Analisis Data Deret Waktu [PDF]

Citation preview

Buku Ajar



ANALISIS DATA DERET WAKTU 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 2.5



Value



Unstandardized Predi



3.0



2.4



cted Value



.5 1



2.3



11 6



21 16



31 26



41 36



51 46



61 56



71 66



2.5



81



76 2.0



Case Number



2.2



1.5



2.1 -1.5



-1.0



-.5



0.0



.5



1.0



1.0



1.5



Unstandardized Residual



LN



Unstandardized Predicted Value



LN



3.5



1.0



.5 -1.5



-1.0



-.5



0.0



.5



1.0



1.5



Unstandardized Residual



Disusun oleh



MULYANA UNIVERSITAS PADJADJARAN



FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM



JURUSAN STATISTIKA



2004



PENGANTAR Buku ini disusun dalam upaya membantu mahasiswa Jurusan Statistika FMIPA Unpad, untuk bisa memahami materi perkuliahan Analisis Data Deret Waktu khususnya, umumnya mahasiswa lain, peminat, atau pengguna ilmu Statistika sebagai alat untuk menyelesaikan persoalan penelitian, yang menyangkut peramalan data deret waktu univariat. Buku ini direncanakan ditulis dalam dua bagian, bagian pertama telaahan tentang analisis regresi deret waktu univariat, yang ditujukan untuk bahan ajar atau pengetahuan mahasiswa program S-1, sedangkan bagian kedua telaahan tentang analisis regresi deret waktu multivariat (regresi deret waktu vektor), yang ditujukan untuk mahasiswa program S-2. Walaupun pada buku ini banyak disajikan formulasi matematis, diharapkan dapat juga dipahami oleh mahasiswa bukan bidang ilmu StatistikaMatematika. Penulis yakin, buku ini masih jauh dari “predikat baik” apalagi sempurna, sehingga segala kritik dan saran yang bertujuan untuk perbaikan buku ini, sangat diharapkan. Walaupun dengan segala keterbatasan dan kekurangan, diharapkan buku ini ada manfaatnya untuk pengetahuan dan pengembangan ilmu Statistika.



Januari , 1 September 2004 Penulis



i



DAFTAR ISI Halaman Kata Pengantar



i



Daftar Isi



ii



Bab 1 Pendahuluan



1



1.1.



Regresi Deret Waktu



2



1.2.



Proses Analisis Untuk Data Deret Waktu



4



1.3.



Sasaran Analisis Data Deret Waktu



5



Bab 2 Analisis Dalam Kawasan Waktu



7



2.1.



Autokorelasi dan Autokorelasi Parsial



7



2.2.



Stasioneritas



15



2.3.



Model Regresi Deret Waktu



20



2.4.



Identifikasi Model



33



2.5



Transformasi Stabilitas Varians



38



2.6.



Analisis Residual



42



Bab 3 Peramalan



47



3.1.



Ekstrapolasi Trend



48



3.2.



Eksponensial Sederhana



56



3.3.



Holt



59



3.4.



Winters



61



3.5.



Holt-Winters



65



3.6.



Box-Jenkins



69



3.7.



Autoregresi Stepwise



75



3.8.



Peramalan Multivariat



76



3.9.



Pemilihan Metode



76



Bab 4 Model Fungsi Transfer



79



4.1.



Konsepsi Umum



79



4.2.



Korelasi Silang



84 ii



4.3.



Hubungan Korelasi Silang Dengan Fungsi Transfer



86



4.4.



Membangun Fungsi Transfer



88



4.5.



Penaksiran Pada Fungsi Transfer



91



4.6.



Rata-Rata Hitung Kuadrat Kekeliruan



93



4.7.



Contoh Numerik



96



Bab 5 Analisis Spektral



106



5.1.



Fungsi Spektral



107



5.2.



Periodogram



108



5.3.



Metode Windowing



110



5.4.



Metode Fast Fourier Transform (metode FFT)



114



5.5.



Distribusi Peluang Spektral



116



5.6.



Transformasi Data



117



Kepustakaan



124



Lampiran 1



125



Lampiran 2



127



iii



BAB 1 PENDAHULUAN Pada dasarnya setiap nilai dari hasil pengamatan (data), selalu dapat dikaitkan dengan waktu pengamatannya.



Hanya pada saat analisisnya, kaitan variabel waktu dengan



pengamatan sering tidak dipersoalkan.



Dalam hal kaitan variabel waktu dengan



pengamatan diperhatikan, sehingga data dianggap sebagai fungsi atas waktu, maka data seperti ini dinamakan Data Deret Waktu (Time series). Banyak persoalan dalam ilmu terapan yang datanya merupakan data deret waktu, misalnya dalam bidang ilmu a. ekonomi : banyak barang terjual dalam setiap hari, keuntungan perusahaan dalam setiap tahun, total nilai ekspor dalam setiap bulan, b. fisika : curah hujan bulanan, temperatur udara harian, gerak partikel, c. demografi : pertumbuhan penduduk, mortalitas dan natalitas, d. pengontrolan kualitas : proses pengontrolan kualitas produk, pengontrolan proses produksi, e. biomedis : denyut nadi, proses penyembuhan, pertumbuhan mikroba. Karena data deret waktu merupakan regresi data atas waktu, dan salah satu segi (aspect) pada data deret waktu adalah terlibatnya sebuah besaran yang dinamakan Autokorelasi (autocorrelation), yang konsepsinya sama dengan korelasi untuk data bivariat, dalam analisis regresi biasa. Signifikansi (keberartian) autokorelasi menentukan analisis regresi yang harus dilakukan pada data deret waktu. Jika autokorelasi tidak signifikans (dalam kata lain data deret waktu tidak berautokorelasi), maka analisis regresi yang harus dilakukan adalah analisis regresi sederhana biasa, yaitu analisis regresi data atas waktu.



Sedangkan jika signifikans (berautokorelasi) harus dilakukan analisis



regresi data deret waktu, yaitu analisis regresi antar nilai pengamatan. Segi lain dalam data deret waktu adalah kestasioneran data yang diklasifikasikan atas stasioner kuat (stasioner orde pertama, strickly stationer) dan stasioner lemah (stasioner orde dua, weakly stationer), dan kestasioner ini merupakan kondisi yang diperlukan dalam analisis data deret waktu, karena akan memperkecil kekeliruan baku.



1



Dalam teori Statistika, setiap data deret waktu dibangun atas komponen trend (T), siklis (S), musiman (M, untuk data bulanan), dan variasi residu (R). Bentuk hubungan antara nilai data dengan komponen-komponennya tersebut bisa bermacam-macam, dan bentuk hubungan yang sering digunakan adalah linier dan multiplikatif. Jika xt nilai data pada waktu-t dan hubungan dengan komponennya linier, maka persamaannya xt = Tt + St + Mt + Rt , jika t : bulanan



(1.1)



xt = Tt + St + Rt



(1.2)



, jika t : tahunan



dan multiplikatif, maka persamaannya xt = T.S.M.R , jika t : bulanan



(1.3)



xt = T.S.R ,



(1.4)



jika t : tahunan



Sebagai akibat dari terdapatnya komponen-komponen dalam data deret waktu dan terjadinya hubungan antar komponen, adalah berautokorelasinya antar pengamatan sehingga dapat dibangun sebuah hubungan fungsional yang dinamakan regresi deret waktu. 1.1.



Regresi Deret Waktu Analisis data deret waktu merupakan telaahan khusus dari analisis regresi biasa,



seperti halnya analisis ekonometrika dan analisis disain eksperimen. Analisis regresi deret waktu adalah analisis regresi dalam kondisi variabel respon berautokorelasi, sehingga antar variabel respon dapat dibangun sebuah hubungan fungsional, yang dalam analisis data deret waktu bentuk hubungannya selalu digunakan regresi linier. Konsepsi analisis regresi linier biasa dapat digunakan secara utuh dalam analisis regresi deret waktu, hanya proses perhitungan nilai penaksir parameternya tidak selalu bisa dijadikan acuan. Dalam analisis regresi linier biasa, proses perhitungan taksiran parameter selalu dapat dilakukan dengan menggunakan perhitungan matriks, sebab sistem persamaan parameternya selalu merupakan sistem persamaan linier. Sedangkan dalam analisis regresi deret waktu, ada beberapa model yang perhitungan taksiran parameternya harus menggunakan metoda iterasi atau rekursif, sehingga sebagian besar persoalan analisis regresi deret waktu harus diselesaikan dengan menggunakan fasilitas komputer. 2



Dalam analisis data deret waktu, jika pengamatan berautokorelasi maka model hubungan fungsionalnya dibangun berdasarkan kondisi kestasioner data, sehingga model regresi deret waktu dikelompokan atas regresi deret waktu stasioner dan regresi deret waktu tidak stasioner. Model regresi deret waktu tidak stasioner identik dengan model regresi deret waktu stasioner, yang terlebih dulu data distasionerkan melalui proses diferensi. Jika data deret waktu Xt , t = 1, 2, . . . berautokorelasi maka model regresi antar pengamatan (autoregresi) disajikan dalam persamaan Xt = µ + γ1Xt-1 + γ2Xt-2 + . . . + γkXt-k + Zt



(1.5)



dengan Zt kekeliruan model yang diasumsikan berdistribusi identik independen dengan rata 0 dan varians konstan σ2, yang dalam analisis data deret waktu Zt biasa disebut white noise, µ , γ1 , . . . , γk parameter autoregresi. Model autoregresi dengan Persamaan (1.5) dinamakan Autoregresi Lag-k dan disingkat AR(k). Dalam analisis data deret waktu, untuk menyajikan Xt-i , i = 1, 2 , . . . , k biasa digunakan operator backshift B, dengan menuliskan Xt-i = BiXt, sehingga model AR(k) jika disajikan dalam operator backshift maka persamaannya menjadi Xt = µ + γ1BXt + γ2B2Xt + . . . + γkBkXt + Zt



(1.6)



atau Xt - γ1BXt - γ2B2Xt - . . . - γkBkXt = µ + Zt Γk(B)Xt = µ + Zt dengan Γk(B) = 1 - γ1B - γ2B2 - . . . - γkBk Karena Γk(B) ≠ 0, secara matematis persamaan Γk(B)Xt = µ + Zt setara dengan Xt =



µ 1 + Zt Γk (B) Γk (B)



Xt = Γk-1(B)µ + Γk-1(B)Zt = θ + Γk-1(B)Zt



(1.7)



sehingga jika didefinisikan Γk-1(B) = Ψp(B) = 1 - ψ1B - ψ2B2 - . . . - ψpBp maka Persamaan (1.7) menjadi Xt = θ + Ψp(B)Zt = θ + Zt - ψ1Zt-1 - ψ2Zt-2 - . . . - ψpZt-p



(1.8)



Model dengan Persamaan (1.8) dinamakan model rata-rata bergerak (moving average)



orde-p disingkat MA(p). Jadi dalam hal ini model MA(p) merupakan model inversi dari 3



AR(k), yang berarti model AR(k) dan MA(p) merupakan model yang saling berkebalikan (invertible) Model AR(k) dan MA(p) merupakan model regresi deret waktu stasioner dan saling berkebalikan, sehingga keduanya dapat digabungkan dengan cara dijumlahkan, dan model yang diperoleh dinamakan model autoregresi rata-rata bergerak, disingkat



ARMA(k,p), dengan persamaan Xt = η + γ1Xt-1 + γ2Xt-2 + . . . + γkXt-k + Zt - ψ1Zt-1 - ψ2Zt-2 - . . . -ψpZt-p



(1.9)



atau Xt - γ1Xt-1 - γ2Xt-2 - . . . - γkXt-k = η + Zt - ψ1Zt-1 - ψ2Zt-2 - . . . -ψpZt-p Γk(B)Xt = η + Ψp(B)Zt Karena AR(k) dan MA(p) adalah mode regresi deret waktu stasioner, maka ARMA(k,p) juga model regresi deret waktu stasioner. Jika data tidak stasioner, maka dapat distasionerkan melalui proses stasioneritas, yang berupa proses diferensi jika trendnya linier, dan proses linieritas dengan proses diferensi pada data hasil proses linieritas, jika trend data tidak linier.



Model ARMA(k,p) untuk



data hasil proses diferensi dinamakan model autoregresi integrated rata-rata bergerak disingkat ARIMA(k,q,p).



1.2.



Proses Analisis Untuk Data Deret Waktu. Dalam analisis data deret waktu, proses baku yang harus dilakukan adalah



1. Memetakan nilai data atas waktu, hal ini dilakukan untuk menelaah kestasioneran data, sebab jika data tidak stasioner maka harus distasionerkan melalui proses stasioneritas. 2. Menggambarkan korelogram (gambar fungsi autokorelasi), untuk menelaah apakah autokorelasi signifikans atau tidak, dan perlu-tidaknya proses diferensi dilakukan. Jika autokorelasi data tidak signifikans, analisis data cukup menggunakan analisis regresi sederhana data atas waktu, sedangkan jika signifikans harus menggunakan analisis regresi deret waktu. Jika data ditransformasikan, maka proses pemetaan data dan penggambaran korelogram, sebaiknya dilakukan juga pada data hasil



4



transformasi, untuk menelaah apakah proses transformasi ini sudah cukup baik dalam upaya menstasioner kan data. 3. Jika dari korelogram disimpulkan bahwa autokorelasi signifikans, maka bangun model regresi deret waktunya, dan lakukan penaksirannya baik dalam kawasan waktu maupun kawasan frekuensi. 4. Lakukan proses peramalan dengan metode yang sesuai dengan kondisi datanya, dan untuk mendapatkan hasil yang memuaskan sebaiknya gunakan metode Box-Jenkins . Semua proses tersebut dapat dilakukan dengan mengunakan kemasan program (software) komputer, dan telah banyak kemasan program yang dapat digunakan diantaranya SPSS dan STATISCA.



1.3.



Sasaran Analisis Data Deret Waktu Ada beberapa tujuan dalam analisis data deret waktu, yaitu



1.3.1. Deskripsi (description) Jika ingin mempresentasikan karakter dari data yang dimiliki, seperti kestasioneran, keberadaan komponen musiman, keberartian autokorelasi (sebab pada dasarnya setiap



data deret waktu berautokorelasi hanya autokorelasinya signifikans atau tidak ?), maka tahap pertama dari analisis data deret waktu adalah menggambarkan peta data dan korelogram, yang tujuannya, 1.3.1.1. gambar peta data atas waktu untuk menelaah kestasioneran dan keberaadaan komponen musiman (jika datanya bulanan), dan 1.3.1.2. gambar korelogram untuk menelaah signifikansi autokorelasi dan perlu-tidaknya transformasi data, sehingga berdasarkan informasi visual tersebut dapat dirumuskan mengenai analisis data yang harus dilakukan, yaitu analisis regresi sederhana data atas waktu, atau analisis regresi deret waktu.



1.3.2. Menerangkan (explanation) Jika variabel data deret waktu lebih dari satu buah, maka telaahan dilakukan untuk menentukan apakah salah satu variabel dapat menjelaskan variabel lain, sehingga bisa dibangun sebuah model regresi (fungsi transfer) untuk keperluan analisis data deret 5



waktu lebih lanjut ? Sebab pada dasarnya analisis data deret waktu adalah analisis data univariat, sehingga jika datanya bivariat atau multivariat, maka bagaimana proses univariatisasinya ?



1.3.3. Perkiraan (prediction) Jika dimiliki sampel data deret waktu, dan diinginkan perkiraan nilai data berikutnya, maka proses peramalan harus dilakukan. Peramalan adalah sasaran utama dari analisis data deret waktu, yang prosesnya bisa berdasarkan karakter dari komponen data, atau model regresi deret waktu.



Pengertian perkiraan (prediction) dan peramalan



(forecasting) beberapa penulis ada yang membedakannya, sebab mereka berpendapat perkiraan adalah penaksiran (estimation) nilai data dengan tidak memperhatikan model hubungan (regresi) antar nilai data, tetapi peramalan adalah proses penaksiran nilai data berdasarkan sebuah model hubungan fungsional antar nilai data. Tetapi kebanyakan penulis berpendapat perkiraan dengan peramalan adalah dua proses analisis data yang sama. Dalam buku ajar ini perkiraan bisa diidentikan dengan peramalan.



1.3.4. Kontrol (control) Proses kontrol dilakukan untuk menelaah apakah model (regresi) ramalan (perkiraan) yang ditentukan cukup baik untuk digunakan ? Dalam statistika, sebuah model baik digunakan untuk peramalan, jika dipenuhi modelnya cocok dan asumsinya juga dipenuhi. Sehingga proses kontrol terhadap model perlu dilakukan untuk menelaah dipenuhitidaknya asumsi, kecocokan bentuk model yang dibangun, ada-tidaknya pencilan (outliers), yang analisisnya dapat dilakukan berdasarkan karakter nilai residu atau analisis varians. Untuk bisa memahami dengan baik mengenai analisis data deret waktu, diperlukan pemahaman mengenai analisis regresi biasa, sebab analisis data deret waktu adalah analisis khusus dari analisis regresi biasa, yaitu analisis regresi dalam hal data responnya berautokorelasi, sehingga konsepsi pada analisis regresi biasa berlaku dalam analisis regresi deret waktu, tetapi belum tentu untuk sebaliknya.



6



BAB 2 ANALISIS DALAM KAWASAN WAKTU Sudah dikemukakan pada Bab 1 bahwa data deret waktu adalah data yang merupakan fungsi atas waktu, dan setiap data deret waktu dibangun oleh komponen trend, siklis, musiman (untuk data bulanan), dan variasi residu.



Sehingga berdasarkan konsepsi



tersebut, analisis data deret waktu dapat dilakukan dalam dua kawasan (domain), yaitu kawasan waktu dan kawasan frekuensi. Dalam kawasan waktu adalah telaah signifikansi autokorelasi, kestasioneran data, penaksiran parameter model regresi deret waktu, dan peramalan (forecasting). Sedangkan dalam kawasan frekuensi adalah telaahan frekuensi tersembunyi, yaitu frekuensi komponen siklis yang sulit diperoleh dalam kawasan waktu, dengan tujuan untuk mengetahui hal-hal istimewa atau kondisi tertentu pada data. Analisis dalam kawasan frekuensi dinamakan Analisis Spektral, dan analisis ini dilakukan untuk memberikan informasi tambahan pada hasil analisis dalam kawasan waktu. 2.1.



Autokorelasi dan Autokorelasi Parsial Konsepsi autokorelasi setara (identik) dengan korelasi Pearson untuk data bivariat.



Deskripsinya sebagai berikut, jika dimiliki sampel data deret waktu x1 , x2 , . . . , xn , dan dapat dibangun pasangan nilai



(x1 , xk+1) , (x2 , xk+2) , . . . , (xk , xn) , autokorelasilasi



lag-k, dari sampel data deret waktu adalah n−k



rk = kor.(Xt , Xt +k ) =



t =1 n−k t =1



x1 =



1 k



k t =1



xt , x2 =



(x



(x



t



t



)(



− x 1 x t +k − x 2



− x1



)



2



n−k t =1



)



(x − x ) i



(2.1)



2



1 n xt k t = k +1



Dalam analisis data deret waktu untuk mendapatkan hasil yang baik, nilai n harus cukup besar, dan autokorelasi disebut berarti jika nilai k cukup kecil dibandingkan dengan n, sehingga bisa dianggap



7



n



xt



t =1



x1 ≈ x 2 ≈ x =



n



dan Persamaan (2.1) menjadi



(x



n−k



rk ≈



t =1



t



)(



− x x t +k − x



(x



n t =1



t



)



)



−x



2



dan perumusan autokorelasi seperti ini yang digunakan dalam analisis data deret waktu. Karena rk merupakan fungsi atas k, maka hubungan autokorelasi dengan lagnya dinamakan Fungsi Autokorelasi (autocorrelation function, ACF), dan dinotasikan oleh n−k



ρ(k) =



t =1



(x



t



n t =1



)(



)



− x x t +k − x



(x



t



−x



(2.2)



)



2



Konsepsi lain pada autokorelasi adalah autokorelasi parsial (partial autocorrelation), yaitu korelasi antara Xt dengan Xt+k, dengan mengabaikan ketidak-bebasan Xt+1 , Xt+2 , . . . , Xt+k-1, sehingga Xt dianggap sebagai konstanta, Xt = xt , t = t+1 , t+2 , . . . , t+k-1 . Autokorelasi parsial Xt dengan Xt+k didefinisikan sebagai korelasi bersyarat,



ρkk = kor.(Xt,Xt+kXt+1 = xt+1 , Xt+2 = xt+2 , . . . , Xt+k-1 = xt+k-1)



(2.3)



Seperti halnya autokorelasi yang merupakan fungsi atas lagnya, yang hubungannya dinamakan fungsi autokorelasi (ACF), autokorelasi parsial juga merupakan fungsi atas lagnya,



dan



hubungannya



Fungsi



dinamakan



Autokorelasi



Parsial



(partial



autocorrelation function, PACF). Gambar dari ACF dan PACF dinamakan korelogram (correlogram) dan dapat digunakan untuk menelaah signifikansi autokorelasi dan kestasioneran data. Jika gambar ACF membangun sebuah histogram yang menurun (pola eksponensial), maka autokorelasi signifikans atau data berautokorelasi, dan jika diikuti oleh gambar PACF yang histogramnya langsung terpotong pada lag-2, maka data tidak stasioner, dan dapat distasionerkan melalui proses diferensi. Jika dimiliki sampel data deret waktu, x1 , x2 , . . . , xn , maka yang harus dihitung untuk mendapatkan autokorelasi sampel lag-k secara “manual” adalah, 8



1. rata-rata sampel, x =



1 n



n t =1



xt



(



3. autokorelasi sampel lag-k, rk =



)(



1 n−k x t − x x t+k − x n − k t =1



2. autokovarians sampel lag-k, s k =



)



sk s0



Sedangkan untuk menghitung autokorelasi parsial sampel lag-k, adalah sebagai berikut 1. bangun kombinasi linier Xt+k dengan Xt+k-1 = xt+k-1 , Xt+k-2 = xt+k-2 , . . . , Xt+1 = xt+1, dengan persamaan Xt+k = β1xt+k-1 + β2xt+k-2 + . . . + βk-1xt+1 , βi , 1 ≤ i ≤ k-1 , koefisien model. 2. lakukan proses penaksiran untuk βi , berdasarkan metode kuadrat rata-rata hitung, yaitu meminimumkan E(Xt+k - β1xt+k-1 - β2xt+k-2 - . . . - βk-1xt+1), dengan asumsi E(Xt) = 0.



Proses minimisasi dilakukan dengan menggunakan perhitungan



diferensiasi biasa, sehingga jika ri , 1 ≤ i ≤ k − 1 , autokorelasi sampel lag-i , maka ∧



penaksir βi , β , diperoleh berdasarkan persamaan matriks ∧



r1



1



r1



r2



... rk −3



rk − 2



β1



r2



r1



1



r1



... rk − 4



rk −3



.



.



.



.



.



.



β2



.



.



.



.



.



.



.



.



.



.



.



.



. .



=



. rk −1



rk − 2



rk −3



rk − 4



...



r1



1



∧



. . ∧



.



β k −1



Dengan menggunakan metode Cramer, jika dinotasikan



m=



1 r1 . . .



r1 1 . . .



r2 r1 . . .



rk − 2



rk −3



rk − 4



... rk −3 ... rk − 4 . . . . . . ... r1



dan



9



rk − 2 rk −3 . . . 1



r1 r2 . , r= . . rk −1



mi =



1 r1 r2 . . .



r1 1 r1 . . .



rk −3 rk − 2



rk − 4 rk −3



... ri − 2 r1 ... 1 ... . . . . . . ... rk −i −1 ... rk −i



r1 r2 r3 . . .



ri ri −1 ri − 2 . . . rk −i −3 rk −i − 2



rk − 2 rk −1



... rk − 2 ... rk −3 ... rk − 4 . . . . . . ... r ... 1



yaitu matriks yang diperoleh dari m dengan mengganti kolom ke-i oleh r , ∧



maka β i =



mi m



, dengan mi dan m masing-masing determinan dari mi dan m,



Berdasarkan Persamaan (2.3), maka autokorelasi parsial populasi dihitung berdasarkan persamaan ∧



ρ kk =



kov. Xt − Xt



∧



Xt +k − Xt +k



∧



∧



var. Xt − Xt var. Xt +k − Xt +k



sehingga autokorelasi parsial sampel, dihitung berdasarkan persamaan ∧



rkk =



∧



rk − β1 rk −1 − ... − β k −1 r1 ∧



∧



1 − β1 r1 − ... − β k −1 rk −1



=



(rk rk -1 . . . r1 ) 1 (1 r1 . . . rk -1 ) 1



∧



∧



− β1 ... − β k −1 ∧



∧



− β1 ... − β k −1



′ ′



∧



(2.4)



Persamaan (2.4) jika dikaitkan dengan nilai-nilai β i yang dihitung berdasarkan perhitungan determinan matriks, maka sajian dalam persamaan determinannya



10



1 r1 . . . rkk =



r1 1 . . .



rk −1 rk − 2 1 r1 r1 1 . . . . . . rk −1 rk − 2



r2 r1 . . . rk −3 r2 r1 . . . rk −1



... ... . . . ... ... ... . . . ...



rk − 2 r1 rk −3 r2 . . . . . . r1 r k rk − 2 rk −1 rk −3 rk − 2 . . . . . . r1 1



Menghitung autokorelasi parsial antara Xt dengan Xt+k dapat juga dilakukan sebagai berikut. Bangun model regresi linier tanpa konstanta dengan Xt+k sebagai variabel tidak bebas dan Xt+k-1 , Xt+k-2 , . . . , Xt sebagai variabel bebas, Xt+k = φk1Xt+k-1 + φk2Xt+k-2 + . . . + φkkXt + εt+k φki , i = 1, 2, . . . , k , parameter model ; εt+k kekeliruan yang diasumsikan berdistribusi normal identik independen dengan ratarata 0, varians konstan σ2, dan tidak berkorelasi dengan Xt+k-i , i = 1, 2, . . . ,k ; Dengan tidak mengabaikan keumuman, diasumsikan E(Xt+k) = 0 untuk setiap t dan k. Selanjutnya perkalikan Xt+k-i dengan persamaan regresi γi = φk1γi-1 + φk2γi-2 + φkkγi-k untuk setiap i = 1, 2, . . . , k, dan hitung nilai ekspetasinya, yang hasilnya akan membangun sebuah sistem persamaan linier ρi = φk1ρi-1 + φk2ρi-2 + φkkρi-k , i = 1, 2, . . . , k dengan menggunakan metode Cramer, maka akan diperoleh jawab φ11 = ρ1



11



1



ρ1 ρ 2 1 ρ1 ρ1 1



φ 22 =



φ 33 =



ρ1



1 ρ1 ρ1



ρ1 ρ1 1 ρ2 ρ1 ρ 3



1 ρ1 ρ2



ρ1 1 ρ2



ρ2 ρ1 1



................ ................ ................



φ kk



1 ρ1 ρ2 ρ1 1 ρ1 ρ2 ρ3 1 ... ... ... ρ k − 2 ρ k −3 ρ k − 4 ρ ρ k − 2 ρ k −3 = k −1 1 ρ1 ρ2 ρ1 1 ρ1 ρ2 ρ3 1 ... ... ... ρ k − 2 ρ k −3 ρ k − 4 ρ k −1 ρ k − 2 ρ k −3



... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...



ρ k − 2 ρ1 ρ k −3 ρ 2 ρ k−4 ρ3 ... ... ρ 2 ρ k −1 ρ1 ρk ρ k − 2 ρ k −1 ρ k −3 ρ k − 2 ρ k − 4 ρ k −3 ... ... 1 ρ1 ρ1 1



∧



Sehingga jika ρi ditaksir oleh ρ i = ri (autokorelasi sampel), maka φii ditaksir oleh ∧



∧



φ ii = ρ kk = rii (autokorelasi parsial sampel), i = 1, 2, . . . , k. Berdasarkan paparan mengenai kedua konsepsi perhitungan autokorelasi parsial tersebut, dapat disimpulkan autokorelasi parsial antara Xt dengan Xt+k adalah penaksir koefisien regresi ke-k, dari model regresi dengan persamaan 12



Xt+k = φk1Xt+k-1 + φk2Xt+k-2 + . . . + φkkXt + εt+k ∧



∧



φ kk = ρ kk = rkk Untuk menghitung autokorelasi dan autokorelasi parsial banyak kemasan program (software) komputer yang dapat digunakan, seperti SPSS, MINITAB, dan STATISTICA, sehingga jika para pengguna analisis data deret waktu tidak memahami konsepsi perhitungan dan pembuatan program komputer untuk perhitungannya, bisa menggunakan salah satu kemasan program tersebut untuk keperluan analisisnya.



Contoh numerik : Perhatikan data pada Tabel 2.1 di bawah ini Tabel 2.1 Data Volume Penjualan (dalam ribuan unit) Bulan Januari Pebruari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober Nopember Desember



1990 12,35 9,78 10,25 2,75 25,24 20,25 11,25 12,20 20,25 10,00 8,75 10,80



1991 10,12 8,75 19,75 25,30 12,10 30,00 10,25 10,35 25,05 12,25 9,90 8,90



Tahun 1993 2,75 10,19 4,35 30,25 5,25 5,25 30,25 12,25 8,75 24,20 25,22 5,50



1992 9,25 5,45 5,89 5,55 10,25 6,75 10,00 30,33 12,33 30,25 10,25 9,25



1994 5,80 11,09 7,00 12,20 11,20 5,00 2,75 10,00 7,75 20,10 2,57 4,75



1995 12,25 8,75 8,00 6,75 30,45 10,25 30,30 10,50 5,55 12,25 5,75 10,25



1996 10,85 7,50 12,67 29,77 12,20 12,25 12,25 12,25 4,25 5,75 7,50 10,00



Jika autokorelasi dan autokorelasi parsial dihitung dengan menggunakan paket program SPSS untuk 16 lag yang pertama (default-nya proram) diperoleh hasil seperti dibawah in. MODEL: MOD_1. Autocorrelations: NILAI Auto- Stand. Lag Corr. Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5 .75 1 Box-Ljung Prob. +----+----+----+----+----+----+----+----+ 1 -.012 .107 . * . .014 .907 2 .039 .107 . I* . .149 .928 3 .116 .106 . I** . 1.356 .716 4 -.094 .105 . **I . 2.161 .706 5 -.232 .105 *.***I . 7.084 .214 6 -.036 .104 . *I . 7.204 .302 7 -.103 .103 . **I . 8.204 .315



13



8 -.151 .103 .***I . 10.364 .240 9 .100 .102 I** . 11.323 .254 10 -.073 .101 *I . 11.844 .296 11 .155 .101 I***. 14.227 .221 12 .022 .100 . * . 14.276 .283 13 .044 .099 . I* . 14.476 .341 14 -.027 .098 . *I . 14.553 .409 15 .031 .098 . I* . 14.655 .477 16 -.080 .097 . **I . 15.331 .501 Plot Symbols: Autocorrelations * Two Standard Error Limits . Total cases: 84 Computable first lags: 83 Partial Autocorrelations: NILAI Pr-Aut- Stand. Lag Corr. Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5 .75 1 +----+----+----+----+----+----+----+----+ 1 -.012 .109 . * . 2 .039 .109 . I* . 3 .117 .109 . I** . 4 -.094 .109 . **I . 5 -.249 .109 *.***I . 6 -.055 .109 . *I . 7 -.062 .109 . *I . 8 -.112 .109 . **I . 9 .071 .109 . I* . 10 -.109 .109 . **I . 11 .150 .109 . I***. 12 -.051 .109 . *I . 13 -.001 .109 . * . 14 -.060 .109 . *I . 15 .002 .109 . * . 16 -.029 .109 . *I . Plot Symbols: Autocorrelations * Two Standard Error Limits . Total cases: 84 Computable first lags: 83



dan gambar ACF dengan PACF-nya seperti di bawah di bawah ini Nilai



Nilai



Coefficient



1.0



Coefficient



1.0



Upper Confidence Limit



Upper Confidence Limit



Lower Confidence Limit



Lower Confidence Limit



0.5



Partial ACF



ACF



0.5



0.0



0.0



-0.5



-0.5



-1.0



-1.0



1



1



2



3



4



5



6



7



8



9



10 11



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



12



13



14



15



16



Lag Number



12 13 14 15 16



Lag Number



Gambar 2.1b PACF Nilai Data Pada Tabel 2.1



Gambar 2.1a ACF Nilai Data Pada Tabel 2.1



14



Jika ditelaah, gambar ACF dan PACF keduanya membangun pola alternating (tanda dan nilai autokorelasi berubah secara acak sesuai dengan berjalannya nilai lag), hal ini mengindikasikan data tidak stasioner dalam varians, dan stasioner lemah dalam rata-rata hitung. Sedangkan signifikansi autokorelasi kemungkinannya lemah (nilai lagnya cukup besar jika dibandingkan dengan ukuran sampelnya) Jika hasil telaahan secara “visual” tidak cukup menyakinkan, maka dapat dilakukan pengujian hipotesis statistis untuk keberartian autokorelasi.



2.2.



Stasioneritas Kestasioneran data merupakan kondisi yang diperlukan dalam analisis regresi deret



waktu karena dapat memperkecil kekeliruan model, sehingga jika data tidak stasioner, maka harus dilakukan transformasi stasioneritas melalui proses diferensi, jika trendnya linier,



sedangkan jika tidak linier, maka transformasinya harus dilakukan dulu



transformasi linieritas trend melalui proses logaritma natural jika trendnya eksponensial, dan proses pembobotan (penghalusan eksponensial sederhana) jika bentuknya yang lain, yang selanjutnya proses diferensi pada data hasil proses linieritas. Berdasarkan deskripsinya, bentuk kestasioneran ada dua, yaitu stasioner kuat (strickly stationer), atau stasioner orde pertama (primary stationer) dan stasioner



lemah (weakly stationer), atau stasioner orde kedua (secondary stationer). Deskripsi umum kestasioneran adalah sebagai berikut, data deret X1 , X2 , . . . disebut stasioner kuat jika



distribusi



gabungan



X t1 , X t 2 , . . . , X t n



sama



dengan



distribusi



gabungan



X t1 + k , X t 2 + k , . . . , X t n + k , untuk setiap nilai t1, t2, . . . , tn dan k. Sedangkan disebut stasioner lemah, jika rata-rata hitung data konstan, E(Xt) = µ, dan autokovariansnya merupakan fungsi dari lag, ρk = f(k). Sedangkan ketidakstasioner data diklasifikasikan atas tiga bentuk yaitu 1. tidak stasioner dalam rata-rata hitung, jika trend tidak datar (tidak sejajar sumbu waktu) dan data tersebar pada “pita” yang meliput secara seimbang trendnya.



15



2. tidak stasioner dalam varians, jika trend datar atau hampir datar tapi data tersebar membangun pola melebar atau menyempit yang meliput secara seimbang trendnya (pola terompet). 3. tidak stasioner dalam rata-rata hitung dan varians, jika trend tidak datar dan data membangun pola terompet. Untuk menelaah ketidak-stasioneran data secara visual, tahap pertama dapat dilakukan pada peta data atas waktu, karena biasanya “mudah”, dan jika belum mendapatkan kejelasan, maka tahap berikutnya ditelaah pada gambar ACF dengan PACF. Telaahan pada gambar ACF, jika data tidak stasioner maka gambarnya akan membangun pola, 1. menurun, jika data tidak stasioner dalam rata-rata hitung (trend naik atau turun),



alternating, jika data tidak stasioner dalam varians,



2.



3. gelombang, jika data tidak stasioner dalam rata-rata hitung dan varians. Gambar-gambar di bawah ini menyajikan kasus data tidak stasioner dan bentuk ACF-nya 0.600



crest 0.500



Coefficient



1.0



Upper Confidence Limit Lower Confidence Limit



0.5 0.300



ACF



Value crest



0.400



0.200



0.0



0.100



-0.5 0.000 1 6 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6



-1.0



Case Number



1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



12



13



14



15



16



Lag Number



Gambar 2.2a Data tidak stasioner dalam rata-rata hitung



16



Gambar 2.2b ACF dari Gambar 2.2a



CREST 1.0



40000



Value connect



.5



Partial ACF



0.0



-.5



Confidence Limits



-1.0



30000



20000



10000



Coefficient 1



3



5



2



7



4



9



6



8



11 10



13 12



1 6



15 14



1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 0 0 1 1 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6



16



Case Number



Lag Number



Gambar 2.2d Data tidak stasioner dalam rata-rata hitung dan varians



Gambar 2.2c PACF dari Gambar 2.2a



CONNECT



connect



1.0 Coefficient



1.0



Upper Confidence Limit



.5



Lower Confidence Limit 0.5



Partial ACF



ACF



0.0 0.0



-0.5



-.5



Confidence Limits



-1.0



Coefficient 1



-1.0 1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



12



13



14



15



3



5



2



16



Lag Number



7



4



9



6



8



11 10



13 12



15 14



16



Lag Number



Gambar 2.2e ACF dari Gambar 2.2d



Gambar 2.2f PACF dari Gambar 2.2d



80.0



ozone 70.0 Coefficient



1.0



Upper Confidence Limit



60.0



0.5



50.0



40.0



ACF



Value ozone



Lower Confidence Limit



0.0



30.0



-0.5



20.0



10.0 -1.0 1 3 5 7 9 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9



1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



12



13



14



15



16



Lag Number



Case Number



Gambar 2.2h ACF dari Gambar 2.2g



Gambar 2.2g Data tidak stasioner dalam varians



17



OZONE 1.0



.5



Partial ACF



0.0



-.5



Confidence Limits



-1.0



Coefficient 1



3 2



5 4



7 6



9 8



11 10



13 12



15 14



16



Lag Number



Gambar 2.2i PACF dari Gambar 2.2g



Untuk ilustrasi perhatikan data pada Tabel 2.1. Jika digambarkan, peta data atas waktu gambarnya seperti di bawah ini 40



30



Value NILAI



20



10



0



96 19 P 6 SE 199 R 5 AP 199 V O 95 N 19 N 5 JU 99 1 N 4 JA 199 G 4 AU 199 AR 3 M 199 T 3 C O 199 AY 2 M 199 EC D 992 1 L 2 JU 199 B 1 FE 99 1 P 1 SE 99 1 R 0 AP 199 V 0 O N 99 1 N 0 JU 99 1 N JA



WAKTU



Gambar 2.3 Peta data pada Tabel 2.1



Gambar 2.3 terlihat identik dengan Gambar 2.2e, menyajikan pola trend yang hampir mendatar (sejajar sumbu waktu) dan variasi data terletak pada sebuah “pita yang meliput tidak seimbang” trend data, hal ini mengindikasikan bahwa data stasioner lemah dalam rata-rata hitung, tapi tidak stasioner dalam varians. Ketidak stasioneran dalam varians jelas terlihat pada gambar ACF dan PACF-nya (Gambar 2.1a dan 2.1b), yang keduanya menyajikan pola hampir alternating.



Untuk lebih memperjelas pendapat tersebut,



perhatikan gambar-gambar hasil diferensi orde-1 dari data pada Tabel 2.1 berikut ini.



18



30



20



10



Value DIFF(NILAI,1)



0



-10



-20 -30 96 19 P 96 SE 19 R 95 AP 19 V O 95 N 19 N 5 JU 199 N 94 JA 1 9 G 94 AU 19 AR 93 M 19 T C 93 O 19 AY 92 M 19 EC 2 D 199 L 2 JU 199 B 91 FE 19 P 91 SE 19 R 90 AP 19 V O 90 N 19 N 0 JU 199 N



JA



WAKTU



Gambar 2.4 Peta data pada Tabel 2.1 hasil diferensi orde-1 DIFF(NILAI,1)



DIFF(NILAI,1) 1.0



1.0



.5



.5



0.0



ACF



-.5



Partial ACF



0.0



Confidence Limits



-1.0



Coefficient 1



3 2



5 4



7 6



9 8



11 10



13 12



Confidence Limits



-1.0



Coefficient 1



15 14



-.5



3 2



5 4



7 6



9 8



11 10



13 12



15 14



16



16



Lag Number



Lag Number



Gambar 2.5a ACF data pada Tabel 2.1 hasil diferensi orde-1



Gambar 2.5b PACF data pada Tabel 2.1 hasil diferensi orde-1



Gambar 2.4 menyajikan pola data dengan trend mendatar dan pola “terompet di sisi kiri dan kanan”, hal ini berarti dengan didiferensi orde-1 data yang tadinya stasioner lemah dalam rata-rata hitung menjadi stasioner kuat dalam rata-rata hitung. Selanjutnya dari gambar ACF (Gambar 2.5a) yang membangun pola alternating dan PACF (Gambar 2.5b) pola “hampir gelombang”, hal ini menunjukan bahwa proses diferensi belum bisa menstabilkan varians, tetapi tidak perlu dilakukan lagi (cukup orde-1), yang harus dilakukan adalah transformasi stabilitas varians.



19



Seperti halnya dengan telaahan keberatian autokorelasi, jika telaahan ketidak stasioneran secara “visual” kurang meyakinkan, maka pengujian hipotesis statistis untuk kestasioneran data perlu dilakukan.



2.3.



Model Regresi Deret Waktu Jika data deret waktu berautokorelasi pada lag-k, maka selanjutnya membangun



model hubungan fungsional antar pengamatan (model regresi deret waktu, model autoregresi), dan pada Bab 1 sudah dikemukakan model regresi deret waktu dari data yang berautokorelasi pada lag-k, dinamakan model autoregresi order-k (lag-k), ditulis



AR(k), yang persamaannya Xt = µ + γ1Xt-1 + γ2Xt-2 + γkXt-k + Zt dengan Zt kekeliruan yang diasumsikan berdistribusi normal identik independen dengan rata 0 dan varians konstan σ2, dan dalam analisis data deret waktu Zt dinamakan proses



acak atau white noise, µ , γ1 , . . . , γk parameter autoregresi. Untuk menentukan nilai taksiran parameter model berdasarkan sampel data deret waktu, x1 , x2 , . . . , x2, prosesnya seperti pada analisis regresi multipel biasa, sebab model AR(k) setara dengan model regresi multipel biasa atas k variabel bebas, yang dalam regresi deret waktu sebagai variabel bebasnya adalah, Xt-1 , Xt-2 , . . . , Xt-k dan variabel tidak bebasnya Xt, sehingga langkah-langkah perhitungan secara “manual” sebagai berikut, 1. bangun pasangan pengamatan, (Xt , Xt-1 , . . . , Xt-k) dan sajikan pada tabel seperti di bawah ini Xt xn xn-1 . . . xk+1



Xt-1 xn-1 xn-2 . . . xk



. . . . . . . . . . . . . . .



20



Xt-k xn-k xn-1-k . . . x1



2. bangun matriks



xn x n −1 . Y= . . x k +1



1 x n −1 1 x n−2 . . , X= . . . . 1 xk



x n −2 x n −3 . . . x k −1



µ γ1 . , β= . . γk



... ... x n − k ... ... x n −1− k . . . . . . . . . ... ... x1



3. hitung X ′X , (X ′X ) , dan X ′Y −1



∧



4. sehingga penaksir β , β = (X ′X ) X ′Y −1



Misal untuk model AR(1), dengan persamaan Xt = µ + γXt-1 + Zt , t = 1 , 2 , . . . , n



(2.4)



Pada persamaan ini



xn x n −1 . Y= . . x2



1 x n −1 1 x n −2 . . , X= . . . . 1 x1



, β=



(X ′X )



1



= (n − 1)



n −1 t =1



2



xt −



n −1 t =1



, X ′X =



γ



n −1 t =1



n −1 −1



µ



xt



t =1 n −1



2



−



xt



t =1



2



−



n −1 t =1



xt



(n − 1)



xt



n −1



(n − 1)



t =1 n −1



xt



t =1



xt



xt



2



n



, X ′Y =



n



t =2



t =2



x t −1 x t



sehingga n −1 ∧



β=



∧



µ ∧



γ



1



= (n − 1)



n −1 t =1



2



xt −



n −1 t =1



2



xt



xt



t =1 n −1



−



t =1



atau



21



2



xt



n t =2 n t =2



xt −



n −1 t =1



xt



n t=2 n



x t + (n − 1)



x t −1 x t



t =2



xt



x t −1 x t



n −1 ∧



µ=



t =1



xt



2



n t=2



(n − 1)



xt − n −1 t =1



n −1 t =1 2



xt −



xt



n t =2



n −1 t =1



x t −1 x t 2



∧



−



, γ=



n −1 t =1



xt



n t =2



(n − 1)



xt



x t + (n − 1)



n −1 t =1



2



xt −



n t =2



n −1 t =1



x t −1 x t 2



xt



Contoh numerik Jika data pada Tabel 2.1 modelnya AR(1) dengan Persamaan (2.4), maka Y : vektor berukuran 83x1, dengan elemen-elemennya nilai data dari bulan Pebruari 1990 sampai dengan Desember 1996 X : matriks berukuran 83x2, dengan elemen-elemen kolom ke-1 semuanya sama dengan 1, dan kolom ke-2 nilai data dari bulan Januari 1990 sampai dengan Nopember 1996 sehingga jika dihitung dengan menggunakan paket program MINITAB, diperoleh hasil



(X ′X ) =



84.00 1033.8 1033.82 17710.9



, (X ′X ) = −1



∧



β= ∧



0.0422766 - 0.0024678 - 0.0024678 0.0002005



, X ′Y =



1021.5 12537.7



12.4611 - 0.0125



∧



atau µ = 12,4611 , γ 1 = -0,0125 , dan model ramalannya ∧



X t = 12,4611 – 0,0125Xt-1 Untuk menghitung model ramalan ini dapat juga digunakan paket program SPSS yang hasilnya akan lebih baik, karena ada sajian analisis variansnya. Misalnya untuk data pada Tabel 2.1, jika dianggap modelnya AR(1) dengan Persamaan (2.4) dan dianalisis dengan paket program SPSS, diperoleh hasil sebagai berikut, >Warning # 16445 >Since there is no seasonal component in the model, the seasonality of the >data will be ignored. MODEL: MOD_1 Model Description: Variable: NILAI Regressors: NONE Non-seasonal differencing: 0 No seasonal component in model. Parameters: AR1 ________ < value originating from estimation > CONSTANT ________ < value originating from estimation > 95.00 percent confidence intervals will be generated. Split group number: 1 Series length: 84



22



No missing data. Melard's algorithm will be used for estimation. Termination criteria: Parameter epsilon: .001 Maximum Marquardt constant: 1.00E+09 SSQ Percentage: .001 Maximum number of iterations: 10 Initial values: AR1 -.01249 CONSTANT 12.30771 Marquardt constant = .001 Adjusted sum of squares = 4986.4749 Conclusion of estimation phase. Estimation terminated at iteration number 1 because: Sum of squares decreased by less than .001 percent. FINAL PARAMETERS: Number of residuals 84 Standard error 7.7981124 Log likelihood -290.71697 AIC 585.43394 SBC 590.29558 Analysis of Variance: DF Adj. Sum of Squares Residual Variance Residuals 82 4986.4748 60.810558 Variables in the Model: B SEB T-RATIO APPROX. PROB. AR1 -.012357 .11048249 -.111841 .91122242 CONSTANT 12.307710 .84058082 14.641912 .00000000 Covariance Matrix: AR1 AR1 .01220638 Correlation Matrix: AR1 AR1 1.0000000 Regressor Covariance Matrix: CONSTANT CONSTANT .70657612 Regressor Correlation Matrix: CONSTANT CONSTANT 1.0000000 ∧



Dari hasil perhitungan diperoleh taksiran µ dan γ, masing-masing µ = 12,307710 dan ∧



γ = -0,012357, dengan kekeliruan baku (simpangan baku kekeliruan, std error) model,



se = 7,7981124, dan kekeliruan baku regresi, sγ = 0,11048249. Jika melihat nilai mutlak T-RATIO, T-RATIO = -0,111841 = 0,111841 , yang jika dibandingkan dengan nilai kritisnya untuk taraf signifikans, α = 0,05 (sesuai dengan defaultnya SPSS), derajat bebas, DF = 82, nilainya antara 1,29 dengan 1,30 (1,29 < T-TABEL Warning # 16445 >Since there is no seasonal component in the model, the seasonality of the >data will be ignored. MODEL: MOD_1



25



Model Description: Variable: NILAI Regressors: NONE Non-seasonal differencing: 0 No seasonal component in model. Parameters: MA1 ________ < value originating from estimation > CONSTANT ________ < value originating from estimation > 95.00 percent confidence intervals will be generated. Split group number: 1 Series length: 84 No missing data. Melard's algorithm will be used for estimation. Termination criteria: Parameter epsilon: .001 Maximum Marquardt constant: 1.00E+09 SSQ Percentage: .001 Maximum number of iterations: 10 Initial values: MA1 .01249 CONSTANT 12.30773 Marquardt constant = .001 Adjusted sum of squares = 4986.5381 Conclusion of estimation phase. Estimation terminated at iteration number 1 because: Sum of squares decreased by less than .001 percent. FINAL PARAMETERS: Number of residuals 84 Standard error 7.7981582 Log likelihood -290.71745 AIC 585.43491 SBC 590.29654 Analysis of Variance: DF Adj. Sum of Squares Residual Variance Residuals 82 4986.5319 60.811272 Variables in the Model: B SEB T-RATIO APPROX. PROB. MA1 .011329 .11049041 .102533 .91858376 CONSTANT 12.307698 .84132438 14.628957 .00000000 Covariance Matrix: MA1 MA1 .01220813 Correlation Matrix: MA1 MA1 1.0000000 Regressor Covariance Matrix: CONSTANT CONSTANT .70782671 Regressor Correlation Matrix: CONSTANT CONSTANT 1.0000000



26



∧



∧



Dari hasil perhitungan diperoleh θ = 12,307698 dan ψ = 0,01220813 , sehingga model MA(1)-nya adalah ∧



X t = 12,307698 + Zt + 0,01220813Zt-1 dengan kekeliruan baku model, sε = 7,981582, dan kekeliruan baku regresi, sψ



=



0,11049041,



tetapi



model



ini



T-RATIO = 0,102533= 0,102533



tidak



cukup



signifikans



karena



lebih kecil dari nilai kritisnya (sudah



dikemukakan nilainya antara 1,29 dengan 1,30). Untuk lebih jelas dapat ditelaah dari gambar peta data dengan nilai ramalan berdasarkan model MA(1) di bawah ini. 40



30



20



Value



10



NILAI Fit for NILAI from A



0



RIMA, MOD_3 CON 96 19 P 6 SE 99 1 R 5 AP 99 1 V O N 995 1 N JU 995 1 N 4 JA 99 1 G 4 AU 99 1 AR 3 M 99 1 T C 93 O 19 AY 2 M 99 1 EC D 992 1 L JU 992 1 B FE 991 1 P SE 991 1 R 0 AP 99 1 V O N 990 1 N JU 990 1 N JA



WAKTU



Gambar 2.7 Peta data pada Tabel 2.1 dengan ramalannya berdasarkan model MA(1) dengan konstanta



Sajian Gambar 2.7 ini identik dengan Gambar 2.6, berarti model MA(1) dan AR(1) dengan konstanta tidak cukup baik dijadikan model ramalan, dan seperti sudah dikemukakan hal kemungkinannya karena data tersebut tidak stasioner dalam varians. Model AR(k) dan MA(p) adalah model-model stasioner (model untuk data yang stasioner dalam rata-rata hitung dan varians) dan berkebalikan, sehingga kedua model ini dapat digabungkan dengan cara dijumlahkan menjadi model ARMA(k,p) dengan persamaan Xt = η + γ1Xt-1 + γ2Xt-2 + . . . + γkXt-k + Zt - ψ1Zt-1 - ψ2Zt-2 - . . . - ψpZt-p



27



Seperti halnya pada model MA(p), penaksiran parameter model, η , γ1 , γ2 , . . . , γk , ψ1 , ψ2 , . . . , ψp harus dilakukan dengan proses iterasi.



Contoh numerik Untuk data pada Tabel 2.1 jika modelnya AR(1) atau MA(1) tidak cukup baik jika digunakan sebagai model ramalan, maka bagaimana jika kedua model itu digabungkan sehingga menjadi model ARMA(1,1) ? Dari perhitungan dengan menggunakan paket program SPSS diperoleh hasil sebagai berikut >Warning # 16445 >Since there is no seasonal component in the model, the seasonality of the >data will be ignored. MODEL: MOD_4 Model Description: Variable: NILAI Regressors: NONE Non-seasonal differencing: 0 No seasonal component in model. Parameters: AR1 ________ < value originating from estimation > MA1 ________ < value originating from estimation > CONSTANT ________ < value originating from estimation > 95.00 percent confidence intervals will be generated. Split group number: 1 Series length: 84 No missing data. Melard's algorithm will be used for estimation. Termination criteria: Parameter epsilon: .001 Maximum Marquardt constant: 1.00E+09 SSQ Percentage: .001 Maximum number of iterations: 10 Initial values: AR1 -.98613 MA1 -.97410 CONSTANT 12.30677 Marquardt constant = .001 Adjusted sum of squares = 5029.3661 Iteration History: Iteration Adj. Sum of Squares Marquardt Constant 1 4978.3456 .0010000 2 4968.8609 .0001000 3 4963.1842 .0000100 4 4958.5226 1.0000000 Conclusion of estimation phase. Estimation terminated at iteration number 5 because:



28



All parameter estimates changed by less than .001 FINAL PARAMETERS: Number of residuals 84 Standard error 7.8026009 Log likelihood -290.48741 AIC 586.97482 SBC 594.26727 Analysis of Variance: DF Adj. Sum of Squares Residual Variance Residuals 81 4958.3794 60.880580 Variables in the Model: B SEB T-RATIO APPROX. PROB. AR1 -.973643 .14755992 -6.598292 .00000000 MA1 -.995934 .31112205 -3.201104 .00195633 CONSTANT 12.308017 .86091338 14.296464 .00000000 Covariance Matrix: AR1 MA1 AR1 .02177393 .04426428 MA1 .04426428 .09679693 Correlation Matrix: AR1 MA1 AR1 1.0000000 .9641714 MA1 .9641714 1.0000000 Regressor Covariance Matrix: CONSTANT CONSTANT .74117185 Regressor Correlation Matrix: CONSTANT CONSTANT 1.0000000 >Warning # 16567. Command name: ARIMA >Our tests have determined that the estimated model lies close to the >boundary of the invertibility region. Although the moving average >parameters are probably correctly estimated, their standard errors and >covariances should be considered suspect.



Dari hasil perhitungan diperoleh persamaan ARMA(1,1) untuk data pada Tabel 2.1 adalah ∧



X t = 12.308017 − 0,973643 Xt-1 + Zt − 0,995934 Zt-1 dan jika memperhatikan nilai |T-RATIO| untuk koefisien AR(1) dan MA(1) yang keduanya lebih besar dari nilai kritisnya, maka model ARMA(1,1) cukup berarti untuk menjadi model ramalan, tetapi tidak cukup baik sebab kekeliruan residunya masih besar yaitu sama dengan 7,8026009. Untuk lebih jelas dapat ditelaah dari gambar peta data nilai aktual dengan nilai ramalan dengan model ARMA(1,1) di bawah ini 29



40



30



20



Value



10



NILAI Fit for NILAI from A



0



RIMA, MOD_4 CON 96 19 P 6 9 SE 19 R AP 995 1 V O N 995 1 N JU 9 5 19 N 4 JA 99 1 G 4 AU 99 1 AR M 993 1 T C 93 O 19 AY M 992 1 EC D 992 1 L JU 92 19 B FE 91 19 P SE 991 1 R 0 AP 99 1 V O N 90 19 N JU 9 0 19



N JA



WAKTU



Gambar 2.8 Peta nilai data pada Tabel 2.1 dengan nilai ramalannya berdasarkan model ARMA(1,1) dengan konstanta



Gambar 2.8 ini identik dengan Gambar 2.7 dan 2.6, yang berarti model ARMA(1,1) dengan konstanta juga belum cukup berarti sebagai model ramalan. Dalam hal data tidak stasioner, proses stasioneritas harus dilakukan dulu sebelum analisis regresi deret waktu. Proses stasioneritas dilakukan bergantung pada kondisi ketidak-stasionerannya, jika data tidak stasioner dalam 1. rata-rata hitung (trend tidak sejajar sumbu waktu), dengan trendnya linier, maka proses stasioneritas adalah proses diferensi, sedangkan jika tidak linier maka proses linieritas trend harus dilakukan dulu sebelum proses diferensi. 2. varians, maka proses stasioneritasnya adalah transformasi stabilisasi varians. 3. rata-rata hitung dan varians, maka transformasi stabilisasi varians harus dilakukan lebih dulu, dan proses diferensi dilakukan pada data hasil transformasi jika trendnya linier, sedangkan jika tidak linier maka proses linieritas harus dilakukan sebelum proses diferensi.



Proses diferensi dan linieritas dilakukan pada data hasil



transformasi. Misalkan X1 , X2 , . . . , data deret waktu dengan trendnya linier. Jika dilakukan proses diferensi dengan orde-q, Yt = (1 – B)qXt, sehingga Y1 , Y2 , . . . merupakan data deret waktu stasioner, maka model ARMA(k,p) pada Yt Yt = η + γ1Yt-1 + γ2 Yt-2 + . . . + γkYt-k + Zt + ψ1Zt-1 + ψ2Zt-2 + . . . + ψpZt-p dinamakan model ARIMA(k,q,p) untuk Xt. 30



(2.6)



Model ARIMA(k,q,p) merupakan model umum dari regresi deret waktu., sebab ARIMA(k,0,0) sama dengan AR(k), ARIMA(0,0,p) sama dengan MA(p), dan ARIMA(k,0,p) sama dengan ARMA(k,p).



Contoh numerik Jika melihat gambar peta data pada Tabel 2.1 (Gambar 2.3) yang menyajikan sebuah kondisi stasioner lemah dalam rata-rata hitung, dan hasil perhitungan untuk membangun model AR(1), MA(1) dan ARMA(1,1), yang menyimpulkan model AR(1) dan MA(1) tidak cukup signifikans dan baik, sedangkan untuk model ARMA(1,1) cukup signifikans tetapi tidak cukup baik untuk digunakan sebagai model ramalan, maka bagaimana jika modelnya ARIMA(1,1,1) ? Dari hasil perhitungan dengan program SPSS diperoleh hasil >Warning # 16445 >Since there is no seasonal component in the model, the seasonality of the >data will be ignored. MODEL: MOD_5 Model Description: Variable: NILAI Regressors: NONE Non-seasonal differencing: 1 No seasonal component in model. Parameters: AR1 ________ < value originating from estimation > MA1 ________ < value originating from estimation > CONSTANT ________ < value originating from estimation > 95.00 percent confidence intervals will be generated. Split group number: 1 Series length: 84 No missing data. Melard's algorithm will be used for estimation. Termination criteria: Parameter epsilon: .001 Maximum Marquardt constant: 1.00E+09 SSQ Percentage: .001 Maximum number of iterations: 10 Initial values: AR1 .02455 MA1 .76994 CONSTANT -.03589 Marquardt constant = .001 Adjusted sum of squares = 5809.8278 Iteration History: Iteration Adj. Sum of Squares Marquardt Constant 1 5327.3932 .00100 2 5323.6742 1.00000



31



3 5279.4585 10.00000 4 5279.0049 1.00000 5 5235.8021 10.00000 6 5230.7028 100.00000 7 5197.5647 10.00000 Conclusion of estimation phase. Estimation terminated at iteration number 8 because: All parameter estimates changed by less than .001 FINAL PARAMETERS: Number of residuals 83 Standard error 7.8706922 Log likelihood -289.46337 AIC 584.92674 SBC 592.18327 Analysis of Variance: DF Adj. Sum of Squares Residual Variance Residuals 80 5197.4643 61.947795 Variables in the Model: B SEB T-RATIO APPROX. PROB. AR1 .01733612 .11565746 .1498919 .88122714 MA1 .99417363 .38265241 2.5981115 .01115554 CONSTANT -.03645576 .03634471 -1.0030554 .31885849 Covariance Matrix: AR1 MA1 AR1 .01337665 .01403384 MA1 .01403384 .14642287 Correlation Matrix: AR1 MA1 AR1 1.0000000 .3171017 MA1 .3171017 1.0000000 Regressor Covariance Matrix: CONSTANT CONSTANT .00132094 Regressor Correlation Matrix: CONSTANT CONSTANT 1.0000000 >Warning # 16567. Command name: ARIMA >Our tests have determined that the estimated model lies close to the >boundary of the invertibility region. Although the moving average >parameters are probably correctly estimated, their standard errors and >covariances should be considered suspect.



Dari hasil pehitungan diperoleh, persamaan ARIMA(1,1,1) untuk data pada Tabel 2.1 adalah ∧



Y t = - 0,03645576 + 0,01733612 Yt-1 + Zt + 0,99417363 Zt-1 dengan Yt = Xt – Xt-1 32



Jika menelaah nilai |T-RATIO| AR(1) yang lebih kecil nilai kritisnya, dan |T-RATIO| MA(1) yang lebih besar dari nilai kritisnya, dengan kekeliruan baku yang sama, sama dengan 7,8706922 maka model ARIMA(1,1,1) dengan konstanta belum cukup signifikans dan baik untuk digunakan sebagai model ramalan. Untuk lebih jelasnya dapat ditelaah pada gambar peta nilai aktual dengan nilai ramalannya di bawah ini. 40



30



20



Value



10



NILAI Fit for NILAI from A



0



RIMA, MOD_5 CON 96 19 P SE 96 19 R AP 95 19 V O N 95 19 N JU 9 5 19 N JA 94 19 G AU 94 19 AR M 93 19 T C O 93 19 AY 2 M 9 19 EC 2 D 9 19 L JU 92 19 B 1 FE 9 19 P SE 91 19 R AP 990 1 V O N 90 19 N JU 9 0 19



N JA



WAKTU



Gambar 2.9 Peta data pada Tabel 2.1 dengan nilai ramalannya berdasarkan model ARIMA(1,1,1) dengan konstanta



Dari hasil telaah banding peta data nilai aktual dengan nilai ramalan berdasarkan model AR(1), MA(1), ARMA(1,1), dan ARIMA(1,1,1) menyimpulkan stabilitas varians diperlukan untuk memperkecil bias dan kekeliruan baku model, sehingga model regresi akan menjadi lebih baik dan berarti untuk dijadikan model ramalan.



2.4.



Identifikasi Model Sudah dikemukakan model ARIMA(k,q,p) adalah model umum dari model regresi



deret waktu. Yang menjadi persoalan dalam analisisnya adalah menentukan nilai k, q, dan p sehingga diperoleh model yang cukup baik untuk peramalan. Identifikasi model perlu dilakukan sebelum analisis regresi deret waktu, untuk menelaah keberartian autokorelasi dan kestasioneran data, sehingga perlu-tidaknya transformasi stabilisasi varians, linieritas trend, dan proses diferensi dilakukan. Jika dimiliki sampel data deret waktu x1 , x2 , ... , xn , maka langkah-langkah yang harus dilakukan untuk identifikasi model adalah 33



1. Petakan data atas waktu dan telaah karakter data untuk menentukan perlu-tidaknya transformasi stabilisasi varians dan/atau proses diferensi dilakukan. Memetakan data atas waktu merupakan tahap awal dari analisis data deret waku, sebab pada peta data ini dapat ditelaah mengenai karakter dari komponen trend, keberadaan komponen musiman, data pencilan, ketidak-stabilan varians, normalitas data, dan penomena lain mengenai ketidak stasioneran data. Dalam hal data tidak stasioner dalam rata-rata hitung dan varians, maka seperti sudah dikemukan,



proses



stasionerisasi



yang



pertama



harus



dilakukan



adalah



menstasionerkan varians, selanjutnya menstasionerkan rata-rata hitung dari data yang sudah distasionerkan variansnya.



Menstasionerkan rata-rata hitung dilakukan



berdasarkan proses diferensi, sedangkan menstasionerkan varians dilakukan berdasarkan tranformasi stabilisasi varians, seperti transformasi kuasa Box-Coc (Box-



Cocs power transformation) atau transformasi logaritmis. 2. Menghitung dan menelaah ACF dan PACF data sampel asli (data sebelum dilakukan proses transformasi untuk mendapatkan informasi mengenai orde dari proses diferensi. Informasi umum yang bisa digunakan untuk memperkirakan orde diferensi adalah, jika ACF sampel membangun sebuah pola yang menurun secara perlahan pada nilai-nilainya, dan PACF sampel membangun sebuah pola yang nilainya terpotong secara signifikans setelah lag-1 (perbedaan nilai antara PACF lag-1 dengan lag-2 dan sesudahnya sangat besar), hal ini mengindikasikan proses diferensi perlu dilakukan. Seperti sudah dikemukakan, proses diferensi dilakukan jika komponen trendnya linier, sehingga jika tidak linier maka sebelum proses diferensi dilakukan harus dilakukan dulu proses linieritas, sebab jika tidak dilakukan maka orde diferensinya akan besar yang menyebabkan akan mengurangi banyaknya nilai data, karena jika orde diferensi q maka data akan berkurang sebanyak q buah. 3. Hitung dan telaah ACF dan PACF data hasil trasformasi dan/atau diferensi (jika ada perlakuan transformasi dan/atau diferensi), untuk memperkirakan orde autoregresi dan rata-rata bergerak yang akan diambil. Pedoman umum untuk menelaah apakah orde dari model regresi deret waktu stasioner sudah cukup baik berdasarkan ACF dan PACF-nya, sebagai berikut 34



Tabel 2.2 Karakter teoritis ACF dan PACF untuk model stasioner Model AR(k)



MA(p)



ARMA(k,p)



ACF PACF berpola eksponensial atau perbedaan nilai antara lag-1 gelombang sinus damped dengan nilai sesudah lag-k cukup besar (cut off after lag-k) perbedaan nilai antara lag-1 berpola eksponensial atau dengan nilai sesudah lag-p gelombang sinus damped cukup besar (cut off after lag-p) berpola menurun secara cepat berpola menurun secara cepat sesudah lag-(p-k) sesudah lag-(k-p)



Dalam analisis regresi deret waktu, berdasarkan pengalaman, untuk mendapatkan hasil yang cukup memuaskan, ukuran sampel, n ≥ 50, dengan lag ACF dan PACF, k ≤ ¼n. 4. Uji signifikansi konstanta trend deterministik (konstanta model) ARIMA(k,q,p), η, seperti pada Persamaan (2.6) jika q > 0. Dalam analisis regresi biasa, parameter konstanta disertakan pada model jika berdasarkan data yang dianalisis diperlukan untuk menelaah karakter rata-rata umum dari variabel responnya. Misalnya regresi tinggi atas umur, dalam modelnya harus disertakan konstanta model, sebab tinggi (variabel respon) sudah memiliki nilai pada saat umur sama dengan 0 (saat dilahirkan). Tetapi dalam analisis regresi deret waktu, konstanta model dilibatkan jika diperlukan saja, sehingga pada umumnya model regresi deret waktu tanpa konstanta, sebab biasanya dengan ditiadakannya konstanta model, sajian mengenai signifikansi koefisien regresi menjadi lebih tegas. Misalkan untuk data pada Tabel 2.1, jika konstanta model dilibatkan pada model ARIMA(1,1,1) diperoleh persamaan ∧



Y t = - 0,03645576 + 0,01733612 Yt-1 + Zt + 0,99417363 Zt-1 dengan Yt = Xt – Xt-1 , Xt variabel pengamatan data deret waktu dengan kekeliruan baku model, se = 7,87069222 , kekeliruan baku koefisien AR(1), sγ = 0,11565746 dan kekeliruan baku koefisien MA(1), sψ = 0,38265241.



Dan



berdasarkan hasil analisis variansnya, koefisien AR(1) tidak signifikans dan koefisien 35



MA(1) signifikans.



Jika ARIMA(1,1,1) dihitung tanpa konstanta dengan



menggunakan paket program SPSS, maka diperoleh hasil sebagai berikut. MODEL: MOD_9 Model Description: Variable: NILAI Regressors: NONE Non-seasonal differencing: 1 No seasonal component in model. Parameters: AR1 ________ < value originating from estimation > MA1 ________ < value originating from estimation > 95.00 percent confidence intervals will be generated. Split group number: 1 Series length: 84 No missing data. Melard's algorithm will be used for estimation. Termination criteria: Parameter epsilon: .001 Maximum Marquardt constant: 1.00E+09 SSQ Percentage: .001 Maximum number of iterations: 10 Initial values: AR1 .02453 MA1 .76987 Marquardt constant = .001 Adjusted sum of squares = 5811.7615 Iteration History: Iteration Adj. Sum of Squares Marquardt Constant 1 5349.2493 .0010000 2 5264.4191 1.0000000 3 5261.4542 .1000000 4 5261.3602 .0100000 Conclusion of estimation phase. Estimation terminated at iteration number 5 because: Sum of squares decreased by less than .001 percent. FINAL PARAMETERS: Number of residuals 83 Standard error 7.8709506 Log likelihood -289.97878 AIC 583.95757 SBC 588.79525 Analysis of Variance: DF Adj. Sum of Squares Residual Variance Residuals 81 5261.3295 61.951864 Variables in the Model: B SEB T-RATIO APPROX. PROB. AR1 .00453761 .11273806 .0402491 .96799355 MA1 .99347746 .17840472 5.5686725 .00000032 Covariance Matrix:



36



AR1 MA1 AR1 .01270987 .00517211 MA1 .00517211 .03182824 Correlation Matrix: AR1 MA1 AR1 1.0000000 .2571525 MA1 .2571525 1.0000000 >Warning # 16567. Command name: ARIMA >Our tests have determined that the estimated model lies close to the >boundary of the invertibility region. Although the moving average >parameters are probably correctly estimated, their standard errors and >covariances should be considered suspect.



Dari hasil perhitungan tersurat, jika konstanta model ditiadakan, maka persamaannya ∧



Y t = 0,00453761Yt-1 + Zt + 0,99347746Zt-1 dengan Yt = Xt – Xt-1 , Xt variabel pengamatan data deret waktu dengan kekeliruan baku model, sε = 7,709506



,



kekeliruan baku koefisien AR(1),



sγ = 0,11273806 , dan kekeliruan baku koefisien MA(1), sψ = 0,17840472 . Jika menelaah analisis variansnya dengan membandingkan nilai mutlak T-RATIO dengan nilai kritisnya, yang menyimpulkan koefisien AR(1) tidak signifikans dan koefisien MA(1) signifikans, yang berarti model ARIMA(1,1,1) tanpa konstanta identik dengan ARIMA(1,1,1) dengan konstanta. Hal ini menyimpulkan untuk data pada Tabel 2.1. meniadakan konstanta model tidak meningkatkan signifikansi koefisien regresi. Untuk lebih jelasnya dapat ditelaah dari gambar-gambar di bawah ini 40



40



30



30



20



20



10



NILAI



Value



NILAI Fit for NILAI from A



0



RIMA, MOD_5 CON



Fit for NILAI from A 0



RIMA, MOD_9 NOCON



96 19 P 996 SE 1 95 R 9 AP V 1 5 O 9 N 19 5 N 9 JU 19 94 N 9 JA G 1 94 9 AU R 1 3 A 99 M T1 3 C 99 O Y1 2 A 99 M 1 2 EC 9 D 19 L 92 JU 19 1 B 9 FE 19 1 P 9 SE 19 90 R 9 AP V 1 0 O 9 N 19 0 N 9 JU 19 N JA



96 19 P 96 SE 19 5 R 99 AP 1 5 V O 9 N 19 5 N 9 JU 19 4 N 99 JA 1 4 G 99 AU 1 3 AR 9 M 19 3 T C 99 O 1 2 AY 99 M C1 2 E 9 D 19 L 92 JU 19 1 B 9 FE 19 1 P 9 SE 19 0 R 99 AP 1 0 V O 9 N 19 0 N 9 JU 19 N JA



Value



10



WAKTU



WAKTU



Gambar 2.10a Peta data pada Tabel 2.1 dengan nilai ramalannya berdasarkan model ARIMA(1,1,1) dengan konstanta



Gambar 2.10b Peta data pada Tabel 2.1 dengan nilai ramalannya berdasarkan model ARIMA(1,1,1) tanpa konstanta



37



Kedua gambar ini menyajikan sebuah kondisi yang identik, sehingga uji keberartian untuk konstanta model perlu dilakukan.



2.5.



Transformasi Stabilitas Varians Proses diferensi untuk menstasionerkan data umumnya “berhasil” jika data tidak



stasioner dalam rata-rata hitung (terdapat komponen trend), sedangkan jika tidak stasioner dalam varians maka proses diferensi tidak selalu baik digunakan untuk menstasionerkannya, sebab ordenya bisa tinggi, sehingga akan banyak data yang hilang. Menstasionerkan varians harus dilakukan berdasarkan proses transformasi dengan konsepsi sebagai berikut.



Berdasarkan deskripsinya, varians adalah jumlah kuadrat



simpangan terhadap nilai rata-rata hitung yang dibagi oleh banyaknya data (ukuran sampel atau populasi), sehingga jika xt , t = 1, 2, . . . n, sampel data deret waktu maka 2



2 1 n 1 n 2 1 var .( x ) = (x t − x) = xt − x n − 1 t =1 n − 1 t =1 n −1



Formulasi varians tersebut jika disajikan dalam bentuk fungsi riel, maka deskripsinya sebagai berikut, jika µt parameter rata-rata hitung untuk data deret waktu pada waktu t, Xt, maka var.Xt = cf(µt) c , c > 0 , konstanta nonstokastik, dan f(µt) : fungsi atas µt. Jika T operator transformasi stabilisasi varians, maka T(Xt) , t = 1, 2, . . . barisan data dengan varians konstan, dan jika disajikan dalam deret Taylor di sekitar titik µt, maka T(Zt) ≅ T(µt) + T′(µt)(Xt − µt) ≅ : notasi “hampir sama dengan”, T′(µt) turunan (diferensiasi) orde-1 dari T(Zt) di titik µt



dan var. T(Zt) = varT(µt) + var.T′(µt)(Xt − µt) = {T′(µt)}2 var.Xt = c{T′(µt)}2f(µt) Karena var. T(Zt) konstan, T dapat dipilih sedemikian rupa sehingga T ′(µ t ) = atau 38



1 f (µ t )



T (µ t ) =



1 f (µ t )



dµ t



(2.7)



Persamaan (2.7) adalah formulasi umum untuk transformasi stabilitas varians, sehingga bentuk tranformasi data bergantung pada bentuk f(µt) (bentuk ketidak stasioneran dalam varians).



Pada umumnya ada tiga bentuk transformasi stabilitas



varians yang sering digunakan, yaitu 1. Jika simpangan baku data proporsional pada tarafnya, var.Xt = c2µt2 atau f(µt) =



2



µ t = µt , maka



T(µt) =



1 dµ t = ln(µt) + K , K konstanta riel µt



Dalam hal ini transformasi stabilitas varians adalah transformasi logaritma natural (walaupun untuk beberapa data kemungkinan tidak relevan), Xt dittransformasikan menjadi ln (Xt) , jika Xt > 0. 2. Jika varians data proporsional pada tarafnya, var.Xt = cµt atau f(µt) = 1



T(µt) =



µt



1 µt



, maka



dµ t = 2 µ t + K , K konstanta riel



Dalam hal ini tranformasi stabilitas varians adalah transformasi akar kuadrat, Xt ditransformasikan menjadi



X t , jika Xt > 0.



3. Jika varians data proporsional pada kuadrat tarafnya, var.Xt = c2µt2 atau f(µt) =



1 µt



4



=



1 µt



2



, maka



T(µt) =



1 µt



2



dµ t = −



1 + K , K konstanta riel µt



Dalam hal ini tranformasi stabilitas varians adalah transformasi perbandingan



terbalik (reciprocal), Xt ditransformasikan menjadi



39



1 . Xt



Transformasi stabilitas varians yang lain dan lebih umum adalah tranformasi kuasa (power tranformation), yang dikenalkan dan dikembangkan oleh G. E. P. Box dan D. R. Cox sekitar tahun 1964. Persamaan dari tranformasi ini adalah λ



X −1 T(Xt) = Xt(λ) = t λ λ dinamakan parameter tranformasi.



Jika tranformasi kuasa ini dihubungkan dengan bentuk transformasi stabilitas varians yang lain, maka diperoleh tabel kesetaraan seperti di bawah ini Tabel 2.3 Hubungan nilai λ dengan kesetaraan transformasi stabilitas varians Nilai λ



Kesetaraan transformasi, T(Xt) =



1 Xt 1



-1,0 -0,5



Xt



0,0



Ln (Xt)



0,5



Xt



1,0



Xt



Beberapa catatan penting sehubungan dengan transformasi stabilitas varians, 1. Bentuk-bentuk transformasi yang telah dikemukakan secara umum hanya didefinisikan untuk data deret waktu positif, terutama transformasi logaritma natural dan akar kuadrat. Tetapi batasan tersebut bukan hal yang mengikat, sebab dalam analisis data deret waktu jika dimiliki data baru maka data tersebut akan langsung dilibatkan dalam model tanpa memperhatikan pengaruhnya pada struktur korelasi deret data, sehingga jika dimiliki data dengan nilai negatif dan yang disyaratkan nilai positif, maka yang diambil nilai mutlaknya. 2. Transformasi stabilitas varians harus dilakukan sebelum proses diferensi dan analisis regresi deret waktu.



40



3. Parameter transformasi kuasa, λ, dapat ditaksir berdasarkan data sampel dengan menggunakan



metode



penaksiran



statistis,



misalnya



metode



kemungkinan



maksimum. 4. Transformasi pada data deret waktu (jika diperlukan), bukan hanya transformasi stabilitas varians, juga transformasi pendekatan distribusi normal, jika data belum berdistribusi normal.



Contoh numerik Sudah ditunjukan dengan gambar peta data, ACF dan PACF, data pada Tabel 2.1 menunjukan tidak stasioner dalam varians, sehingga untuk keperluan analisis regresi deret waktu perlu dilakukan stabilitas varians, dan sudah dicoba, analisis tanpa menstabilkan variansnya diperoleh hasil yang kurang baik. Untuk menelaah pengaruh transformasi stabilitas varians dan transformasi mana yang cocok untuk data pada Tabel 2.1 agar diperoleh model yang cukup baik, berikut ini dilakukan proses transformasi logaritma natural, akar kuadrat, dan perbandingan terbalik.



Proses



perhitungan dan pemetaan data aktual dengan hasil transformasi, dilakukan dengan menggunakan paket program EXCEL hasilnya seperti di bawah ini.



35



35



30



30



25



25



Gambar 2.11a Peta data pada Tabel 2.1 dengan hasil transformasi logaritma natural



81



73



65



57



1



78



71



64



57



50



43



36



29



0 22



0 8



5



15



5



1



10



49



Akar(NILAI)



10



41



15



33



NILAI



Ln(NILAI)



25



20



15



9



NILAI



17



20



Gambar 2.11a Peta data pada Tabel 2.1 dengan hasil transformasi akar kuadrat



41



35 30 25 20



NILAI



15



1/NILAI



10 5



78



71



64



57



50



43



36



29



22



8



15



1



0



Gambar 2.11a Peta data pada Tabel 2.1 dengan hasil transformasi perbandingan terbalik



dan nilai koefisien variasinya seperti di bawah ini, Tabel II.4 Nilai koefisien variasi Kelompok nilai hasil Pengamatan Tranformasi logaritma Transformasi akar Tranformasi perbandingan terbalik



Koefisien variasi 62,98333 25,75863 30,543878 65,0978



Dari ketiga bentuk transformasi stabilitas varians untuk data pada Tabel 2.1, transformasi logaritma natural yang paling baik, karena memberikan nilai koefisien variansi yang paling kecil. Jika diinginkan koefisien variansi yang lebih kecil lagi, maka gunakan transformasi Box-Coc, dengan memilih bermacam-macam nilai λ atau menaksirnya berdasarkan data sampel.



2.6.



Analisis Residual Setelah model regresi dibangun berdasarkan sebuah sampel, selanjutnya adalah



menghitung penaksir (ramalan) nilai-nilai pengamatan, hal ini diperlukan untuk menelaah besarnya kekeliruan jika model tersebut digunakan sebagai model ramalan. Besaran yang digunakan sebagai acuan untuk menyimpulkan bahwa model yang dibangun cocok dan baik untuk peramalan, adalah residu (Rt), yaitu selisih antara nilai pengamatan (xt) ∧



∧



dengan nilai ramalannya( x t ), Rt = xt − x t .



42



Karena kekeliruan (error, et) merupakan variabel acak tidak terukur, untuk menelaah dipenuhi-tidaknya asumsi pada model, yaitu rata-rata sama dengan 0, varians konstan, dan tidak berautokorelsi, residu ( Rt ) digunakan sebagai variabel penelaahnya. Sebuah model ramalan disebut cocok dan baik, jika 1. taksiran koefisien regresi signifikans, 2. kekeliruan baku, yang diukur oleh simpangan baku residu, nilainya kecil, 3. asumsi pada kekeliruan dipenuhi, dan 4. tidak ada pencilan, yang dalam prakteknya model tanpa pencilan sulit dihindari, sehingga jika ada maka dilakukan telaahan khusus mengenai keberadaannya. Untuk menelaah secara “visual” apakah sebuah model regresi baik dan cocok untuk digunakan sebagai model ramalan, dapat dilakukan berdasarkan diagram pencar (scatter diagram) nilai pengamatan atau nilai ramalan dengan nilai residunya. Kesimpulan yang dapat dikemukakan sehubungan dengan pola pencaran titik adalah sebagai berikut. 1. Sebuah model disebut baik dan cocok jika gambar menyajikan sebuah pencaran titik yang berada pada “pita tipis yang meliput secara acak dan seimbang” garis rata-rata hitung kekeliruan yang sejajar sumbu residu. 2. Jika pencaran titik meliput seimbang garis rata-rata yang sejajar sumbu residu, tetapi membangun pola “terompet”, maka model cocok tetapi asumsi varians konstan (homogen) tidak dipenuhi. 3. Jika pencaran titik berada pada “pita tipis” yang meliput tidak seimbang garis ratarata dan sejajar sumbu residu, maka model cocok tetapi asumsi kekeliruan sama dengan 0 tidak dipenuhi. 4. Jika pencaran titik meliput seimbang garis rata-rata yang sejajar sumbu residu, tetapi membangun sebuah pola siklometri, maka model cocok tetapi asumsi kekeliruan saling bebas tidak dipenuhi. Sebagai ilustrasi disajikan gambar-gambar di bawah ini untuk bahan telaahan



43



∧



xt ( x t ) rata-rata Rt Gambar 2.12a Model cocok dan baik untuk peramalan ∧



xt ( x t )



rata-rata Rt



Gambar 2.12b Model cocok dan baik tetapi memiliki pencilan ∧



xt ( x t ) rata-rata Rt Gambar 2.12c Model cocok untuk peramalan tetapi tidak baik karena varians kekeliruan tidak homogen (konstan)



44



∧



xt ( x t ) rata-rata Rt Gambar 2.12d Model cocok untuk peramalan tetapi tidak baik karena rata-rata hitung kekeliruan tidak sama dengan 0 ∧



xt ( x t ) rata-rata Rt



Gambar 2.12e Model cocok untuk peramalan tetapi tidak baik karena kekeliruannya berautokorelasi



Chatfield (1984), Box dan Jenkins (1976) mengemukakan, konsepsi analisis residual pada regresi biasa seperti yang telah dikemukakan, berlaku jika variabel respon (variabel tidak bebas) tidak berautokorelasi, dan tidak ada multikolinieritas pada variabel



explanatory (variabel bebas).



Sedangkan dalam analisis data deret waktu, jika data



berautokorelasi pada lag-k, maka terdapat hubungan fungsional antara Xt , Xt-1 , . . . , Xt-k dan pada saat dibangun model regresinya, Xt sebagai variabel respon, Xt-1 , Xt-2 , . . . , Xt-k sebagai variabel explanatory, sehingga jika pada identifikasi model, pengambilan nilai lag tidak cocok (kurang dari k), maka akan terjadi pelanggaran konsepsi analisis regresi biasa, karena adanya multikolinieritas pada Xt-1 , Xt-2 , . . . , Xt-k , dan ketidak bebasan (berautokorelasi) pada Xt. Penggunaan analisis residual dalam regresi deret waktu dilakukan untuk dua telaahan utama, yaitu memeriksa kecocokan autokorelasi dan menguji kecocokan dan kebaikan model. Jika dalam analisis regresi biasa peta residual ditelaah salah satu saja, yaitu peta 45



residual antara nilai pengamatan dengan residu atau nilai ramalan dengan residu, sebab hasilnya akan identik. Tetapi dalam analisis data deret waktu peta residual harus ditelaah untuk keduanya, sebab peta residual nilai pengamatan dengan residu untuk menelaah kecocokan model dan peta residual nilai ramalan dengan residu untuk menelaah kebaikan model. Selain itu perlu juga ditelaah pola nilai pengamatan dengan ramalannya.



46



BAB 3 PERAMALAN Peramalan (forecasting) merupakan sasaran dari analisis data dalam kawasan waktu, yang diperlukan untuk perancangan (planing) dan proses kontrol. Peramalan data deret waktu banyak dilakukan pada masalah-masalah manajemen, sistem inventory, pengontrolan kualitas, dan analisis investasi. Banyak prosedur peramalan data deret waktu yang bisa dilakukan, dan secara umum dapat diklasifikasikan atas tiga macam, yaitu peramalan secara 1. subjektif. Peramalan secara subjektif dilakukan hanya dengan mengandalkan daya intuisi dan kemampuan daya nalar, sehingga pengalaman dan keakhlian dalam menangani persoalan data deret waktu sangat menentukan akurasi hasil. Peramalan subjektif bukan sebuah metode statistis atau matematis yang bisa dipelajari secara keilmuan, sehingga metode ini tidak dijadikan objek dalam analisis data deret waktu. 2. univariat. Peramalan univariat adalah peramalan yang didasarkan pada sampel data deret waktu univariat, dengan memperhatikan model hubungan antar pengamatan dan proses ekstrapolasi atau transformasi data. Proses peramalan ini banyak digunakan dalam persoalan bidang ekonomi, dan perdagangan. Peramalan mengenai hasil penjualan suatu produk biasa dinamakan naive atau projeksi. Peramalan univariat merupakan metode peramalan prinsipal dalam analisis data deret waktu. 3. multivariat. Seperti sudah dikemukakan, analisis data deret waktu merupakan analisis univariat, sehingga jika dimiliki data deret waktu multivariat, maka proses yang dilakukan adalah 1. mentransformasikan pengamatan multivariat menjadi sebuah model univariat, atau 2. mengadaptasi peramalan univariat dalam sistem multivariat, sehingga analisis dilakukan dalam bentuk persamaan (model) matriks atau vektor. 47



Peramalan multivariat pada prinsipnya adalah pengembangan dari peramalan univariat. Walaupun prosedur peramalan diklasifikasikan dalam tiga macam, tetapi dalam prakteknya analisis peramalan merupakan kombinasi dari minimal dua prosedur. Misalnya,



peramalan



univariat



sering



dilakukan



untuk



mengembangkan



atau



memperbaiki hasil dari peramalan subjektif, dan peramalan multivariat dilakukan sebagai pengembangan dari peramalan univariat.



Sebagai contoh, peramalan dalam bidang



pemasaran, model peramalan mengenai volume penjualan merupakan gabungan dari peramalan mengenai frekuensi iklan, pangsa pasar, harga, bentuk, kualitas, dan variabelvariabel lain yang berhubungan dengan volume penjualan. Proses peramalan akan berhubungan dengan apa yang dinamakan waktu mendatang (lead time) dan konsepsi peramalan jangka pendek (short term), yaitu peramalan dengan lead time yang cukup kecil jika dibandingkan dengan panjang waktu pengamatan. Misal dalam persoalan persediaan barang (stock control), peramalan jangka pendek adalah peramalan ketersediaan barang dengan lead time antara waktu pemesanan sampai pengantaran, yang biasanya memerlukan waktu beberapa minggu atau bulan. Sebelum memilih prosedur peramalan yang akan dilakukan, perlu untuk memperhatikan maksud dan tujuan peramalan, waktu, biaya, dan banyaknya data yang tersedia untuk menentukan lead time yang layak diambil, sehingga proses peramalan menjadi efektif dan efisien. 3.1.



Esktrapolasi Trend Ekstrapolasi trend adalah salah satu metode peramalan univariat yang paling



sederhana, dengan hanya memperhatikan bentuk trend dari peta data atas waktu, sehingga untuk menentukan bentuk trendnya diperlukan daya intuisi dan nalar, selain keakhlian dan pengalaman dalam persoalan analisis data deret waktu. Dengan metode ini yang diperhatikan pada data hanya komponen trend, sehingga signifikansi autokorelasi diabaikan. Peramalan dengan ekstrapolasi trend merupakan peramalan regresi sederhana data atas waktu, dan dilakukan jika data stasioner dalam varians dan tidak berautokorelasi. Prosesnya adalah sebagai berikut, 48



1. Petakan data atas waktu. 2. Telaah mengenai bentuk atau bentuk-bentuk trend yang mungkin cocok untuk model ramalan. 3. Bangun model regresi sederhana, dengan nilai pengamatan sebagai respon (variabel tidak bebas) dan waktu atau indeks sebagai explanatory (variabel bebas), yang dalam penggunaannya harus dalam bentuk koding. 4. Lakukan penaksiran parameter, dan perhitungan nilai-nilai ramalan. 5. Diagnosa model dengan analisis residual. Contoh numerik : Perhatikan data pada Tabel 2.1. Pada Bab 2 sudah dikemukakan data tersebut stasioner lemah dalam rata-rata hitung, tetapi tidak stasioner dalam varians, dan jika ketidakstasioner tersebut diabaikan, dan trend dianggap linier, maka persamaan dengan konstanta adalah Xt = θ0 + θ1t + ε



(3.1)



Xt = θt + ε



(3.2)



dan jika tanpa konstanta dengan nilai t merupakan nilai koding dari waktu atau indeks, ε kekeliruan model. Selanjutnya jika model disajikan dalam persamaan matriks Y = Xβ + ε



(3.3)



maka untuk Persamaan (3.1) Y : vektor berukuran 84x1, dengan elemen-elemennya adalah nilai data. X : matriks berukuran 84x2, dengan elemen-elemen kolom ke-1 semuanya sama dengan 1, dan kolom ke-2 nilai-nilai koding dari waktu.



β=



θ0 θ1



dan untuk Persamaan (3.2) Y : vektor berukuran 84x1, dengan elemen-elemennya adalah nilai data X : vektor berukuran 84x1, dengan elemen-elemennya nilai koding dari waktu β=θ sehingga jika digunakan paket program MINITAB, untuk Persamaan (3.1), diperoleh 49



X ′X =



84



0



0 51170



0.0119048 0.0000000



, (X ′X ) = −1



0.0000000 0.0000195 ∧



β=



, X ′Y =



1033.82 - 1825.04



,



12.3074 - 0.0357



dan untuk Persamaan (3.2) ∧



X ′X = 51170 , (X ′X ) = 0.0000195 , X ′Y = -1825.04 , θ = -0.0356662 −1



Dari hasil perhitungan pada kedua model, disimpulkan model ramalan dengan Persamaan (3.1) sama dengan, ∧



X t = 12,3074 – 0,0357t dan Persamaan (3.2) sama dengan, ∧



X t = -0,0356662t dengan t : nilai koding. Untuk menelaah keberartian dan kecocokan model dapat dilakukan berdasarkan analisis residual atau varians, yang metodenya dapat dipelajari pada analisis regresi biasa. Jika hasil perhitungan ingin lengkap dengan analisis variansnya, dapat digunakan paket program SPSS, dan untuk data pada Tabel 2.1 tersebut jika dihitung dengan paket program SPSS maka akan diperoleh hasil seperti di bawah ini. Regression b



Model Summary



Model 1



R



.114a



R Square .013



Std. Error of the Estimate 7.7477



Adjusted R Square .001



Durbin-Watson 2.051



a. Predictors: (Constant), KODING b. Dependent Variable: NILAI ANOVA Model 1



Regression Residual Total



Sum of Squares 65.092 4922.152 4987.245



b



df 1 82 83



a. Predictors: (Constant), KODING b. Dependent Variable: NILAI



50



Mean Square 65.092 60.026



F



Sig. 1.084



.301a



a



Coefficients Standardi zed Coefficien ts



Unstandardized Coefficients Model 1



B 12.307 -3.57E-02



(Constant) KODING



Std. Error .845 .034



Beta



t 14.559 -1.041



-.114



95% Confidence Interval for B Lower Upper Bound Bound 10.626 13.989 -.104 .032



Sig. .000 .301



a. Dependent Variable: NILAI



untuk model dengan konstanta, sedangkan jika tanpa konstanta, hasilnya seperti di bawah ini Model Summary



Model 1



R



Std. Error of the Estimate 14.5808



Adjusted R Square -.008



R Square a .004



.061b



c,d



Durbin-Watson .572



a. For regression through the origin (the no-intercept model), R Square measures the proportion of the variability in the dependent variable about the origin explained by regression. This CANNOT be compared to R Square for models which include an intercept. b. Predictors: KODING c. Dependent Variable: NILAI d. Linear Regression through the Origin ANOVA c,d Model 1



Sum of Squares 65.092 17645.769 17710.861b



Regression Residual Total



df 1 83 84



Mean Square 65.092 212.600



F



Sig. .306



.582a



a. Predictors: KODING b. This total sum of squares is not corrected for the constant because the constant is zero for regression through the origin. c. Dependent Variable: NILAI d. Linear Regression through the Origin



Coefficientsa,b



Unstandardized Coefficients Model 1



KODING



B -3.57E-02



Std. Error .064



Standardi zed Coefficien ts Beta -.061



t -.553



Sig. .582



95% Confidence Interval for B Lower Upper Bound Bound -.164 .093



a. Dependent Variable: NILAI b. Linear Regression through the Origin



Dari hasil perhitungan tersurat, model ramalan dengan konstanta, persamaannya ∧



X t = 12,307 – 0,0357t dan tanpa konstanta, persamaannya 51



∧



X t = -0,0357t dan jika melihat nilai Fhitung pada tabel ANOVA yang sama dengan 1,084 untuk model dengan konstanta, dan 0,306 untuk model tanpa konstanta, dan jika dibandingkan dengan nilai tabel F untuk derajat bebas pembilang 1, penyebut 82 (untuk model dengan konstanta) dan 83 (untuk penyebut tanpa konstanta), taraf signifikans 0,05 dan 0,01, keduanya lebih kecil F-Tabel (dari tabel : 3,94 < F(1;83);0,05 , F(1;82);0,05 MA1 ________ < value originating from estimation > 95.00 percent confidence intervals will be generated. Split group number: 1 Series length: 84 Number of cases skipped at end because of missing values: 1 Melard's algorithm will be used for estimation. Termination criteria: Parameter epsilon: .001 Maximum Marquardt constant: 1.00E+09 SSQ Percentage: .001 Maximum number of iterations: 10 Initial values: AR1 -.22752 MA1 .54705 Marquardt constant = .001 Adjusted sum of squares = 10454.648 Iteration History: Iteration Adj. Sum of Squares Marquardt Constant 1 9641.8261 .00100000 2 9595.9342 .00010000



72



3 9553.1416 .00001000 4 9481.6217 .00000100 5 9335.6223 .00000010 Conclusion of estimation phase. Estimation terminated at iteration number 6 because: All parameter estimates changed by less than .001 FINAL PARAMETERS: Number of residuals 71 Standard error 11.388236 Log likelihood -273.93872 AIC 551.87744 SBC 556.4028 Analysis of Variance: DF Adj. Sum of Squares Residual Variance Residuals 69 9332.8491 129.69193 Variables in the Model: B SEB T-RATIO APPROX. PROB. AR1 -.11627175 .12210804 -.952204 .34431736 MA1 .96804839 .08958795 10.805565 .00000000 Covariance Matrix: AR1 MA1 AR1 .01491037 .00307526 MA1 .00307526 .00802600 Correlation Matrix: AR1 MA1 AR1 1.0000000 .2811174 MA1 .2811174 1.0000000 >Warning # 16567. Command name: ARIMA >Our tests have determined that the estimated model lies close to the >boundary of the invertibility region. Although the moving average >parameters are probably correctly estimated, their standard errors and >covariances should be considered suspect. The following new variables are being created: Name Label FIT_14 Fit for NILAI from ARIMA, MOD_1 NOCON ERR_14 Error for NILAI from ARIMA, MOD_1 NOCON LCL_14 95% LCL for NILAI from ARIMA, MOD_1 NOCON UCL_14 95% UCL for NILAI from ARIMA, MOD_1 NOCON SEP_14 SE of fit for NILAI from ARIMA, MOD_1 NOCON



Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh taksiran untuk γ dan ψ masing-masing, ∧



∧



γ = -0,11627175 dan ψ = 0,96804839 dengan kekeliruan baku masing-masing sγ = 0,12210804 dan sψ = 0,08958795 sedangkan kekeliruan baku modelnya sama dengan sa = 11,388236. Jika menelaah nilai T-RATIO untuk masing-masing penaksir dan dibandingkan dengan nilai T-TABEL untuk taraf signifikans α = 0,05 derajat bebas 69 : 2,62 < T-TABEL < 2,69 , maka disimpulkan koefisien AR(1) tidak signifikans sedangkan 73



koefisien MA(1) signifikans. Untuk menelaah tingkat keberartian dan kebaikan model dapat ditelaah pada gambar-gambar di bawah ini



40



30



20



Value



10



Fit for NILAI from A RIMA, MOD_1 NOCON



0



NILAI 1



11 6



21 16



31 26



41 36



51 46



61 56



71 66



81 76



Case Number



Gambar 3.9a Peta nilai data dengan ramalannya berdasarkan model Box-Jenkins (1,1,1) 40



Fit for NILAI from ARIMA, MOD_1 CON



40



30



20



NILAI



10



0 -30



-20



-10



0



10



20



30



30



20



10



0 -30



Error for NILAI from ARIMA, MOD_1 CON



-20



-10



0



10



20



30



Error for NILAI from ARIMA, MOD_1 CON



Gambar 3.9b Diagram pencar nilai pengamatan dengan residu berdasarkan model Box-Jenkins (1,1,1)



Gambar 3.9b Diagram pencar nilai ramalan dengan residu berdasarkan model Box-Jenkins (1,1,1)



Dari hasil analisis varians dan gambar-gambar ini disimpulkan metode Box-Jenkins memberikan hasil yang lebih baik dari metode peramalan yang lain, dan model BoxJenkins (1, 0 , 0, 1) masih belum cukup baik digunakan sebagai model ramalan untuk data pada Tabel 2.1, sehingga harus diambil nilai-nilai orde yang lain.



74



Walaupun metode Box-Jenkins dan Holt-Winters adalah proses peramalan untuk data yang memiliki komponen trend dan musiman, tetapi ada perbedaan yang mencolok antara keduanya. Metode Holt-Winters adalah proses peramalan berdasarkan analisis “keluarga



model regresi deret waktu sederhana”, sedangkan metode Box-Jenkins berdasarkan analisis “pemilihan model trend-musiman ARIMA”, dengan proses yang lebih kompleks daripada metode Holt-Winters, walaupun dalam prakteknya, proses perhitungan keduanya harus dilakukan dengan menggunakan fasilitas komputer.



3.7.



Autoregresi Stepwise Metode ini dikenalkan oleh C. W. Granger dan P. Newbold sekitar tahun 1977, yang



merupakan bagian (subset) dari metode Box-Jenkins, dengan konsepsi yang lebih sederhana. Pada metode Box-Jenkins, model regresi deret waktu yang digunakan untuk peramalan adalah ARIMA(p,q,k), sedangkan metode ini didasarkan pada konsepsi bahwa jika data berautokorelasi, maka model hubungan fungsionalnya adalah AR(k), sebab 1. model AR(k) adalah model dasar dari regresi deret waktu 2. membangun model AR(k) yang cocok untuk peramalan lebih mudah dari model MA(p) atau ARMA(k,p). Konsepsi perhitungannya adalah sebagai berikut 1. lakukan proses menstasionerkan data, dan seperti sudah dikemukakan jika trendnya linier maka proses diferensi orde-1 sudah cukup, tetapi jika tidak linier maka lakukan dulu transformasi linieritas, selanjutnya proses diferensi orde-1 untuk hasil transformasi. 2. tentukan lag autokorelasi maksimum yang mungkin, misalnya sama dengan M. Granger dan Newbold menyarankan ambil M = 13 jika datanya kuartalan dan M = 25 jika bulanan, 3. bangun model regresi deret waktu dengan persamaan Wt = µ + γS(1)Wt-S + et(1) , 1 ≤ S ≤ M , Wt = Xt – Xt-1 , Xt data deret waktu dengan trend linier γS(1) : koefisien autoregresi stepwise orde-1, et(1)



stepwiswe orde-1 75



kekeliruan model autoregresi



4. lakukan penaksiran parameter secara bertahap untuk setiap S = 1, 2, . . . , M , dan hitung nilai-nilai ramalannya, 5. proses penaksiran dihentikan jika jumlah kuadrat residu pada langkah ke-j sudah cukup kecil dari langkah sebelumnya, dan model ini yang digunakan sebagai model ramalan.



3.8.



Peramalan Multivariat Metode peramalan yang sudah dikemukakan, semuanya merupakan metode



peramalan untuk data deret waktu univariat, sehingga jika dimiliki sampel data deret waktu multivariat, maka seperti sudah dikemukan pada awal bab ini proses yang dapat dipilih 1. mentransformasikan data multivariat menjadi data univariat melalui model fungsi



transfers, jika data berautokorelasi, 2. metode analisis regresi multipel jika tidak berautokorelsi, 3. mengadopsi analisis peramalan univariat dan analisis matriks (vektor), sehingga proses pemodelan untuk membangun sebuah model ramalan, dilakukan berdasarkan analisis regresi deret waktu vektor. Pada buku ajar ini metode analisis regresi multipel dan deret waktu vektor tidak dibahas, sebab materi pengajaran Analisis Data Deret Waktu untuk program S-1 Statistika FMIPA Unpad terbatas pada peramalan univariat.



3.9.



Pemilihan Metode Banyak faktor yang harus dijadikan bahan pertimbangan untuk melakukan suatu



proses peramalan data deret waktu, diantaranya 1. tujuan melakukan peramalan, 2. derajat ketepatan yang diinginkan, 3. ketersediaan waktu, biaya, sumber daya manusia, dan fasilitas. Tidak ada aturan yang mengikat untuk memutuskan penggunaan salah satu metode peramalan berdasarkan pertimbangan yang telah dibuat, sehingga jika ada beberapa



76



metode yang dapat digunakan maka pilihan harus pada metode yang memiliki efisiensi tinggi dengan tingkat kekeliruan yang paling kecil. Pertimbangan yang sangat penting pada saat akan memilih metode peramalan, adalah untuk apa peramalan dilakukan ?



Sebab jika peramalan dilakukan untuk tujuan



perencanaan, misalnya dalam persoalan perencanaan produksi dan pengontrolan persediaan, maka metode yang digunakan adalah yang bisa memberikan derajat ketepatannya yang tinggi dibandingkan dengan jika mencari norma atau ukuran. Dalam praktek sering diperlukan beberapa metode peramalan, misalnya dalam bidang pemasaran untuk menelaah apakah promosi bisa meningkatkan volume penjualan ?



Dalam



persoalan seperti ini jika tujuan peramalan adalah menentukan norma atau ukuran, maka metode yang dipilih adalah yang bisa memberikan informasi paling banyak, untuk keperluan perencanaan dan pengontrolan. Pertimbangan lain dalam memilih metode peramalan adalah ketersedian dan kemudahan untuk mendapatkan data, sebab banyaknya data yang digunakan dalam analisis akan menentukan lead time yang diinginkan, disamping derajat ketepatan dan keberartian hasil peramalan. Pengambilan data harus dilakukan dengan baik dan benar, sehingga sampel yang diperoleh bisa mencerminkan populasinya.



Apalagi jika



peramalan akan menggunakan metode Statistika, maka metode pengambilan sampelnya harus menggunakan kaidah dan konsepsi ilmu Statistika, agar derajat ketepatan dan keberartian



hasil



peramalan



dapat



diukur



secara



kuantitatif,



sehingga



dapat



dipertanggung-jawabkan secara keilmuan. Seperti sudah dikemukakan, metode peramalan statistis memiliki syarat tertentu dalam penggunaannya, misalnya metode ekstrapolasi trend, digunakan jika data tidak berautokorelasi dan variansnya homogen, metode Holt-Winters dan Box-Jenkins digunakan untuk data yang memiliki komponen musiman.



Masing-masing metode



memiliki derajat ketepatan dan keberartian yang bergantung pada ukuran sampel dan keterbatasan dalam penentuan lead time, misal metode Box-Jenkin diperlukan ukuran sampel paling kecil 50, ekstrapolasi trend hanya cocok untuk peramalan jangka pendek. Sudah dikemukakan, dalam ilmu Statistika peramalan didasarkan pada sebuah model regresi, sehingga jika sebuah model ramalan dipilih maka harus dipertimbangkan 77



1. keberartian dari penaksir koefisien regresi, yang dapat dilakukan berdasarkan analisis varians, 2. kekeliruan baku model yang dapat ditelaah berdasarkan analisis residual, 3. dipenuhi-tidaknya asumsi, yang dapat dilakukan berdasarkan sebuah pengujian hipotesis, 4. lead time maksimum yang harus sesuai dengan ukuran sampel.



78



BAB 4 MODEL FUNGSI TRANSFER Peramalan data deret waktu pada dasarnya adalah analisis univariat, sedangkan dalam kenyataan, sebagian besar pengamatan merupakan data multivariat. Misal dalam bidang pemasaran, volume penjualan bergantung pada cara pemasaran, bentuk promosi, dan daerah pemasaran, yang masing-masing faktor tersebut lebih dari satu macam, sehingga jika analisis peramalan hanya didasarkan pada volume penjualan saja, tanpa memperhatikan faktor-faktor yang mempengaruhinya, maka informasi untuk pembuatan norma atau ukuran keberhasilan pemasaran, apalagi untuk keperluan proses kontrol dan perencanaan, menjadi tidak lengkap, sehingga tujuan peramalan tidak tercapai secara utuh. Salah satu upaya menganalisis data deret waktu multivariat agar diperoleh hasil yang dapat memberikan informasi yang lengkap dan simultan, adalah dengan mentransformasikan menjadi model univariat melalui proses model fungsi transfer, yang konsepsinya didasarkan pada data bivariat. 4.1.



Konsepsi umum Misalkan Vt = (Xt , Yt)′ data deret waktu bivariat, dengan Xt dan Yt masing-masing



stasioner atau hasil proses stasioner, yang membangun sebuah hubungan sistem filter linier Yt = ν(B)Xt + ηt



(4.1)



Pada model ini Xt dan Yt , t = 1, 2, . . . , : masing-masing dinamakan deret variabel masukan (input variable) dan variabel keluaran (output variable) ∞



ν(B) =



i = −∞



ν i B i : dinamakan fungsi transfer filter, νi≤ 1, i = 1, 2, . . . dan biasa juga



dinamakan pembobot respon impuls.



Fungsi νi



impuls, B : operator backshift,



79



atas i dinamakan fungsi respon



ηt : kekeliruan, yang merupakan variabel acak tidak terukur berdistribusi identik saling bebas dengan rata-rata 0 varians konstan σ2, dan saling bebas dengan Xt, yang dalam deret waktu dinamakan noise. Box-Jenkins (1976) menamakan Persamaan (4.1) dengan model fungsi transfer, atau model ARMAX. Model fungsi transfer disebut stabil (stable) jika νi merupakan deret konvergen, ν i < ∞ , sehingga Persamaan (4.1) disebut sebuah sistem stabil, jika i



Xt < ∞ t



Yt < ∞ , dan disebut sistem kausal (causal) jika νi = 0 untuk i < 0.



menjadikan t



Akibatnya, dalam model kausal, deret keluaran bukan respon pada deret masukan selama keduanya benar-benar digunakan pada sistem; dengan perkataan lain, sebuah model disebut kausal jika keberadaan deret keluaran disebabkan pengaruh deret masukan dari awal sampai akhir sepanjang sistem digunakan, tetapi tidak sebaliknya. Model kausal biasa juga dinamakan model realistis (realizable), karena model-model kausal banyak ditemukan dalam persoalan dunia nyata. Dalam praktek, sistem selalu merupakan model stabil atau kausal, dan disajikan dalam persamaan Yt = ν0Xt + ν1Xt-1 + ν2Xt-2 + . . . + ηt = ν(B)Xt + ηt



(4.2)



ν(B) = ν0 + ν1B + ν2B2 + . . . , ν0 + ν1 + ν2 + . . . < ∞ , Xt dengan ηt saling bebas. Jika digambarkan sistem fungsi transfer adalah seperti di bawah ini Xt Fungsi transfer ν(B)



Yt



t ηt ν0 ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 ν6 . . .



⊕



t t



Gambar 4.1 Sistem fungsi transfer dinamis



80



Sasaran dari analisis fungsi transfer adalah penaksiran parameter dan identifikasi model dari fungsi transfer ν(B), dan ηt berdasarkan sampel data bivariat (xt , yt)′, sehingga dalam prosesnya muncul kesulitan, karena (xt , yt)′ deret terbatas, sedangkan ν(B) merupakan deret tidak terbatas, dan salah cara untuk mengatasinya adalah menyajikan ν(B) dalam bentuk pecahan ν(B) =



ωs (B)B b ϖ r (B)



(4.3)



dengan ωs(B) = ω0 − ω1B − . . . − ωsBs , ϖr(B) = 1 − ϖ1B − . . . − ϖrBr , b parameter kelambatan (delay) yang menyajikan lag waktu aktual (actual time lag) yang lewat, sebelum impuls dari variabel masukan memberikan pengaruh (effect) pada variabel keluaran. ωi dan ϖj : parameter, dan penaksir untuk ϖj jika sistem stabil adalah akar persamaan ∧



ϖr(B) = 0, yang merupakan titik-titik di luar lingkaran satuan, atau ϖ i ≥ 1 . Jika ωs(B), ϖr(B), dan b sudah diperoleh, maka pembobot respon impuls νi ditaksir berdasarkan persamaan ϖr(B)ν(B) = ωs(B)Bb (1−ϖ1B− . . . −ϖrBr)( ν0+ν1B+ν2B2+ . . .) = (ω0−ω1B− . . . −ωsBs)Bb



(4.4)



yang penyelesaiannya adalah νj = 0 ,



jika j < b



νj = ϖ1νj-1 + ϖ2νj-2 + . . . + ϖrνj-r + ω0 , jika j = b νj = ϖ1νj-1 + ϖ2νj-2 + . . . + ϖrνj-r − ωj-b , jika j = b+1, b+2, . . . , b+s νj = ϖ1νj-1 + ϖ2νj-2 + . . . + ϖrνj-r ,



jika j > b+s



Hal ini berarti r buah pembobot respon impuls, νb+s, νb+s-1, . . . νb+s-r+1, merupakan jawab awal (starting values) untuk persamaan diferensi ϖr(B)νj = 0 , j > b+s, dengan perkataan lain, pembobot respon impuls untuk Persamaan (4.3) terdiri atas 1. b buah pertama bernilai 0, ν0 = ν1 = . . . = νb-1 = 0



81



(4.5)



2. s-r+1 buah berikutnya, νb, νb+1, . . . , νb+s-r, tidak mengikuti pola yang tetap, 3. r buah selanjutnya, νb+s-r+1, νb+s-r+2, . . . , νb+s, adalah pembobot respon impuls sebagai jawab awal Persamaan (4.5) 4. νj , j > b+s , jawab Persamaan (4.5). sehingga kesimpulannya, 1. b dicari berdasarkan fakta bahwa νj = 0 , j < b dan νb ≠ 0 , 2. r dicari berdasarkan pola dari pembobot respon impuls, yang identik dengan mencari orde k pada identifikasi model ARIMA(k,q,p) univariat melalui fungsi autokorelasi (ACF). 3. untuk nilai b yang ditetapkan, jika r = 0 maka nilai s dengan mudah dapat dicari berdasarkan fakta, νj = 0 , j > b+s, sedangkan jika r ≠ 0 maka s dicari berdasarkan telaahan pola kelambatan pembobot respon impuls, dan nilai s adalah perkiraan dimulainya kelambatan. Dalam prakteknya nilai r dan s pada Persamaan (4.3) tidak pernah melebihi 2, sehingga dapat diilustrasikan model-model fungsi transfer seperti pada Tabel 4.1. Tabel 4.1 Ilustrasi fungsi transfer untuk r = 0 , r = 1 , r = 2 (b , r , s)



Model fungsi transfer



(2 , 0 , 0)



ν(B)Xt = ω0Xt-2



(2 , 0 , 1)



ν(B)Xt = (ω0 - ω1B)Xt-2



(2 , 0 , 2)



ν(B)Xt = (ω0 - ω1B - ω2B2)Xt-2



82



Pola pembobot impuls



(2 , 1 , 0)



ν(B)X t =



ω0 X t −2 (1 − ϖ1 B)



(2 , 1 , 1)



ν(B)X t =



(ω 0 − ω1 B) X t −2 (1 − ϖ1B)



(2 , 1 , 2)



ν(B)X t =



(ω0 − ω1 B − ω 2 B 2 ) X t −2 (1 − ϖ1 B)



(2 , 2 , 0)



ν(B)X t =



ω0 X t −2 (1 − ϖ1 B − ϖ 2 B 2 )



(2 , 2 , 1)



ν(B)X t =



(ω 0 − ω1B) X t −2 (1 − ϖ1 B − ϖ 2 B 2 )



(2 , 2 , 2)



(ω0 − ω1 B − ω 2 B 2 ) ν(B)X t = X t −2 (1 − ϖ1 B − ϖ 2 B 2 )



Dari gambar-gambar tersebut dapat disimpulkan mengenai model fungsi transfer,



model-1 atau jika r = 0, maka fungsi transfer hanya memiliki pembobot respon impuls yang berhingga, dimulai νb = ω0 dan diahiri νb+s = −ωs



model-2 atau jika r = 1, maka pembobot respon impuls membangun pola penurunan eksponensial dimulai dari νb jika s = 0, νb+1 jika s =1, dan νb+2 jika s = 2.



model-3 atau jika r = 2, maka pembobot respon impuls membangun pola eksponensial damped atau gelombang sinus damped yang bergantung pada sifat dasar dari akar persamaan polinom ϖ2(B) = 1 −ϖ1B − ϖ2B2 = 0. Pola eksponensial 83



damped diperoleh jika akar-akarnya bilangan riil, atau jika ϖ12 + 4ϖ2 ≥ 0; dan gelombang sinus damped jika akar-akarnya bilangan kompleks, atau jika ϖ12 + 4ϖ2 < 0. Nilai s dengan mudah dapat dicari dari gambar pola pembobot respon impuls.



4.2.



Korelasi Silang Perhatikan dua buah proses stokastik, Xt dan Yt , t = 0, ±1, ±2, . . .. Xt dan Yt



dikatakan stasioner gabungan (jointly stationary), jika Xt dan Yt masing-masing merupakan proses stasioner, dan kovarians silang (cross-covariance) Xt dengan Ys, kov.(Xt,Ys) hanya merupakan fungsi atas selisih waktu (t – s). Untuk beberapa kasus, kovarians silang Xt dengan Yt, didefinisikan oleh γYX(k) = E(Xt − µx)(Yt+k − µy)



(4.5)



µx dan µy masing-masing rata-rata hitung Xt dan Yt , k = 0, ±1, ±2, . . . karena γXY(k) merupakan fungsi atas k, maka γXY(k) selanjutnya ditulis, γXY(k), dan dinamakan fungsi kovarians silang. Jika varians Xt dan Yt masing-masing σx2 dan σy2, maka ρ XY (k ) =



γ XY (k ) σxσy



(4.6)



dinamakan fungsi korelasi silang (cross-dorrelation function, CCF), yang merupakan bentuk standarisasi dari fungsi kovarians silang. Jika ditelaah dari deskripsinya, fungsi korelasi silang merupakan formulasi umum dari fungsi autokorelasi (ACF), sebab γXX(k) = γX(k) tetapi perbedaannya, jika autokorelasi merupakan bentuk simetris, artinya ρX(k) = ρX(−k), sedangkan fungsi korelasi silang tidak simetris sebab ρXX(k) ≠ ρXX(−k). Jika nilai ACF sebagai ukuran kekuatan hubungan antar pengamatan, maka nilai CCF selain sebagai ukuran kekuatan hubungan antar variabel, juga sebagai ukuran arah hubungan.



Untuk mendapatkan



gambaran secara menyeluruh mengenai hubungan antara data deret waktu Xt dengan Yt, pengujian mengenai CCF, ρXX(k), harus dilakukan untuk k > 0 dan k < 0, melalui analisis korelasi silang atau gambar CCF yang biasa dinamakan korelogram silang (cross



correlogram). 84



Ilustrasi Perhatikan model AR(1) dengan persamaan (1 − φB)Xt = Zt |φ| < 1, Zt kekeliruan yang diasumsikan saling bebas dengan rata-rata 0 dan varians konstan σ2, B operator backshift. Karena (1 − φB) ≠ 0, maka persamaan tersebut dapat ditulis Xt =



Zt = Zt + ϕZt-1 + ϕ2Zt-2 + . . . 1 − φB



dan untuk waktu : t+k Xt+k =



Z t +k = Zt+k + ϕZt+k-1 + ϕ2Zt+k-2 + . . . 1 − φB



sehingga kovarians silang Zt dengan Xt sama dengan γZX(k) = E(Zt − µZ)(Xt+k − µX) = E(Zt − EZt)(Xt+k − EXt+k) = E(ZtXt+k) = E{Zt



1 1 E(ZtZt+k) Zt+k} = 1 − φB 1 − ϕ2 2



(1 − ϕ 2 )ϕ k σ Z 2 = ϕ k σ Z , jika k ≥ 0 2 = (1 − ϕ ) 0 , jika k < 0 karena Var.(Xt) =



ρZX(k) =



σX2



γ ZX (k ) = σ Zσ X



2



σZ , maka korelasi silang Zt dengan Xt sama dengan = 1 − ϕ2



1 − ϕ2 σZ



2



γZX(k) =



ϕ k 1 - ϕ 2 , jika k ≥ 0 , jika k < 0



0



Perhatikan model ARMA(k,p) univariat dengan persamaan φk(B)Xt = ψp(B)Zt φk(B) = 1 − φB − . . . − φkBk , ψp(B) = 1 − ψB − . . . − ψpBp Model tersebut dapat ditulis menjadi Xt =



ψ p (B) φ k (B) 85



Zt,



dengan cara seperti pada model AR(1), dapat ditunjukan bahwa korelasi silang Zt dengan Xt untuk model ARMA(k,p) univariat, merupakan bentuk khusus model fungsi transfer tanpa kekeliruan model (noise), karena dalam hal ini Xt sebagai deret keluaran dan Zt (noise) deret masukan.



4.3.



Hubungan Fungsi Korelasi Silang dengan Fungsi Transfer Perhatikan model fungsi transfer pada Persamaan (4.2). Untuk waktu t+k fungsi



transfer tersebut dapat ditulis menjadi Yt+k = ν0Xt+k + ν1Xt+k-1 + ν2Xt+k-2 + . . . + ηt+k



(4.7)



Tanpa menghilangkan asumsi umum, dalam hal ini dapat diasumsikan µX = µY = 0, sehingga jika Persamaan (4.2) dikalikan dengan Xt, XtYt+k = ν0XtXt+k + ν1XtXt+k-1 + ν2XtXt+k-2 + . . . + Xtηt+k dan diekpektasikan E(XtYt+k) = ν0 E(XtXt+k) + ν1 E(XtXt+k-1) + ν2 E(XtXt+k-2) + . . . + E(Xtηt+k) maka diperoleh kovarians silang Xt dengan Yt γXY(k) = ν0 γXX(k) + ν1 γXX(k-1) + ν2 γXX(k-2) + . . . sehingga jika Var.(X) = σX2 dan Var.(Y) = σY2 maka korelasi silangnya ρXY(k) =



σX {ν0 ρX(k) + ν1 ρX(k-1) + ν2 ρX(k-2) + . . .} σY



(4.8)



Dari Persamaan (4.8) tersurat, hubungan antara CCF, ρXY(k) , dan nilai fungsi respon impuls, νi , “terkotori” (contaminated) oleh struktur autokorelasi dari deret masukan, Xt , sehingga jika pada Persamaan (4.3), r = 0, dan fungsi transfer ν(B) hanya memiliki pembobot respon impuls yang banyaknya berhingga, maka menentukan penaksir νi berdasarkan formulasi Persamaan (4.8) menjadi sulit, karena varians-kovarians sampel untuk menaksir ρXY(k) juga “terkotori” oleh struktur autokorelasi dari deret masukan Xt tersebut, sehingga pengujian keberartian ρXY(k) dan νk juga menjadi sulit. Dalam hal deret masukan adalah kekeliruan model (noise), yang berarti ρX(k) = 0 untuk k ≠ 0, maka Persamaan (4.8) dapat direduksi menjadi



86



νk =



σY ρXY(k) σX



(4.9)



sehingga pembobot respon impuls, νk, merupakan proporsi langsung (directly



proportional) dari korelasi silang ρXY(k).



Dari hasil paparan tersebut ada beberapa



kesimpulan yang dapat dikemukakan, 1. CCF, ρXY(k) , hanya didefiniskan pada data bivariat yang merupakan stasioner gabungan, dalam hal tidak stasioner maka sebelum dilakukan perhitungan, harus dilakukan dulu proses stasioneritas untuk masing-masing variabel masukan dan keluaran. 2. Dalam model fungsi transfer umum, Yt = ν(B)Xt + ηt , variabel masukan, Xt, diasumsikan mengikuti model ARMA(k,p), φk(B)Xt = ψp(B)εt, εt kekeliruan yang diasumsikan saling bebas dengan rata-rata 0 dan varians konstan σ2, yang dalam data deret waktu biasa dinamakan white noise sehingga εt yang sama dengan εt =



φ k (B) Xt ψ p (B)



yang biasa dinamakan deret masukan “pemutih” (prewhitened input series). Dengan menggunakan analogi dan terminologi deret “pemutih” masukan, dapat didefinisikan deret keluaran “pemutih” (prewhite output series), δt = sehingga jika didefinisikan Ξt =



φ k (B) Yt ψ p (B)



Ξ φ k (B) φ (B) ηt , atau k = t , maka secara umum ψ p (B) ψ p (B) ηt



model fungsi transfer menjadi Yt = ν(B)Xt + ηt ν(B) =



ηt η δt = ν(B) t εt + ηt Ξt Ξt



δt Ξt − εt εt 87



δt = ν(B)εt + Ξt



sehingga pembobot respon impuls, νj , untuk fungsi transfer dihitung berdasarkan persamaan νk =



σδ ρδε(k) , σε



(4.10)



dengan σδ2 , σε2 , ρδε(k) , masing-masing varians δt , εt , dan korelasi silang δt dengan εt+k.



4.4.



Membangun Fungsi Transfer Pada Persamaan (4.10) tersurat, pembobot respon impuls merupakan proporsi



langsung dari korelasi silang, sehingga model fungsi transfer dapat dibangun jika korelasi silang antara variabel masukan dan keluaran signifikans. Jika dimiliki sampel data deret waktu bivariat (xt , yt), t = 1, 2, . . . , n , maka untuk membangun model fungsi transfer sampel, tahap pertama yang harus dihitung adalah 1. rata-rata hitung masing-masing variat, x =



1 n



n t =1



xt , y =



1 n



n t =1



yt



2. kovarians silang sampel 1 n−k ( x t − x )( y t + k − y) , k ≥ 0 ∧ n t =1 γ xy (k ) = 1 n ( x t − x )( y t + k − y) , k < 0 n t =1-k ∧



γ xy (k )



∧



3. korelasi silang sampel ρ xy (k ) =



∧



∧



γ xx (0) γ xx (0) 4. uji signifikansi korelasi silang berdasarkan rumusan hipotesisi, H0 : ρxy(k) = 0 vs. H1 : ρxy(k) ≠ 0, ∧



yang dapat dilakukan dengan membandingkan ρ xy (k ) dengan kekeliruan bakunya, sρxy(k). Telah dibuktikan oleh M. S. Bartlett (1955) dibawah asumsi distribusi normal, ∧



∧



Kov.{ ρ xy (k ) , ρ xy (k + j) } ≅ 1 n−k



∞



[ρ



i = −∞



xy



(i)ρ yy (i + j) + ρ xy (i + k + j)ρ xy (k − i)



{



2



2



2



}



+ ρ xy (k )ρ xy (k + j) ρ xy (i) + 12 ρ xx (i) + 12 ρ yy (i)



88



− ρ xy (k ){ρ xx (i)ρ xy (i + k + j) + ρ xy (−i)ρ yy (i + k + j)}



]



− ρ xy (k + j){ρ xx (i)ρ xy (i + k ) + ρ xy (−i)ρ yy (i + k )} ∧



Var.{ ρ xy (k ) }≅ 1 n−k



∞ i = −∞



[ρ



xx



(i)ρ yy (i) + ρ xy (i + k )ρ xy (k − i)



{



2



2



2



}



2



+ ρ xy (k ) ρ xy (i) + 12 ρ xx (i) + 12 ρ yy (i)



]



− 2ρ xy (k ){ρ xx (i)ρ xy (i + k ) + ρ xy (−i)ρ yy (i + k )} sehingga di bawah H0 : ρxy(k) = 0, ∧



∧



Kov.{ ρ xy (k ) , ρ xy (k + j) } ≅



ρ yy n−k



dan ∧



1 n−k



Var.{ ρ xy (k ) }≅



1



∧



yang berarti kekeliruan baku ρ xy (k ) , s ρxy ( k ) ≅



n−k



.



∧



Untuk menguji apakah ρ xy (k ) signifikans, bandingkan saja nilainya dengan



1 , n−k



∧



jika lebih kecil berarti tidak signifikans, atau ρ xy (k ) dianggap sama dengan 0, yang berarti Xt dengan Yt tidak berkorelasi. Hal ini menyimpulkan proses pemodelan fungsi transfer tidak perlu dilanjutkan, dan analisis dilakukan untuk masing-masing variat dengan menggunakan analisis regresi deret waktu univariat. ∧



Jika ρ xy (k ) signifikans, maka proses dilanjutkan dengan 4. membangun model ARMA(k,p) untuk Xt, φk(B)Xt = ψp(B)εt, dan lakukan penaksiran ∧



∧



parameter sehingga diperoleh model taksiran φ k (B)X t = ψ p (B)ε t . ∧



5. membangun deret “pemutih”, εt =



φ k (B) ∧



ψ p (B)



∧



X t , dan δt =



φ k (B) ∧



ψ p (B) ∧



2



Yt ∧



2



∧



6. menghitung varians dan korelasi silang deret “pemutih”: σ ε , σ δ , ρ εδ (k ) 89



∧



σδ



∧



7. menghitung pembobot respon impuls, ν k =



∧



σε



∧



ρ εδ (k )



∧



1 , jika lebih n−k



8. menguji signifikansi ν k , dengan membandingkannya dengan ∧



∧



kecil, berarti ν k tidakk signifikans, atau ν k dianggap sama dengan 0. 9. mengidentifikasi parameter kelambatan dan model polinom ωs(B) = ω0 − ω1B − . . . − ωsBs , ϖr(B) = 1 − ϖ1B − . . . − ϖrBr , ∧



berdasarkan pola ν k atas k untuk menentukan nilai b, r dan s. 10. Setelah r dan s ditentukan lakukan penaksiran parameter ωi dan ϖj berdasarkan Persamaan (IV.4), sehingga diperoleh model polinom sampel, ∧



∧



∧



∧



∧



∧



∧



ωs (B) = ω 0 − ω1 B − ... − ωs B s , ϖ r (B) = 1 − ϖ1 B − ... − ϖ r B r ∧



∧



11. Bangun model fungsi transfer sampel, ν(B) =



ωs (B) ∧



ϖ r (B)



Bb .



Semua perhitungan dari 1 sampai dengan 10 dapat dilakukan dengan menggunakan paket program SPSS, STATISTICA, MINITAB, atau EXCELL. Setelah model fungsi transfer diperoleh, lakukan identifikasi model kekeliruan ηt berdasarkan nilai residual, ∧



∧



∧



η t = y t − ν (B) x t = y t −



ωs (B) ∧



ϖ r (B)



Bb x t ,



(4.11)



yang telaahannya dapat dilakukan berdasarkan pola ACF dan PACF-nya, atau metode lain untuk mengidentifikasi model regresi deret waktu univariat berdasarkan model ARMA(k,p) univariat dengan persamaan, φk(B)ηt = ψp(B)Zt ,



(4.12)



dengan Zt sebagai noise. Jika Persamaan (4.11) dengan Persamaan (4.12) dikombinasikan, maka diperoleh model fungsi transfer dengan persamaan lain



90



Yt =



ψ p (B) ωs (B) X t −b + Zt ϖ r (B) φ k (B)



atau ϖr(B)φk(B)Yt = φk(B)ωs(B)Xt-b + ϖr(B)ψp(B)Zt



(4.13)



sehingga jika didefinisikan Ω(B) = ϖr(B)φk(B) , Φ(B) = φk(B)ωs(B) , Ψ(B) = ϖr(B)ψp(B) maka Persamaan (4.13) menjadi Ω(B)Yt = Φ(B)Xt-b + Ψ(B)Zt,



(4.14)



yang merupakan persamaan regresi multivariat Yt atas Xt-b dan Zt. Hal penting yang harus diperhatikan dalam membangun fungsi transfer, adalah 1. Xt dan Yt masing-masing harus merupakan data deret waktu stasioner, sehingga jika ada yang belum stasioner harus dilakukan dulu proses stasioneritas. 2. Pada proses identifikasi fungsi transfer, ν(B), data deret waktu harus di”putih”kan, dengan tujuan untuk “menyaring” (filtering) agar deret masukan “bersih” dari keluaran dan sebaliknya, tetapi penyaringannya tidak perlu terlalu “bersih”. Hal ini merupakan proses biasa dan sederhana untuk mendapatkan model fungsi transfer kausal. 3. Untuk membangun model fungsi transfer tidak kausal, yang berarti antara deret masukan dan keluaran saling mempengaruhi, “pemutihan” variabel masukan dan keluaran masing-masing harus dilakukan sebelum dibangun dan diuji signifikansi CCF-nya.



4.5.



Penaksiran Pada Fungsi Transfer Sudah dikemukan, model fungsi transfer untuk data deret waktu bivariat, V = (Xt,Yt)′



dapat disajikan dalam Persamaan (4.14), Ω(B)Yt = Φ(B)Xt-b + Ψ(B)Zt, dengan Ω(B) = ϖr(B)φk(B) = (1 − ϖ1B − . . . − ϖrBr)(1 − φ1B − . . . − φkBk) = 1 − Ω1B − . . . − Ωr+kBr+k Φ(B) = φk(B)ωs(B) = (1 − φ1B − . . . − φkBk)( ω0 − ω1B − . . . − ωsBs) 91



= Φ0 − Φ1B − . . . − Φk+sBk+s Ψ(B) = ϖr(B)ψp(B) = (1 − ϖ1B − . . . − ϖrBr)(1 − ψ1B − . . . − ψkBk) = 1 − Ψ1B − . . . − Ψr+pBr+p sehingga jika disajikan secara simultan, diperoleh persamaan (1 − Ω1B − . . . − Ωr+kBr+k)Yt = (Φ0 − Φ1B − . . . − Φk+sBk+s )Xt-b +(1 − Ψ1B − . . . − Ψr+pBr+p )Zt



(4.15)



atau Zt = (1 − Ω1B − . . . − Ωr+kBr+k)Yt − (Φ0 − Φ1B − . . . − Φk+sBk+s )Xt-b − (− Ψ1B − . . . − Ψr+kBr+k)Zt = Yt − Ω1Yt-1 − . . . − Ωr+kYt-r-k − Φ0 Xt-b + Φ1Xt-b-1 + . . . − Φk+sXt-b-k-s + Ψ1Zt-1 − . . . − Ψr+pZt-r-p Karena Zt kekeliruan yang diasumsikan berdistribusi identik independen N(0,σZ2), penaksiran parameter Ωi , Φj , Ψl , dilakukan berdasarkan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method), yang prosesnya sebagai berikut



1



1. bangun fungsi distribusi dari Zt : f(Zt, ,σZ2) =



2πσ Z



2



exp(−



1 2σ Z



2



Zt )



2



2. bangun fungsi kemungkinan dari Zt untuk t = 1, 2, . . . , n, f(Ω , Φ , Ψ , σZ2) =



n



∏ f (Z t , σ Z ) = 2



t =1



1



(2πσ )



2 n



exp . −



Z



n



1 2σ Z



2



t =1



Zt



2



Ω = (Ω1 , Ω0 , . . . Ωr+k)′ , Φ = (Φ0 , Φ1 , . . . , Φk+s) , Ψ = (Ψ1 , Ψ2 , . . . , Ψr+p) , 3. logaritmakan fungsi kemungkinan L = ln f(Ω , Φ , Ψ , σZ2) = −½n ln(2π) − ½n ln(σZ2) −



n



1 2σ Z



2



t =1



4. lakukan perhitungan diferensiasi parsial pada L



∂L ∂L = 0 , i = 1, 2, . . . , r+k ; = 0 , j = 1, 2, . . . , k+s ∂Ω i ∂Φ j ∂L ∂L = 0 , l = 1, 2, . . . , r+p ; =0 2 ∂Ψl ∂σ Z 92



Zt



2



yang menghasilkan sistem persamaan tidak linier atas (r+k) + (k+s) + (r+p) + 1 = 2r + 2k + s + p + 1 buah persamaan, sehingga penyelesaiannya harus menggunakan metode iterasi, dengan jawab awal x0 , y0, z0, yang memenuhi Persamaan (4.15). Proses penyelesaian sistem persamaan ini hampir sama dengan cara penaksiran parameter pada model ARIMA(k+s , r+k , r+p) di bawah asumsi noise berdistribusi N(0,σ2). Sudah dikemukakan, semua proses penaksiran ini dapat dilakukan dengan menggunakan paket program SPSS atau STATISTICA.



4.6.



Rata-Rata Hitung Kuadrat Kekeliruan Setelah penaksiran parameter model fungsi transfer pada Persamaan (4.15)selesai



dilakukan, selanjutnya adalah menelaah kecocokan model fungsi transfer berdasarkan sampel data deret waktu bivariat (xt , yt) yang telah digunakan untuk membangun fungsi transfer tersebut. Hal ini diperlukan untuk mendapatkan nilai ramalan data deret waktu yang akan datang, dengan varians yang kecil. Telaahannya dapat dilakukan berdasarkan rata-rata hitung kuadrat kekeliruan (mean square error, MSE) ramalan. Model ramalan dipilih jika MSE-nya paling kecil. Perhatikan sampel data deret waktu stasioner (xt , yt), t = 1, 2, . . . , n, yang memiliki model fungsi transfer stabil dengan persamaan yt =



ψ p (B) ωs (B) b B xt + zt ϖ r (B) φ k (B)



(4.16)



zt noise dengan rata-rata hitung 0, varians konstanσz2, xt mengikuti model φk(B)xt = ψp(B)εt, εt noise dengan rata-rata hitung 0, varians konstan σε2, dan saling bebas dengan zt, ωs(B), ϖr(B), ψp(B), φk(B), masing-masing fungsi polinom berhingga atas operator



backshift B, dengan akar-akar persamaan ωs(B) = ϖr(B) = ψp(B) = φk(B) = 0, masing∧



∧



∧



∧



masing merupakan titik-titik di luar lingkaran satuan, ωi , ϖ j , ψ l , φ h ≥ 1 Jika ditulis 93



ωs (B)ψ p (B)



U(B) =



ϖ r (B)φ k (B) ψ p (B)



V(B) =



φ k (B)



B b = U0 + U1B + U2B2 + . . .



= 1 + V1B + V2B2 + . . .



maka Persamaan (4.16) menjadi yt = U(B)εt + V(B)zt ∞



=



i=0



∞



U i ε t −i +



i=0



Vi z t −i , V0 = 1



sehingga yt+h =



∞



i=0



U i ε t + h −i +



∞



i=0



Vi z t + h −i , V0 = 1



Jika ui , vj , i , j = 1, 2, . . . , masing-masing penaksir untuk Ui , Vj , i , j = 1, 2, . . . , berdasarkan metode yang telah dikemukakan pada Seksi 4.5, maka penaksir yt untuk h langkah ke depan (h step ahead), atau nilai ramalan dari yt+h ∧



y t (h ) =



∞ i=0



∞



u h + i ε t −i +



i=0



v h + i z t −i ,



dan nilai residunya ∞



∧



rt(h) = yt+h − y t (h ) = =



i=0



h −1 i=0



U i ε t + h −i +



U i ε t + h −i +



h −1 i=0



∞ i=0



Vi z t + h −i −



Vi z t + h −i −



∞ i=0



∞ i=0



∞



u h + i ε t −i −



i=0



v h + i z t −i



( u h + i − U h + i ) ε t −i −



∞ i=0



( v h +1 − Vh + i )z t −i



sehingga MSE-nya sama dengan E{rt(h)}2 = E{



h −1 i=0



= σε



2



U i ε t + h −i +



h −1 i =0



2



h −1 i=0



Ui + σz



2



Vi z t + h −i −



h −1 i =0



2



∞ i=0



Vi + σ ε



dan akan bernilai minimum jika σ ε



2



∞ i =0



2



( u h + i − U h + i ) ε t −i − ∞



i =0



∞ i=0



( u h +i − U h +i ) 2 + σ z



( u h +i − U h +i ) 2 = σ z



2



∞ i =0



2



( v h +1 − Vh + i )z t −i }2 ∞ i =0



( v h +1 − Vh + i ) 2



( v h +1 − Vh +i ) 2 = 0, atau



∧



Uh+i = uh+i dan Vh+i = vh+i. Dengan perkataan lain, MSE y t (h ) yang merupakan ramalan yt+h dengan waktu awal t, adalah ekspektasi bersyarat dari yt+h pada t = T. Karena 94



∧



∧



E{yt+h− y t (h ) } = 0 , maka y t (h ) ramalan takbias untuk yt+h, dan merupakan ramalan terbaik jika variansnya sama dengan σ ε



2



h −1 i =0



2



Ui + σε



2



h −1 i =0



2



Ui .



Konsepsi telaahan mengenai ramalan fungsi transfer yang memiliki ciri tak bias dan bervarians minimum, seperti yang telah dikemukakan adalah jika deret masukan dan keluaran merupakan data stasioner. Selanjutnya bagaimana jika tidak stasioner pada salah satu atau kedua deretnya ? Proses dasarnya sama dengan pada analisis regresi deret waktu



univariat,



yaitu



melakukan



transformasi



stasioneritas



melalui



proses



ARIMA(k,d,p). Misalkan (xt , yt) sampel data deret waktu tidak stasioner, yang dapat distasionerkan melalui transformasi Xt = (1 – B)dxt dan Yt = (1 – B)dyt, dengan model fungsi transfernya Yt =



ω(B) b θ(B) B Xt + Zt δ(B) φ(B)



(4.17)



dengan Xt mengikuti model φ(B)Xt = θ(B)et, ωBb), δ(B), θ(B), φ(B), fungsi-fungsi polinom, Zt dan et noise, yang memiliki ciri seperti pada Persamaan (4.16). Karena formulasi ini merupakan fungsi transfer dari deret masukan dan keluaran yang stasioner, maka dengan menggunakan analogi dari bahasan yang telah dikemukakan, ramalan untuk Yt+h adalah ∧



Y t (h ) =



∞ i=0



u h + i e t −i +



∞ i=0



v h +i Z t −i



(4.18)



dengan ui , vj , i , j = 1, 2, . . . , masing-masing penaksir untuk Ui , Vj , i , j = 1, 2, . . ., yaitu ω(B)θ(B) b koefisien dari fungsi polinom U(B) = B = U0 + U1B + U2B2 + . . . dan δ(B)φ(B) θ(B) V(B) = = 1 + V1B + V2B2 + . . . , yang metode penaksirannya dapat dilakukan φ(B) seperti pada Seksi 4.5.



95



4.7.



Contoh Numerik Untuk memperjelas mengenai proses analisis fungsi transfer seperti yang telah



dikemukakan, berikut ini diberikan disajikan proses membangun fungsi transfer. Data yang digunakan adalah nilai konsumsi dan pendapatan perbulan, yang datanya seperti pada Tabel 4.2. Dalam analisis ini nilai konsumsi sebagai sebagai deret masukan (Xt), dan nilai pendapatan sebagai deret keluaran (Yt), sebab dalam praktek pengumpulan data, mendapatkan informasi mengenai nilai konsumsi lebih mudah dari nilai pendapatan. Tabel 4.2 Nilai Pendapatan dan Konsumsi Nilai Pendapatan 1.9565 1.9794 2.0120 2.0449 2.0561 2.0678 2.0561 2.0428 2.0290 1.9980 1.9884 1.9835 1.9773 1.9748 1.9629 1.9396 1.9309 1.9271 1.9239 1.9414 1.9685 1.9727 1.9736



Nilai Konsumsi 1.7669 1.7766 1.7764 1.7942 1.8156 1.8083 1.8083 1.8067 1.8166 1.8041 1.8053 1.8242 1.8395 1.8464 1.8492 1.8668 1.8783 1.8914 1.9166 1.9363 1.9548 1.9453 1.9292



Nilai Pendapatan 1.9499 1.9432 1.9569 1.9647 1.9710 1.9719 1.9956 2.0000 1.9904 1.9752 1.9494 1.9332 1.9139 1.9091 1.9139 1.8886 1.7945 1.7644 1.7817 1.7784 1.7945 1.7888 1.8751



Nilai Konsumsi 1.9209 1.9510 1.9776 1.9814 1.9819 1.9828 2.0076 2.0000 1.9939 1.9933 1.9797 1.9772 1.9924 2.0117 2.0204 2.0018 2.0038 2.0099 2.0174 2.0279 2.0359 2.0216 1.9896



Nilai Pendapatan 1.7853 1.6075 1.5185 1.6513 1.6247 1.5391 1.4922 1.4606 1.4551 1.4425 1.4023 1.3991 1.3798 1.3782 1.3366 1.3026 1.2592 1.2635 1.2549 1.2527 1.2763 1.2906 1.2721



Nilai Konsumsi 1.9843 1.9764 1.9965 2.0652 2.0369 1.9723 1.9797 2.0136 2.0165 2.0213 2.0206 2.0563 2.0579 2.0649 2.0582 2.0517 2.0491 2.0766 2.0890 2.1059 2.1205 2.1205 2.1182



Dengan menggunakan paket program SPSS, grafik nilai konsumsi dan pendapatan seperti di bawah ini



96



2.2



2.0



1.8



1.6



Value



1.4 CONSUMP 1.2



INCOME 1



9 5



17 13



25 21



33 29



41 37



49



57



45



53



65 61



69



Case Number



Gambar 4.2 Grafik Nilai Konsumsi dan Pendapatan



yang menyajikan sebuah kondisi bahwa nilai konsumsi dengan pendapatan berkorelasi negatif, sebab nilai konsumsi menurun sedangkan pendapatan cenderung naik. Karena nilai konsumsi sebagai deret masukan, maka tahapan proses analisisnya adalah,



1. Menelaah kestasioneran nilai konsumsi dan menentukan proses diferensinya. Proses telaahan dilakukan berdasarkan gambar ACF dan PACF, dengan menggunakan paket program SPPS, yang hasilnya seperti di bawah ini . CONSUMP



CONSUMP 1.0



.5



.5



0.0



0.0



ACF



-.5



Partial ACF



1.0



Confidence Limits



-1.0



Coefficient 1



3 2



5 4



7 6



9 8



11 10



13 12



15 14



-.5



Confidence Limits



-1.0



Coefficient 1



16



3 2



Lag Number



5 4



7 6



9 8



11 10



13 12



15 14



16



Lag Number



Gambar 4.3a ACF Nilai Konsumsi



Gambar 4.3b PACF Nilai Konsumsi



Gambar ACF dan PACF menyajikan bahwa data berautokorelasi dan tidak stasioner, dan dapat distasionerkan dengan proses diferensi orde satu.



Untuk lebih jelasnya dapat



ditelaah dari gambar ACF, PACF, dan grafik data hasil proses diferensi orde satu di bawah ini. 97



CONSUMP



CONSUMP 1.0



.5



.5



0.0



0.0



ACF



-.5



Partial ACF



1.0



Confidence Limits



-1.0



Coefficient 1



3 2



5 4



7 6



9 8



11 10



13



-.5



-1.0



15



12



Confidence Limits



Coefficient 1



14



16



3 2



5 4



7 6



Lag Number



Lag Number



Transforms: difference (1)



Transforms: difference (1)



Gambar 4.4a ACF Diferensi Orde Satu Nilai Konsumsi



9 8



11 10



13 12



15 14



16



Gambar 4.4b PACF Diferensi Orde Satu Nilai Konsumsi



2.5



2.0



1.5



1.0



.5



Value



0.0



DIFF(CONSUMP,1)



-.5



CONSUMP 1



9 5



17 13



25 21



33 29



41 37



49 45



57 53



65 61



69



Case Number



Gambar 4. 4c Grafik Nilai Konsumsi dan Nilai Setelah Proses Diferensi Orde-1



Keterangan : atas : data asli , bawah : data setelah diferensi orde-1



Dari ketiga gambar tersebut dapat disimpulkan bahwa diferensi orde-1 sudah cukup menstasionerkan data nilai konsumsi.



2. Proses pemutihan. Karena grafik dari nilai konsumsi tidak menampilkan pola spektrum, yang berarti data tidak memiliki komponen siklis, maka model regresi deret waktu yang dibangun adalah model ARIMA(k,q,0). Dengan menggunakan paket program SPSS, model yang cukup baik adalah ARIMA(2,1,0), atau model AR(2) berdasarkan data hasil proses diferensi orde-1. Sehingga jika Xt : data asli nilai konsumsi dan Xt1 : data setelah diferensi orde-1, maka persamaan model pemutih deret masukan (1 + 0,36024B – 0,34602B2)Xt1 = at 98



(4.19)



at : noise dengan rata-rata 0 dan varians 0,00139093 Akibatnya, jika Yt : data asli nilai pendapatan dan Yt1 : data setelah diferensi orde-1, maka model pemutih deret keluaran juga harus ARIMA(2,1,0). Dengan menggunakan paket program SPSS diperoleh persamaan (1 + 0,32366198B – 0,37445366B2)Yt1 = bt



(4.20)



bt : noise dengan rata-rata 0 dan varians 0,00028695



3. Identifikasi fungsi respon impuls dan fungsi transfer Dengan menggunakan paket program SPSS dihitung CCF dan varians (simpangan baku) sampel untuk pemutih, dan hasilnya seperti di bawah ini Tabel 4.3 Nilai CCF dan Simpangan Baku Sampel Pemutih MODEL: MOD_4. Listwise deletion. Cross Correlations:



Missing cases: 1 Valid cases: 68 FIT_2 Fit for CONSUMP from ARIMA, MOD_2 NOCON FIT_3 Fit for INCOME from ARIMA, MOD_3 NOCON



Cross Stand. Corr. Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5 .75 1 +----+----+----+----+----+----+----+----+ -7 -.576 .128 *******.****I . -6 -.590 .127 *******.****I . -5 -.613 .126 *******.****I . -4 -.640 .125 ********.****I . -3 -.660 .124 ********.****I . -2 -.683 .123 *********.****I . -1 -.708 .122 *********.****I . 0 -.728 .121 **********.****I . 1 -.700 .122 *********.****I . 2 -.662 .123 ********.****I . 3 -.599 .124 *******.****I . 4 -.541 .125 ******.****I . 5 -.503 .126 *****.****I . 6 -.451 .127 ****.****I . 7 -.400 .128 ***.****I . Plot Symbols: Autocorrelations * Two Standard Error Limits . Total cases: 69 Computable 0-order correlations: 68 Std Deviation FIT_2 .2661756 Std Deviation FIT_3 9.52E-02 Lag



Dari hasil perhitungan diperoleh fakta bahwa terdapat korelasi negatif antara konsumsi dengan pendapatan, dan hal ini sesuai dengan Gambar 4.2 yang menyajikan kondisi korelasi negatif. Untuk mengetahui apakah korelasi ini signifikans, kita bandingkan dengan nilai pembanding



1 . Karena ukuran sampel, n = 69, jika dihitung, maka n−k 99



untuk k = 0, 1, . . . , 7, nilainya sama dengan 0,121268.



Sehingga jika nilai ini



dibandingkan dengan nilai mutlak dari autokorelasi silang, maka dapat disimpulkan autokorelasi silang tersebut signifikans. ∧



∧



Karena dari hasil perhitungan diperoleh nilai σ a = 0,037295173 dan σ b = 0,016939598 , ∧



∧



maka untuk tujuh lag pertama nilai-nilai pembobot impuls respon, ν k =



σa ∧



σb



∧



ρ ab , sama



dengan Tabel 4.4 Tujuh Nilai Pertama Pembobot Impuls Respon k ∧



νk



0



1



2



3



4



5



6



7



-1,60281



-1,54116



-1,4575



-1,31879



-1,1911



-1,10303



-0,99295



-0,88066



yang jika dibandingkan dengan nilai ∧



maka | ν k | >



1 = 0,121268, untuk n = 69, k = 1, 2, ... , 7, n−k



1 , yang berarti untuk tujuh lag pertama nilai-nilai pembobot impuls n−k



signifikans. Jika digambarkan pola untuk nilai mutlaknya maka diperoleh gambar seperti di bawah ini 1.8 1.6 nilai taksiran



1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1



2



3



4



5



6



7



lag



Gambar 4.5 Pola Nilai Mutlak Pembobot Impuls Respon



100



yang jika dibandingkan dengan pola pada Tabel 4.1 , maka setara dengan fungsi transfer dengan (b,r,s) = (2,1,0) yang persamaannya 1



ν(B)X t =



ω0 1 X t −2 . (1 − ϖ1 B)



(4.21)



Tetapi jika diambil dua lag pertama, maka setara dengan fungsi transfer dengan (b,r,s) = (2 , 0 , 1), yang persamaannya ν(B)Xt1 = (ω0 - ω1B)Xt-21.



(4.22)



4. Identifikasi model noise Setelah menetapkan model fungsi tranfer yang akan digunakan, langkah berikutnya adalah menaksir nilai-nilai parameter pembobot impulsnya. Jika yang diambil model pada Persamaan (4.21), maka ω0 dan ϖ1 ditaksir berdasarkan persamaan ∧



∧



∧



∧



∧



1 − ϖ1 B ν 0 + ν 1 B + ... + ν 7 B 7 = ω0 B 2 ∧



∧



∧



∧



∧



∧



(4.23)



∧



yang jawabnya, ν 2 − ϖ1 ν 1 = ω 0 dan ν 1 − ϖ1 ν 0 = 0 , sehingga ∧



∧



ϖ1 =



ν1 ∧



ν0



=



− 1,54116 = 0,96154 − 1,60281



dan ∧



ω0 = (−1,4575) − (0,96154)(−1,54116) = 0,02439 sehingga model noise taksirannya sama dengan ∧



η t = Yt1 −



0,02439 1 X t −2 (1 − 0,96154B)



(4.24)



dengan Yt1 = (1 – B)Yt , Xt1 = (1 – B)Xt Untuk melakukan identifikasi dari model pada Persamaan (4.24), lakukan proses sebagai berikut 1. ubah Persamaan (4.24) menjadi ∧



(1 – 0,96154B) η t = (1 – 0,96154B) Yt1 – 0,02439Xt-21 yang setara dengan ∧



∧



η t − 0,96154 η t −1 = Yt1 – 0,96154 Yt-11 – 0,02439Xt-21 101



2. lakukan proses rekursive linier untuk menghitung nilai-nilai deret noise taksiran sebagai berikut, t=1



∧



∧



1



1



1



1



1



η1 − 0,96154 η 0 = Y1 − 0,96154Y0 − 0,02438X −1 ∧



1



η1 = Y1 = Y2 − Y1 t=2



∧



∧



η 2 − 0,96154 η1 = Y2 − 0,96154Y1 − 0,02438X 0 ∧



1



1



η 2 = Y2 = Y3 − Y2 t=3



∧



∧



1



1



1



η3 − 0,96154 η 2 = Y3 − 0,96154Y2 − 0,02438X 1 ∧



1



1



η3 = Y3 − 0,02438X 1 = Y4 − Y3 − 0,02438(X 2 − X 1 ) t=4



∧



∧



1



1



η 4 − 0,96154 η3 = Y4 − 0,96154Y3 − 0,02438X 2 ∧



1



1



1



1



1



η 4 = 0,96154(Y3 − 0,02438X 1 ) + Y4 − 0,96154Y3 − 0,02438X 2 ∧



1



1



1



1



η 4 = Y4 − 0,02344X 1 − 0,02438X 2 = Y5 − Y4 − 0,02344(X 2 − X 1 ) − 0,02438(X 3 − X 2 ) dan seterusnya sampai t = 29 3. hitung dan gambarkan ACF dan PACF dari deret noise taksiran 4. lakukan identifikasi deret noise taksiran berdasarkan pola ACF dan PACF yang diperoleh Dengan menggunakan paket program SPSS dan EXCEL, diperoleh nilai statistik dan gambar ACF dengan PACF untuk deret noise taksiran, seperti di bawah ini Descriptive Statistics



NOISE Valid N (listwise)



N 69 69



102



Mean -8.3E-03



Std. Deviation 4.04E-02



NOISE



NOISE 1.0



.5



.5



0.0



0.0



ACF



-.5



Partial ACF



1.0



Confidence Limits



-1.0



Coefficient 1



3 2



5 4



7 6



9 8



11 10



13 12



-.5



Confidence Limits



-1.0



15



Coefficient 1



14



16



3 2



Lag Number



5 4



7 6



9 8



11 10



13 12



15 14



16



Lag Number



Gambar 4.6a ACF Noise



Gambar 4.6b PACF Noise .2



.1



Value NOISE



0.0



-.1



-.2 1



5



9



13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69



Case Number



Gambar 4.6c Pola Noise atas waktu



Dari nilai statistik dan Gambar 4.6a, Gambar 4.6b, dan Gambar 4.6c, tersurat bahwa



noise merupakan sebuah proses acak yang stasioner kuat dalam rata-rata hitung dan stasioner lemah daram varians, dengan rata-rata –0,0083 dan simpangan baku 0,0404 , dan nilai-nilai statistik ini cukup kecil, sehingga model fungsi tranfer dengan persamaan Yt1 =



0,02439 1 X t − 2 − ηt (1 − 0,96154B)



atau (1 – B)Yt =



0,02439 (1 − B)Xt-2 − ηt (1 − 0,96154B)



cukup baik untuk digunakan sebagai model ramalan 103



Untuk model pada Persamaan (4.22) silahkan selesaikan sendiri untuk latihan. Seandainya model pada Persamaan (4.22) juga cukup baik untuk digunakan sebagai model ramalan, maka keduanya dapat digabungkan melalui sebuah proses pembobotan.



4.8.



Fungsi Transfer Untuk Vektor Multivariat Sudah dikemukakan konsepsi fungsi transfer identik dengan regresi multipel,



sehingga jika dimiliki data deret waktu multivariat dan ingin dibangun fungsi transfernya, maka tahap pertama adalah harus menentukan dulu deret keluarannya. Misalkan dimiliki data deret waktu multivariat (Xt1 , Xt2 , . . . , Xtm), dengan Xt1 sebagai deret keluaran, Xt2 , Xt3 , . . . , Xtm deret masukan, dan model kausalnya Xt1 = ν1(B)Xt2 + ν2(B)Xt3 + . . . + ν(m-1)(B)Xtm + et



(4.25)



dengan νi(B) polinom atas operator backshift B, atau fungsi transfer yang merelasikan Xt1 dengan Xt(i+1) et noise dengan rata-rata 0, varians konstan σe2, dan saling bebas dengan Xt2 , Xt3 ,..., Xtm Jika kor.(Xti , Xtj) = 0 untuk setiap i ≠ j = 2, 3, . . . , m (Xti dengan Xtj tidak berkorelasi), maka analisisnya dapat dilakukan dengan mengembangkan teori pada fungsi transfer untuk data bivariat (fungsi transfer dengan deret masukan tunggal) seperti yang telah dikemukakan, yaitu dengan membangun fungsi transfer νi(B) yang merelasikan Xt1 dengan Xt(1+i) secara terpisah, masing-masing untuk waktu t, sehingga proses fungsi transfer dilakukan sebanyak (m-1) kali, yang menghasilkan (m-1) buah fungsi transfer. ∧



Sehingga jika ν i (B) penaksir untuk νi(B), maka model taksiran untuk Persamaan (4.17) sama dengan ∧



∧



∧



∧



X t1 = ν 1 (B)X t 2 + ν 2 (B)X t 3 + ... + ν ( m −1) (B)X tm ∧



dan residunya rt = X t1 − X t1 digunakan untuk identifikasi model. Dalam hal kor.(Xti , Xtj) ≠ 0 untuk paling sedikit sebuah pasangan i ≠ j = 2, 3, . . . , m, maka proses penaksiran model pada Persamaan (4.17) dilakukan berdasarkan analisis integrasi regresi ekonometrika dengan regresi deret waktu, yang prosesnya tidak sesederhana jika kor.(Xti , Xtj) = 0.



Misalkan dari data deret waktu multivariat 104



(Xt1,Xt2,...,Xtm), dengan Xt1 deret keluaran, dan Xt2 , Xt3 , . . . , Xtm deret masukan, diketahui kor (X ti , X tj ) =



≠ 0 , i ≠ j = 2, 3, . . . , p = 0 , i ≠ j = p + 1, p + 2, . . . , m



maka model kausal pada Persamaan (4.17) dipecah menjadi Xt1 = ν1(B)Xt2 + ν2(B)Xt3 + . . . + νp(B)Xtp + νp+1(B)Xt(p+1) + νp+2(B)Xt(p+2) + . . . + ν(m-1)(B)Xtm + et Fungsi transfer νp+1(B), νp+2(B), . . . ,ν(m-1)(B), yang merelasikan Xt1 dengan Xt(p+1), Xt(p+2), . . . , Xtm dibangun secara terpisah seperti membangun fungsi transfer untuk data bivariat, dengan perkataan lain model kausal Xt1 = νp+1(B)Xt(p+1) + νp+2(B)Xt(p+2) + . . . + ν(m-1)(B)Xtm + et dianggap sebagai sebuah model linier dengan rank penuh. Sedangkan fungsi transfer ν1(B), ν2(B), . . . ,νp(B), yang merelasikan Xt1 dengan Xt2 Xt3, . . . , Xtp, harus dibangun secara terintegrasi dengan menggunakan konsepsi analisis regresi ekonometrika, yaitu dengan menganggap model kausal Xt1 = ν1(B)Xt2 + ν2(B)Xt3 + . . . + νp(B)Xtp + et sebagai sebuah model ekonometrika atau model linier dengan rank tidak penuh.



105



BAB 5 ANALISIS SPEKTRAL Sudah dikemukan pada Bab 2, analisis spektral adalah penaksiran dalam kawasan frekuensi untuk menelaah periodesitas tersembunyi, yaitu periodesitas yang sulit ditemukan dalam kawasan waktu.



Analisis ini dilakukan jika diperlukan informasi



mengenai periodesitas hal-hal yang bersifat khusus, untuk melengkapi hasil analisis dalam kawasan waktu, misalnya dalam bidang klimatologi, pola periodesitas curah hujan yang menyebabkan musim hujan atau kemarau yang panjang atau pendek, untuk melengkapi telaahan pola hujan tahunan. Analisis spektral atau sewaktu-waktu dinamakan juga analisis spektrum, dikenalkan oleh A. Schuster, sorang pekerja sosial, pada akhir abad ke-20 dengan tujuan mencari periode tersembunyi dari data. Pada saat ini analisis spektral digunakan pada persoalan penaksiran spektrum untuk seluruh selang frekuensi. M. S. Bartlett dan J. W. Tukey, mengembangkan analisis spektral modern sekitar tahun ketiga abad ke-20, dan teorinya banyak digunakan para pengguna di bidang klimatologi, teknik kelistrikan, meteorologi, dan ilmu kelautan. Analisis spektral modern didasarkan pada penomena bahwa data deret waktu merupakan hasil proses stokastik, sehingga setiap data deret waktu dapat disajikan dalam deret Fourier. Jika Xt , t = 1, 2, . . . , n , data deret waktu, maka Xt dapat ditulis dalam formulasi, Xt = a0 +



n −1 2 p =1



a p Cos



2πp 2πp t + b p Sin t + a n Cosπt , n n 2



(5.1)



t = 1, 2, . . . , n dengan a0 = x = ap =



2 n



1 n



n t =1



n t =1



xt , a n =



x t Cos



2



1 n



n t =1



(−1) t x t



2πt 2 p , bp = n n



n t =1



x t Sin



(5.1a)



n 2πt p , p = 1, 2, . . . , − 1 2 n



106



(5.1b)



5.1.



FUNGSI SPEKTRAL Sudah dikemukan, dalam analisis data deret waktu dan analisis Statistika lainnya, data



yang akan dianalisis harus merupakan data stasioner, dan jika tidak stasioner harus distasioner dulu melalui proses diferensi. Jika dimiliki sampel data deret waktu stasioner, x1 , x2 , . . . , xn , maka dapat dibangun model spektralnya dengan persamaan π



π



0



0



x t = Cosω t du (ω t ) + Sinω t dv(ω t )



(5.2)



dengan u(ωt) dan v(ωt) merupakan fungsi kontinu yang tidak berkorelasi, yang didefinisikan pada selang 0 ≤ ωt ≤ π. Berdasarkan deskripsi tersebut, dapat diturunkan fungsi F(ωt) yang berkorelasi dengan u(ωt) dan v(ωt), sehingga jika r(k) fungsi autokorelasi, maka π



r (k ) = Cosω k dF(ω k )



(5.3)



0



yang merupakan sajian spektral dalam fungsi autokorelasi. Pada persamaan ini F(ωk) = 0 , jika (ωk) < 0 , dan F(π) = σx2 , yang merupakan varians data deret waktu. Sehingga jika didefinisikan fungsi G (ω k ) =



F(ω k ) σx



2



(5.4)



maka diperoleh fungsi distribusi kumulatif spektral, dan fungsi spektral kuasa



g (ω k ) =



dG (ω k ) dω k



(5.5)



Jika G(ωt) dan g(ωt) ada, maka Persamaan (5.3) dapat dinyatakan oleh π



rk = Cosω k g (ω k )d (ω k ) 0



sehingga



107



(5.6)



g(ω k ) =



1 ∞ 1 ∞ rk e −iωk = rk Cos(ω k ) π k = −∞ π k = −∞



(5.7)



Karena rk fungsi genap, maka Persamaan (5.7) setara dengan g (ω k ) =



∞ 1 r0 + 2 rk Cosω k π k = −1



(5.8)



yang merupakan sajian fungsi Fourier dalam fungsi fungsi autokorelasi. Karena g(ωk) = 0 , jika ωk < 0 dan g(π) = σx2 , maka fungsi spektrum kuasa yang setara dengan fungsi distribusi kumulatifnya, disajikan pada persamaan h (ω k ) =



∞ g (ω k ) 1 = 1 + 2 rk Cosω k π σ 2x k =1



(5.9)



yang juga merupakan fungsi Fourier dalam fungsi autokorelasi. Dari pernyataan spektral tersebut, dapat disimpulkan bahwa data deret waktu dapat dinyatakan sebagai deret Fourier yang merupakan fungsi harmonis seperti pada Persamaan (5.1), sehingga dengan membangun fungsi spektrum kuasanya, periodesitas data dapat ditentukan.



Tetapi menentukannya tidak dapat dalam kawasan waktu,



melainkan harus dalam kawasan frekuensi sebab fungsi spektrum kuasa merupakan fungsi dalam autokorelasi dan frekuensi. Jika dilakukan penaksiran pada fungsi spektrum kuasa, dan nilai-nilai penaksirnya dipetakan terhadap frekuensinya, maka akan diperoleh sebuah garis spektrum. Telaahan periodesitas data dilakukan terhadap frekuensi yang berpasangan dengan titi-titik puncak dari garis spektumnya.



5.2.



Periodogram Pada Seksi 5.1 dikemukakan bahwa untuk menelaah periodesitas data dilakukan



terhadap frekuensi yang berpasangan dengan titik-titik puncak garis spektrumnya. Fungsi spektrum kuasa atas frekuensinya dinamakan Periodogram, dan seperti sudah dikemukakan fungsi ini dapat diperoleh dari modifikasi fungsi Fourier. Perhatikan Persamaan (5.1), jika ditulis ωp =



2π p , frekuensi sudut (angular frekuensi) harmonis ke-p n 108



(5.10a)



Rp =



2



a p + bp



2



, amplitudo harmonis ke-p



(5.10b) φp = arc.Tg −



bp ap



, phase harmonis ke-p



(5.10c)



maka komponen dalam tanda perjumlahan Pada Persamaan (5.1) dapat disajikan dalam bentuk apCosωpt + bpSinωpt = RpCos(ωpt + φp) Dari hasil sajian penulisan tersebut, dibangun fungsi I(ω p ) =



n 2 Rp 4π



(5.11)



yang dinamakan Periodogram, yang merupakan fungsi atas frekuensi sudut ωp, dan penaksir spektrum kuasa pada frekuensi ωp. Jika I(ωp) dipetakan terhadap ωp maka akan diperoleh sebuah spektrum yang merupakan penaksir spektrum kuasa. Dengan menelaah titik-titik puncak dari spektrumnya, akan diperoleh periode-periode data deret waktu yang tidak bisa diperoleh pada kawasan waktu. Karena periode dari titik-titik puncak yang signifikans saja yang digunakan untuk telaahan periodesitas data deret waktu, maka terhadap setiap puncak dari periodogram dilakukan pengujian statistis dengan menggunakan selang konfidens dari penaksir spektrum kuasa. Untuk menghitung nilai-nilai I(ωp) ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu Metode Windowing dan Metode Fast Fourier Transform (Metode FFT), yang masing-masing memiliki kelebihan dan kekurangan. Untuk setiap penulis sering berbeda dalam merumuskan persamaan fungsi periodogram, tetapi perbedaan bentuk fungsi tidak akan menjadikan berbeda



pada



gambar garis spektrumnya, sebab dalam perumusannya yang berbeda hanya pada pengganda untuk Rp2. Misalnya Granger dan Hatanaka (1964) merumuskan periodogram dengan persamaan I(ω p ) =



n 2 Rp 4π



109



(5.12)



Hannan (1970) dengan persamaan I(ω p ) =



1 2πn



n t =1



x te



it ωp



=



n 2 Rp 2π



(5.13)



sedangkan Landsberg dan Mitchell (1959) dengan persamaan I(ω p ) =



1 2 Rp m



(5.14)



dengan m dinamakan Lag-Maksimum (maximum lag).



Metode Windowing



5.3.



Sudah dikemukakan pada Seksi 5.2 bahwa salah satu metode untuk menghitung nilai periodogram adalah metode windowing. ditranformasikan ke fungsi autokorelasi.



Dengan metode ini fungsi periodogram Jika pada Persamaan (5.12) disubtitusikan



Persamaan (5.10b), dilanjutkan dengan mensubtitusikan Persamaan (5.1b), dan 2πp , maka persamaan periodogram menjadi n



menuliskan ω p = I(ω p ) =



1 nπ



n −k t =1



(x



t



)(



)



− x x t + k − x (Cosω p tCosω p (t + k ) + Sinω p tSinωp (t + k ))



(5.15)



karena n −k t =1



(x



maka



t



)(



)



− x x t + k − x = c k , autokovarians sampel lag-k, dan c0 dengan varians sampel, ck = rk , autokorelasi sampel lag-k. c0



CosωptCosωp(t+k) + SinωptSinωp(t+k) = Cosωpk sehingga Persamaan (V.15) menjadi



I(ω p ) =



1 (n −1) c k Cosω p k π k = −(n −1)



(5.16)



dalam hal ini ck = c-k dan Cosωpk = Cosωp(-k) sehingga Persamaan (5.16) menjadi I(ω p ) =



n −1 1 c 0 + 2 c k Cosω p k π k =1



110



(5.17)



Untuk mendapatkan gambar periodogram yang lebih baik, nilai autokovarians ck diganti oleh autokorelasi rk, sehingga Persamaan (5.17) menjadi I(ω p ) =



n −1 1 r0 + 2 rk Cosω p k π k =1



(5.18)



Bloomfield (1976) dan Chatfield (1984) mengemukakan, I(ωp) merupakan penaksir spektrum kuasa yang tidak bias tetapi tidak konsisten, dan untuk menjadikan penaksir yang tidak bias dan konsisten, harus digunakan fungsi periodogram yang diboboti, dengan persamaan f (ω p ) =



1 m λ k rk Cosω p k π k =− m



(5.19)



λk pembobot yang dinamakan Lag-Window m Titik Pemotongan (truncation point), ωp diambil untuk p = 1, 2, . . . , m. Menghitung nilai fungsi periodogram dengan Persamaan (5.19) dinamakan Metode



Windowing, dan pembobot yang sering digunakan adalah Tukey Window dengan persamaan λk =



1 πk 1 + Cos 2 m



, k = 1, 2, . . . , m



(5.20a)



dan Parzen Window dengan persamaan 2



k k +6 m m λk = 3 k 2 1m 1− 6



3



, 0≤k≤



m 2



m , ≤k≤m 2



(5.20b)



Untuk menelaah perbedaan kedua pembobot tersebut perhatikan Gambar 5.1 di bawah ini.



111



λk 1



Tukey Window



Parzen Window



m



k



Gambar 5.1 Kurva Lag-Window



Dari Gambar 5.1 dapat disimpulkan, untuk nilai m yang sama, periodogram dengan Parzen window spektrumnya akan lebih halus dari Tukey window. Landsberg dan Mitchell (1959) memodifikasi metode windowing dengan Tukey



window, dan menggunakannya untuk menelaah periodesitas curah hujan di daerah Maryland. Pada metode ini perhitungannya dilakukan dalam dua tahap, sebagai berikut 1. Mengitung nilai fungsi periodogram dengan persamaan f1 (ωp ) =



m 1 r0 + 2 rk Cosω p k π k =1



(5.21)



2. Memboboti nilai f1(ωp) dengan komposisi pembobot (¼ , ½ , ¼) sehingga persamaan periodogram sebagai penaksir spektrum kuasa adalah f(0) = ½{f1(0) + f1(π/m)} f(ωp) = ¼f1(ωp−π/m) + ½f1(ωp) + ¼f1(ωp+π/m)



(5.22a)



f(π) = ½[f1(π) + f1{(m-1)π/m}] atau dengan komposisi pembobot (0,23 , 0,54 , 0,23) f(0) = 0,46f1(π/m) + 0,54f1(0)} f(ωp) = 0,23f1(ωp−π/m) + 0,54f1(ωp) + 0,23f1(ωp+π/m) f(π) = 0,46f1{(m-1)π/m} + 0,54f1(π)



112



(5.22b)



Untuk keperluan pennaksiran spektrum kuasa dalam bidang klimatologi, Landsberg, Mitchell (1959), dan Stringer (1972), mengajukan bentuk fungsi periodogram dengan persamaan L(h ) =



1 2 m −1 hπk 1 + rk Cos + rm Cosπh m m k =1 m m



(5.23)



m Lag-Maksimum yang sama dengan titik pemotongan. Dengan perumusan periodogram seperti ini, besaran-besaran yang harus dihitung untuk menggambarkan spektrum kuasa dalam bidang klimatologi secara manual, adalah 1. rata-rata hitung sampel, x =



1 n



n t =1



2. autokovarians sampel lag-k, c k =



xt



(



)(



1 n−k x t − x x t+k − x n − k t =1



)



, k = 0, 1, . . . , m



3. autokorelasi sampel lag-k, rk = ck/c0 4. ordinat spektrum kuasa L(0) =



m −1 1 (1 + rm ) + 1 rk 2m m k =1



L(h) =



1 2 m −1 πhk 1 + rk Cos + rm Cosπh , h = 1, 2, . . . , m - 1 m m k =1 m m



L(m) =



1 1 m −1 m (− 1)m rk 1 + (− 1) rm + 2m m k =1



(



)



5. pembobotan ordinat spektrum kuasa U(0) = 0,54L(0) + 0,46L(1) U(0) = 0,23L(h-1) + 0,54L(h) + 0,23L(h+1) , h = 1, 2, . . . , m-1 U(m) = 0,54L(m) + 0,46L(m-1) Dalam metode windowing yang menjadi masalah adalah menentukan nilai m yang bisa memberikan informasi yang cukup terhadap keberadaan periodesitas yang signifikans, sebab tidak ada literatur yang memberikan petunjuknya. Dalam hal ini jika n → ∞ maka m → ∞ tetapi m/n → 0, sehingga berdasarkan kriteria ini Jenkins dan Watts (1968) menyarankan untuk mengambil tiga macam nilai m yang bedanya cukup besar, 113



dan berdasarkan ketiga gambar spektrum kuasa yang sesuai dengan masing-masing nilai m tersebut, diambil salah satu yang memberikan informasi paling banyak mengenai periodesitas data. Sedangkan Chatfield (1984) menyarankan, jika banyaknya nilai data n buah maka nilai m diambil kira-kira 2n½. Pengambilan nilai m dalam metode windowing akan menentukan bentuk garis spektrumnya, jika nilai m kecil maka garis spektrumnya akan halus, karena varians penaksir kecil, dan jika m besar garis spektrumnya akan kasar, karena varians penaksir besar.



5.4.



Metode Fast Fourier Transform (metode FFT) Pada dasarnya menghitung dugaan spektrum kuasa adalah menghitung nilai



periodogram pada Persamaan (5.12). Karena Rp2 pada persamaan tersebut merupakan jumlah kuadrat dari fungsi siklometri, maka Rp dapat disajikan dalam bilangan kompleks 2 R p = a p + ib p = n



n −1 t =0



x te



2 πipt n



, p = 0, 1, 2, . . . ,



n −1 2



(5.24)



Jika ditulis t = rt1 +t0 , t1 = 0, 1, . . . , (s-1) , t0 = 0, 1, . . . , (r-1) , p = sp1 + p0 , p1 = 0, 1, . . . , ½r-1 , p0 = 0, 1, . . . , (s-1) , rs = n , maka nilai t akan bergerak dari 0 ke (n-1) dan nilai p akan bergerak dari 0 ke ½n-1, sehingga Persamaan (5.24) dapat disajikan dalam persamaan



Rp =



r −1



e



2 πipt 0 s −1 n



t 0 =0



t1 = 0



x te



2 πiprt 1 n



(5.25)



Karena e



2 πiprt 1 n



=e



2 πi (sp1 + p 0 )rt1 n



=e



2 πip 0 rt 1 n



dan n = s.r, maka e



2 πisp1rt1 n



=e



114



2 πip1 t1



e



2 πisp1rt 1 n



,



Selain itu karena p1 = 0, 1, 2, . . . , ½r-1 dan t1 = 0, 1, 2, . . . , (s-1) , maka e 2 πip1t1 = 1 , sehingga e



2 πiprt 1 n



=e



2 πip 0 rt 1 n



. Dalam hal ini berarti bentuk



s −1 t1 = 0



pada p1, hanya merupakan fungsi atas t0 dan p0.



A(p 0 , t 0 ) =



s −1 t1 = 0



x te



2 πiprt 1 n



x te



2 πip 0 rt1 n



tidak lagi bergatung



Sehingga jika dituliskan



maka Persamaan (5.25) menjadi R p = a p + ib p =



2 n



r −1 t =0



A (p 0 , t 0 )e



2 πipt 0 n



(5.26)



Pada Persamaan (5.26) ini terdapat rs buah fungsi A(p0,t0), yang masing-masing dibangun oleh s perkalian dan perjumlaahan atas bilangan kompleks, sehingga bentuk ap+ ibp dapat dihitung berdasarkan (r2s)/2 buah perkalian-perjumlahan atas bilangan kompleks. Perhitungan nilai-nilai fungsi periodogram dengan mentransformasikannya ke sistem bilangan kompleks ini dinamakan Metode Fast Fourier Transform (metode FFT). Dalam hubungan n = r.s , jika n merupakan bilangan genap maka paling sedikit dari r atau s harus bilangan genap. Bloomfield (1976) mengembangkan metode FFT ini dengan kondisi jika n (banyaknya nilai data) dapat difaktorkan atas k buah faktor bilangan prima. Menurut Chatfield (1984) dengan Box dan Jenkins (1976) kosep perhitungannya merupakan hasil pemikiran Cooley dan Tukey pada tahun 1965, dan Sande dengan Tukey pada tahun 1966. Sedangkan program komputernya telah dibuat Singleton pada tahun 1969. Cara yang lebih sederhana adalah jika n dapat dinyatakan oleh 2k, dengan k bilangan asli, sehingga jika banyaknya nilai data tidak dapat disajikan dalam perpangkatan tersebut, maka dapat ditambahkan nilai 0 sehingga banyaknya nilai data dapat disajikan dalam perpangkatan itu. Misalnya jika



n = 382, nilainya lebih dari 28 = 256 tapi kurang dari



29 = 512, sehingga tambahkan nilai 0 sebanyak 130 buah sehingga menjadi n = 512 = 29 (Chatfield, 1984 , Bloomfield, 1976). Garis spektrum yang diperoleh dari periodogram yang dihitung dengan metode FFT, akan lebih bervariasi dari metode windowing.



Tetapi Jenkins dan Watts (1968)



berpendapat, jika banyaknya nilai data n kurang dari 1000 buah, maka hasil penaksiran



115



spektrum kuasa dengan metode FFT tidak lebih baik jika dibandingkan dengan metode windowing. Pemikirannya itu didasarkan pada dua hal yaitu 1. Jika data kurang dari 1000, maka CPU-times untuk menghitung periodogram dengan metode FFT dengan windowing tidak terlalu jauh berbeda. 2. Informasi mengenai periodesitas tersembunyi berdasarkan metode FFT selalu lebih banyak dari metode windowing, tetapi yang signifikans belum tentu selalu lebih banyak pula. Untuk menghitung periodogram dengan metode FFT atau windowing dan menggambarkan spektrumnya harus menggunakan program komputer, yang saat ini cukup banyak paket program komputer yang menyediakan fasilitas perhitungannya. Hanya paket program perhitungan dengan metode FFT dan menggambarkan spektrumnya, berdasarkan pengamatan penulis, lebih sedikit dari metode windowing, sebab paket program yang menyediakan fasilitas perhitungan dengan metode FFT, seperti SPSS, STATISTICA, dan SAS, juga bisa digunakan untuk perhitungan dengan metode



windowing, tetapi sebaliknya belum tentu. Misal paket program LOTUS dan EXCELL, bisa digunakan untuk perhitungan dengan metode windowing, tetapi tidak bisa untuk perhitungan dengan metode FFT.



5.5.



Distribusi Peluang Spektral Dalam teori Statistika, setiap penaksir selalu memiliki distribusi peluang yang dapat



diturunkan dari distribusi peluang data.



Dalam analisis statistika, asumsi distribusi



peluang dari data deret waktu adalah distribusi normal dengan rata-rata µ dan varians σ2. Jika x1, x2, . . . , xn sampel data deret waktu dari populasi yang berdistribusi normal dengan rata-rata µ dan varians σ2, maka ap dan bp pada Persamaan (5.12) akan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians (2σ2)/n, sehingga a 2p + b 2p 2σ n



2



=



(



n a 2p + b 2p σ



2



) = 2πiω



akan berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 2. 116



σ



2



p



Oleh karena itu fungsi periodogram pada Persamaan (5.12) jika digunakan langsung sebagai penaksir spektrum kuasa tidak baik, karena dalam hal ini kekeliruan baku penaksir sama dengan rata-rata hitungnya, yaitu sama dengan derajat bebas distribusinya. Sebab penaksir yang baik adalah yang kekeliruan bakunya sangat kecil dibandingkan dengan rata-rata hitungnya. Untuk menaikan derajat bebas chi-kuadrat dapat dilakukan dengan cara tranformasi pembobotan seperti pada metode windowing, yang menaikan derajat bebas chi-kuadrat dari 2 menjadi ν =



2n m



dengan λk pembobot.



λk



k =− m



Berdasarkan konsepsi tersebut, pembobotnya Tukey Window menaikan derajat bebas chi-kuadrat dari 2 menjadi ν =



2,67 n 3,71n , dan Parzen Window menjadi ν = , m m



sedangkan dalam metode FFT jika periodogram pada Persamaan (5.12) ditranformasikan menjadi Y(ω p ) =



k 1 I(ωi + p ) 2(k + 1) i = − k



(5.27)



akan menjadi 2(k+1). Distribusi peluang dari spektrum kuasa diperlukan untuk menguji signifikansi periode dari titik puncak garis spektrumnya., yang pengujiannya dilakukan berdasarkan selang konfidens (interval confidens) dari penaksir spektrum kuasa, dengan kriteria : periode signifikans jika nilai spektrum kuasa berada di luar selang konfidens.



5.6.



Tranformasi Data Box dan Jenkins (1976), Chatfield (1984), Jenkins dan Watts (1968), dengan



Stringer (1972) mengemukakan, jika diinginkan garis spektrum yang tegas (rigorously), maka data deret waktu yang akan dianalisis harus dibebaskan dari komponen musiman dan trend. Sebab jika komponen trend tidak dihilangkan, maka titik puncak spektrum kuasa akan terakumulasi pada frekuensi 0, sedangkan jika komponen musiman yang tidak dihilangkan, maka akumulasinya pada frekuensi yang berkaitan dengan periode musiman. Dengan adanya titik akumulasi ini akan menghilangkan (mengurangi) informasi mengenai periodesitas yang lainnya. 117



Untuk membebaskan data deret waktu dari komponen musiman dan trend dapat dilakukan dengan proses diferensi orde satu, sehingga jika data deret waktu x1, x2, ... , xn memiliki komponen trend, maka bentuk diferensinya, yt = (1 – B)xt, sedangkan jika ada komponen musiman dengan periode b bulan, maka bentuk diferensinya, zt = (1 – Bb)x1 , Sehingga jika ada keduanya, maka bentuk diferensinya, ut = (1 – B)x-t − (1 – Bb)xt, yang berarti data hasil proses diferensi orde-1, didiferensi lagi dengan orde-b.



Contoh numerik Perhatikan data persediaan barang yang disajikan pada Lampiran-1. Jika digambarkan menurut waktunya, diperoleh gambar seperti di bawah ini 42 40 38 36 34



Value STOK



32 30 28 26 229



405 319



514 425



620 601



727 710



904 815



1010 921



1115



1029



WAKTU



Gambar 5.2 Peta data atas waktu



dengan gambar ACF dan PACF nya seperti di bawah ini



118



1224



1205



114



131 220



STOK



STOK 1.0



.5



.5



0.0



0.0



ACF



-.5



Partial ACF



1.0



Confidence Limits



Coefficient



-1.0 1



3 2



5 4



7 6



9 8



11 10



13 12



-.5



Coefficient



-1.0



15 14



Confidence Limits



1 16



3



5



2



Lag Number



4



7 6



9 8



11 10



13 12



15 14



16



Lag Number



Gambar 5.3a Gambar ACF data



Gambar 5.3b Gambar PACF data



Gambar 5.2 menyajikan sebuah kondisi data tidak stasioner dalam rata-rata hitung dan memiliki komponen musiman. Dari Gambar 5.3a dan 5.3b data berautokorelasi dan akan stasioner jika dilakukan diferensi orde-1.



Untuk menegaskan pendapat tersebut,



perhatikan gambar data setelah dilakukan diferensi orde-1, seperti dibawah ini 3



2



1



Value DIFF(STOK,1)



0



-1



-2



-3 229



405 319



514 425



620 601



727 710



904 815



1010 921



1115



1029



1224



1205



114



WAKTU



Gambar 5.4a Peta data hasil diferensi orde-1 atas waktu



119



131 220



DIFF(STOK,1)



DIFF(STOK,1) 1.0



.5



.5



0.0



0.0



ACF



-.5



Partial ACF



1.0



Confidence Limits



Coefficient



-1.0 1



3 2



5 4



7 6



9 8



11 10



13



-.5



Confidence Limits



Coefficient



-1.0



15



12



14



1 16



3



5



2



Lag Number



4



7 6



9 8



11 10



13 12



15 14



16



Lag Number



Gambar 5.4b Gambar ACF data hasil diferensi orde-1



Gambar 5.4c Gambar PACF data hasil diferensi orde-1



Ketiga gambar ini menyajikan sebuah kondisi bahwa dengan diferensi orde-1 data sudah stasioner dalam rata-rata hitung, tetapi komponen musimannya belum tereliminasi. Untuk menyakinkan hal, perhatikan gambar data setelah dilakukan eliminasi komponen musiman, dengan periode-6 dan periode-12, di bawah ini 60



4000



40



3000 2000



20



1000



Value DIFF(STOK_1,12)



Value DIFF(STOK_1,6)



0 -20 -40 -60 -80 229



405 319



514 425



620 601



727 710



904 815



1010 921



1115



1029



1224



1205



114



131



0 -1000 -2000 -3000 -4000 229



220



405 319



WAKTU



514 425



620 601



727 710



904 815



1010 921



1115



1029



1224



1205



114



131 220



WAKTU



Gambar 5.5b



Gambar 5.5a



Eliminasi musiman dengan orde-12



Eliminasi musiman dengan orde-6



Gambar 5.5a menunjukan komponen musiman belum tereleminasi secara sempurna, karena masih terlihat adanya “gelombang”, sedangkan Gambar 5.5b menunjukan eliminasi komponen musiman yang cukup sempurna. Untuk lebih jelasnya dapat ditelaah



120



dari gambar periodogram dan fungsi densitas spektral, berdasarkan metode windowing dengan pembobot Parzen dan titik pemotongan m = 31, di bawah ini Spectral analysis: DIF_0



Spectral analysis: DIF_0



1200



1200



1000



1000



800



800



600



600



400



400



200



200



0 0.00



0.05



0.10



0.15



0.20



0.25



0.30



0.35



0.40



0.45



No. of cases: 250 From: 0 to 125 Parzen weights:0.000 .0001 .0004 .0014 .0034 .0066 .0114 .0181 .0269 .0377 ...



Spectral Density



Periodogram Values



No. of cases: 250 From: 0 to 125



0 0.50



250



250



200



200



150



150



100



100



50



50



0 0.00



0.05



0.10



0.15



0.20



0.25



0.30



0.35



0.40



0.45



0 0.50



Frequency



Frequency



Gambar 5.6a Periodogram tanpa diferensi



Gambar 5.6b Fungsi densitas spektral tanpa diferensi



Gambar 5.6a dan 5.6b menyajikan pola perodogram dan fungsi spektral untuk data asli, dan pada gambar terlihat puncak spektrum terakumulasi pada sekitar frekuensi 0,00. Hal ini menunjukan bahwa komponen trend belum dihilangkan, sehingga analisis spektral tidak baik untuk dilakukan. Spectral analysis: DIF_1



Spectral analysis: DIF_1



3.0



3.0



2.5



2.5



2.0



2.0



1.5



1.5



1.0



1.0



0.5



0.5



0.0 0.00



0.05



0.10



0.15



0.20



0.25



0.30



0.35



0.40



0.45



No. of cases: 250 From: 0 to 125 Parzen weights:0.000 .0001 .0004 .0014 .0034 .0066 .0114 .0181 .0269 .0377 ...



Spectral Density



Periodogram Values



No. of cases: 250 From: 0 to 125



0.0 0.50



0.9



0.9



0.8



0.8



0.7



0.7



0.6



0.6



0.5



0.5



0.4



0.4



0.3 0.00



0.05



0.10



0.15



0.20



0.25



0.30



0.35



0.40



0.45



0.3 0.50



Frequency



Frequency



Gambar 5.7a Periodogram dengan diferensi orde-1



Gambar 5.7b Fungsi densitas spektral dengan diferensi orde-1



Gambar 5.7a dan 5.7b adalah gambar periodogram dan fungsi densitas spektral dari data setelah didiferensi orde-1. Pada gambar periodogram terlihat banyak muncul puncak spektrum, dan gambar fungsi spektralnya membangun sebuah gelombang. 121



Hal ini



menunjukan bahawa komponen trend sudah tidak ada, tetapi komponen musiman masih ada, sehingga analisis spektral tidak baik untuk dilakukan dalam kondisi seperti ini. Spectral analysis: DIF_6



Spectral analysis: DIF_6



8000



8000



7000



7000



6000



6000



5000



5000



4000



4000



3000



3000



2000



2000



1000 0 0.00



No. of cases: 250 From: 0 to 125 Parzen weights:0.000 .0001 .0004 .0014 .0034 .0066 .0114 .0181 .0269 .0377 ...



Spectral Density



Periodogram Values



No. of cases: 250 From: 0 to 125



1000



0.05



0.10



0.15



0.20



0.25



0.30



0.35



0.40



0.45



3000



3000



2500



2500



2000



2000



1500



1500



1000



1000



500



500



0 0.50



0 0.00



0.05



0.10



0.15



0.20



0.25



0.30



0.35



0.40



0.45



0 0.50



Frequency



Frequency



Gambar 5.8a Periodogram dengan diferensi orde-6 dari hasil diferensi orde-1



Gambar 5.8b Fungsi densitas spektral dengan diferensi orde-6 dari hasil diferensi orde-1



Spectral analysis: DIF_12



Spectral analysis: DIF_12



No. of cases: 250 From: 0 to 125 2.5e7



2e7



1.5e7



1.5e7



1e7



1e7



5e6



5e6



0.05



0.10



0.15



0.20



0.25



0.30



0.35



0.40



0.45



Spectral Density



Periodogram Values



2e7



0 0.00



No. of cases: 250 From: 0 to 125 Parzen weights:0.000 .0001 .0004 .0014 .0034 .0066 .0114 .0181 .0269 .0377 ...



2.5e7



0 0.50



1e7



1e7



8e6



8e6



6e6



6e6



4e6



4e6



2e6



2e6



0 0.00



0.05



0.10



0.15



0.20



0.25



0.30



0.35



0.40



0.45



0 0.50



Frequency



Frequency



Gambar 5.8c Periodogram dengan diferensi orde-12 dari hasil diferensi orde-1



Gambar 5.8d Fungsi densitas spektral dengan diferensi orde-12 dari hasil diferensi orde-1



Gambar 5.8a sampai 5.8d adalah gambar periodogram dan fungsi densitas spektral setelah data dihilangkan komponen trend dan musimannya. Gambar 5.8a dan 5.8b komponen musiman dieliminasi dengan periode-6, dan Gambar 5.9c dan 5.9d dieliminasi dengan periode-12. Dari gambar terlihat, pola fungsi densitas spektral dari data yang komponen musimannya dieliminasi dengan periode-12, lebih halus dari fungsi densitas spektral jika dieliminasi dengan periode-6.



Hal ini menyimpulkan, analisis spektral sebaiknya



dilakukan pada periodogram dengan data setelah dihilangkan komponen trend dan musiman dengan periode-12. 122



Nilai-nilai periodogram untuk data setelah dihilangkan komponen trend dan musiman dengan periode-12 disajikan pada Lampiran-2.



Nilai-nilai puncak periodogrammnya



adalah Tabel 5.1 Nilai-nilai puncak periodogram Frekuensi Nilai Frekuensi Nilai



.0040 2.25



.0960 1.510



.1040



.1120 .1240 .1400 .1480 .1560 .1640 .1760 1.653 1.625 3.418 2.912 3.135 8.339 7.241 .1880 .2000 .2120 .2240 .2400 19.080 18.402 12.630 17.127 83.749 1.519



Sudah dikemukakan nilai-nilai periodogram ini berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas ν =



3,71n 3,71(251) = ≈ 30 , sehingga jika dihitung selang konfidens 0,95 maka m (31)



diperoleh selang nilai (16,8 ; 47,0). Sehingga jika ditelaah dari Tabel 5.1, nilai-nilai puncak yang ada dalam selang konfidens adalah : 19,080 ; 18,402 ; dan 17,127, yang berarti frekuensi yang signifikans adalah : 0,188 ; 0,2 ; dan 0,224 , atau periode 5,3 ; 5,0 ; dan 4,5 bulan, yang jika diambil rata-ratanya sama dengan 4,9 bulan. Hal ini berarti pada setiap 4,9 bulan terjadi hal istimewa pada stok, yaitu kejadian stok berlebih atau kekurangan.



123



KEPUSTAKAAN Abraham, B. dan Ledolter, J. , 1983 , Statistical Methods for Forecasting , John Wiley & Sons , New York. Box, G. E. P. dan Jenkins, G. M. , 1976 , TIME SERIES ANALYSIS forecasting and control , Holden-Day , San Francisco. Brockwell, P. J. dan Davis, R. A. , 1991 , Time Series : Theory and Methods , SpringerVerlag , New York. Chatfield, C. , 1984 , The Analysis of Time Series : An Introduction , Chapman and Hall , London. Enders, W. , 1995 , Applied Econometric Time Series , John Wiley & Sons, Inc. , New York. Harvey, A. C. , 1993 , Time Series , Harvester Wheatsheaf , New York. Montgomery, D. C. dan Johnson, L. A. , 1976 , Forecasting and Time Series Analysis , McGraw-Hill Book Co. , New York. Wei, W. W. S. , 1990 , TIME SERIES ANALYSIS : Univariate and Multivariate Methods , Addison-Wesley Pub. Co. Inc. , Redwood City.



124



LAMPIRAN-1 DATA PERSEDIAAN BARANG THN 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84



WKT 229 301 302 305 306 307 308 309 312 313 314 315 316 319 320 321 322 323 326 327 328 329 330 402 403 404 405 406 409 410 411 412 413 416 417 418 419 423 424 425 426 427 430



STOK 35.875 35.875 34.750 35.250 35.500 35.375 35.125 34.500 34.750 34.250 34.375 35.000 35.000 34.625 34.625 34.250 33.750 33.625 33.500 34.500 35.000 34.750 35.000 35.250 35.750 35.625 35.375 35.625 35.375 36.000 35.875 36.750 37.125 38.125 38.375 37.375 37.125 35.750 36.000 36.500 37.125 37.000 37.375



THN 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84



WKT 501 502 503 504 507 508 509 510 511 514 515 516 517 518 521 522 523 524 525 529 530 531 601 604 605 606 607 608 611 612 613 614 615 618 619 620 621 622 625 626 627 628 629 702



125



STOK 37.250 37.250 37.625 36.625 36.750 37.125 37.125 36.750 35.875 35.500 35.875 35.375 34.750 34.500 33.500 32.500 32.625 32.250 32.500 30.875 31.500 30.625 31.000 31.000 32.125 32.625 32.125 32.750 32.250 32.250 31.750 31.750 32.000 32.500 32.375 33.000 32.625 31.750 29.500 29.875 30.000 30.000 30.000 30.500



THN 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84



WKT 703 705 706 709 710 711 712 713 716 717 718 719 720 723 724 725 726 727 730 731 801 802 803 806 807 808 809 810 813 814 815 816 817 820 821 822 823 824 827 828 829 830 831



STOK 30.750 30.125 29.625 30.000 29.500 29.125 29.000 29.000 29.500 29.625 29.125 28.250 28.625 28.875 28.250 28.250 28.500 28.625 28.625 29.250 29.875 30.500 31.000 31.375 31.500 31.750 32.625 32.375 32.750 32.875 32.500 33.250 33.500 33.000 33.000 31.875 31.875 32.625 33.000 33.500 33.250 33.375 33.750



THN 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84



WKT 904 905 906 907 910 911 912 913 914 917 918 919 920 921 924 925 926 927 928 1001 1002 1003 1004 1005 1008 1009 1010 1011 1012 1015 1016 1017 1018 1019 1022 1023 1024 1025 1026 1029 1030 1031



STOK 34.000 34.125 34.375 34.125 33.500 33.250 33.125 34.125 34.250 34.250 33.625 33.125 33.375 32.625 31.750 32.375 32.750 32.750 32.500 32.000 31.250 30.625 31.375 30.750 30.875 31.375 31.375 31.750 31.625 31.500 30.625 31.250 33.250 33.250 32.250 32.625 32.500 32.000 32.875 32.375 32.875 32.500



THN 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 85 85 85



WKT 1101 1102 1105 1106 1107 1108 1109 1112 1113 1114 1115 1116 1119 1120 1121 1123 1126 1127 1128 1129 1130 1203 1204 1205 1206 1207 1210 1211 1212 1213 1214 1217 1218 1219 1220 1221 1224 1226 1227 1228 1231 102 103 104



126



STOK 33.000 34.250 34.875 35.875 35.125 34.625 33.625 34.250 33.875 34.500 33.875 33.750 34.375 34.625 35.375 36.125 35.625 36.250 35.750 35.250 35.500 35.500 35.625 35.250 35.125 34.250 34.500 35.625 35.375 35.375 35.625 36.125 36.875 36.875 36.375 36.250 36.250 36.000 35.750 35.875 36.125 35.625 35.125 35.750



THN 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85



WKT 107 108 109 110 111 114 115 116 117 118 121 122 123 124 125 128 129 130 131 201 204 205 206 207 208 211 212 213 214 215 219 220 221 222 225



STOK 35.750 36.125 36.500 37.625 37.125 37.750 37.500 37.375 37.250 37.250 37.875 37.500 38.000 37.375 36.875 37.375 38.000 38.750 39.000 38.250 38.000 38.250 37.500 38.250 38.375 38.250 38.750 39.250 39.625 38.500 38.625 38.625 37.500 37.375 38.000



Lampiran 2 Spectral analysis: DIF_6 (dif.sta) FREQUNCY PERIOD 0 0.000000 1 .004000 250.0000 2 .008000 125.0000 3 .012000 83.3333 4 .016000 62.5000 5 .020000 50.0000 6 .024000 41.6667 7 .028000 35.7143 8 .032000 31.2500 9 .036000 27.7778 10 .040000 25.0000 11 .044000 22.7273 12 .048000 20.8333 13 .052000 19.2308 14 .056000 17.8571 15 .060000 16.6667 16 .064000 15.6250 17 .068000 14.7059 18 .072000 13.8889 19 .076000 13.1579 20 .080000 12.5000 21 .084000 11.9048 22 .088000 11.3636 23 .092000 10.8696 24 .096000 10.4167



COSINE_C .05183 -.13129 -.12789 -.12229 -.11459 -.10493 -.09351 -.08053 -.06622 -.05087 -.03475 -.01821 -.00141 .01511 .03116 .04646 .06034 .07286 .08462 .09415 .10064 .10548 .10829 .10682 .10900



SINE_COE -.00000 .02767 -.01160 -.03531 -.05436 -.07072 -.08488 -.09693 -.10683 -.11448 -.11983 -.12282 -.12343 -.12151 -.11748 -.11112 -.10284 -.09183 -.07938 -.06593 -.05089 -.03331 -.01800 -.00448 .01427 127



PERIODOG DENSITY .336 1.906 2.251 1.908 2.061 1.912 2.025 1.919 2.011 1.926 2.002 1.932 1.994 1.936 1.985 1.937 1.975 1.933 1.962 1.924 1.946 1.911 1.927 1.893 1.905 1.871 1.874 1.845 1.846 1.816 1.813 1.784 1.777 1.751 1.718 1.717 1.683 1.684 1.651 1.651 1.590 1.620 1.530 1.593 1.506 1.569 1.429 1.552 1.510 1.542



PARZEN_W 0.000000 .000053 .000421 .001422 .003371 .006584 .011378 .018067 .026943 .037689 .049382 .061076 .071822 .080671 .086676 .088888 .086676 .080671 .071822 .061076 .049382 .037689 .026943 .018067 .011378



25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53



.100000 .104000 .108000 .112000 .116000 .120000 .124000 .128000 .132000 .136000 .140000 .144000 .148000 .152000 .156000 .160000 .164000 .168000 .172000 .176000 .180000 .184000 .188000 .192000 .196000 .200000 .204000 .208000 .212000



10.0000 9.6154 9.2593 8.9286 8.6207 8.3333 8.0645 7.8125 7.5758 7.3529 7.1429 6.9444 6.7568 6.5789 6.4103 6.2500 6.0976 5.9524 5.8140 5.6818 5.5556 5.4348 5.3191 5.2083 5.1020 5.0000 4.9020 4.8077 4.7170



.10183 .10173 .08648 .07141 .05611 .04865 .03277 .00082 -.00709 -.05661 -.09880 -.08258 -.12516 -.09981 -.09921 -.10774 -.25774 -.07776 -.16340 -.17272 -.17647 -.09224 -.35258 -.23774 -.20427 -.15668 -.04690 -.22801 -.24128



.03421 .04248 .06709 .09015 .07836 .10114 .10921 .09071 .12822 .12165 .13261 .08801 .08736 .10954 .12344 .02247 .01677 .09889 .03351 -.16763 -.03680 -.10761 -.16830 -.02922 -.30425 -.35024 -.18383 -.20415 .20694 128



1.442 1.519 1.497 1.653 1.161 1.575 1.625 1.029 2.061 2.250 3.418 1.821 2.912 2.745 3.135 1.514 8.339 1.978 3.478 7.241 4.062 2.511 19.080 7.172 16.787 18.402 4.499 11.708 12.630



1.541 1.552 1.576 1.618 1.678 1.758 1.860 1.983 2.129 2.301 2.501 2.734 3.008 3.334 3.719 4.175 4.709 5.319 6.001 6.735 7.494 8.261 9.031 9.805 10.602 11.445 12.389 13.518 14.921



.006584 .003371 .001422 .000421 .000053 0.000000



54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82



.216000 .220000 .224000 .228000 .232000 .236000 .240000 .244000 .248000 .252000 .256000 .260000 .264000 .268000 .272000 .276000 .280000 .284000 .288000 .292000 .296000 .300000 .304000 .308000 .312000 .316000 .320000 .324000 .328000



4.6296 4.5455 4.4643 4.3860 4.3103 4.2373 4.1667 4.0984 4.0323 3.9683 3.9063 3.8462 3.7879 3.7313 3.6765 3.6232 3.5714 3.5211 3.4722 3.4247 3.3784 3.3333 3.2895 3.2468 3.2051 3.1646 3.1250 3.0864 3.0488



.02098 -.15364 -.23829 -.05529 -.05612 -.31074 .78487 -.10617 .10146 .36153 -.77888 .25794 .76377 -.51695 -.91429 .15647 -.44474 -1.05713 .51001 -.92997 .25037 1.53180 -1.84291 .26030 -.83500 -1.36940 1.08088 1.17224 .02992



-.30637 -.26830 -.28326 -.20411 -.01817 -.45697 -.23233 -.59229 -.31146 .29896 .06763 -.09618 .32432 .18214 -.20908 -.22474 .34342 .58548 .73191 -.28652 1.01097 .96740 -1.15455 .53410 .08789 .43967 1.59062 -.50897 1.37994 129



11.788 11.949 17.127 5.589 .435 38.172 83.749 45.260 13.413 27.510 76.403 9.473 86.066 37.552 109.954 9.374 39.466 182.539 99.474 118.368 135.593 410.283 591.164 44.127 88.118 258.572 462.297 204.150 238.142



16.645 18.704 21.090 23.797 26.814 30.104 33.606 37.307 41.342 45.996 51.590 58.391 66.676 76.762 88.984 103.428 119.706 137.139 155.070 172.856 189.636 204.495 216.714 226.312 234.415 242.312 251.384 263.515 281.286



83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111



.332000 .336000 .340000 .344000 .348000 .352000 .356000 .360000 .364000 .368000 .372000 .376000 .380000 .384000 .388000 .392000 .396000 .400000 .404000 .408000 .412000 .416000 .420000 .424000 .428000 .432000 .436000 .440000 .444000



3.0120 2.9762 2.9412 2.9070 2.8736 2.8409 2.8090 2.7778 2.7473 2.7174 2.6882 2.6596 2.6316 2.6042 2.5773 2.5510 2.5253 2.5000 2.4752 2.4510 2.4272 2.4038 2.3810 2.3585 2.3364 2.3148 2.2936 2.2727 2.2523



-.48690 .75953 .41514 .43675 .39182 -1.18855 -2.18778 .75856 -2.86145 .81599 -.75659 -1.73128 -4.30993 2.97128 -.82299 .36695 -.99449 -.53569 3.60775 1.24627 -3.68587 2.57844 .19711 2.69117 .10289 .41595 -.06950 -3.10193 .73098



.82518 1.52299 -.50332 -.73600 -.51028 2.16125 .71087 -1.96454 -3.48504 .71687 -1.40118 -1.41944 -.23389 1.81355 -1.84554 2.13716 1.58577 .66384 4.15254 .32430 -2.66112 -1.22572 2.79563 -1.64935 -.98572 6.81812 6.93757 -.21928 -.79222 130



114.750 362.049 53.209 91.557 51.739 760.457 661.465 554.353 2541.674 147.467 316.966 626.518 2328.779 1514.684 510.415 587.760 437.962 90.957 3782.431 207.295 2583.400 1018.842 981.802 1245.344 122.779 5832.476 6016.833 1208.755 145.243



307.198 343.221 389.349 444.176 506.298 574.458 645.870 716.801 783.647 844.019 898.500 948.514 995.254 1040.671 1088.705 1143.583 1210.420 1292.961 1393.548 1512.139 1646.107 1789.972 1939.543 2088.679 2227.858 2347.956 2441.013 2505.461 2544.246



112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125



.448000 .452000 .456000 .460000 .464000 .468000 .472000 .476000 .480000 .484000 .488000 .492000 .496000 .500000



2.2321 2.2124 2.1930 2.1739 2.1552 2.1368 2.1186 2.1008 2.0833 2.0661 2.0492 2.0325 2.0161 2.0000



7.58302 2.43552 -2.84144 2.23277 1.03047 -6.33184 -2.94978 6.67421 1.70620 -3.52781 3.35731 2.04891 -.85370 -2.51444



1.21825 -2.71968 1.41081 -1.80214 .65744 -1.00745 -2.49135 1.26228 2.16599 -1.65028 -1.11220 .68800 -2.05824 0.00000



131



7373.287 1666.056 1258.020 1029.119 186.762 5138.399 1863.504 5767.297 950.329 1896.113 1563.563 583.923 620.648 790.299



2558.413 2545.578 2508.225 2451.010 2378.546 2292.885 2192.435 2078.673 1958.617 1842.813 1739.170 1655.384 1599.767 1580.187