garis h  x, y  y  2



14). Diketahui : dua garis, g  h, Q  g  h, dan sebuah titik P  g , dan P  h Ditanyakan : a). Lukislah A = MgMh(P) b). Selidiki apakah Q titik tengah AP ? c). Lukislah B = MhMg(P) Penyelesaian: a). A = MgMh(P) g Mh(P)=P’



S



A



R Q 28 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i P



h



b). Misalkan Mh(P) = P’ Maka PP' memotong h di titik R dan P' A memotong g di titik S. Karena P’ adalah pencerminan dari P maka PR = RP’ dan PP'  h. Karena A adalah pencerminan dari P’ maka P’S = SA dan P' A  g. Karena PP'  h dan g  h maka PP' // g sehingga RP’ = QS. Karena P' A g dan g  h maka P' A // h sehingga P’S = RQ. Perhatikan PRQ dan QSA PR = RP’ dan RP’ = QS maka PR = QS m(PRQ) = m(QSA) = 90 RQ = P’S dan P’S = SA maka RQ = SA Jadi berlaku aturan S Sd S. Berdasarkan sistem aksioma kekongruenan maka PRQ  QSA. Akibatnya PQ = QA. Karena PQ = QA dan PQ  PA dan QA  PA maka Q tengah-tengah PA . Jadi, titik Q pada pertengahan PA . c). B = MhMg(P) g



B



h



P



Mg(P)



15). Diketahui : h adalah sumbu-X dan g sumbu-Y sebuah sistem sumbu ortogonal A = (4,-3) dan P = (x,y) Tentukanlah : a). Koordinat-koordinat MhMg(A) dan MgMh(A) b). Koordinat-koordinat MhMg(P) c). Apakah MhMg dan MgMh? Penyelesaian: 29 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i



a). MhMg(A) = Mh[Mg(A)] = Mh[Mg(4,-3)] = Mh(-4,-3) = (-4,3) MgMh(A) = Mg[Mh(A)] = Mg[Mh(4,-3)] = Mg(4,3) = (-4,3) b). MhMg(P) = Mh[Mg(x, y)] = Mh(-x, y) = (-x,-y) c). MgMh(P) = Mg[Mh(x, y)] = Mg(x,-y) = (-x, -y) Ternyata MhMg(P) = (-x,-y) = MgMh(P). Jadi, MhMg(P) = MgMh(P).



30 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i