2 Vektor [PDF]

Citation preview

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana



MODUL PERTEMUAN KE – 2



MATA KULIAH : FISIKA DASAR (4 sks) MATERI KULIAH: Definisi Vektor, Komponen Vektor, Penjumlahan Vektor, Perkalian Vektor. POKOK BAHASAN:



VEKTOR 2.1



DEFINISI VEKTOR Skalar adalah besaran yang tidak mempunyai arah, misalnya waktu,



volume, energi, massa, densilitas, kerja. Penambahan skalar dilakukan dengan metode aljabar misalnya, 2 detik + 5 detik = 7 detik; 10 kg + 5 kg = 15 kg. Vektor



adalah



besaran



yang



mempunyai



arah,



misalnya



gaya,



perpindahan, kecepatan, impuls. Sebuah vektor dapat digambarkan dengan anak panah, dan anak panah ini disebut dengan vektor. Sebuah vektor dengan besar dan arah tertentu (Gambar 2-1). Titik A menyatakan arah, panjang 4 satuan menyatakan besar serta garis yang melalui AB menyatakan garis kerja vektor.



B



A Gambar 2-1. Vektor AB



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR



Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana



Simbol vektor dinyatakan dengan huruf cetak tebal atau dengan A , a ,



AB dan besarnya dengan A, a, AB atau │ A │, │ a │, │ AB │. Vektor Bebas adalah sebuah vektor yang dapat dipindahkan ke mana saja dalam ruang, asalkan besar dan arahnya tetap. Vektor Satuan adalah sebuah vektor yang besarnya satu satuan vektor.



ˆ ˆ Vektor satuan pada sumbu X, Y, dan Z dinyatakan dengan vektor satuan i , j , kˆ atau aˆ x , aˆ y , aˆ z . Suatu vektor A bisa di tulis dengan :



A = A eˆ A



Disini eˆ A adalah vektor satuan dari vektor A . Vektor Negatif P adalah vektor - P yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan. Vektor Resultan adalah jumlah terkecil vektor yang menggantikan sistem vektor yang bersangkutan .



2.2



KOMPONEN VEKTOR Vektor Dalam Ruang Vektor A dalam ruang dinyatakan dengan



ˆ ˆ ˆ A = A x + A y + A z = Ax i + Ay j + Az k dan besarnya 2



A=



2



Ax + Ay + Az



2



A x , A y , A z dan iˆ , ˆj , kˆ masing – masing adalah komponen vektor dan vektor satuan pada sumbu x, y, dan z.



disini



A x = Ax iˆ



besarnya



Ax = A cos α



A y = Ay ˆj



Ay



A z = Az kˆ



Az = A cos γ



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



= A cos β



IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR



Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana



Arah vector A terhadap sumbu x, y, dan z positif adalah



Ay Ax Az Cos α = A , Cos β = A , Cos γ = A Vektor Dalam Bidang Dalam bidang sumbu Z tidak ada maka vector A adalah :



ˆ ˆ A = A x + A y = Ax i + Ay j besarnya : 2



A=



Ax + A y



2



Komponen vektornya :



A x = Ax iˆ



besarnya :



A y = Ay ˆj



Ax = A cos α Ay



= A cos β = A sin α



Arahnya terhadap sumbu x dan y :



Ay Ax Cos α = A , dan Cos β = A



Gambar 2.2. Vektor A dalam Ruang



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR



Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana



Gambar 2.3. Vektor A dalam Bidang 2.3



PENJUMLAHAN VEKTOR Dalam ilmu hitung (aritmetika) dan ilmu aljabar kita berhadapan dengan



bilangan semata – mata. Dalam ilmu analisa vektor, yang merupakan salah satu cabang ilmu matematika murni, begitu pulalah halnya: sebuah vektor dianggap semata – mata sebagai sebuah anak panah atau ”sepotong garis lurus yang berarah” tanpa mempunyai arti fisis sama sekali. Tetapi, sama seperti hukum – hukum ilmu hitung dan ilmu aljabar dapat menjelaskan operasi – operasi tertentu yang dapat dilakukan dengan beberapa besaran fisika, hukum – hukum aljabar vektor dapat pula menjelaskan beberapa (tidak semua) aspek besaran – besaran fisika lainnya. (a) Metode Grafik Untuk menjumlahkan vektor A dengan vektor B , tariklah B sedemikian rupa sehingga ekornya berada pada kepala A jumlah vector A dan B adalah vektor R yang menghubungkan ekor A dan kepala B dan besar serta arahnya dapat di ukur (Gambar 2-4).



Gambar 2.4. Penjumlahan 2 Vektor A dan B Dengan cara yang sama dilakukan bila lebih dari 2 vektor dijumlahkan. Vektor Resultan R adalah vektor yang ditarik dari ekor vektor pertama ke kepala vektor terakhir. (Gambar 2.5).



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR



Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana



Gambar 2.5. Penjumlahan Vektor R = A + B + C + D (b) Metode Jajaran Genjang Vector Resultan R = A + B dapat di hitung dengan :



(1) Membuat titik tangkap vektor A dan B (2) Membuat jajaran genjang dengan vektor A dan B sebagai sisi – sisinya. (3) Menarik diagonal dari titik tangkap vektor A dan B . Vektor R = A + B adalah vektor diagonal jajaran genjang tersebut (Gambar 2.6).



Gambar 2.6. Vektor R = A + B dengan metoda jajaran genjang.



Bila



θ = ( A , B ) = sudut antara vector A dan B maka : R=│A + B│=



A 2 + B 2 − 2 A B cos 180 − θ



Arah vektor R terhadap vektor B adalah ( R , B ) disini :



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR



Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana



A R sin (180 − θ ) = sin R , B



(



)



(c) Metode Komponen Menjumlahkan dua atau lebih vektor A , B , C , ...... sekaligus dengan metoda komponen dilakukan sebagai berikut. (1) Uraikan semua vektor ke dalam komponen dalam arah x, y, dan z.



(2) Jumlahkan komponen – komponen dalam arah x, y, dan z bersama – sama yang memberikan Rx, Ry, Rz. Artinya, besarnya Rx, Ry, dan Rz diberikan oleh : Rx = Ax + Bx + Cx + ........ Ry = Ay + By + Cy + ........ Rz = Az + Bz + Cz + .........



(3) Hitung besar dan arah Resultan R dari komponennya R x , R y , dan R z Besar vektor Resultan R dinyatakan dengan :



R=



R x2 + R y2 + RZ2



Dan arahnya terhadap sumbu x, y, dan z adalah :



Ry Rx Rz Cos α = R , Cos β = R , Cos γ = R Contoh :



1.



Carilah



jumlah



dua



parallelogram : 30 pon pada 30°



vektor



gaya



berikut



dengan



cara



dan 20 pon pada 140° (satu pon gaya



adalah gaya sedemikian hingga benda dengan massa 1 kg mempunyai berat 2,21 pon di bumi. Satu pon adalah sama dengan gaya 4,45 newton; ( 4,45 N )). Kedua vektor gaya diperlihatkan pada gambar 2-10 (a). Kita bentuk paralelogram dengan kedua gaya itu sebagai sisinya, lihat gambar 2-10 (b).



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR



Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana



Resultannya,



R , adalah diagonal paralelogram. Dengan pengukuran



ditemukan R adalah 3 pon pada 72°.



Gambar 2-10 2.



Empat vektor sebidang bekerja pada sebuah benda dan



berpotongan di titik O. Lihat Gambar 2-11 (a). Carilah resultan gaya secara grafik. [ Pada Gambar 2-11, satuan gaya N adalah Newton. Benda dengan massa 1 kg beratnya 9,8 N di bumi : Gaya 1 N adalah sama dengan gaya 0,225 pon ].



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR



Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana



Gambar 2-11 Dari titik • keempat vektor ditarik seperti tampak pada Gambar 2-11(b). Ekor vektor yang satu diimpitkan dengan ujung vektor sebelumnya. Maka anak panah yang dapat ditarik dari titik • ke titik ujung vektor terakhir adalah vektor resultan. Dengan mengingat skala gambar didapatkan dari gambar 2-11 (b) bahwa R = 119 N. Dengan mistar busur sudut didapatkan 37°. Maka R membentuk sudut θ = 180° - 37° = 143° dengan sumbu x positif. Resultan gaya-gaya itu adalah 119 N pada sudut 143°.



3.



Lima gaya sebidang bekerja pada sesuatu obyek. Lihat Gambar 2



- 13. Tentukan resultan kelima gaya itu.



Gambar 2-13 a)



Tentukan komponen x dan y setiap gaya sebagai berikut :



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR



Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana



Gaya 19 N 15 N 16 N 11 N 22 N



Komponen x 19 15 cos 600 = 7.5 - 16 cos 45° = - 11.3 - 11 cos 30° = - 9.5 0



Komponen y 0 15 sin 600 = 13 16 sin 45° = 11.3 - 11 sin 30° = - 5.5 -22.0



Perhatikan tanda + dan – pada komponen – komponen diatas.



b)



Komponen vektor R adalah Rx = ∑ Fx dan Ry = ∑ Fy berarti ”



jumlah semua komponen gaya adalah arah x”. Dengan demikian Rx = 19,0 + 7,5 – 11,3 – 9,5 + 0 = + 5,7 N Ry = 0 + 13,0 + 11,3 – 5,5 – 22,0 = -3,2 N c)



R=



Besarnya gaya resultan :



R x2 + R y2 = 6.5 N



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR