Aplikasi Turunan [PDF]

Citation preview

Kumpulan Soal Aplikasi (Soal Cerita) Turunan mathcyber1997.com



Hak cipta pada mathcyber1997.com



Update: 8 Mei 2021



I. Bagian Pilihan Ganda 1. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya (4x2 − 8x + 24) ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah · · · · A. Rp16.000,00



C. Rp48.000,00



B. Rp32.000,00



D. Rp52.000,00



E. Rp64.000,00



2. Suatu pembangunan proyek gedung sekolah  dapat diselesaikan dalam x hari  30 ribu rupiah. Agar biaya proyek dengan biaya proyek per hari 2x − 600 + x minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu · · · hari. A. 80



C. 150



B. 100



D. 240



E. 320



3. Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam x hari dengan  5.000 menghabiskan biaya proyek per hari sebesar 3x − 180 + ratus ribu x rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah · · · juta rupiah. A. 220



C. 230



B. 225



D. 260



E. 280



 1 2 4. Biaya untuk memproduksi x bungkus keripik tempe adalah x + 25x + 25 4  1 ribu rupiah. Jika setiap bungkus keripik dijual dengan harga 55 − x ribu 2 rupiah, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah · · · · 



A. Rp225.000,00



C. Rp375.000,00



B. Rp275.000,00



D. Rp400.000,00



Soal Aplikasi (Soal Cerita) Turunan



E. Rp425.000,00



Halaman 1



Hak cipta pada mathcyber1997.com



Update: 8 Mei 2021



5. Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi h meter setelah t detik dirumuskan dengan h(t) = 120t − 5t2 , maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah · · · meter. A. 270



C. 670



B. 320



D. 720



E. 770



6. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling (2x + 24) meter dan lebar (8−x) meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah · · · meter. A. 4



C. 10



B. 8



D. 12



E. 13



7. Sebuah balok tanpa tutup tampak seperti gambar.



Jika kotak itu mempunyai volume 108 cm3 , maka agar luas permukaan kotak minimum, nilai x adalah · · · cm. A. 3



C. 6



B. 4



D. 8



E. 12



8. Sebuah tabung tanpa tutup akan dibuat dari selembar aluminium seluas 300 cm2 . Agar volume tabung maksimum, luas alas tabung adalah · · · cm2 . A. 100 B. 120



C. 100π √ D. 10 π



Soal Aplikasi (Soal Cerita) Turunan



√ E. 20 π



Halaman 2



Hak cipta pada mathcyber1997.com



Update: 8 Mei 2021



9. Zhazha akan meniup karet berbentuk bola dengan menggunakan pompa untuk memasukkan udara. Bila laju pertambahan volume udara 40 cm3 /detik dan laju pertambahan jari-jari 20 cm/detik, maka panjang jari-jari bola adalah · · · cm. 1 A. √ π 1 B. √ 2π



1 √ 2 π 1 D. √ 3 π C.



E. π



10. Dari kawat yang panjangnya 500 meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya 25 meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk lainnya adalah · · · meter. A. 10 dan 90



D. 40 dan 60



B. 15 dan 85



E. 50 dan 50



C. 25 dan 75 11. Volume balok terbesar yang semua bidang sisinya mempunyai luas 96 cm2 dan alasnya persegi adalah · · · · A. 54 cm3



C. 74 cm3



B. 64 cm3



D. 84 cm3



E. 94 cm3



12. Sebuah talang air berbentuk kerucut terbalik memiliki jari-jari 12 cm dan tinggi 27 cm/detik. Debit air saat 18 cm. Perubahan kecepatan tinggi air sebesar 100π 3 mencapai tinggi 5 cm adalah · · · cm /detik. A. 3



C. 4



B. 3, 5



D. 4, 5



Soal Aplikasi (Soal Cerita) Turunan



E. 5



Halaman 3



Hak cipta pada mathcyber1997.com



Update: 8 Mei 2021



13. Selembar kertas HVS memiliki luas 54 cm2 . Sukardi akan menggunakan kertas tersebut untuk mengetik surat undangan. Apabila margin (batas pengetikan) bagian atas dan bawah 1 cm, sedangkan margin sampingnya 1, 5 cm, maka panjang dan lebar kertas agar luas daerah pengetikannya maksimum adalah · · · · A. 9 × 6



C. 6 × 6



B. 6 × 9



D. 9 × 9



E. 12 × 6



14. Untuk memproduksi x unit pakaian dalam satu hari diperlukan biaya produksi (x2 + 4x − 10) ratus ribu rupiah. Harga jual pakaian itu tiap unitnya adalah (20 − x) ratus ribu rupiah. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah · · · · A. Rp1.200.000,00



C. Rp1.800.000,00



B. Rp1.500.000,00



D. Rp2.000.000,00



E. Rp2.200.000,00



15. Dari selembar karton berbentuk persegi yang panjang sisinya 30 cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi kecil di setiap pojok karton seperti gambar.



Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah · · · cm3 . A. 2.000



C. 4.000



B. 3.000



D. 5.000



Soal Aplikasi (Soal Cerita) Turunan



E. 6.000



Halaman 4



Hak cipta pada mathcyber1997.com



Update: 8 Mei 2021



16. Pak Eko ingin membuat kandang berbentuk persegi panjang seluas 324 m2 untuk ayam peliharaannya. Kandang tersebut akan dipagari dengan kawat duri seharga Rp12.000,00 per meter. Pernyataan berikut yang benar adalah · · · · A. Jika lebar kandang 9 meter, biaya pemasangan kawat akan minimum B. Jika lebar kandang 22 meter, biaya pemasangan kawat akan minimum C. Jika panjang kandang 36 meter, biaya pemasangan kawat akan minimum D. Biaya pemasangan kawat minimum sebesar Rp864.000,00 E. Biaya pemasangan kawat minimum sebesar Rp432.000,00



17. Sebuah wadah berbentuk kerucut terbalik tanpa tutup seperti gambar berikut.



Wadah tersebut berisi air dan diletakkan di halaman rumah. Pada siang hari yang terik, air dari dalam wadah tersebut menguap sehingga ketinggian air berubah 3 dengan kecepatan penguapan cm/jam. Laju perubahan volume pada saat 10π ketinggian air 5 cm adalah · · · cm3/jam. 5 2 5 B. 4



5 3 4 D. 5



A.



C.



E.



5 8



√ 18. Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku adalah 5. Panjang sisi lainnya adalah x dan y. Nilai maksimum untuk 2x + y adalah · · · · A. 5 B. 4 +



√



C. 5 + 3



√



3



E. 7 +



√ 3



D. 7



Soal Aplikasi (Soal Cerita) Turunan



Halaman 5



Hak cipta pada mathcyber1997.com



Update: 8 Mei 2021



19. Total penjualan suatu barang (k) merupakan perkalian antara harga (p) dan permintaan (x) yang dinyatakan dengan k = px. Untuk p = 90 − 3x dalam jutaan rupiah dan 1 ≤ x ≤ 30, maka total penjualan maksimum adalah · · · · A. Rp1.350.000.000,00



D. Rp450.000.000,00



B. Rp675.000.000,00



E. Rp45.000.000,00



C. Rp600.000.000,00



20. Dennis membeli minyak goreng dalam kemasan plastik di suatu minimarket. Ia ingin memasukkan minyak goreng tersebut pada sebuah tabung tanpa tutup yang permukaannya terbuat dari lempengan seng tipis. Ternyata tabung tanpa tutup dengan luas permukaan kπ cm2 adalah tabung tanpa tutup dengan volume terkecil yang dapat memuat minyak goreng sebanyak 8π cm3 . Nilai k adalah · · · · A. 4



C. 12



B. 8



D. 16



E. 18



21. Sebuah talang air yang berbentuk kerucut terbalik memiliki panjang jari-jari 27 cm/detik. 12 cm dan tinggi 18 cm. Perubahan kecepatan tinggi air sebesar 100π Debit air saat mencapai tinggi 5 cm adalah · · · · A. 3 cm3 /detik



C. 4 cm3 /detik



B. 3, 5 cm3 /detik



D. 4, 5 cm3 /detik



E. 5 cm3 /detik



22. Sepotong kawat yang panjangnya 90 cm dipotong menjadi dua bagian, satunya digunakan untuk membentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi x cm dan satunya lagi digunakan untuk membuat persegi. Agar jumlah luasnya maksimum, maka nilai x adalah · · · · √ 3) √ B. 60(2 − 3)



A. 60(2 +



C. 30(2 −



√



3)



√ D. 30(2 + 3)



Soal Aplikasi (Soal Cerita) Turunan



E. 15(2 −



√



3)



Halaman 6



Hak cipta pada mathcyber1997.com



Update: 8 Mei 2021



23. Luas minimum segitiga di kuadran I yang dapat dibentuk oleh garis yang melalui titik (4, 3) dan sumbu-sumbu koordinat adalah · · · · A. 12



C. 20



B. 16



D. 24



E. 26



24. Nilai minimum fungsi f (x, y) = 4x + y pada daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan xy ≥ 4, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah · · · · A. −8



C. 2



B. −6



D. 6



E. 8



25. Perhatikan gambar berikut.



Layar bioskop memiliki tinggi 3 meter dan terletak pada dinding 1 meter di atas lantai. Jarak seseorang dari dinding agar besar sudut θ sebesar mungkin adalah · · · meter. A. 1 √ B. 3



C. 2 √ D. 2 3



E. 3



26. Balon berbentuk bola yang berisi udara dikempiskan perlahan-lahan. Volume balon berkurang dengan laju −7, 2π mm3 /detik. Panjang jari-jari balon pada saat laju perubahan pengurangan jari-jari balon −0, 05 mm/detik adalah · · · mm. A. 5



C. 7



B. 6



D. 12



Soal Aplikasi (Soal Cerita) Turunan



E. 18



Halaman 7



Hak cipta pada mathcyber1997.com



Update: 8 Mei 2021



27. Laju pertambahan volume kubus adalah 36 cm3 /menit. Jika luas permukaan kubus adalah 24 cm2 , maka laju pertambahan panjang rusuk kubus tersebut adalah · · · · A. 2 cm/menit



C. 4 cm/menit



B. 3 cm/menit



D. 6 cm/menit



Soal Aplikasi (Soal Cerita) Turunan



E. 9 cm/menit



Halaman 8



Hak cipta pada mathcyber1997.com



Update: 8 Mei 2021



II. Bagian Uraian 1. Sepotong kawat yang panjangnya 52 cm dibuat trapesium sama kaki seperti gambar berikut.



a. Tunjukkan bahwa L = 104x − 20x2 di mana L menyatakan luas trapesium. b. Tentukan nilai x dan y agar luasnya maksimum. c. Tentukan luas maksimumnya. 2. Sebuah kawat yang panjangnya 100 cm akan dibuat kerangka seperti gambar di bawah, yaitu gabungan persegi panjang dan seperempat lingkaran. Tentukan luas daerah maksimum dari kerangka yang terbentuk.



3. Tentukan luas maksimum persegi panjang yang diarsir pada gambar berikut.



Soal Aplikasi (Soal Cerita) Turunan



Halaman 9



Hak cipta pada mathcyber1997.com



Update: 8 Mei 2021



4. Suatu persegi panjang dengan salah satu sisinya menempel pada sumbu-X ditempatkan dalam daerah yang dibatasi oleh garis y = 0, y = 3x, dan y = 30 − 2x. Tentukan luas terbesar yang mungkin untuk persegi panjang tersebut. 5. Sebuah bola menggelinding sepanjang bidang miring. Jarak yang ditempuh s dari titik asal t detik dinyatakan oleh rumus s = 1, 5t2 + 0, 6t (s dalam meter dan t dalam detik). ds . a. Tentukanlah dt b. Tentukan kecepatan sesaat pada waktu t = 0, 3 detik. c. Carilah waktu yang diperlukan sehingga kecepatan sesaatnya mencapai 6, 6 meter/detik. 6. Gambar berikut menunjukkan sebuah kaleng (silinder) dan penutupnya (arsiran) menutup kaleng sedalam 2 cm.



Jika luas permukaan kaleng 448π cm2 , jari-jari alas x cm, dan tinggi h cm. a. Tunjukkan bahwa x2 + hx + 2x = 224. b. Deduksikan dalam x dan π untuk volume kaleng. Jika x berubah, tentukan nilai x saat volume kaleng maksimum. Hitunglah nilai maksimum itu. 7. Sebuah wadah berbentuk setengah bola dengan diameter 24 cm. Wadah tersebut berisi alkohol setinggi h cm. Oleh karena alkohol tersebut menguap, tinggi alkohol berkurang dengan laju 0, 001 cm/detik. a. Tentukan persamaan luas permukaan alkohol bagian atas. b. Hitunglah laju perubahan luas permukaan alkohol bagian atas pada saat tinggi alkohol 6 cm.



Soal Aplikasi (Soal Cerita) Turunan



Halaman 10



Hak cipta pada mathcyber1997.com



Update: 8 Mei 2021



8. Perhatikan gambar berikut.



Air dituangkan ke bak berbentuk kerucut dengan laju pertambahan volume air 100 cm3 /detik. Jika tinggi bak itu 100 cm dan jari-jari permukaan atas 50 cm, tentukan laju pertambahan luas permukaan air saat tinggi permukaannya 40 cm. 9. Pada gambar di bawah, garis AB melalui titik P (4, 1) dan besar ∠BAO = θ π dengan 0 < θ < . 2



a. Buktikan bahwa panjang OA + OB = 5 + 4 tan θ + cot θ dan buktikan juga bahwa jika θ berubah-ubah, maka nilai minimum bagi OA + OB adalah 9. b. Tunjukkan bahwa AB = 4 sec θ + csc θ dan tentukan sampai dua angka di belakang koma untuk nilai minimum bagi AB bila θ berubah-ubah.



Pembahasan bisa dilihat di tautan berikut: https://mathcyber1997.com/ soal-dan-pembahasan-aplikasi-turunan-diferensial/ Soal Aplikasi (Soal Cerita) Turunan



Halaman 11