Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu - ITB [PDF]

Citation preview

Bab II. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU



Pendahuluan Persamaan diferensial merupakan persamaan yang di dalamnya terdapat turunan atau diferensial suatu fungsi Persamaan diferensial dapat didefinisikan sebagai persamaan yang di dalamnya terdapat hubungan antara suatu variabel tidak bebas dengan satu atau lebih variabel bebas beserta turunan-turunannya



Jika hanya ada satu variabel bebas maka persamaannya disebut persamaan diferensial biasa, contoh: d 2 y dy dx



2



4



dx



 4y  0



2.1



Jika ada lebih dari satu variabel bebas, maka persamaannya disebut persamaan diferensial parsial, contoh: Cp T  k (  2T2   2T2   2T2 ) 



x



y



z



2.2



yang melibatkan turunan parsial dari fungsi T dengan variabel bebas x, y, z, dan θ.



 Persamaan diferensial dapat dibedakan: Berdasarkan ordenya yaitu: persamaan diferensial orde satu atau persamaan diferensial berorde tinggi (lebih besar dari satu). Berdasarkan kelinierannya yaitu: persamaan diferensial linier dan tidak linier.



 Secara umum, bentuk persamaan diferensial linier orde na:( x) d y  a ( x) d y  ...  a ( x) dy  a ( x) y  f x dx dx dx 2.3 di mana a , a , a ,...., a , a adalah koefisien dari persamaan diferensial yang merupakan fungsi dari x dan a0  0 . n 1



n



n



n



n



n 1



n 1



n2



n 1



1



1



0



0



Jika n = 1, didapat persamaan diferensial linier orde satu dan ditulis: dy   ( x) y  f ( x) dx



2.4



Metoda penyelesaian persamaan diferensial biasa orde satu tergantung pada bentuk persamaan itu sendiri.



2.1 Pemisahan Variabel Persamaan diferensial orde satu secara umum dinyatakan dengan dy  f  x, y  2.5 dx Variabel-variabel dapat dipisahkan satu sama lain sehingga persamaan 2.5 dapat ditulis menjadi: dy f x  



dx g  y  g  y dy  f  x dx



2.6



 Integrasi dari kedua ruas persamaan di atas menghasilkan:  g  y dy   f xdx  c 2.7 dengan c adalah suatu konstanta.



Contoh 2.1 Selesaikan persamaan diferensial dy x2 2 0 dx y



2.8



Penyelesaian. Variabel sejenis dipisahkan dan diintegrasikan: 2.9 ydy  2 x 2 dx  c 







1 2 2 3 y  x c 2 3



2.10



2.2 Persamaan Diferensial Orde Satu Linier Persamaan diferensial orde satu linier mempunyai bentuk dy 2.11   ( x) y  f ( x) dx



Asumsid dx



Ix  y   Ix  f x 



1 c y I x  f  x dx   I x  I x 



2.12



2.13



 Pembuktian pendefinisian fungsi adalah dengan cara menulis ulang persamaan 2.9 dalam bentuk yang sama dengan persamaan 2.8. dy 1 dI  x   y  f x dx I  x  dx



di mana



 x  



1 dI x  I x  dx



2.14



, dan integrasinya menghasilkan







I  x   exp    x dx







I  x  disebut sebagai faktor integrasi.



2.15



Contoh 2.2  Selesaikan persamaan diferensial dy 2  yx dx x



2.16



 Penyelesaian. Faktor integrasi 2   I  exp   dx   exp 2 ln x   x  2 x  



2.17



Dari persamaan 2.13 diperoleh penyelesaian: y  x2 



1 2 xdx  cx x2



 y  x 2 ln x  cx 2



2.18



2.19



Contoh 2.3  Laju dari reaksi seri A  B  C, mengikuti persamaan berikut: k1



k2



dn a   k1 n a dt



2.20 2.21



dnb  k1 n a  k 2 n b dt



Neraca massa:



k1



k2



A B C



na0  nb0  nc0  na  nb  nc



2.22 Dengan pemisahan variabel, penyelesaian dari reaksi n (2.20) dapat ditulis t dn a 2.23  na  k1  dt a



na 0



0



na  na 0 e k1t



2.24



 Substitusi ke dalam persamaan reaksi (2.21) menghasilkan persamaan diferensial linier orde satu: dnb  k2nb  k1na 0e k1t dt



2.25 expk2nb ,



Dengan faktor integrasi penyelesaian:







kn nb  nb0 e  k 2 t  1 a 0 e  k1t  e  k 2 t k 2  k1



diperoleh







2.26



Persamaan untuk dapat ditulis: n c  n a 0  nb 0  n c 0  n a  nb n c  n a 0  nb 0  n c 0  n a 0 e



 k1t



 nb 0 e



2.27  k 2t







k1 n a 0  k1t  k2t  e e k 2  k1







2.28



2.3. Persamaan Diferensial Orde Satu Eksak Suatu persamaan diferensial orde satu M(x,y)dx  N(x,y)dy  0



2.29 dikatakan eksak jika ruas kiri dari persamaan tersebut merupakan diferensial total atau diferensial eksak dari suatu fungsi( x, y ) , di mana d( x, y)  0.   d  dx  dy  0 x y



2.30



Persamaan eksak memiliki jawaban jika 2.31             x  y  y  x 



Untuk  M ( x, y )  x



;



 N ( x, y)  y



2.32



maka N M  x y



2.33



Contoh 2.4  Selesaikan persamaan (2 xy 2  2)dx  (2 x 2 y  4 y )dy  0



2.34



Penyelesaian. Persamaan ini eksak karena 2 xy  2  M ( x, y); 2



M  4 xy y



2 x y  4 y  N ( x, y) 2



N  4 xy x







N M  x y



2.35



2.36 2.37



Sesuai dengan persamaan 2.32   M x, y   2 xy 2  2 x



2.38



Hasil integrasinya adalah:   x y  2x  f  y 2 2



2.39



Kemudian diturunkan terhadap y  df 2  2x y   N x, y  y dy



2.40



maka:



df 2x y   2x 2 y  4 y dy 2



2.41 2.42 2.43



df  4y dy



f  y   2 y 2  c2



Jadi   x 2 y 2  2 x  2 y 2  c2



Karena d( x, y)  0, maka x 2 y 2  2 x  2 y 2  c1  c2  k











y 2 x 2  2  k  2x y  



k  2x x2  2



2.44   c1



, sehingga 2.45 2.46 2.47



2.4 Persamaan Diferensial Orde Satu Homogen Suatu fungsi f x, y  dinyatakan homogen dengan derajat n jika untuk setiap parameter  berlaku 2.48 n f x, y    f  x, y  Contoh: 2.49 f ( x, y)  x 2  xy 2 f x, y   x 2  x y 



2 f x, y   2 x 2  2 xy  2 f  x, y   f x, y 



2.50 2.51



 Untuk persamaan orde satu P  x, y dx  Q x, y dy  0



2.52



adalah homogen jika P dan Q homogen untuk derajat n yang sama, sehingga persamaan diferensial orde satu homogen dapat ditulis menjadi dy  y  f  dx x



2.53



Penyelesaian persamaan diferensial homogen dilakukan dengan memisalkan . y  v x  x



2.54



Contoh 2.5  Selesaikan persamaan tidak linier y 2  x2



dy dy  xy dx dx



2.54



 Penyelesaian. Persamaan di atas dapat disusun ulang menjadi persamaan homogen  y 2   dy y2 x   dx xy  x 2  y    1 x 



Misalkan



y  v x  , x



maka



dy dv  x v dx dx



2.55



2.56



 Akibatnya diperoleh persamaan dalam fungsi v x  dv v 2.57 x v 2



dx



x



v  1



dv v  dx v  1



2.58



Dengan pemisahan variabel diperoleh v 1 dv  dx v



2.59



x



Integrasinya menghasilkan v  ln v  ln x  ln K v  ln Kxv 



di mana adalah K adalah konstanta integrasi.



2.60 2.61



Hasil akhir diperoleh dalam bentuk  y exp  expv  x  Kx   v  y   x



Persamaan ini merupakan fungsi implisit antara y dan x dengan tipe tidak linier.



2.62



Contoh 2.6  Cairan benzen diklorinasi dengan cara mengalirkan gas klorin ke dalam reaktor yang sebelumnya sudah diisi benzena. Seluruh klorin dianggap bereaksi sempurna dan gas keluaran hanya terdiri dari hidrogen klorida. Tentukan berapa banyak klorin yang harus ditambahkan untuk memperoleh monoklorobenzena secara.maksimum. Reaksi berlangsung secara isotermal pada 550C dan diketahui rasio konstanta reaksi



k1  8,0 k2



k2  30,0 k3



2.63



Mekanisme reaksi adalah sebagai berikut k1



C 6 H 6  Cl 2  C 6 H 5 Cl  HCl k2



C 6 H 5 Cl  Cl 2  C 6 H 4 Cl 2  HCl k3



C 6 H 4 Cl 2  Cl 2  C 6 H 3Cl 3  HCl



(1) (2) (3)



Penyelesaian Ambil basis 1 mol umpan benzena dan tentukan variabel-variabel berikut pada  waktu . p = Jumlah mol klorin q = jumlah mol benzena r = jumlah mol monoklorobenzena s = jumlah mol diklorobenzena t = jumlah mol triklorobenzena di mana q + r + s + t =1 2.64 Jumlah klorin yang dikonsumsi adalah y  r  2s  3t



2.65



Anggap volume reaksi konstan sehingga laju reaksi (1) memenuhi persamaan R1  k1 pq dan akumulasi benzena adalah V dq d . Maka neraca massa untuk keempat senyawa aromatik dapat ditentukan sebagai berikut. 0  k1 pq  V



dq d



dr k1 pq  k 2 pr  V d



2.66 2.67



k 2 pr  k 3 ps  V



dt k 3 ps  V d



ds d



2.68



2.69



Variabel dapat dieliminasi dengan membagi persamaan 2.67 dengan persamaan 2.66 yang menghasilkan persamaan diferensial homogen orde satu. dr k 2 r r  8q  1  dq k1q 8q



2.70



Misalkanr  vq, maka dr  v  q dv dq



dq



2.71



Substitusi persamaan 2.71 ke dalam persamaan 2.70 dan integrasinya menghasilkan 8 ln q  ln K  ln 7v  8 2.72 7



 7r  q  K   8   q 



8 7



2.73



di mana adalah konstanta integrasi. Pada   0, q  1 , dan r  0 , diperoleh Maka K  88 7 8 18 2.74 r  q  q  7



Dengan cara yang sama, bagi persamaan 2.68 dengan persamaan 2.66 menjadi 2.75 ds s r dq







240q







8q



Eliminasi r dengan menggunakan persamaan 2.74 menghasilkan persamaan diferensial orde satu yang dapat diselesaikan dengan metoda faktor integrasi sehingga diperoleh







240 s 29q  239q1 8  210q1 240 7 x 29 x 239







2.76



Dari persamaan –persamaan di atas sebarang nilai q akan memenuhi untuk menentukan nilai r, s, dan t . Dengan demikian jumlah gas klorin yang dikonsumsi dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan 2.65, dan untuk memperoleh produksi maksimum monoklorobenzen dibutuhkan 1 mol klorin per mol benzena yang ditambahkan .



2.5. Persamaan Bernoulli



Persamaan Bernoulli adalah suatu persamaan diferensial tak linier dengan bentuk: dy n  P( x) y  Q( x) y ; dx



n 1



2.77



dapat diselesaikan dengan cara mengubahnya ke dalam bentuk persamaan linier.



 Persamaan 2.77 dapat ditulis dalam bentuk: y



n



Misalkan



atau



dy  P( x) y1 n  Q x  dx v  y1 n,



2.78



maka



dv dv dy dy   1  n  y  n dx dy dx dx



dy 1 n dv  y dx 1  n dx



2.79



2.80



Persamaan 2.77 dapat ditulis ulang menjadi 1 dv  P x v  Q x  1  n dx



2.81 Persamaan ini merupakan persamaan diferensial orde satu linier dan dapat diselesaikan dengan faktor integrasi.



2.6. Persamaan Riccati Persamaan Ricatti adalah persamaan tidak linier dengan bentuk: dy 2.82  P( x) y  Q( x) y  R x  2



dx



P  x   1



Bentuk yang sering dijumpai adalah jika dy  y 2  Q( x) y  R x  dx



Misalkan



1 du y u dx



, maka



dy 1 d 2u 1  du    2  2 dx u dx u  dx 



2.83



2



2.84



Substitusi persamaan 2.84 ke dalam persamaan 2.83 menghasilkan: 2



2



1 d 2 u 1  du  1 du  1 du   2     Rx    Q x  2 u dx u dx u  dx   u dx                           u



d 2u du  Qx   Rx u  0 2 dx dx



2.85



2.86



Persamaan 2.86 merupakan persamaan diferensial orde dua linier dengan koefisien tidak konstan dan dapat diselesaikan dengan metode Frobenius.



Contoh 2.7



Pada reaktor batch dengan volume konstan terjadi reaksi: A B C



dengan konstanta laju reaksi adalah k1 dan k. 2 Pada keadaan awal: C A  C A0 CB  CC  0 ; Sedangkan laju reaksi (R) adalah : RA  k1C An



RB  k1C An  k2CB m



Ada beberapa kasus yang biasa ditemukan: n=1 m=2 n=2 m=1 n=1 m=1 Penurunan untuk kasus a dCA RA   k 1CA dt



2.87



dCB RB   k1CA  k 2CB 2 dt



2.88



Penyelesaian untuk C A C A  C A0 exp k1t 



adalah



Persamaan laju reaksi untukC B menjadi



2.89 dapat ditulis



dCB  k1C A0 exp k1t   k 2 C B 2 dt    k2t  t 



Misalkan



k2



2.90



, maka



  k1   dC B 2 k2  k1 C A0 exp     k 2 C B d   k 2                       k2



 k1   dC B k1  2  C A0 exp     C B d k 2   k 2 



2.91



2.92



 k1   dC B k1  2  CB  C A0 exp     R  d k 2   k 2 



dC B 2  C B  R  d



Misalkan



1 du CB  u d



2.93



2.94



, maka diperoleh



 k1  d 2u k1  C A0 exp    u    0  k  d 2 k2  2 



Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial biasa orde dua linier yang bisa diselesaikan.



2.95



2.7 Persamaan Orde Satu Pangkat Dua Suatu persamaan tidak linier 2



dy  dy     2  y  x 1 dx  dx 



2.96



merupakan persamaan tidak linier orde satu pangkat dua. Penyelesaian persamaan 2.96 dapat dijabarkan: Misalkan p  dy, maka diperoleh: dx dy 2.97 p  1 x  y dx



Misalkanu  x  y , maka: du dy atau du    1 dx



dx



dx



u



2.98



Integrasinya menghasilkan: 2 u  x  c



Dengan mensubstitusi



u  x y



4 y  4 x  c  x 2



2.99 , diperoleh: 2.100



Persamaan ini merupakan bentuk implisit yang biasa ditemukan dalam persamaan tidak linier.



…. SEKIAN ….