5 0 313 KB
21
APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE II
1) Sistem Gerak Bebas Tak Teredam Model sistem gerak bebas tak teredam adalah sistem gerak dengan gaya luar πΉ(π‘) = 0 dan peredam π = 0. Model ini menghasilkan Persamaan Diferensial Orde 2. Penyelesaian model ini dilakukan dengan menentukan akar persamaan karakteristik Persamaan Diferensial Orde 2. Penyelesaian model sistem gerak bebas tak teredam pada pembahasan ini dapat ditunjukkan dengan parameter amplitudo, sudut fasa, frekuensi, dan periode gerak benda. Berikut penjelasannya: Model sistem gerak harmonik bebas tak teredam: π2 π¦ π 2 + ππ¦ = 0 ππ₯ Gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan Persamaan Diferensial diatas. Jika persamaan dibagi dengan m, maka persamaan diferensial menjadi: π2π¦ π + π¦=0 ππ₯ 2 π π2π¦ π 2 β + π π¦ = 0, π = 0 0 ππ₯ 2 π Persamaan karakteristik Persamaan Diferensial diatas: π 2 + π0 2 = 0 Akar-akar persamaan karakteristik: π1,2 = Β±ππ0 sehingga penyelesaian umum PD yang menggambarkan gerak benda: π¦(π‘) = π1 cos π0 π‘ + π2 sin π0 π‘ Jika persamaan dikali dan dibagi dengan βπ1 2 + π2 2 maka: π1 π2 π¦(π‘) = βπ1 2 + π2 2 [ cos π0 π‘ + sin π0 π‘] βπ1 2 + π2 2 βπ1 2 + π2 2 Jika didefinisikan: π
= βπ1 2 + π2 2 π1 cos π = βπ1 2 + π2 2 π2 sin π = βπ1 2 + π2 2 Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.
MATEMATIKA TEKNIK
22
maka persamaan menjadi: π¦(π‘) = π
[cos π cos π0 π‘ + sin π sin π0 π‘] atau π¦(π‘) = π
cos(π0 π‘ β π) dengan π
disebut amplitudo sistem gerak harmonik π disebut sudut fasa π
π0 disebut frekuensi = βπ Jika satu siklus gerak harmonik yang terjadi digambar dalam unit waktu 2π, maka frekuensi didefinisikan menjadi π=
π0 2π
Maka periode gerak harmonik adalah π = 1βπ =
2π π = 2πβ π0 π
Gambar 1. Ilustrasi Gerak Harmonik π¦(π‘) = π
cos(π0 π‘ β π)
Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.
MATEMATIKA TEKNIK
23
Gambar 2. Ilustrasi Hubungan π1, π2 , π
, dan π Contoh Kasus 1: Sistem gerak harmonik benda yang tergantung pada pegas, jika massa benda π = 1β4 ππ dan konstanta pegas π = 16 π/π, redaman = 0. Pegas saat tertarik benda bertambah panjang 1 m dan mulai bergerak keatas dengan kecepatan 8 π/π . Sistem tidak diberi gaya luar. a. Tentukan model persamaan yang menggambarkan sistem gerak harmonik pada pegas pada contoh kasus diatas! b. Tentukan persamaan gerak benda! c. Tentukan amplitudo, sudut fasa, frekuensi, dan periode gerak benda! Penyelesaian: a. Model persamaan sistem gerak harmonik pada pegas π
π2π¦ ππ¦ +π + ππ¦ = πΉ(π‘) 2 ππ‘ ππ‘
Pada contoh kasus diketahui redaman π = 0, gaya luar πΉ(π‘) = 0, massa π = 1β4 ππ, konstanta pegas π = 16 π/π, sehingga model persamaan gerak harmonik pada pegas menjadi: 1 π2 π¦ + 16π¦ = 0 4 ππ‘ 2 Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.
MATEMATIKA TEKNIK
24
dengan kondisi awal: posisi awal benda π¦(0) = 1 dan kecepatan awal benda
ππ¦ ππ‘
(0) = β8.
b. Persamaan gerak benda. Persamaan gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan model PD (a), yaitu: 1 π2 π¦ + 16π¦ = 0 4 ππ‘ 2 π2 π¦ + 64π¦ = 0 ππ‘ 2 penyelesaiannya adalah: β’
Persamaan karakteristik dari PD diatas π 2 + 64 = 0
β’
Akar-akar persamaan karakteristik: π = Β±ββ64 = Β±8π
β’
Solusi umum PD, dengan π0 = 8 π¦(π‘) = π1 cos 8π‘ + π2 sin 8π‘
dengan memasukkan syarat kondisi awal maka: π¦(0) = π1 cos 0 + π2 sin 0 π¦(0) = π1 β 1 + π2 β 0 π¦(0) = π1 = 1 dan dengan menggunakan persamaan π¦β²(0) atau
ππ¦ ππ‘
(0), jadi:
π¦ β² (π‘) = β8π1 sin 8π‘ + 8π2 cos 8π‘ π¦ β² (0) = β8π1 sin 0 + 8π2 cos 0 π¦ β² (0) = βπ1 β 0 + 8π2 β 1 π¦ β² (0) = 8π2 β8 = 8π2 π2 = β1 Sehingga peramaan gerak benda: π¦(π‘) = cos 8π‘ β sin 8π‘
Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.
MATEMATIKA TEKNIK
25
c. Menentukan amplitudo, sudut fasa, frekuensi, dan periode dengan membentuk persamaan π¦(π‘) = cos 8π‘ β sin 8π‘ dalam satu sinus/cosinus. Bentuk umum persamaan satu sinus/cosinus sistem gerak pada pegas: π¦(π‘) = π
cos(π0 π‘ β π) π¦(π‘) = π
cos(8π‘ β π) dengan: π
= βπ1 2 + π2 2 π2 tan π = π1 π0 π= 2π π = 1βπ =
2π π = 2πβ π0 π
sehingga: amplitudo π
= β(1)2 + (β1)2 = β1 + 1 = β2 8
4
frekuensi π = 2π = π periode π = tan π =
π 4
β1 = β1 (ππ’πππππ πΌπ) 1
sudut fasa π =
7π 4
π¦(π‘) = π
cos(8π‘ β π) π¦(π‘) = β2 cos (8π‘ β
7π ) 4
Gambar 3. Ilustrasi Sudut Fasa Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.
MATEMATIKA TEKNIK
26
2) Sistem Gerak Bebas Teredam Model sistem gerak benda bebas teredam: π
π2π¦ ππ¦ +π + ππ¦ = 0 2 ππ‘ ππ‘
Persamaan gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan PD diatas. Untuk mengilustrasikan gerak benda pada sistem pegas bebas teredam akan diuraikan pada tiga kasus, yaitu sistem teredam kurang (underdamped), sistem teredam krisi (crtically damped), dan sistem teredam lebih (over damped), dimana masing-masing ditentukan dari nilai diskriminan π 2 β 4ππ. Persamaan karakteristik dari model sistem gerak benda bebas teredam adalah: π β π2 β π β π + π = 0 Sehingga akar-akar persamaan karakteristiknya: π1,2 =
βπ Β± βπ 2 β 4ππ 2π
a. Sistem Teredam Kurang (underdamped), (π
π β πππ < π) Solusi persamaan gerak benda pada sistem teredam kurang (underdamped) didapatkan jika π2 β 4ππ < 0, dimana akar-akar persamaan karakteristik adalah: π1,2 =
βπ Β± β4ππ β π 2 2π
Persamaan solusinya adalah: π
π¦ = π1 π (πΌ+ππ½)π‘ + π1 π (πΌβππ½)π‘ = π (β2π)π‘ (π΄ cos π½π‘ + π΅ sin π½π‘) Dimana: πΌ = βπ/2π π½=
β(4ππ β π 2 ) 2π
Bentuk satu sinus/cosinus persamaan diatas adalah: π
π¦ = π (β2π)π‘ (π΄ cos π½π‘ + π΅ sin π½π‘) π
= βπ΄2 + π΅ 2 tan π = Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.
π΅ π΄ MATEMATIKA TEKNIK
27
b. Sistem Teredam Krisis (critically damped), (π
π = πππ) Pada sistem teredam kritis π2 = 4ππ sehingga akar-akar persamaan karakteristik sama yaitu: π1,2 =
βπ 2π
Persamaan solusinya: π
π¦ = (π1 + π2 π‘)π (β2π)π‘ c. Sistem Teredam Lebih (overdamped), (π
π > πππ) Pada sistem teredam lebih π2 > 4ππ sehingga akar-akar persamaan karakteristik adalah: π1,2 =
βπ Β± βπ 2 β 4ππ 2π
Solusi umum persamaan gerak pada sistem teredam lebih adalah: π¦(π‘) = π1 π1 π π1π‘ + π2 π2 π π2π‘ Pada kenyataannya nilai π1,2 < 0 sehingga untuk π‘ β β maka π¦(π‘) = 0. Jika π¦(π‘) diturunkan, yaitu: π¦β²(π‘) = π π1 π‘ (π1 π1 + π2 π2 π (π2 βπ1)π‘ ) Maka π¦ β²(π‘) = 0 hanya jika (π1 π1 + π2 π2 π (π2 βπ1 )π‘ ) = 0 Jadi secara umum gerak benda pada pegas pada sistem teredam lebih mempunyai perilaku sama dengan sistem teredam krisis, yaitu π‘ β β maka π¦(π‘) = 0 dan hanya memiliki satu titik puncak maksimum dan minimum pada π‘ > 0.
Soal Latihan 1: Sebuah sistem gerak benda pada pegas dengan peredam dimodelkan oleh persamaan berikut: π2π¦ ππ¦ + π +π¦ =0 ππ‘ 2 ππ‘ π¦(π‘) = 0; π¦β²(π‘) = 0 Jika d = 1, 2, dan 4, tentukan persamaan gerak benda! Bagaimana pengaruh perubahan nilai konstanta peredaman d pada gerak benda?
Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.
MATEMATIKA TEKNIK
28
3) Rangkaian Listrik LC Seri Rangkaian LC seri dengan sumber baterai E volt digambarkan pada Gambar 4. Dengan Hukum Tegangan Kirchoff didapatkan model persamaan pada Gambar 4, yaitu: ππΏ + ππΆ = πΈ ππΌ
dengan: ππΏ adalah tegangan pada inductor L yaitu πΏ ππ‘ 1
ππΆ adalah tegangan pada inductor C yaitu πΆ β« πΌ ππ‘ ππ
diketahui bahwa πΌ ππ‘ dengan Q adalah muatan dalam Coulomb. Sehingga model persamaan dapat dituliskan: ππΌ 1 + β« πΌ ππ‘ = πΈ ππ‘ πΆ
πΏ
untuk menghilangkan tanda integral, persamaan diferensialkan, maka: πΏ
π ππΌ 1 π π ( ) + β« πΌ ππ‘ = (πΈ) ππ‘ ππ‘ πΆ ππ‘ ππ‘ πΏ
π2πΌ 1 π + πΌ = (πΈ) 2 ππ‘ πΆ ππ‘
Gambar 4. Rangkaian LC Seri Model persamaan untuk Gambar 4 dapat dinyatakan dalam muatan Q(t), yaitu: πΏ πΏ
ππΌ 1 + β« πΌππ‘ = πΈ ππ‘ πΆ
π ππ 1 ππ ( )+ β« ππ‘ = πΈ ππ‘ ππ‘ πΆ ππ‘ πΏ
π2π 1 + π=πΈ ππ‘ 2 πΆ
π
Jika sumber baterai πΈ = 0 (ππ‘ (πΈ) = 0) Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.
MATEMATIKA TEKNIK
29
Model persamaan rangkaian dinyatakan sebagai: π2πΌ 1 πΏ 2+ πΌ=0 ππ‘ πΆ π2πΌ 1 + πΌ=0 2 ππ‘ πΆπΏ Penyelesaian persamaan homogen orde-2 diatas adalah β’
Persamaan karakteristik dari PD diatas: π2 +
β’
1 =0 πΆπΏ
Akar-akar persamaan karakteristik: 1 π1,2 = Β±π β πΆπΏ
Sehingga penyelesaian umum PD adalah sebagai berikut: π¦ = π1 π (πΌ+ππ½)π₯ + π2 π (πΌ+ππ½)π₯ = π΄π πΌπ₯ cos π½π₯ + π΅ sin π½π₯ dengan π1, π2 , π΄, π΅ = konstanta; π = πΌ Β± ππ½ maka: 1 1 π¦(π‘) = π΄ cos β π‘ + π΅ sin β π‘ πΆπΏ πΆπΏ Contoh Kasus 2: Tentukan kuat arus πΌ(π‘) rangkaian LC seperti Gambar 4 jika πΏ = 10 henry, πΆ = 0,004 farad, πΈ = 0 volt! Penyelesaian: Model persamaan rangkaian LC, dengan πΏ = 10 henry, πΆ = 0,004 farad, πΈ = 0 volt: π2πΌ + 25πΌ = 0 ππ‘ 2 Persamaan karakteristik dari PD: π 2 + 25 = 0 Akar-akar persamaan karakteristik: π1,2 = Β±π5 Penyelesaian PD: πΌ(π‘) = π΄ cos 5π‘ + π΅ sin 5π‘ Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.
MATEMATIKA TEKNIK
30
4) Rangkaian RLC Seri Rangkaian RCL Seri dengan sumber baterai E volt digambarkan pada Gambar 5. Model persamaan rangkaian didapatkan dengan hokum Tegangan Kirchoff, yaitu: ππ
+ ππΏ + ππΆ = πΈ dengan: ππ
adalah tegangan pada resistor π
yaitu π
πΌ ππ
ππΏ adalah tegangan pada induktor πΏ yaitu πΏ ππ‘ 1
ππΆ adalah tegangan pada induktor πΆ yaitu πΆ β« πΌππ‘ diketahui bahwa πΌ =
ππ ππ‘
dengan π adalah muatan dalam Coulomb.
Gambar 5 Rangkaian RLC Seri
Model persamaan rangkaian dapat dinyatakan sebagai: π
πΌ + πΏ
ππΌ 1 + β« πΌ ππ‘ = πΈ ππ‘ πΆ
untuk menghilangkan tanda integral, persamaan dideferensialkan, maka: π
π π ππΌ 1 π π πΌ + πΏ ( ) + β« πΌ ππ‘ = (πΈ) ππ‘ ππ‘ ππ‘ πΆ ππ‘ ππ‘ π2πΌ ππΌ 1 π πΏ 2 + π
+ πΌ = (πΈ) ππ‘ ππ‘ πΆ ππ‘
Model persamaan untuk Gambar 6 dapat dinyatakan dalam muatan π(π‘), yaitu: π
πΌ + πΏ π
ππΌ 1 + β« πΌ ππ‘ = πΈ ππ‘ πΆ
ππ π ππ 1 ππ πΌ+πΏ ( )+ β« ππ‘ = πΈ ππ‘ ππ‘ ππ‘ πΆ ππ‘ π2π ππ 1 πΏ 2 +π
+ π=πΈ ππ‘ ππ‘ πΆ
Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.
MATEMATIKA TEKNIK
31
Soal Latihan 2: Tentukan muatan π dan πΌ sebagai fungsi waktu π‘ dalam rangkaian RLC seri jika π
= 16 πΊ, πΏ = 0,02 π», πΏ = 16 πΊ, πΆ = 2 Γ 10β4 πΉ, dan πΈ = 12 π£πππ‘. Anggaplah pada saat π‘ = 0, arus πΌ = 0 muatan kapasitor π = 0.
Hery Indria Dwi Puspita, S.Si., M.T.
MATEMATIKA TEKNIK