Anova One Way [PDF]

Citation preview

Anova Satu Arah (Anova One Way) 1. Pengertian Analisis varians atau analysis of variance (ANOVA) adalah metode analisis statistika yang termasuk ke dalam cabang statistika inferensi. Dalam literatur Indonesia metode ini dikenal dengan berbagai nama lain, seperti analisis ragam, sidik ragam, dan analisis variansi. Analisis varians pertama kali diperkenalkan oleh Sir Ronald Fisher, bapak statistika modern. Dalam praktik, analisis varians dapat merupakan uji hipotesis maupun pendugaan (estimation, khususnya di bidang genetika terapan). Secara umum, analisis varians menguji dua varians atau ragam berdasarkan hipotesis nol bahwa kedua varians itu sama dengan membandingkan rata-rata populasi bukan ragam populasi. Disebut analisis ragam, karena dalam prosesnya ANOVA memilah-milah keragaman menurut sumber-sumber yang mungkin. Sumber keragaman inilah yang akan digunakan sebagai pembanding untuk mengetahui sumber mana yang menyebabkan terjadinya keragaman tersebut. Konsep analisis varians didasarkan pada konsep distribusi F dan biasanya dapat diaplikasikan untuk berbagai macam kasus maupun dalam analisis hubungan antara berbagai varabel yang diamati. Dalam pengujian hipotesis dan perhitungan statistik, analisis varians sangat dipengaruhi asumsi-asumsi yang digunakan seperti kenormalan dari distribusi populasi, homogenitas varians populasi, dan kebebasan dari kesalahan. Menurut banyaknya faktor atau kriteria yang menjadi pusat perhatian, ANOVA dibagi menjadi Anova satu arah, Anova dua arah dan Anova multi arah. ANOVA satu arah digunakan ketika variabel dependen-nya univariat dengan pengaruh satu faktor, jika terdapat pengaruh lebih dari satu faktor maka dapat digunakan ANOVA dua arah.



2. Fungsi Untuk mengetahui perbedaan antara 3 kelompok atau lebih. 3. Asumsi a. Data berskala minimal interval. b. Data berdistribusi normal. Asumsi kenormalan distribusi memberi penjelasan terhadap karakteristik data setiap kelompok. c. Varians data homogen. Asumsi adanya homogenitas varians menjelaskan bahwa varians dalam masing-masing kelompok dianggap sama d. Pengambilan sampel secara acak dan masing-masing sampel independen.



4. Hipotesis H0 : μ1 = μ 2 = μ 3 = … = μ k H1 : Minimal ada satu pasang μ yang berbeda atau tidak seluruhnya mean populasi adalah sama Dalam H0 = μ k , artinya : a. Seluruh mean populasi adalah sama. b. Tidak ada efek treatment (tidak ada keragaman mean dalam grup) Dalam H1 : Minimal ada satu pasang μ yang berbeda, artinya : a. Terdapat sebuah efek treatment b. Tidak seluruh mean populasi berbeda (beberapa pasang mungkin sama)



5. Tabel Perhitungan Data dibuat dengan menyusun data tersebut seperti tabel data dibawah ini agar lebih mudah memahaminya. Tabel data tersebut yaitu sebagai berikut :



Populasi Total 1



Sampel



Total Total Kuadrat Ukuran Rata – rata



2



...



X11



X21



...



Xk1



X12



X22



...



Xk2



...



...



...



X1n



X2n



...



T1=∑X1 T12 ∑X1



= 2



n1 1=∑X1/n1



K



... Xkn



T2 =∑X2



...



Tk =∑Xn



Ttotal = ∑Xtotal



T22= ∑X12



....



TK2=∑Xn2



Ttotal2 = (∑Xtotal )2



...



nk



n2 x2=∑X2/n2



...



Tabel 1. Tabel Data



k=



∑Xn / nk



Ntotal total



Ntotal



= ∑Xtotal /



Keputusan untuk menolak atau menerima H0 bisa ditentukan dengan membuat tabel ANOVA sebagai berikut : Sumber



Derajat



Jumlah



Varian



Keragaman



Bebas (df) Kuadarat



(ragam)



Antar Kolom



(k – 1)



SST = JKK



MST = KTP



Galat atau Sisa



(N – k)



SSE = JKS



MSE = KTS



Total



(N – 1)



TSS = JKT



F hitung



F tabel



MST / MSE



Fα(v1, v2)



Tabel 2. Tabel ANOVA satu arah



Keterangan : 1) k = jumlah kelompok atau perlakuan 2) N = jumlah data = n1 + n2 + ...... + nk 3) Derajat Bebas (df) a) df numerator = (k – 1) b) df denominator = (N – k) c) df Total



= (N – 1)



4) FK = Faktor Koreksi = G2/N = (∑Xtotal)2/N 5) Jumlah Kuadrat a. Jumlah Kuadrat antar Kolom : SST = JKK = ∑Tij2 /n - (∑Xtotal)2/N , dengan Tij adalah jumlah data tiap kelompok (T1, T2, ..., Tk) b. Jumlah Kuadrat Galat atau Sisa : SSE = ( TSS – SST ) atau JKS = ( JKT- JKS )



c. Jumlah Kuadrat Total : TSS = JKT = ∑(Xij2 ) - (∑Xtotal)2/N , dengan Xij adalah tiap data dalam kelompok (X1, X2, ..., X3)



6) Rata – Rata Kuadrat a. Rata – Rata Kuadrat antar Kolom: MST = SST / (k-1) atau KTP = JKP / (k-1) b. Rata – Rata Kuadrat Galat atau Sisa : MSE = SSE / (N – k) atau KTS = JKS / (N – k)



7) F Statistik : a. F Hitung = MST / MSE atau KTP / KTS b. F Tabel = Fα(v1, v2) = F (k-1) ; (n-k) ; (1-α) 8) Pengambilan Keputusan H0 ditolak, jika F Hitung > F Tabel H0 diterima, jika F Hitung < F Tabel 6. Langkah Perhitungan Langkah-langkah melakukan uji anova satu arah adalah sebagai berikut : 1) Penuhi asumsi yang terdiri dari kenormalan data, independenan data, dan homoskedastisitas. 2) Membuat tabel pengamatan. 3) Melakukan perhitungan. 4) Merumuskan Hipotesis. 5) Memuat hasil perhitungan kedalam tabel Anova. 6) Menarik Keputusan. 7) Membuat Kesimpulan.



7. Uji Barlett Uji Barlett berfungsi untuk mengetahui data yang kita uji termasuk data yang homogen atau data yang heterogen. Dala uji Barlett terdapat hipotesis, statistik uji, dan pengambilan keputusan yang harus digunakan didalamnya, yaitu sebagai berikut : 1) Hipotesis H0 : Varians data homogen H1 : Varians data hetergen 2) Statistik Uji



Buat tabel seperti di bawah ini :



Dari tabel diatas hitung nilai-nilai yang dibutuhkan : a. Varians gabungan dari semua sampel



b. Harga satuan B dengan rumus



c. Uji bartlett digunakan statistik chi-kuadrat yaitu :



Dengan ln 10 = 2.3026 3) Pengambilan keputusan dengan menggunakan tabel Chi-Square dengan derajat bebas 2 (k – 1) dan tingkkat signifikansi α. H0 ditolak jika :  2   tabel Jika H0 ditolak, berarti varians data adalah heterogen dan menunjukkan bahwa analisis



varians satu arah tidak dapat digunakan sehingga harus menggunakan uji statistik nonparametrik.



8. Contoh Soal 1) Contoh 1 : Seorang dosen bahasa Indonesia hendak melakukan penelitian berkenaan dengan efektifitas empat macam tekhnik membaca yang bisa digunakan oleh mahasiswanya. Untuk keperluan itu, masing-masing dipilih 10 mahasiswa untuk menerapkan teknik



membaca tersebut. Dari penelitian tersebut, data skor kecepatan efektif membaca (KEM) tertera pada tabel berikut ini :



Teknik Membaca A



B



C



D



90



70



40



50



80



50



60



30



70



60



50



60



50



70



50



40



60



50



70



50



80



70



60



40



80



70



60



50



70



80



60



60



90



60



40



40



80



70



60



30



Pertanyaan



:



Dengan asumsi data berdistribusi normal, apakah ada perbedaan efektifitas dari keempat teknik membaca tersebut? ( α = 1% )



Jawab : a. Hipotesis H0 : μ1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 H1 : Minimal ada satu pasang μ yang berbeda Atau H0 : Tidak ada perbedaan efekifitas dari keempat teknik membaca H1 : Ada perbedaan feketifitas dari keempat teknik membaca b. Tabel Perhitungan



Teknik Membaca Sampel



A



B



C



D



90



70



40



50



Total Total Kuadrat Ukuran Rata – rata



80



50



60



30



70



60



50



60



50



70



50



40



60



50



70



50



80



70



60



40



80



70



60



50



70



80



60



60



90



60



40



40



80



70



60



30



750



650



550



450



57700 43100



31100



21300



10



10



10



10



75



65



55



45



2400 153200



40 240



c. Faktor Koreksi FK = G2/N = (∑Xtotal)2/N = 24002 / 40 = 144000 d. Tabel ANOVA Sumber



Derajat



Jumlah



Varian



Keragaman



Bebas (df)



Kuadarat



(ragam)



Antar Kolom



3



SST = 5000



MST



F hitung



= 1666,67/116,67 F



1666,67 Galat



atau 36



SSE = 4200



Sisa Total



MSE =116,67 39



TSS = 9200



Keterangan : a) k = 4 b) N = 40 c) Derajat Bebas (df)



F tabel



= 14,28



(3);(36);(0,99)



= 4,38



= (k – 1) = (4 – 1) = 3



df numerator



df denominator = (N – k) = (40 – 4) = 36 = (N – 1) = (40 – 1) = 39



df Total d) Jumlah Kuadrat



Jumlah Kuadrat antar Kolom :







SST = JKK = ∑Tij2 /n - (∑Xtotal)2/N = (7502/10 + 6502/10 + 5502/10 + 4502/10)



–



(144000)



=



149000



–



144000



=



5000



Jumlah Kuadrat Galat atau Sisa :







SSE = ( TSS – SST ) = 9200 – 5000 = 4200



Jumlah Kuadrat Total :







TSS = JKT = ∑(Xij2 ) - (∑Xtotal)2/N = (902+802+...+302) – ( 144000) = 153200 – 144000 = 9200 e) Rata – Rata Kuadrat 



Rata – Rata Kuadrat antar Kolom: MST = SST / (k-1) = 5000 / (4 – 1) = 1666,67







Rata – Rata Kuadrat Galat atau Sisa : MSE = SSE / (N – k) = 4200 / (40 – 4) = 116,67



f) F Statistik : 



F Hitung = MST / MSE = 1666,67 / 116,67 = 14,28







F Tabel = Fα(v1, v2) = F (k-1) ; (n-k) ; (1-α) = F (3);(36);(0,99) = 4,38



g) Pengambilan Keputusan F Hitung > F Tabel 14,28 > 4,38 ( H0 ditolak, artinya ada perbedaan efektifitas dari keempat teknik membaca tersebut ).



2) Contoh 2 :



Sebuah penelitian dilakukan untuk mengetahui apakah ada metode yang dalam waktu penambahan kaporit terhadap perubahan kualitas air yang paling optimal . Ada tiga metode penambahan yang akan diuji. Diambil sampel masing-masing 5 bak berisi air, lalu dicatat waktu yang digunakan (menit) untuk perubahan kualitas tersebut, yaitu sebagai berikut :



Metode 1



Metode 2



Metode 3



16



12



26



22



20



23



24



15



17



18



10



25



20



18



19



Pertanyaaan: A. Ujilah dengan α= 0,5 %



, apakah ada pengaruh perbedaan metode waktu



penambahan kaporit terhadap perubahan kualitas air ? B. Ujilah apakah varians data tersebut homogen atau heterogen!



Jawab : A. Menguji ada tidaknya perbedaan metode waktu penambahan kaporit terhadap perubahan kualitas air a. Hipotesis H0 : μ1 = μ 2 = μ 3 H1 : Minimal ada satu pasang μ yang berbeda Atau H0 : Tidak ada perbedaan metode waktu penambahan kaporit terhadap perubahan kualitas air H1 : Ada perbedaan metode waktu penambahan kaporit terhadap perubahan kualitas air



b. Tabel Perhitungan



Sampel



Total



Metode 1



Metode 2



Metode 3



16



12



26



22



20



23



24



15



17



18



10



25



20



18



19



100



75



110



285



2040



1193



2480



5713



5



5



5



15



20



15



22



57



Total Kuadrat Ukuran Rata – rata



c. Faktor Koreksi FK = G2/N = (∑Xtotal)2/N = 2852 / 15 = 5415 d. Tabel ANOVA Sumber



Derajat



Jumlah



Varian



Keragaman



Bebas (df)



Kuadarat



(ragam)



Antar Kolom



2



SST = 130



MST = 65



F hitung



F tabel



65/14 = 4,64



F(2);(12);(0,95) = 3,89



Galat atau Sisa 12



SSE = 168



Total



TSS = 298



14



Keterangan : a) k = 3 b) N = 15 c) Derajat Bebas (df)



MSE = 14



df numerator



= (k – 1) = (3 – 1) = 2



df denominator = (N – k) = (15 – 3) = 12 df Total



= (N – 1) = (15 – 1) = 14



d) Jumlah Kuadrat Jumlah Kuadrat antar Kolom :







SST = JKK = ∑Tij2 /n - (∑Xtotal)2/N = (1002/5 + 752/5 + 1102/5) – (5415) = 5545 – 5415 = 130



Jumlah Kuadrat Galat atau Sisa :







SSE = ( TSS – SST ) = 298 – 130 =168



Jumlah Kuadrat Total :







TSS = JKT = ∑(Xij2 ) - (∑Xtotal)2/N = (162+222+...+192) – ( 5415) = 5713 – 5415 = 298 e) Rata – Rata Kuadrat 



Rata – Rata Kuadrat antar Kolom: MST = SST / (k-1) = 130 / (3 – 1) = 65







Rata – Rata Kuadrat Galat atau Sisa : MSE = SSE / (N – k) = 168 / (15 – 3) = 14



f) F Statistik : 



F Hitung = MST / MSE = 65 / 14 = 4,64







F Tabel = Fα(v1, v2) = F (k-1) ; (n-k) ; (1-α) = F (2);(12);(0,995) = 8,51



g) Pengambilan Keputusan ( α = 0,5% ) F Hitung < F Tabel 4,64 < 8,51 ( H0 diterima, artinya tidak ada perbedaan metode waktu penambahan kaporit terhadap perubahan kualitas air). B. Menguji homogen atau tidaknya varians data a. Hipotesis



H0 : Varians data homogen H1 : Varians data hetergen b. Statistik Uji



Sampel



df



1/df



log



dk log



3) Contoh 3 : Tiga kelompok subyek penelitian untuk menguji metode pempbuangan sampah mana yang paling baik. Metode pertama adalah open dumping, metode kedua adalah dumping in water, dan metode ketiga adalah burning on permises yang dicoba terapkan di 24 tempat. Data hasil penelitian tersebut adalah sebagai berikut:



Metode Pembuangan Sampah I



II



III



25



17



26



11



16



20



16



18



17



26



20



26



32



10



43



25



14



46



30



19



35



17



18



34



Pertanyaan : Dengan asumsi data berdistribusi normal, apakah ada perbedaan hasil akhir dari penerapan ketiga metode pembuangan sampah tersebut? ( α = 2,5% ) Jawaban : a. Hipotesis H0 : μ1 = μ 2 = μ 3 H1 : Minimal ada satu pasang μ yang berbeda Atau H0 : Tidak ada perbedaan hasil akhir dari penerapan ketiga metode pembuangan sampah H1 : Ada perbedaan hasil akhir dari penerapan ketiga metode pembuangan sampah b. Tabel Perhitungan



Metode Pembuangan Sampah



Sampel



Total



I



II



III



25



17



26



11



16



20



16



18



17



26



20



26



32



10



43



25



14



46



30



19



35



17



18



34



182



132



247



561



4516



2250



8387



15153



8



8



8



24



22.75



16.5



30.875



70.125



Total Kuadrat Ukuran Rata – rata



c. Faktor Koreksi



FK = G2/N = (∑Xtotal)2/N = 5612 / 24 = 13113,375 d. Tabel ANOVA Sumber



Derajat



Jumlah



Varian



Keragaman



Bebas



Kuadarat



(ragam)



SST= 831,25



MST



F hitung



F tabel



(df) Antar Kolom



2



415,625 Galat atau Sisa 21



= 415,625/57,54 F = 7,22



(2);(21);(0,975)



= 4,42



SSE = 1208,375 MSE = 57,54



Total



23



TSS = 2039,625



Keterangan : a) k = 3 b) N = 24 c) Derajat Bebas (df) df numerator



= (k – 1) = (3 – 1) = 2



df denominator = (N – k) = (24 – 3) = 21 df Total



= (N – 1) = (24 – 1) = 23



d) Jumlah Kuadrat 



Jumlah Kuadrat antar Kolom : SST = JKK = ∑Tij2 /n - (∑Xtotal)2/N = (1822/8 + 1322/8 + 2472/8) – (13113,375) = 13944,625 – 13113,375 = 831,25







Jumlah Kuadrat Galat atau Sisa : SSE = ( TSS – SST ) = 2039,625 – 831,25 = 1208,375







Jumlah Kuadrat Total : TSS = JKT = ∑(Xij2 ) - (∑Xtotal)2/N = (252+112+...+342) – ( 13113,375) = 15153 – 13113,375 = 2039,625



e) Rata – Rata Kuadrat 



Rata – Rata Kuadrat antar Kolom:



MST = SST / (k-1) = 831,25 / (3 – 1) = 415,625







Rata – Rata Kuadrat Galat atau Sisa : MSE = SSE / (N – k) = 1208,375 / (24 – 3) = 57,54



f) F Statistik : 



F Hitung = MST / MSE = 415,625 / 57,54 = 7,22







F Tabel = Fα(v1, v2) = F (k-1) ; (n-k) ; (1-α) = F (2);(21);(0,975) = 4,42



g) Pengambilan Keputusan F Hitung > F Tabel 7,22 > 4,42 ( H0 ditolak, artinya ada perbedaan hasil akhir dari penerapan ketiga metode pembuangan sampah tersebut ).