2 - Diferensiasi Numerik - Doc [PDF]

Citation preview

DIFERENSIASI NUMERIK Materi Kuliah: Pengantar; Pendekatan Forward, Backward, dan Centered/ Central Difference



PENGANTAR Misalnya: y = f (x), dan ingin dicari harga Berdasarkan definisi matematika:



dy (atau turunan y terhadap x) pada x = x0 dx



dy lim f ( x   x )  f ( x)  dx  x  0 x



Pada diferensiasi numerik yang sederhana, harga x  0 didekati dengan sebuah bilangan kecil h, sehingga akan diperoleh: Cara forward



:



dy f ( x  h)  f ( x )  dx h



Cara backward



:



dy f ( x)  f ( x  h)  dx h



Cara central atau centered :



dy f ( x  h )  f ( x  h )  dx 2h



Menurut teori:  pendekatan dengan central merupakan yang terbaik.  makin kecil h, hasil/ pendekatan makin baik Secara grafik, ketiga macam bentuk diferensiasi tersebut disajikan dalam visualisasi berikut ini: y



2



3 y = f (x)



1 4 2h h i-1



h i



i+1



Keterangan: 1: Forward difference approximation 2: Backward difference approximation 3: Centered difference approximation 4: True derivative



x



Contoh Ilustratif: Pada gerak lurus suatu benda, posisi (jarak dari titik tertentu) benda tersebut pada berbagai waktu dapat dinyatakan dengan persamaan: x  2 t 3 dengan x dalam meter dan t dalam detik Posisi benda pada berbagai waktu dapat dicari sbb.:



t (detik) 0 1 2 3 4



x (m) 0 2 16 54 128



dy/analisis numerik/diferensiasi numerik/halaman 1 dari 10



Kecepatan rata-rata: 20  2 m/detik 1 0 16  2 dari t = 1 hingga t = 2:  14 m/detik 2 1 16  0 dari t = 0 hingga t = 2:  8 m/detik 2 0 (Jadi, apakah kesimpulan yang dapat Anda ambil...?)



dari t = 0 hingga t = 1:



Yang ditunjukkan oleh speedometer: kecepatan sesaat Misal, ingin dicari kecepatan sesaat pada saat t = 1 detik Hal ini dapat didekati dengan kecepatan rata-rata antara t = 1 detik dan t = 1,1 detik: x  x t 1 2 (1,1)3  2 (1)3 v 11,1  t 1,1   6, 62 m/detik 1,1  1 0,1 Jika t yang dipakai lebih kecil: t = 0,01: x  x t 1 2 (1, 01)3  2 (1)3 v 11,01  t 1,01   6, 06 m/detik 1, 01  1 0, 01 t = 0,001: x  x t 1 2 (1, 001)3  2 (1)3 v 11,001  t 1,001   6, 006 m/detik 1, 001  1 0, 001 Kecepatan sesaat:



v



lim



x t  t  x t



t  0



t







dx  x' dt



Bandingkan hasil-hasil di atas dengan diferensiasi secara analitik: dx  6 t2 x  2 t3  v  dt dx  6 (1)2  6 m/detik Pada t = 1: v t 1  dt t 1 (Kesimpulan: Jika menggunakan t yang makin kecil, maka nilai kecepatan rata-rata akan mendekati kecepatan sesaat.)



Penjabaran First Forward Finite-Divided Difference 2 Titik dari Deret Taylor Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan forward: h2 f ( xi 1 )  f ( xi )  h f '( xi )  f ''( xi )  ... 2 h2 f ( xi 1 )  f ( xi )  h f '( xi )  f ''( xi )  ... 2 f ( xi 1 )  f ( xi ) h f '( xi )   f ''( xi )  ... h 2



... (1)



( h) ≡ error



dy/analisis numerik/diferensiasi numerik/halaman 2 dari 10



Dengan mengabaikan suku-suku yang mengandung turunan lebih tinggi, maka: f ( xi 1 )  f ( xi ) f '( xi )  dengan: h ≡ step size h (formula first forward finite-divided difference 2 titik)



... (2)



Penjabaran First Backward Finite-Divided Difference 2 Titik dari Deret Taylor Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan backward: h2 f ( xi 1 )  f ( xi )  h f '( xi )  f ''( xi )  ... 2 h2 f ( xi )  f ( xi 1 )  h f '( xi )  f ''( xi )  ... 2 f ( xi )  f ( xi 1 ) h f '( xi )   f ''( xi )  ... h 2 ( h) ≡ error Dengan mengabaikan suku-suku yang mengandung turunan lebih tinggi, maka: f ( xi )  f ( xi 1 ) f '( xi )  h (formula first backward finite-divided difference 2 titik)



... (3)



... (4)



Penjabaran First Centered Finite-Divided Difference 2 Titik dari Deret Taylor Pendekatan centered menggabungkan kedua pendekatan sebelumnya: h2 h3 f ( xi 1 )  f ( xi )  h f '( xi )  f ''( xi )  f '''( xi )  ... 2 6 h2 h3 f ( xi 1 )  f ( xi )  h f '( xi )  f ''( xi )  f '''( xi )  ... 2 6 h3 f '''( xi )  ... Kurangkan (22) dari (20), maka: f ( xi 1 )  f ( xi 1 )  2h f '( xi )  3 f ( xi 1 )  f ( xi1 ) h 2 f '( xi )   f '''( xi )  ... 2h 6



... (1) ... (3)



( h 2 ) ≡ error f ( xi 1 )  f ( xi 1 ) 2h (formula first centered finite-divided difference 2 titik)



sehingga: f '( xi ) 



... (5)



Penjabaran First Forward Finite-Divided Difference 3 Titik dari Deret Taylor Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan forward: dy/analisis numerik/diferensiasi numerik/halaman 3 dari 10



h2 h3 f ( xi 1 )  f ( xi )  h f '( xi )  f ''( xi )  f '''( xi )  ... 2 6 (2h) 2 (2h)3 f ( xi  2 )  f ( xi )  2h f '( xi )  f ''( xi )  f '''( xi )  ... 2 6 Kalikan (1) dengan 4, selanjutnya kurangkan ke (6), maka: 2h 3  f ( xi  2 )  4 f ( xi 1 )  3 f ( xi )  2 h f '( xi )  f '''( xi )  ... 3  f ( xi  2 )  4 f ( xi 1 )  3 f ( xi ) h 2 f '( xi )   f '''( xi )  ... 2h 3 ( h 2 ) ≡ error  f ( xi  2 )  4 f ( xi 1 )  3 f ( xi ) sehingga: f '( xi )  2h (formula first forward finite-divided difference 3 titik)



... (1) ... (6)



... (7)



Penjabaran Second Forward Finite-Divided Difference 3 Titik dari Deret Taylor Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan forward: h2 h3 f ( xi 1 )  f ( xi )  h f '( xi )  f ''( xi )  f '''( xi )  ... 2 6 (2h) 2 (2h)3 f ( xi  2 )  f ( xi )  2h f '( xi )  f ''( xi )  f '''( xi )  ... 2 6 Kalikan (1) dengan 2, selanjutnya kurangkan dari (6), sehingga: f ( xi  2 )  2 f ( xi 1 )  f ( xi )  h 2 f ''( xi )  h 3 f '''( xi )  ... f ( xi  2 )  2 f ( xi 1 )  f ( xi ) f ''( xi )   h f '''( xi )  ... h2 ( h) ≡ error f ( xi 2 )  2 f ( xi 1 )  f ( xi ) sehingga: f ''( xi )  h2 (formula second forward finite-divided difference 3 titik)



... (1) ... (6)



... (8)



SECARA UMUM Berdasarkan 5 (lima) contoh penjabaran tersebut di atas, secara umum, proses penjabaran diferen-siasi numerik untuk kasus:  turunan yang melibatkan jumlah titik data lebih banyak, atau  turunan yang lebih tinggi dapat dilakukan dengan mengekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) dan mengikuti langkahlangkah manipulasi aljabar yang sama atau analog. Secara umum, berlaku: 1. Hasil pendekatan turunan akan semakin baik jika:  h (step size) semakin kecil, atau  menggunakan jumlah titik data semakin banyak 2. Pendekatan centered difference memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan forward dan backward difference. dy/analisis numerik/diferensiasi numerik/halaman 4 dari 10



Berikut ini adalah ringkasan tiga bentuk finite-difference untuk turunan pertama dan kedua: Forward Finite-Divided-Difference: Turunan pertama: f ( xi 1 )  f ( xi ) (2 titik) f '( xi )  h  f ( xi  2 )  4 f ( xi 1 )  3 f ( xi ) (3 titik) f '( xi )  2h Turunan kedua: f ( xi  2 )  2 f ( xi 1 )  f ( xi ) (3 titik) f ''( xi )  h2  f ( xi  3 )  4 f ( xi  2 )  5 f ( xi 1 )  2 f ( xi ) (4 titik) f ''( xi )  h2 Backward Finite-Divided-Difference: Turunan pertama: f ( xi )  f ( xi 1 ) (2 titik) f '( xi )  h 3 f ( xi )  4 f ( xi 1 )  f ( xi  2 ) (3 titik) f '( xi )  2h Turunan kedua: f ( xi )  2 f ( xi 1 )  f ( xi 2 ) (3 titik) f ''( xi )  h2 2 f ( xi )  5 f ( xi 1 )  4 f ( xi 2 )  f ( xi 3 ) (4 titik) f ''( xi )  h2 Centered Finite-Divided-Difference: Turunan pertama: f ( xi 1 )  f ( xi 1 ) (2 titik) f '( xi )  2h  f ( xi  2 )  8 f ( xi 1 )  8 f ( xi 1 )  f ( xi 2 ) (4 titik) f '( xi )  12 h Turunan kedua: f ( xi 1 )  2 f ( xi )  f ( xi 1 ) (3 titik) f ''( xi )  h2  f ( xi  2 )  16 f ( xi 1 )  30 f ( xi )  16 f ( xi 1 )  f ( xi  2 ) (5 titik) f ''( xi )  12 h 2



Error



(h) (h2) Error



(h) (h2)



Error



(h) (h2) Error



(h) (h2) Error



(h2) (h4) Error



(h2) (h4)



CONTOH 1#: Gunakan finite divided difference approximation (forward, backward, dan centered) untuk menentukan nilai turunan pertama dari fungsi: f ( x )  0,1 x 4  0,15 x 3  0,5 x 2  0, 25 x  1, 2 pada x = 0, menggunakan step size h = 0,5. Ulangi perhitungan dengan menggunakan h = 0,3 dan h = 0,1. Bandingkan hasil-hasilnya…! PENYELESAIAN:  Dengan step size h = 0,5: Pada x = 0:



f (0)  0,1 (0) 4  0,15 (0)3  0, 5 (0) 2  0, 25 (0)  1, 2  1, 2 dy/analisis numerik/diferensiasi numerik/halaman 5 dari 10



Pada x = 0 + 0,5 = 0,5: f (0,5)  0,1 (0,5) 4  0,15 (0,5)3  0,5 (0,5)2  0, 25 (0, 5)  1, 2  0,925 Pada x = 0 - 0,5 = -0,5: f (0,5)  0,1 (0,5)4  0,15 (0, 5)3  0, 5 (0,5) 2  0, 25 (0, 5)  1, 2  1, 2125 Dengan demikian, nilai turunan fungsi pada x = 0 dengan pendekatan: f (0,5)  f (0) 0,925  1, 2 f '(0)    0,55 Forward: 0,5 0,5 f (0)  f (0,5) 1, 2  1, 2125   0, 025 Backward: f '(0)  0, 5 0, 5 f (0, 5)  f (0, 5) 0,925  1, 2125 Centered: f '(0)    0, 2875 (2) (0, 5) (2) (0,5)  Dengan cara yang sama, untuk step size h = 0,3: Pada x = 0: f (0)  0,1 (0) 4  0,15 (0)3  0, 5 (0) 2  0, 25 (0)  1, 2  1, 2 Pada x = 0 + 0,3 = 0,3: f (0,3)  0,1 (0, 3) 4  0,15 (0,3)3  0,5 (0,3)2  0, 25 (0,3)  1, 2  1, 0751 Pada x = 0 - 0,3 = -0,3: f (0,3)  0,1 (0,3)4  0,15 (0, 3)3  0,5 (0, 3) 2  0, 25 (0, 3)  1, 2  1, 2332 Dengan demikian, nilai turunan fungsi pada x = 0 dengan pendekatan: f (0,3)  f (0) 1, 0751  1, 2 f '(0)    0, 4162 Forward: 0,3 0,3 f (0)  f (0,3) 1, 2  1, 2332   0,1108 Backward: f '(0)  0,3 0, 3 f (0, 3)  f (0,3) 1, 0751  1, 2332 Centered: f '(0)    0, 2635 (2) (0,3) (2) (0,3)  Dengan cara yang sama, untuk step size h = 0,1: Pada x = 0: f (0)  0,1 (0) 4  0,15 (0)3  0, 5 (0) 2  0, 25 (0)  1, 2  1, 2 Pada x = 0 + 0,1 = 0,1: f (0,1)  0,1 (0,1)4  0,15 (0,1)3  0,5 (0,1)2  0, 25 (0,1)  1, 2  1,1698 Pada x = 0 - 0,1 = -0,1: f (0,1)  0,1 (0,1)4  0,15 (0,1)3  0, 5 (0,1)2  0, 25 (0,1)  1, 2  1, 2201 Dengan demikian, nilai turunan fungsi pada x = 0 dengan pendekatan: f (0,1)  f (0) 1,1698  1, 2 f '(0)    0,3016 Forward: 0,1 0,1 f (0)  f (0,1) 1, 2  1, 2201   0, 2014 Backward: f '(0)  0,1 0,1 f (0,1)  f (0,1) 1,1698  1, 2201 Centered: f '(0)    0, 2515 (2) (0,1) (2) (0,1)  Untuk mengecek kedekatan hasil-hasil di atas dengan turunan secara analitik, persamaan: f ( x )  0,1 x 4  0,15 x 3  0,5 x 2  0, 25 x  1, 2 diturunkan satu kali terhadap x, sehingga menghasilkan: dy/analisis numerik/diferensiasi numerik/halaman 6 dari 10



f '( x )  0, 4 x 3  0, 45 x 2  x  0, 25 Pada x = 0: f '(0)  0, 4 (0)3  0, 45 (0) 2  (0)  0, 25  0, 25 Hasil-hasil diferensiasi secara numerik pada ketiga kasus di atas dapat diringkas sbb.: Step size, h Cara forward Cara backward Cara centered 0,5 -0,55 -0,025 -0,2875 0,3 -0,4162 -0,1108 -0,2635 0,1 -0,3016 -0,2014 -0,2515 Berdasarkan ringkasan hasil perhitungan tersebut di atas, apakah kesimpulan Anda...? CONTOH 2# (Contoh Aplikasi): Berikut ini adalah data kinetika sebuah reaksi homogen-searah dalam reaktor sistem batch isotermal (t [=] menit, C [=] mol.m-3): t C t C t C t C t C 0 25,0000 25 7,1626 50 2,0521 75 0,5879 100 0,1684 5 19,4700 30 5,5783 55 1,5982 80 0,4579 105 0,1312 10 15,1633 35 4,3443 60 1,2447 85 0,3566 110 0,1022 15 11,8092 40 3,3834 65 0,9694 90 0,2777 115 0,0796 20 9,1970 45 2,6350 70 0,7549 95 0,2163 120 0,0620 dC Tentukan nilai-nilai kecepatan reaksi: r    C '(t ) dt pada setiap titik data, dgn menggunakan finite-divided difference cara: (a) forward, (b) backward, dan (c) centered atau central. Bandingkan ketiganya dan bandingkan juga dengan penurunan secara analitik (yakni dengan melalui proses curve-fitting)



DERIVATIVES OF UNEQUALLY SPACED DATA Untuk sekumpulan data yang melibatkan interval x yang tidak sama (misal: data yang diperoleh dari eksperimen), nilai turunannya dapat diperkirakan melalui pendekatan interpolasi polinomial Lagrange orde dua. Dengan menggunakan 3 titik data yang berdekatan:



(xi-1, f (xi-1)), (xi, f (xi)), dan (xi+1, f (xi+1)) Melalui penurunan secara analitik, diperoleh: 2 x  xi  xi1 2 x  xi 1  xi 1 f '( x )  f ( xi 1 )  f ( xi ) ( xi 1  xi )( xi 1  xi 1 ) ( xi  xi 1 )( xi  xi 1 ) 2 x  xi 1  xi  f ( xi 1 ) ( xi 1  xi 1 )( xi 1  xi )



... (9)



(Dalam hal ini, x merupakan nilai variabel bebas yang ingin dievaluasi turunannya) CONTOH 3# (Contoh Aplikasi): Aplikasi Diferensiasi Numerik dalam Penentuan Akar Persamaan Tak Linier Tunggal dengan Metode Newton-Raphson Discounted Cash Flow Rate of Return (DCFRR) merupakan salah satu cara untuk mengevaluasi menarik atau tidaknya suatu investasi usaha. Investasi tersebut ekivalen dengan jika disimpan di bank dengan bunga tertentu. Misal diperoleh i%, maka i dy/analisis numerik/diferensiasi numerik/halaman 7 dari 10



dibandingkan dengan bunga di bank. Jika i > 1½ x bunga bank, maka investasi dianggap menarik. Misal pada awal proyek disediakan: Fixed capital = FC Working capital = WC Kemudian setiap tahun diperoleh pemasukan, cash flow = C (nilai C mungkin berubah setiap tahun). Misal umur sarana usaha tersebut n tahun, maka pada akhir tahun ke-n diperoleh kembali working capital (WC) dan salvage value (harga besi tua) = SV. Misal dipakai present value analysis, nilai i dapat ditentukan sedemikian sehingga: C C C WC  SV f (i )  FC  WC    .....   0 … (*) 2 n (1  i) (1  i ) (1  i) (1  i)n Misal: FC = Rp 300 milyar WC = Rp 200 milyar C = Rp 60 milyar / tahun n = 10 tahun SV= 10% FC = Rp 30 milyar Berapakah nilai i? Gunakan metode Newton-Raphson. Analisis Penyelesaian Soal: Ingat kembali penggunaan metode Newton-Raphson pada materi kuliah sebelumnya. Nilai i dapat dihitung secara iteratif dengan mengambil nilai tebakan awal i, misalnya, i0 = 0,1. Gunakan nilai step size i sebesar, misalnya, i = h = 0,01. Pilih salah satu pendekatan diferensiasi numerik yang akan digunakan, apakah: cara forward, backward, atau centered, untuk menentukan nilai fungsi turunan pertama dari persamaan (*) pada setiap langkah iterasinya. Silakan mencoba menyelesaikan. CONTOH 4# (Contoh Aplikasi): Aplikasi Diferensiasi Numerik dalam Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial (Tipe Parabolik) dengan Metode Eksplisit Persamaan konduksi panas (temperature distribution through a brick wall) yang diturunkan berdasarkan neraca energi di dalam brick wall sepanjang L:



T  2T  Cp k 2 t x dengan:







T  2T  2 t x



atau:



... (**)



k  Cp



Nilai awal (initial condition, IC): t=0 : T = T0 (untuk 0  x  L) Nilai batas (boundary condition, BC): T = T0 pada x = 0 (pada semua t) T = TL pada x = L (pada semua t) Bagaimana profil T sebagai fungsi waktu (t) dan spatial location (x), Ti,j? Analisis Penyelesaian Soal: First order time derivative didekati dengan forward difference approximation:



Ti , j  1  Ti , j T  t Ti , j t



  ( t )



Spatial derivatives didekati dengan central difference approximation:  2T x







2 Ti , j



Ti  1, j  2 Ti , j  Ti  1, j



x



2



  ( x 2 )



dy/analisis numerik/diferensiasi numerik/halaman 8 dari 10



Selanjutnya pendekatan-pendekatan turunan parsial tersebut disubstitusikan ke persamaan diferensial semula (persamaan (**)), sehingga diperoleh:



Ti , j 1  Ti , j



t







Ti , j 1  Ti , j 



Ti  1, j  2 Ti , j  Ti 1, j



 t  x2



 x2



T



i 1, j



 2 Ti , j  Ti 1, j 



(Karena semua nilai Ti,0 diketahui, maka semua nilai Ti,1 dapat dihitung secara langsung. Demikian seterusnya untuk Ti,2, Ti,3, ...) Nilai-nilai x dan t dapat ditentukan dan diturunkan/diperkecil hingga mencapai tingkat akurasi yang diinginkan.



SOAL-SOAL LATIHAN 1. Tentukan nilai turunan pertama fungsi-fungsi berikut ini dengan pendekatan forward difference (2 titik ( (h)) dan 3 titik ( (h2))), backward difference (2 titik ( (h)) dan 3 titik ( (h2))), serta central/centered difference (2 titik ( (h2)) dan 4 titik ( (h4))): (a) y  x 3  4 x  15 ; pada x = 0, dengan lebar langkah h = 0,5, h = 0,2, dan h = 0,1 (b) y  e x  x ; pada x = 1, dengan lebar langkah h = 0,25, h = 0,1, dan h = 0,05 Bandingkan dan berikan analisis terhadap hasil perhitungan yang Anda peroleh! Bandingkan juga dengan hasil yang diperoleh melalui perhitungan secara analitik! 2. Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini: (i) y  f ( x )  x 3  4 x  15 (pada x = 0; gunakan step size sebesar h = 0,5 dan 0,1) (ii) y  f ( x)  x 2 cos( x ) (pada x = 0,5; gunakan h = 0,2 dan 0,1) dengan: (a) forward difference dua titik dan tiga titik (b) central/ centered difference dua titik dan empat titik (c) backward difference dua titik dan tiga titik Berapakah hasilnya jika dihitung secara analitik? Bandingkan hasil-hasilnya dan berikan analisis atau komentar Anda! 3. Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini:  x (i) y  f ( x )  tan   (pada x = 3; gunakan step size sebesar h = 0,5 dan 0,1) 3 (ii) y  f ( x )  e x  x (pada x = 1; gunakan h = 0,5 dan 0,2) dengan: (a) forward difference dua titik dan tiga titik (b) central/ centered difference dua titik dan empat titik (c) backward difference dua titik dan tiga titik Berapakah hasilnya jika dihitung secara analitik? Bandingkan hasil-hasilnya dan berikan analisis atau komentar Anda!



dy/analisis numerik/diferensiasi numerik/halaman 9 dari 10



4. Gunakan data berikut ini untuk menentukan besarnya kecepatan (v) dan percepatan (a) dv d 2 x dx  pada t = 5 detik. Jangan lupa: v  dan a  dt dt 2 dt 2 3 4 5 6 7 8 Waktu, t (detik) 0 1 Posisi, x (meter) 0 0,7 1,8 3,4 5,1 6,5 7,3 8,0 8,4 Silakan Anda pilih dan gunakan cara yang berbeda-beda (misal: forward difference, backward difference, dan centered difference, baik untuk turunan pertama maupun kedua). Bandingkan hasil-hasil yang Anda peroleh dan berikan komentar. 5. Data berikut ini dikumpulkan pada saat pengisian tangki bahan bakar minyak: 0 15 30 45 60 90 120 t, menit V, 106 barrel 0,5 0,65 0,73 0,88 1,03 1,14 1,30



dV   Hitunglah laju alir minyak yang terkumpul pada setiap waktu pengamatan  Q   dt   6. Reaksi isomerisasi searah fase cair: A  B berlangsung dalam sebuah reaktor batch, dan menghasilkan data konsentrasi A tersisa (CA) vs waktu (t) sbb.: t (menit) CA (mol/L)



0 4,0



5 2,25



8 1,45



10 1,0



12 0,65



15 0,25



17,5 0,06



Jika persamaan laju reaksi dinyatakan dalam bentuk: rA  



d CA  k CA n , maka dt



besarnya orde reaksi (n) dan laju reaksi spesifik (k) dapat ditentukan. Gunakan diferensiasi numerik untuk menentukan:



 Selamat



d CA pada setiap titik data. dt



Belajar!!! 



dy/analisis numerik/diferensiasi numerik/halaman 10 dari 10