Hasil Kali Silang Atau Vektor [PDF]

Citation preview

TUGAS ANALISIS VEKTOR Tentang HASIL KALI SILANG ATAU VEKTOR, HASIL KALI TRIPEL, DAN HIMPUNAN VEKTOR-VEKTOR ESIPROKAL (RECIPROCAL)



Oleh kelompok 4 : LIZA SEPTINA



: 1714040008



AULIA RAHMAN : 1714040035 VELLA MEILINA : 1714040045



Dosen Pembimbing : Juli Afriadi, S.Pd., M.Pd



FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) IMAM BONJOL PADANG 2020 M / 1441H 1



A. HASIL KALI SILANG ATAU VEKTOR Hasil kali silang atau vektor dari A dan B adalah sebuah vektor C = A x B (Dibaca Asilang B). Besarnya A x B didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya A dan B dan sinus sudut



antara keduanya. Arah vektor C = A x B tegak lurus pada bidang yang memuat Adan



Bsedemikian rupa sehingga A, B, dan C membentuk sebuah sistem tangan-kanan. Disimbolkan sebagai berikut AxB



Dimana u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari A x B HUKUM-HUKUM YANG BERLAKU DALAM PERKALIAN SILANG 1. A x B = -B x A (Hukum komutatif tidak berlaku untuk hasil kali silang) 2. A x (B + C) = A x B + A x C



(Hukum distributif)



3. m ( A x B) = (mA) x B = A x (mB) = (A x B) m (dimana m adalah sebuah skalar) 4. i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k, j x k = i, k x i = j 5. Jika A = AxB=



′



′



′



′



6. Besarnya A x B sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B 7. Jika A x B = 0 dan A beserta B bukanlah vektor-vektor nol, maka A dan B sejajar PEMBUKTIAN HUKUM-HUKUM PERKALIAN SILANG 1. Akan dibuktika A x B = -B x A Untuk membuktikan hukum 1 ini, akan ditunjukkan secara grafis sebagai berikut



20



Perhatikan gambar (a)



C = A x B = ⎹ A⎹ ⎹ B⎹ Sin



Arah vektor C sedemikian rupa sehingga A , B dan C membentuk sebuah sistem tangan kanan Perhatikan gambar (b)



D = B x A = ⎹ B⎹ ⎹ A⎹ Sin



Arah vektor D sedemikian rupa sehingga B, A dan D membentuk sebuah sistem tangan kanan Dari uraian di atas diketahui bahwa D besarnya sama dengan C. Namun demikian, dilihat dari gambar (a) dan (b) D dan C memiliki arah yang berlawanan. Sehingga C = -D atau A x B = -B x A Jadi hukum komutatif tak berlaku untuk hasil kali silang. 2. Akan dibuktikan bahwa A x (B + C) = A x B + A x C A x (B + C) = = =



=[



′



′



′



′



′



′



= [



ሿ



′ ሿ



′



= ′



′ ′



′



=



=



[(



′



′



′



′



′



′



′



= A x B + A x C (terbukti)



′



′



′



′



ሿ ሿሿ



′



′



′



′



ሿ ′



′



′



′



′



′



′



′



k



ሿ ′



′



ሿ ′



ሿ



k+



′



k



′



′



′



′



′



′



′



3. Akan dibuktikan bahwa m ( A x B) = (mA) x B = A x (mB) = (A x B) m (dimana m adalah sebuah skalar)



21



a. Akan dibuktikan bahwa m ( A x B) = (mA) x B m ( A x B) = m ⎹ A⎹ ⎹ B⎹ Sin



= (m⎹ A⎹ ) ⎹ B⎹ Sin = (mA) x B



b. Akan dibuktikan (mA) x B = A x (mB) (mA) x B = m ⎹ A⎹ ⎹ B⎹ Sin



= ⎹ A⎹ (m ⎹ B⎹ Sin ) = A x (mB)



c. Akan dibuktikan bahwa m(A x B )= (A x B) m (A x B) m = m ⎹ A⎹ ⎹ B⎹ Sin = (⎹ A⎹ ⎹ B⎹ Sin = (A x B) m



Dari poin a, b, c diperoleh bahwa m ( A x B) = (mA) x B = A x (mB) = (A x B) m (terbukti)



4.



Akan dibuktikan bahwa i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = k, j x k = i, k x i = j Berdasarkan gambar di atas, terlihat bahwa sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang sama adalah 0 , sedangkan sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang berlainan adalah 90 . Dengan menggunakan definisi perkalian silang dua vektor, akan dibuktikan bahwa i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = k, j x k = i, k x i = j a. Akan di buktikan bahwa i x i = j x j = k x k = 0 i x i = ⎹ i⎹ ⎹ i⎹ sin 0 = (1)(1)(0) = 0



j x j = ⎹ j⎹ ⎹ j⎹ sin 0 = (1)(1)(0) = 0



22



k x k = ⎹ k⎹ k⎹ sin 0 = (1)(1)(0) = 0 jadi i x i = j x j = k x k = 0 (terbukti)



b. Akan di buktikan bahwa i x j = k, j x k = i, k x i = j i. i x j = ⎹ i⎹ ⎹ j⎹ sin 90 = (1)(1)(1) = 1



Besar i x j, dan sesuai defenisi arah i x j tegak lurus dengan bidang yang memuat i dan j , dalam hal ini adalah k Karena besar k sendiri adalah 1 maka i x j = k



ii. j x k = ⎹ j⎹ ⎹ k⎹ sin 90 = (1)(1)(1) = 1



Besar j x k, dan sesuai defenisi arah j x k tegak lurus dengan bidang yang memuat j dan k , dalam hal ini adalah i Karena besar k sendiri adalah 1 maka j x k = i



iii. k x i = ⎹ k⎹ ⎹ i⎹ sin 90 = (1)(1)(1) = 1



Besar k x i, dan sesuai defenisi arah k x i tegak lurus dengan bidang yang memuat k dan i , dalam hal ini adalah j Karena besar j sendiri adalah 1 maka k x i = j



5. Diketahu A =



′



AxB= AxB=



′



= ′



=



′ ′



′ ′



′



′



′ ′



′



′



′



′



′



′



′



Akan dibuktikan bahwa



′



′



′



′



′



+



+



Berdasarkan hukum 4 diketahui bahwa i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = k, j x k = i, k x i = j, juga menurut hukum 1 diperoleh A x B =



=



′



′ ′



′



sehingga ′



′



′ ′



23



+



′ +



′



+



=



+



+



=(



′



=



=



′ ′



+ ′



′



䁢 



6. Akan dibuktikan bahwa besarnya A x B sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B Beradsarkan gambar jajaran genjang disamping Luas jajar genjang = h⎹ B⎹ = (⎹ A⎹ Sin



= ⎹ A⎹ B⎹ Sin



⎹ B⎹



= AxB



Jadi besarnya A x B sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B 7. Akan dibuktikan bahwa jika A x B = 0 dan A beserta B bukanlah vektor-vektor nol, maka A dan B sejajar AxB=0



⤄ ⎹ A⎹ B⎹ Sin u = 0



(dengan 0



⤄ sin ⤄



Karena



0 0







(karea



diketahui



dan ⎹ u⎹ = 1







⎹



A⎹



maka A dan B sejajar (terbukti)



B. HASIL KALI TRIPLE



1. Hasil Kali Vektor Triple Hasil kali titik dan silang dari tiga buah vektor A, B dan C dapat menghasilkan hasil-kali yg mempunyai arti dalam bentuk - bentuk sebagai berikut: (A x B)C , A.(B x C) Hukum-hukum yg berlaku pada hasil kali tripel : 24



1. (A x B)C



A(B x C)



2. A(B x C) = B(C x A) = C(A x B). volume sebuah jajaran genjang ruang yang memiliki sisi A,B,C atau negative dari volume ini,sesuai dengan apakah A,B dan C membentuk sistem tangan kanan ataukah tidak. Jika: A=



′



B=



′



C=



′



′



′



′



A . (B x C) = 3. A x ( B x C )



(AxB)XC



4. A x ( B x C ) = ( A ◦ C )B – ( A ◦ B )C A x ( B x C ) = ( A ◦ C )B – ( B ◦ C )A PEMBUKTIAN HUKUM-HUKUM HASIL KALI TRIPEL 1. Akan dibuktikan bahwa (A ∙ B)C ≠ A(B ∙ C)



(A ∙ B)C = [(A1i + A2j + A3k) ∙ (B1i + B2j + B3k)](C1i + C2j + C3k) = (A 1B1 + A2B2 + A3B3)(C1i + C2j + C3k) = (A1B1C1 + A2B2C1 + A3B3C1)i + (A1B1C2 + A2B2C2 + A3B3C2)j+((A 1B1C3 + A2B2C3 + A3B3C3)k Sedangkan A(B ∙ C) = (A 1i + A2j + A3k)[(B1i + B2j + B3k) ∙ (C1i + C2j + C3k)] = (A 1i + A2j + A3k)(B1C1 + B2C2 + B3C3) = (A1B1C1 + A1B2C2 + A1B3C3)i + (A2B1C1 + A2B2C2 + (A2B3C 3)j+(A3B1C1 + A3B2C2 + A3B3C3)k Daari uraian di atas terlihat bahwa (A ∙ B)C ≠ A(B ∙ C) (terbukti).



25



2. Pada hukum kedua ini terdapat 3 hal yang harus dibuktikan, yaitu:



a. A ∙ (B × C) = B ∙ (C × A) = C ∙ (A × B) b. A ∙ (B × C) = volum sebuah jajaran genjang ruang yang memiliki sisi-sisi A,



B, dan C atau negatif dari volum ini, sesuai dengan apakah A, B, dan C membentuk sebuah sistem tangan kanan ataukah tidak. c. Jika A =A1i



A2 j



A3k, B = B1i



B2 j



B3k , dan C = C1i



C2 j



C3k ,



A1 A2 A3



Maka A.(B × C ) = B1 B2 B3



C1C2C3



Berikut akan dibuktikan satu-persatu



a. Akan dibuktikan bahwa A ∙ (B × C) = B ∙ (C × A) = C ∙ (A × B) 1) Akan dibuktikan bahwa A ∙ (B × C) = B ∙ (C × A)



A ∙ (B × C) = (A1i + A2j + A3k) ∙ [(B1i + B2j + B3k) × (C1i + C2j + C3k)] i



j



k



= (A1i + A2 j + A3 k ). B1 B2 B3



C1C2C3



= (A1i + A2 j + A3 k ).



B2 B3



C2C3



i-



B1 B3



C1C3



j+



B1 B2



C1C2



k



= (A1i + A2j + A3k) ∙ [(B2C3 − B3C2)i − (B1C3 − B3C1)j + (B 1C2 − B2C1)k] = (A1B2C3 − A1B3C2) − (A2B1C3 − A2B3C1) + (A3B1C2 − A3B2C1) = A 1B 2 C 3 − A 1B 3 C 2 − A 2B 1 C 3 + A 2B 3 C 1 + A 3 B 1C 2 − A 3 B 2C 1 = A3B1C 2 − A2B1C3 + A1B2C3 − A3B2C1 + A2B3C1 − A1B3C2 = B1(A3C2 − A2C3) + B2(A1C3 − A3C 1) + B3(A2C1 − A1C2) = B1(A3C2 − A2C3) − B2(A3C1 − A1C 3) + B3(A2C1 − A1C2) = (B1i + B2j + B3k) ∙ [(A3C2 − A2C3)i − (A3C1 − A1C3)j + (A2C1 − A1C2)k] = (B1i + B2 j + B3 k ).



C2C3 A2 A3



i26



C1C3 A1 A3



j+



C1C2 A1 A2



k



i



j



k



= (B1i + B2 j + B3 k ). C1C2C3 A1 A2 A3



= (B1i + B2j + B3k) ∙ [(C1i + C2j + C3k) × (A1i + A2j + A3k)] = B ∙ (C × A) 2) Akan dibuktikan bahwa B ∙ (C × A) = C ∙ (A × B)



B ∙ (C × A) = (B1i + B2j + B3k) ∙ [(C1i + C2j + C3k) × (A1i + A2j + A3k)] i



j



k



= (B1i + B2 j + B3 k ). C 1C2C3



A1 A2 A3 C2C3



= (B1i + B2 j + B3 k ).



A2 A3



i-



C1C3 A1 A3



j+



C1C2 A1 A2



k



= (B1i + B2j + B3k) ∙ [(A3C2 − A2C3)i − (A3C1 − A1C3)j + (A2C1 − A1C2)k] = B1(A3C2 − A2C3) − B2(A3C1 − A1C 3) + B3(A2C1 − A1C2) = B 1 A 3 C 2 − B 1 A 2 C 3 − B 2 A 3 C 1 + B 2A 1 C 3 + B 3A 2C 1 − B 3A 1C 2 = B3A2C 1 − B2A3C1 + B1A3C2 − B3A1C2 + B2A1C3 − B1A2C3 = C1(B3A2 − B 2A 3) + C2(B1A3 − B3A1) + C3(B2A1 − B1A2) = C1(B3A2 − B 2A 3) − C2(B3A1 − B1A3) + C3(B2A1 − B1A2) = (C1i + C2j + C3k) ∙ [(B3A2 − B2A3)i − (B3A1 − B1A3)j + (B2A1 − B1A2)k] = (C1i + C2 j + C3 k ).



A2 A3



B2 B3



i-



i



j



k



= (C1i + C2 j + C3 k ). A1 A2 A3 B1 B2 B3 27



A1 A3



B1 B3



j+



A1 A2



B1 B2



k



= (C1i + C2j + C3k) ∙ [(A1i + A2j + A3k) × (B1i + B2j + B3k)] = C ∙ (A × B) Dari 1) dan 2) diperoleh A ∙ (B × C) = B ∙ (C × A) = C ∙ (A × B) (terbukti). b. Akan dibuktikan bahwa harga mutlak A ∙ (B × C) = volum sebuah jajaran



genjang ruang (paralel-epipedum) yang memiliki sisi-sisi A, B, dan C, sesuai dengan apakah A, B, dan C membentuk sebuah sistemZtangan kanan ataukah tidak. Perhatikan gambar berikut. Misalkan n adalah normal-satuan terhadap jajar genjang I, yang searah dengan B × C dan misalkan h adalah tinggi dari titik



A h



terminal A di atas jajaran genjang I.



n



C



B



Volum paralel-epipedum = (tinggi h) (luas jajaran genjang I) = (A ∙ n)(|B × C|) = A ∙ {|B × C| n } = A ∙ (B × C) Jika A, B dan C tidak membentuk sebuah sistem tangan kanan maka A ∙ n < 0 dan volumnya = |A ∙ (B × C)|. c.. Akan dibuktikan bahwa jika C =C1i



C2 j



A = A1i



A2 j



A3k, B = B1i



B2 j



B3k , dan



C3k , A1 A2 A3



Maka A.(B × C ) = B1 B2 B3



C1C2C3



A ∙ (B × C) = (A1i + A2j + A3k) ∙ [(B1i + B2j + B3k) × (C1i + C2j + C3k)] 28



i



j



k



= (A1i + A2 j + A3 k ). B1 B2 B3



C1C2C3



= (A1i + A2 j + A3k ).



B2 B3



C2C3



i-



B1 B3



C1C3



j+



B1 B2



C1C2



k



= (A1i + A2j + A3k) ∙ [(B2C3 − B3C2)i − (B1C3 − B3C1)j + (B1C2 − B2C1)k] = (A1B2C3 − A1B3C2) − (A2B1C3 − A2B3C1) + (A3B1C2 − A3B2C1) = A1B2C3 − A1B3C2 − A2B1C3 + A2B3C1 + A3B1C2 − A3B2C1 = A3B1C2 − A2B1C3 + A1B2C3 − A3B2C1 + A2B3C1 − A1B3C2 Dengan menggunakan aturan sarrus untuk menghitung determinan maka diperoleh A1 A2 A3



A.(B × C ) = B1 B2 B3 (terbukti) C1C2C3



3. Akan ditunjukkan bahwa A × (B × C) ≠ (A × B) × C



A × (B × C) = (A 1i + A2j + A3k) × [(B 1i + B2j + B3k) × (C 1i + C2j + C3k)] i



j



k



= (A1i + A2 j + A3 k ). B1 B2 B3



C1C2C3



= (A1i + A2 j + A3 k ).



B2 B3



C2C3



i-



B1 B3



C1C3



j+



B1 B2



C1C2



k



= (A1i + A2j + A3k) × [(B2C3 − B3C2)i − (B1C3 − B3C1)j + (B1C2 − B2C1)k]



29















i



























j



























k



=







A1























A2























A3







B2C3 - B3C2



B3C1 - B1C3



B1C2 - B2C1











A2























A3







B3C1 - B1C3



B1C2 - B2C1



=+











A1























A2







i-



B2C3 - B3C2



B3C1 - B1C3











A1























A3







B2C3 - B3C2



B1C2 - B2C1



j



k



= [A2(B 1C2 − B2C1) − A3(B1C3 − B3C1)]i − [A1(B1C2 − B2C 1) − A3(B2C3 − B3C2)]j +[A1(B1C3 − B3C1) − A2(B2C3 − B3C2)]k = [A2B1C2 − A2B2C1 − A3B1C3 + A3B3C1]i −[A1B1C2 − A1B2C1 − A3B2C3 + A3B3C2]j+[A1B1C3 − A1B3C1 − A2B2C3 + A2B3C2]k (A × B) × C = [(A 1i + A2j + A3k) × (B 1i + B2j + B3k)] × (C 1i + C2j + C3k) i











j







k



= A1



A2



A3 × (C1i + C2 j + C3 k ) B1



B2



B3



=



A2 A3



B2 B3



i-



A1 A3



B1 B3



j+



A1 A2



B1 B2



k × (C1i + C2 j + C3 k )



= [(A2B3 − A3B2)i − (A1B3 − A3B1)j + (A1B2 − A2B1)k] × (C1i + C2j + C3k) i







































j



























k



= A2 B3 - A3 B2



A1 B3 - A3 B1



A1 B2 - A2 B1















C1























C2























C3



30



=











A1 B3 - A3 B1







A1 B2 - A2 B1



i-



+











A2 B3 - A3 B2







A1 B3 - A3 B1



k























C2



























C3























C1



























C2











A2 B3 - A3 B2







A1 B2 - A2 B1























C1



























C3



j



= [C3(A1B3 − A3B1) − C2(A1B 2 − A2B1)]i − [C3(A2B3 − A3B2)− C1(A1B2 − A2B1)]j +[C2(A2B3 − A3B2) − C 1(A1B 3 − A3B1)]k = [A1B3C3 − A3B1C3 − A1B2C2 + A2B1C2]i−[A2B3C3 − A3B2C3 − A1B2C1 + A2B1C1]j+[A2B3C2 − A3B2C2 − A1B3C1 + A3B1C1]k Dari hasil di atas terlihat bahwa A × (B × C ) ≠ ( A × B ) × C (tertunjuk). Hal ini berarti hukum asosiatif untuk hasil kali tripel vektor tidak berlaku. 4. Pada hukum 4 ini adakan dibuktikan 2 hal, yaitu:



a. A × (B × C) = (A ∙ C)B − (A ∙ B)C b. (A × B) × C = (A ∙ C)B − (B ∙ C)A Berikut dilakukan pembuktian satu-persatu a. Akan dibuktikan bahwa A × (B × C) = (A ∙ C)B − (A ∙ B)C



A × (B × C) = (A1i + A2j + A3k) × [(B1i + B2j + B3k) × (C1i + C2j + C3k)] i



j



k



= (A1i + A2 j + A3 k ). B1 B2 B3



C1C2C3



= (A1i + A2 j + A3 k ).



B2 B3



C2C3



i-



B1 B3



C1C3



j+



B1 B2



C1C2



k



= (A1i + A2j + A3k) × [(B2C3 − B3C2)i − (B1C3 − B3C1)j + (B1C2 − B2C1)k] = (A1i + A2j + A3k) × [(B2C3 − B3C2)i + (B3C1 − B1C3)j + (B 1C2 − B2C1)k]



31















i



























j



























k



=







A1























A2























A3







B2C3 - B3C2



B3C1 - B1C3



B1C2 - B2C1



=











A2























A3







B3C1 - B1C3



B1C2 - B2C1



+











A1























A2







i-



B2C3 - B3C2



B3C1 - B1C3











A1























A3







B2C3 - B3C2



B1C2 - B2C1



j



k



= [A2(B1C2 − B2C1) − A3(B3C1 − B1C3)]i−[A1(B1C2 − B2C1) − A3(B2C3 − B3C2)]j+[A1(B3C1 − B 1C3) − A2(B2C3 − B3C2)]k = [A2B1C2 − A2B2C1 − A3B3C1 + A3B1C3]i−[A1B1C2 − A1B2C1 − A3B2C3 + A3B3C2]j+[A1B3C1 − A1B1C3 − A2B2C3 + A2B3C2]k = A2B1C2i − A2B2C1i − A3B3C1i + A3B1C3i − A1B1C2j + A1B2C 1j+A 3B2C3j − A 3B 3C 2 j + A 1 B 3C 1 k − A 1B 1 C 3k − A 2 B 2C 3 k + A 2 B 3C 2 k = A 1 B 1C 1 i + A 2 B 1C 2 i + A 3B 1 C 3i + A 1B 2C 1 j + A 2 B 2C 2 j + A 3 B 2C 3 j +A 1B3C1k + A2B3C2k + A3B3C3k − A1B1C1i − A2B2C1i − A3B3C 1i−A1B1C2j − A2B2C2j − A3B3C2j − A1B1C3k − A2B2C3k − A3B 3C3k = [A 1B1C1i + A2B1C2i + A3B1C3i + A1B2C1j + A2B2C2j + A3B2C3j +A1B3C1k + A2B3C2k + A3B3C3k] − [A 1B1C 1i + A2B2C1i + A3B3C1i+A1B1C2j + A2B2C2j + A3B3C2j + A1B1C3k + A2B2C3k + A3B 3C3k] = [(A1C 1 + A2C2 + A3C3)B1i + (A1C1 + A2C2 + A3C3)B2j+(A1C1 + A2C2+ A3C3)B3k] − [(A1B1 + A2B2 + A3B3)C1i +(A1B1 + A2B2 + A3B3)C2j + (A1B1 + A2B2 + A3B3)C3k] = [(A1C1 + A2C2 + A3C3)(B1i + B2j + B3k)]−[(A1B1 + A2B2 + A3B3)(C1i + C2j + C3k)]



32



= [{(A1i + A2j + A3k) ∙ (C1i + C2j + C3k)}(B1i + B2j + B3k)] −[{(A1i + A2j + A3k) ∙ (B1i + B2j + B3k)}(C1i + C2j + C3k)] = (A ∙ C )B − (A ∙ B )C b. Akan dibuktikan bahwa (A × B) × C = (A ∙ C)B − (B ∙ C)A



Dari poin a diperoleh A × (B × C) = (A ∙ C)B − (A ∙ B)C dan menurut hukum 1 A × B = −B × A, sehingga (A × B) × C = −C × (A × B) = −{(C ∙ B)A − (C ∙ A)B} = −(C ∙ B)A + (C ∙ A)B = (C ∙ A)B − (C ∙ B)A Berdasarkan hukum 1 perkalian titik bahwa A ∙ B = B ∙ A maka (A × B) × C = (A ∙ C)B − (B ∙ C)A (terbukti).



Contoh : 1. Bila P = P1i + P2j + P3k, Q = Q1i + Q2j + Q3k, R= R1i + R2j + R3k. Buktikan bahwa P · (Q x R) = 2. Bila A = 2i – 3j , B = i + j – k ,C = 3i – k, hitunglah A · (B x C) 3. Tentukan persamaan untuk bidang yg ditentukan oleh titik – titik M(-1, 3, 2) ? 4. Buktikan A x (A x (A ◦ B) = (A x A) (B x A) ! Jawab : 33



K(2,-1, 1), L(3, 2, -1) dan



1. P . (Q x R) = P = =



ሿ



′



′



′



′



′



= 2. Cara 1 A . (B x C) = ( 2i – 3j ) . = (2i -3j – 0) . (-i – 2j – 3k) = -2 -16 + 0 =4 Cara 2 A . (B x C) = .



= -2 + 6 = 4



3. Vektor2kedudukan dari K, L, M dan sebarang titik N(x,y,z) adalah : A1 = 2i – j + k, A2 = 3i + 2j – k, A3 = - i + 3j – 2k dan A = xi + yj + zk. Maka : NK = A – A1 = (x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k LK = A2 – A1 = (3 – 2)i + (2 + 1)j + (-1 – 1)k = i + 3j – 2k MK = A3 – A1 = (-1 – 2)i + (3+1)j (2- 1)k = - 2i + 4j + k Semuanya terletak pada bidang yg dikehendaki, sehingga : NK · (LK x MK) = 0 A – A1 · [(A2 – A1) x (A3 – A1)] [(x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k] · [(i + 3j –2k) x (- 3i + 4j + k)] = 0



34



.



[(x – 2)i + (y + 1)j + (z – 1)k] · (11i + 5j + 13k) = 0 11(x – 2) + 5(y + 1) + 13(z – 1) = 0 11x – 22 + 5y + 5 + 13z – 13 11x + 5y + 13z = 13 + 22 – 5 11x + 5y + 13z = 30 4. A x (A x (A x B) = (A ◦ A) (B x A) Misal : A x B = C Maka A x (A x (A ◦ B) = A x (A ◦ C) = (A ◦ C)A – (A ◦ A)C = (A x (A ◦ B)) A – (A ◦ A) (A ◦ B) = 0 (A) – (A ◦ A) (A x B) = - (A ◦ A) (A ◦ B) = (A ◦ A) (B x A) Jadi, terbukti A x (A x (A x B) = (A ◦ A) (B x A)



2.



Hasil Kali Skalar Tripel Hasil kali skalar tripel adalah skalar . untuk lebih jelas nya perhatikan Jika : ′



′



′



′



′



′ ′ 35



′



Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat: 1) Sehingga Nilai hasil kali hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya , letak tanda tidak mempengaruhi hasilnya . jika urutan vektornya ditukar



dan



nya



maka tanda nya akan berubah



sehingga :



2) Hasil kali skalar tripel



bila dan hanya bila



dan



sebidang



bukti : a.



dan Jika



sebidang



maka



atau salah satu dari



dan



 Apabila salah satu dari ,



atau



 Apabila



bisa diletakkan sebidang dengan



maka



vektor nol maka pasti ,



sebidang b. jika ,



dan



sebidang



jika ,



dan



sebidang, maka



sehingga



Arti Geometris dari Diberikan vektor



dan



36



vektor nol , berarti : dan



sebidang



dan



sehingga



,



dan



Gambar 1 vektor



dan



= = = = = luas jajaran genjang OADB = cos Jadi



=



= tinggi



cos diatas bidang OABD



= volume bidang enam OADB-CEFG disusun oleh



Catatan :



luas jajaran genjang OABC



sin



37



=



dan



Contoh : Bila A =2i -3j , B= i + j – k, C= 3i – k , Hitunglah A



?



Jawab : A



= ( 2i -3j ) = (2i -3j +0 ) ((-1)- 2j - 3k) = -2 + 6+0 =4



C. HIMPUNAN VEKTOR-VEKTOR RESIPROKAL (RECIPROCAL) Himpunan vektor2 A, B, C dan A’, B’, C’ disebut himpunan atau sistem vektor-vektor resiprokal bila : A’ · A = B’ · B = C · C’ = 1 A’ · B = A’ · C = B’ · A = B’ · C = C’ · A = C’ · B = 0 Himpunan A, B, C dan A’, B’, C’ adalah himpunan vektor - vektor Resiprokal jika dan hanya jika : A’ =



BxC



,



CxA



B’ =



,



C’ =



BxA



dimana A · B x C ≠ 0 contoh: 1. Bila diketahui vektor A = 2i + 3j – k , B = i – j – 2k , dan



C = - i + 2j + 2k. Tentukan



suatu himpunan vektor-vektor Resiprokal terhadap himpunan vektor-vektor tersebut ? Jawab: A’ =



BxC



BxC=



,



B’ =



CxA



,



C’ =



BxA



= i(2) – j(0) + k = 2 i – 0j + k



38



BxC



A’ = A



BxC



′



=



CxA=



= i+ k



= i (-8) + j (3) – k (-7) = - 8i + 3j – 7k



B’ = A



CxA



BxC



t



=



AxB=



t



=-



i+j- k



= i(-7) + j(3) + k(-5) = - 7i + 3j – 5k AxB



C’ = A



BxC



=



t′



t



t



t



=- i+j- k



2. Dari ketentuan (rumus) di atas buktikan bahwa A’ · A = B’ · B = 1 ? Jawab : A’ · A = B’ · B = 1 A’ · A = A · A’ = A · A



B’ · B = B · B’ = B ·



BxC



BxC



=



=



=1 =1



39



40