2.1 Peubah Acak Dan Distribusi Peluang [PDF]

Citation preview

MAS2001 Statistika dan Peluang Yuniarta Basani Semester IV, 2015/2016 23 Februari 2016 2/23/2016



YBN



1



Bab Sebelumnya 1. Peluang 1.1 Ruang Sampel 1.2 Kejadian 1.3 Menghitung Titik Sampel 1.4 Peluang Suatu Kejadian 1.5 Aturan Penjumlahan 1.6 Peluang Bersyarat 1.7 Aturan Perkalian 1.8 Aturan Bayes



2/23/2016



YBN



2



MAS2001



BAB 2 PEUBAH ACAK DISKRIT



2/23/2016



YBN



3



Sasaran Kuliah Hari Ini 2.1 Pengertian Peubah Acak 2.2 Distribusi Peluang Diskrit 2.3 Distribusi Peluang Kontinu



2/23/2016



YBN



4



MAS2001 PROBABILITAS & PELUANG



2.1 PENGERTIAN PEUBAH ACAK



2/23/2016



YBN



5



• Bila sebuah koin dilantunkan lima kali. • Kejadian ini merupakan kejadian acak dan ruang sampelnya 𝑆 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺, … , 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 • Ruang sampel ini memiliki 25 = 32 elemen. • Misalkan kita tertarik pada munculnya angka. Maka dapat dituliskan variabel acak 𝑋 yang merupakan banyak munculnya angka. • Nilai 𝑋 yang mungkin yaitu 0, 1, 2, 3, 4, atau 5 terkait dengan hasil dari kejadian acak. 2/23/2016



YBN



6



Peubah Acak: Suatu peubah acak 𝑋 adalah fungsi dari ruang sampel ke bilangan real 𝑋: 𝑆 → ℝ Range dari peubah acak 𝑋, Range(𝑋) atau 𝑅𝑋 , adalah himpunan semua nilai yang mungkin dari 𝑋. 2/23/2016



YBN



7



• Contohnya, peubah acak 𝑋 terdefinisi dengan nilai 0 jika terjadi 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺, nilai 2 jika terjadi 𝐺𝐴𝐺𝐴𝐺, dan seterusnya. • Akibatnya, peubah acak 𝑋 merupakan fungsi dari ruang sampel 𝑆 = 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺, 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐴, … , 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ke bilangan real (bilangan bulat dari 0 sampai 5) • Jadi, 𝑅𝑋 = 0,1,2,3,4,5 2/23/2016



YBN



8



Contoh Tiga orang petani: Pak Ali, Badu, dan Cokro menitipkan pecinya di pagi hari pada seorang anak. Sore harinya anak mengembalikan peci tersebut secara acak pada ketiga petani. Bila Pak Ali, Badu, dan Cokro dalam urutan seperti itu menerima peci dari si anak maka tuliskanlah titik sampel untuk semua urutan yang mungkin mendapatkan peci tersebut dan kemudian cari nilai c dari peubah acak C yang menyatakan jumlah urutan yang cocok. Jawab: Misal 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 menyatakan masing-masing peci Pak Ali, Badu, Cokro maka susunan pengembalian peci yang mungkin dan padanan yang cocok (𝑐) adalah



2/23/2016



YBN



9



Latihan 1 Misalkan 𝑊 peubah acak yang menyatakan banyaknya muncul muka dikurangi banyaknya muncul belakang dalam tiga kali lantunan sebuah uang logam. Tuliskan ruang sampelnya dan kaitkan dengan nilai 𝑤.



2/23/2016



YBN



10



MAS2001 PROBABILITAS & PELUANG



2.2 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT



2/23/2016



YBN



11



2.2 Distribusi Peluang Diskrit 𝐶 adalah kejadian sederhana peci Pak Ali, Badu dan Cokro jika diberi bobot yang sama dan nilai 𝑐 adalah jumlah urutan yang cocok maka peluangnya adalah: Ruang Sampel



𝑐



ABC



3



ACB



1



𝑐



0



1



3



BAC



1



𝑃(𝐶 = 𝑐)



BCA



0



1 3



1 2



1 6



CAB



0



CBA



1



2/23/2016



YBN



12



Definisi: Himpunan pasangan terurut 𝑥, 𝑓 𝑥 merupakan suatu Fungsi Peluang, Fungsi Massa Peluang, atau Distribusi Peluang, dari peubah acak diskrit 𝑋, untuk semua kemungkinan berikut: 1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 2. 𝑥 𝑓(𝑥) = 1 3. 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑓(𝑥)



2/23/2016



YBN



13



Contoh: Suatu pengiriman 6 netbook ke IT Del terdapat 2 yang cacat. Jika Duktek memilih 4 secara acak, cari distribusi peluang banyaknya yang cacat. Jawab: Misalkan 𝑋 peubah acak dengan nilai 𝑥 kemungkinan banyaknya netbook yang cacat yang dipilih duktek. Maka 𝑥 dapat memperoleh nilai 0, 1, 2. 2 4 1 0 4 𝑓 0 =𝑃 𝑋=0 = 6 = 15 4 2 1



𝑓 1 =𝑃 𝑋=1 =



2 2



𝑓 2 =𝑃 𝑋=2 = Jadi distribusi peluang 𝑋



2/23/2016



6 4 6 4



4 3



8 = 15



4 2



6 = 15



𝒙



0



1



2



𝑓(𝑥)



1 15



8 15



6 15



YBN



14



Definisi: Fungsi peluang diskrit Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak diskrit 𝑋 dengan distribusi peluang 𝑓(𝑥) dinyatakan oleh 𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋≤𝑥 = 𝑡≤𝑥



untuk −∞ < 𝑥 < ∞



2/23/2016



𝑓(𝑡)



YBN



15



Contoh: Suatu pengiriman 6 netbook ke IT Del terdapat 2 yang cacat. Jika Duktek memilih 4 secara acak, cari distribusi peluang kumulatif banyaknya yang cacat. Jawab: Distribusi kumulatif 𝑥 diberikan oleh 1



𝐹 0 = 𝑓 0 = 15,



1



8



9



𝐹 1 = 𝑓 0 + 𝑓 1 = 15 + 15 = 15, 𝐹 2 =𝑓 0 +𝑓 1 +𝑓 2 =



1 8 + 15 15



+



6 15



=



0, 1 , 15 𝐹 𝑥 = 9 , 15 1,



2/23/2016



YBN



15 15



= 1, 𝑥