Materi Ajar Turunan Dan Aplikasi Turunan.. [PDF]

Citation preview

MATERI PEMBELAJARAN



TURUNAN DAN APLIKASI TURUNAN



Disusun Oleh: Doni Apriyanto, S. Pd.



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN PROFESI GURU FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS BINA BANGSA GETSEMPENA 2021



KATA PENGANTAR



Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas izin dan karunia-Nya, penulis dapat menyelesaikan penulisan materi pembelajaran “Turunan dan Aplikasi Turunan” ini. Materi Pembelajaran ini berisi tiga sub materi yaitu definisi dan notasi turunan, sifat-sifat turunan fungsi aljabar, dan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar. Materi ajar ini juga disertai dengan beberapa contoh soal pada setiap sub materi dengan tujuan untuk memperkuat pemahaman siswa pada konsep yang telah disampaikan. Pada kesempatan ini, penulis juga menyampaikan terima kasih sebesar besarnya kepada semua pihak yang telah berkontribusi, baik berupa bantuan, bimbingan, dan dorongan hingga terselesaikannya materi pembelajaran ini. Dalam penulisan materi pembelajaran ini, penulis merasa masih banyak kekurangan, baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman yang dimiliki. Oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak sangat diharapkan demi kesempurnaan modul ini. Mudah-mudahan dengan selesainya materi pembelajaran ini dapat bermanfaat bagi kita semua, terutama dalam meningkatkan komunikasi keilmuan. Atas segala perhatiannya penulis ucapkan terima kasih.



Banyuasin, September 2021



Penulis



i



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR ....................................................................................



i



DAFTAR ISI ............................................................................................................



ii



BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................



1



A. Peta Konsep ..............................................................................................



1



B. Deskripsi ...................................................................................................



1



C. Capaian Pembelajaran ..............................................................................



3



BAB II Uraian Materi ...................................................................................



4



A. Definisi dan Notasi Turunan .....................................................................



4



B. Sifat-sifat Turunan Fungsi Aljabar ............................................................



4



C. Masalah yang Berkaitan dengan Turunan Fungsi Aljabar ........................



11



D. Tugas ........................................................................................................



14



E. Forum Diskusi ..........................................................................................



14



BAB III PENUTUP .......................................................................................



15



A. Rangkuman ...............................................................................................



15



B. Tes Formatif .............................................................................................



16



C. Kriteria Penilaian ......................................................................................



21



DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................



22



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ...........................................................



23



ii



BAB I PENDAHULUAN A. Peta Konsep



Definisi dan Notasi Turunan



Turunan Fungsi Aljabar



Sifat-sifat Turunan Fungsi Aljabar



Masalah yang Berkaitan dengan Turunan Fungsi Aljabar



B. Deskripsi Untuk mengawali pembelajaran ini, coba lakukan aktifitas berikut. Ada kawat duri sepanjang 80 m yang akan digunakan untuk memagari kendang berbentuk persegi panjang dan satu sisinya dibatasi oleh gudang. Sepanjang gudang tidak memerlukan kawat, kemudian tentukan luas maksimum gudang yang dapat dipagari oleh kawat duri tersebut. Pada kegiatan belajar ini, peserta didik membahas konsep turunan fungsi aljabar. Oleh karena itu, prasyarat dalam mempelajari pokok bahasan ini adalah peserta didik telah menguasai materi limit. Kegiatan belajar ini dikemas dalam tiga sub materi yang disusun dengan urutan sebagai berikut:



1



1.



Sub materi 1 : Definisi dan Notasi Turunan



2.



Sub materi 2 : Sifat-sifat Turunan Fungsi Aljabar



3.



Sub materi 3 : Masalah yang Berkaitan dengan Turunan Fungsi Aljabar



Konsep turunan biasanya digunakan dalam penyelesaian masalah optimasi seperti menentukan nilai maksimum dan minimun dari suatu permasalahan yang dapat dimodelkan dengan persamaan matematika. Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Terdapat berbagai pemanfaatan turunan dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya adalah penentuan nilai maksimum dan minimum. Hal tersebut dapat diamati dengan seberapa sering kita mendengar atau membaca istilah keuntungan terbesar, biaya terkecil, kekuatan terbesar, dan jarak terjauh. Selain itu, turunan juga dapat digunakan untuk menentukan kecepatan dan percepatan sehingga sering digunakan dalam pekerjaan dan penelitian yang membutuhkan ilmu fisika. Langkah-langkah belajar yang perlu diperhatikan agar memperoleh hasil yang maksimal, yaitu sebagai berikut. 1.



Sebelum memulai mari berdoa kepada Tuhan yang Maha Esa agar diberikan kemudahan dalam memahami materi ini dan dapat mengamalkan dalam kehidupan sehari-hari.



2.



Sebaiknya Ananda mulai membaca dari pendahuluan, uraian materi, rangkuman, hingga daftar pustaka secara berurutan.



3.



Setiap akhir kegiatan pembelajaran, Ananda mengerjakan latihan soal dengan jujur.



4.



Ananda dikatakan tuntas apabila dalam mengerjakan latihan soal memperoleh nilai ≥ 70 sehingga dapat melanjutkan ke materi selanjutnya.



5.



Jika Ananda memperoleh nilai < 70 maka Ananda harus mengulangi materi pada modul ini dan mengerjakan kembali latihan soal yang ada.



2



C. Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, diharapkan Ananda mampu menguasai materi turunan fungsi aljabar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar. Lebih lengkapnya dijabarkan sebagai berikut. 1.



Peserta didik dapat menjelaskan pengertian turunan.



2.



Peserta didik dapat menjelaskan sifat-sifat turunan fungsi aljabar.



3.



Peserta didik dapat menggunakan prosedur untuk menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan definisi atau sifat-sifat turunan fungsi aljabar.



3



BAB II URAIAN MATERI



A. Definisi dan Notasi Turunan 1.



Definisi Turunan Misal fungsi f memetakan x ke y atau y=f(x), x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat. Turunan y=f(x) terhadap x adalah: 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ



𝑓(𝑥) = lim 2.



Notasi Turunan Pada pembahasan awal, turunan fungsi y = f(x) terhadap x dinotasikan dengan f’(x). notasi lain dari turunan adalah notasi yang diberikan Leibniz atau disingkat, notasi Leibniz, yaitu :



𝑑 𝑑𝑥



(𝑓(𝑥)) atau



𝑑𝑓 𝑑𝑥



atau



𝑑𝑦 𝑑𝑥



.



B. Sifat-sifat Turunan Fungsi Aljabar 1.



Bentuk 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏 Penentuan turunan suatu fungsi dengan menggunakan definisi seperti dijabarkan di atas cenderung kurang praktis dan kurang efisien. Penentuan turunan dengan cara seperti itu dapat kita hindari jika kita telah mengetahui rumus untuk menentukan turunan.



Jika 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛 maka turunan 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥 adalah



𝒇′(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙𝒏−𝟏 Dengan notasi Leibniz : 2.



𝑑 𝑑𝑥



(𝑎𝑥 𝑛 ) = 𝑎𝑛𝑥 𝑛−1



Bentuk 𝒇(𝒙) = 𝑼 ± 𝑽 Jika 𝑓(𝑥) = 𝑈 ± 𝑉 maka turunan 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥 adalah



𝒇′(𝒙) = 𝑼′ ± 𝑽′



4



3.



Bentuk 𝒇(𝒙) = 𝑼. 𝑽 Misal 𝑓(𝑥) = 𝑈. 𝑉 dengan 𝑈 dan 𝑉adalah fungsi 𝑥, maka turunan dari 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥 dapat dirumuskan dengan 𝑓′(𝑥) = 𝑈′. 𝑉 + 𝑉′. 𝑈



𝒇(𝒙) = 𝑼. 𝑽 → 𝒇′(𝒙) = 𝑼′. 𝑽 + 𝑽′. 𝑼 Bukti : 𝑓(𝑥) = 𝑈(𝑥). 𝑉(𝑥) 𝑈(𝑥 + ℎ). 𝑉(𝑥 + ℎ) − 𝑈(𝑥). 𝑉(𝑥) ℎ→0 ℎ



𝑓 ′ (𝑥) = lim



𝑈(𝑥 + ℎ). 𝑉(𝑥 + ℎ) − 𝑈(𝑥). 𝑉(𝑥) + 𝑉(𝑥). 𝑈(𝑥 + ℎ) − 𝑉(𝑥). 𝑈(𝑥 + ℎ) ℎ→0 ℎ 𝑈(𝑥 + ℎ). 𝑉(𝑥 + ℎ) − 𝑉(𝑥). 𝑈(𝑥 + ℎ) + 𝑉(𝑥). 𝑈(𝑥 + ℎ) − 𝑈(𝑥). 𝑉(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = lim ℎ→0 ℎ 𝑈(𝑥 + ℎ). 𝑉(𝑥 + ℎ) − 𝑉(𝑥). 𝑈(𝑥 + ℎ) 𝑉(𝑥). 𝑈(𝑥 + ℎ) − 𝑈(𝑥). 𝑉(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = lim + lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ 𝑓 ′ (𝑥) = lim



𝑈(𝑥 + ℎ)[𝑉(𝑥 + ℎ) − 𝑉(𝑥)] 𝑉(𝑥)[𝑈(𝑥 + ℎ) − 𝑈(𝑥)] + lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ 𝑉(𝑥 + ℎ) − 𝑉(𝑥) 𝑈(𝑥 + ℎ) − 𝑈(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = lim 𝑈(𝑥 + ℎ) + lim𝑉(𝑥) ℎ→0 ℎ ℎ ℎ→0 𝑓 ′ (𝑥) = lim



𝑓′(𝑥) = 𝑈(𝑥). 𝑉′(𝑥) + 𝑉(𝑥). 𝑈′(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑈′(𝑥). 𝑉(𝑥) + 𝑉′(𝑥). 𝑈(𝑥) = 𝑈′. 𝑉 + 𝑉′. 𝑈 (terbukti)



4.



Bentuk 𝒇(𝒙) =



Misal 𝑓(𝑥) =



𝐔 𝐕



𝑈 𝑉



dengan 𝑈 dan 𝑉adalah fungsi 𝑥, maka turunan dari 𝑓(𝑥)



terhadap 𝑥 dapat dirumuskan dengan 𝑓′(𝑥) =



𝑈 ′ 𝑉−𝑈 ′ 𝑉 𝑉2



𝑼′. 𝑽 − 𝑽′. 𝑼 𝑼 𝒇′(𝒙) = → 𝒇′(𝒙) = 𝑽 𝑽𝟐 Untuk pembuktian rumus di atas, silahkan diskusikan dengan teman.



5



5.



Bentuk Komposisi Misal 𝐻(𝑥) = [𝑓(𝑥)]𝑛 dan fungsi f fungsi yang diferensiabel di x,maka:



𝑯′(𝒙) = 𝒏. [𝒇(𝒙)]𝒏−𝟏. 𝒇′(𝒙) Contoh 1 Tentukan turunan fungsi f(x) yang dinyatakan dengan 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3 pada 𝑥 = 4. Penyelesaian : Turunan f(x) pada 𝑥 = 4 adalah : 𝑓(4 + ℎ) − 𝑓(4) ℎ→0 ℎ



𝑓′(4) = lim



𝑓((4 + ℎ)2 − 3) − (42 − 3) ℎ→0 ℎ



= lim



16 + 8ℎ + ℎ2 − 3 − 13 ℎ→0 ℎ



= lim



ℎ2 + 8ℎ ℎ→0 ℎ = lim (ℎ + 8) = lim



ℎ→0



= lim (ℎ + 8) ℎ→0



=0+8=8



Contoh 2 1



Tentukan turunan pertama fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥 , 𝑥 ≠ 0. Penyelesaian : 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ 1 (2(𝑥 + ℎ) − ) − (2𝑥 − 𝑥) 𝑥 + ℎ = lim ℎ→0 ℎ



𝑓′(𝑥) = lim



6



2(𝑥 + ℎ)2 − 1 2𝑥 2 − 1 ( ) − 𝑥 𝑥+ℎ = lim ℎ→0 ℎ 𝑥(2(𝑥 + ℎ)2 − 1) − (𝑥 + ℎ)(2𝑥 2 − 1) ( ) 𝑥(𝑥 + ℎ) = lim ℎ→0 ℎ 𝑥(2(𝑥 + ℎ)2 − 1) − (𝑥 + ℎ)(2𝑥 2 − 1) 𝑥(𝑥 + ℎ) ) = lim ( ℎ→0 ℎ 𝑥(2(𝑥 + ℎ)2 − 1) − (𝑥 + ℎ)(2𝑥 2 − 1) 1 = lim ( )× ℎ→0 𝑥(𝑥 + ℎ) ℎ 𝑥((2𝑥 2 + 4ℎ𝑥 + 2ℎ2 ) − 1) − (2𝑥 3 − 𝑥 + 2ℎ𝑥 2 − ℎ) = lim ( ) ℎ→0 𝑥(𝑥 + ℎ)ℎ 2𝑥 3 + 4ℎ𝑥 2 + 2ℎ2 𝑥 − 𝑥 − 2𝑥 3 + 𝑥 − 2ℎ𝑥 2 + ℎ = lim ( ) ℎ→0 𝑥(𝑥 + ℎ)ℎ 2ℎ𝑥 2 + 2ℎ2 𝑥 + ℎ = lim ( ) ℎ→0 𝑥(𝑥 + ℎ)ℎ 2ℎ𝑥 2 + 2ℎ2 𝑥 ℎ = lim ( + ) ℎ→0 𝑥(𝑥 + ℎ)ℎ 𝑥(𝑥 + ℎ)ℎ 2𝑥ℎ(𝑥 + ℎ) 1 ) = lim ( + ℎ→0 𝑥ℎ(𝑥 + ℎ) 𝑥(𝑥 + ℎ) = lim (2 + ℎ→0



=2+



1 ) 𝑥(𝑥 + ℎ)



1 1 1 =2+ =2+ 2 𝑥(𝑥 + 0) 𝑥(𝑥) 𝑥 1



Jadi, turunan pertamanya adalah 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥 2 Contoh 3 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut terhadap 𝑥 1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥5 2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 3) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 4) 𝑓(𝑥) = 4



7



Penyelesaian: 1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥5 𝑓′(𝑥) = 3. 5𝑥5−1 𝑓′(𝑥) = 15𝑥4 2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 𝑓′(𝑥) = 2.2𝑥2−1 𝑓′(𝑥) = 4𝑥 3) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 𝑓′(𝑥) = 5.1𝑥1−1 𝑓′(𝑥) = 5𝑥0 𝑓′(𝑥) = 5 4) 𝑓(𝑥) = 4 𝑓′(𝑥) = 4.0𝑥0−1 𝑓′(𝑥) = 0



Contoh 4 Tentukan turunan fungsi berikut : 3



1) 𝑓(𝑥) = 3√𝑥 2 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥√𝑥 Penyelesaian: Nomor 1)



Nomor 2)



3



𝑓(𝑥) = 3 √𝑥 2 𝑓(𝑥) =



2 3𝑥 3



2 2 𝑓′(𝑥) = 3. 𝑥 3−1 3 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 −3 𝑓′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) =



2 1



𝑥3 2 3



√𝑥



𝑓(𝑥) = 𝑥 √𝑥 1



𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑥 2 3



𝑓(𝑥) = 𝑥 2 3 3 𝑓′(𝑥) = 𝑥 2 −1 2 3 1 𝑓′(𝑥) = 𝑥 2 2 3 𝑓′(𝑥) = √𝑥 2



8



Contoh 5 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut terhadap 𝑥 1)



𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 − 5



2)



𝑓(𝑥) =



𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝑥



Penyelesaian: 1)



𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 − 5 𝑓′(𝑥) = 3.2𝑥2−1 − 2.1𝑥1−1 − 5.0𝑥0−1 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 − 2



2)



𝑓(𝑥) =



𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝑥



𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 +



2 𝑥



𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 + 𝑥−1 𝑓′(𝑥) = 1.1𝑥1−1 − 3.0 + 2(−1)𝑥−1−1 𝑓′(𝑥) = 1 − 0 − 2𝑥−2 𝑓′(𝑥) = 1 −



2 𝑥2



Contoh 6 Tentukan turunan dari 𝑦 = (6𝑥 − 3)(5𝑥 + 2) Penyelesaian: 𝑦 = (6𝑥 − 3)(5𝑥 + 2) Misal : 𝑈 = 6𝑥 − 3 → 𝑈′ = 6 𝑉 = 5𝑥 + 2 → 𝑉′ = 5 𝑦′ = 𝑈′. 𝑉 + 𝑉′. 𝑈 𝑦′ = 6(5𝑥 + 2) + 5(6𝑥 − 3) 𝑦′ = 30𝑥 + 12 + 30𝑥 − 15 𝑦′ = 60𝑥 − 3



9



Contoh 7 𝑥 2 +7



Tentukan 𝑓′(𝑥) dari fungsi 𝑓′(𝑥) = 𝑥 2 −3 Penyelesaian: 𝑥 2 +7



𝑓′(𝑥) = 𝑥 2 −3 Misal : 𝑈 = 𝑥2 + 7 → 𝑈′ = 2𝑥 𝑉 = 𝑥2 − 3 → 𝑉′ = 2𝑥



Contoh 8 Tentukan 𝐻′(𝑥) dari fungsi 𝐻(𝑥) = (3𝑥2 + 4)3 Penyelesaian 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 4 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 𝐻′(𝑥) = 3. (3𝑥2 + 4)3−1. 6𝑥 𝐻′(𝑥) = 18𝑥(3𝑥2 + 4)2



10



C. Masalah yang Berkaitan dengan Turunan Fungsi Aljabar 1.



Masalah Maksimum dan Minimum Pada sub materi ini akan dibahas beberapa penggunaan nilai maksimum dan minimum dalam kehidupan sehari-hari. Contoh 9 Ali mempunyai 80 meter kawat duri yang akan digunakan untuk memagari kandang berbentuk persegipanjang dan satu sisinya dibatasi oleh gudang. Sisi sepan-jang gudang tidak memerlukan kawat duri. Tentukan luas maksimum kandang yang dapat dipagari oleh kawat duri tersebut ! Penyelesaian : Dari permasalahan di atas dapat diketahui bahwa panjang kawat duri 0 meter dan ada 3 buah sisi yang akan dipagari. Lahan yang akan dipagari dapat digambarkan sebagai berikut. panjang lebar



lebar



Misal :



Luas maksimum diperoleh ketika



Ukuran panjang = 𝑝



turunannya sama dengan nol.



Ukuran lebar = 𝑙



𝐿′ = 0



Panjang kawat = 80 m



80 − 4𝑙 = 0



𝑝 + 𝑙 + 𝑙 = 80



4𝑙 = 80



𝑝 + 2𝑙 = 80 𝑝 = 80 − 2𝑙 𝐿 = 𝑝×𝑙 = (80 − 2𝑙) × 𝑙 = 80𝑙 − 2𝑙2



𝑙 = 20 𝐿 = 80𝑙 − 2𝑙2 = 80(20) − 2(20)2 = 800 Jadi luas maksimum lahan adalah 800m2



11



Contoh 10 Suatu perusahaan memproduksi suatu barang yang dapat diselesaikan dalam waktu x jam, dengan biaya per jam (3𝑥 − 144 +



2500 𝑥



) (dalam



ratus ribu rupiah). Agar biaya minimum, berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan produksi barang tersebut ? Penyelesaian : Permasalahan di atas adalah salah satu contoh masalah minimum. Waktu



= x jam



Biaya/ jam



= 3𝑥 − 144 +



Biaya total



= waktu x biaya/ jam



B(x)



= 𝑥 (3𝑥 − 144 +



2500 𝑥



(dalam ratus ribu rupiah)



2500 𝑥



) = 3𝑥2 − 144𝑥 + 2500



Supaya biaya minimum, maka 𝐵’(𝑥) = 0 𝐵’(𝑥) = 0 6𝑥 − 144 = 0 6𝑥 = 144 𝑥 = 24 Jadi, waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan produk tersebut dengan biaya minimum adalah 24 jam. 2.



Masalah Kecepatan dan Percepatan Notasi



𝒅𝒚 𝒅𝒙



merupakan salah satu notasi turunan. Lebih lanjut akan



dibahas beberapa pemakaian notasi tersebut di berbagai persoalan yang lain. Contoh yang paling mudah adalah pada gerak sebuah benda dalam pelajaran fisika. Sebuah benda bergerak dari suatu tempat ke tempat lain menempuh jarak s dalam waktu t, maka : 𝒌𝒆𝒄𝒆𝒑𝒂𝒕𝒂𝒏 𝒓𝒂𝒕𝒂 − 𝒓𝒂𝒕𝒂𝒏𝒚𝒂 =



𝒑𝒆𝒓𝒖𝒃𝒂𝒉𝒂𝒏 𝒋𝒂𝒓𝒂𝒌 ∆𝒔 = 𝒑𝒆𝒓𝒖𝒃𝒂𝒉𝒂𝒏 𝒘𝒂𝒌𝒕𝒖 ∆𝒕



kecepatan (v) pada saat t didefinisakan sebagai : 𝒗=



𝒅𝒔 ∆𝒔 = 𝐥𝐢𝐦 𝒕→𝟎 ∆𝒕 𝒅𝒕



12



Dengan demikian, kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak. Jika kecepatan sebuah benda setiap saat mengalami perubahan, maka benda tersebut mempunyai suatu percepatan yang dinyatakan dengan: 𝒑𝒆𝒓𝒄𝒆𝒑𝒂𝒕𝒂𝒏 = 𝒂=



𝒑𝒆𝒓𝒖𝒃𝒂𝒉𝒂𝒏 𝒌𝒆𝒄𝒆𝒑𝒂𝒕𝒂𝒏 ∆𝒗 = 𝒑𝒆𝒓𝒖𝒃𝒂𝒉𝒂𝒏 𝒘𝒂𝒌𝒕𝒖 ∆𝒕



𝒅𝒗 ∆𝒗 = 𝐥𝐢𝐦 𝒕→𝟎 ∆𝒕 𝒅𝒕



Dengan demikian,percepatan merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan. Contoh 10 Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus. Lintasan yang ditempuh 2



9



dalam waktu t detik dinyatakan dengan rumus 𝑠(𝑡) = 3 𝑡 3 − 2 𝑡 2 + 10𝑡. a.



Tentukan kecepatan pada saat t = 1 detik



b.



Tentukan percepatan pada saat t = 4 detikPenyelesaian :



Penyelesaian : 𝒅𝒔



2



9



a. 𝒗 = 𝒅𝒕 = 3 . 3𝑡 3−1 − 2 . 2𝑡 2−1 + 10𝑡1−1 = 2𝑡 2 − 9𝑡 + 10 Kecepatan pada saat t = 1 detik adalah 2(1)2 – 9(1) + 10 = 3 m/detik b. 𝒂 =



𝒅𝒗 𝒅𝒕



=



𝒅(2𝑡 2 −9𝑡+10) −= 𝒅𝒕



2.2𝑡 2−1 + 9𝑡1−1 = 4𝑡 − 9



percepatan pada saat t = 4 detik adalah 4(4) – 9 = 7 m/detik2



13



D. Tugas Kerjakan tugas berikut dengan sebaik-baiknya. 1.



2.



Tentukan turunan pertama dari setiap fungsi berikut. a.



𝑓(𝑥) = √5𝑥 + 2



b.



𝑓(𝑥) = (3−2𝑥2



4



Diketahui 𝑓(𝑥) = (4𝑥 + 3)(4 − 𝑥 2 ). Buktikan bahwa



3.



𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥



= −2(6𝑥 3 𝑥 − 8) !



Sebuah permukaan kotak tanpa tutup dengan alas persegi adalah 108 cm2. Tentukan ukuran-ukuran kotak agar volumenya maksimum.



4.



Buatlah kasus penggunaan turunan fungsi aljabar di lingkungan sekitarmu, beserta soal dan penyelesaiannya.



5.



Buatlah sebuah soal dan penyelesaiannya terkait penggunaan turunan fungsi aljabar pada bidang fisika.



E. Forum Diskusi 1.



Silahkan Ananda berdiskusi dengan teman dalam membuktikan rumus turunan bentuk pembagian.



2.



Pembangunan proyek gedung dua lantai MAN 1 Banyuasin dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari (2𝑥 − 600 +



30 𝑥



)



ribu rupiah. Diskusikan dengan temanmu, bagaimanakah caranya agar biaya proyek minimum ?



14



BAB III PENUTUP



A. Rangkuman Berdasarkan materi yang telah dipaparkan di atas, terdapat hal-hal penting yang dapat dibaca pada rangkuman berikut ini. 1.



Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan. Misal fungsi f memetakan x ke y atau y=f(x), x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat. Turunan y=f(x) terhadap x adalah: 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ



𝑓′(𝑥) = lim 2.



Sifat-sifat turunan fungsi



aljabar dapat berupa beberapa bentuk,



diantaranya sebagai berikut.



3.



a.



𝑓(𝑥) = 𝑐 → 𝑓′(𝑥) = 0



b.



𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥𝑛 → 𝑓′(𝑥) = 𝑎. 𝑛. 𝑥𝑛−1



c.



𝑓(𝑥) = 𝑈 ± 𝑉 → 𝑓′(𝑥) = 𝑈′ ± 𝑉′



d.



𝑓(𝑥) = 𝑈. 𝑉 → 𝑓′(𝑥) = 𝑈′. 𝑉 + 𝑉′. 𝑈



e.



𝑓′(𝑥) = 𝑉 → 𝑓′(𝑥) =



f.



𝐻′(𝑥) = 𝑛. [𝑓(𝑥)]𝑛−1. 𝑓′(𝑥)



𝑈



𝑈 ′ 𝑉−𝑈𝑉 ′ 𝑉2



Masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar meliputi masalah maksimum dan minimum, serta masalah kecepatan dan percepatan (dalam fisika).



15



B. Tes Formatif Pilihlah jawaban yang paling tepat dari persoalan berikut. 1. Turunan pertama dari 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 8𝑥2 + 14𝑥 − 3 adalah 𝑓′(𝑥) = ⋯ A. 6𝑥2 − 8𝑥 + 14 B.



6𝑥2 + 8𝑥 + 14



C.



6𝑥2 − 16𝑥 + 14



D. 6𝑥2 + 16𝑥 + 14 E. 2.



3𝑥2 − 16𝑥 + 14



Diketahui𝑓(𝑥) = 3𝑥3 + 4𝑥 + 8. Jika turunan pertama 𝑓(𝑥) adalah 𝑓′(𝑥), maka nilai 𝑓′(3) = ⋯



A. 85 B. 101 C. 112 D. 115 E. 125 1



3. Apabila 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 1, maka 𝑓 ′ (𝑥) = …. A.



𝑥 − 𝑥 −2



B.



𝑥 + 𝑥 −2



C.



2𝑥 + 𝑥 −2 + 1



D.



2𝑥 − 𝑥 −2 + 1



E.



2𝑥 + 𝑥 −2



4. Jika 𝑓′(𝑥) = 8𝑥 − 2 dan 𝑓(5) = 36 maka 𝑓(𝑥) = ... A.



8𝑥2 − 2𝑥 − 159



B. 8𝑥2 − 2𝑥 − 154 C. 4𝑥2 − 2𝑥 − 74 D. 4𝑥2 − 2𝑥 − 59 E.



4𝑥2 − 2𝑥 − 54



5. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). ℎ(𝑥) maka 𝑓′(𝑥) = ⋯ A.



𝑔′(𝑥). ℎ′(𝑥)



B.



𝑔′(𝑥). ℎ(𝑥) + ℎ′(𝑥). 𝑔(𝑥)



16



C.



𝑔′(𝑥). ℎ(𝑥) − ℎ′(𝑥). 𝑔(𝑥)



D. 𝑔′(𝑥). ℎ(𝑥). ℎ′(𝑥). 𝑔(𝑥) E.



𝑔′(𝑥). ℎ(𝑥): ℎ′(𝑥). 𝑔(𝑥)



6. Diketahui 𝑦 = (−2𝑥 − 1)(𝑥 − 1). Jika turunan pertama 𝑦 adalah 𝑦′,maka 𝑦′ = ⋯ A.



2𝑥 + 4



B. −2𝑥 − 1 C.



2𝑥 + 1



D. −4𝑥 − 1 E.



−4𝑥 + 1



7. Jika 𝑔(𝑥) = 5𝑥2 + 4𝑝𝑥 − 3 dan 𝑔′(2) = 4 maka 𝑔′(1) adalah .... A. – 10 B.



–8



C.



–6



D.



4



E.



5 1



3



8. Diketahui 𝑦 = 3 𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 2𝑥 − 6. Nilai x yang membuat 𝑦 ′ = 0 adalah .... A. -1 atau 1 B. -1 atau 0 C. 0 atau 2 D. 1 atau 2 E. 1 atau 3 . 1



9. Jika 𝑦 = √𝑥 3 A. B.



+1



𝑑𝑦



maka 𝑑𝑥 = ⋯



−3𝑥 2 2(𝑥 3 +1)√𝑥 3 +1 3𝑥 2 2(𝑥 3 +1)√𝑥 3 +1



C. 3𝑥 2 √𝑥 3 + 1 D.



−3𝑥 2 −3𝑥 2 √𝑥 3 +1 3



E. − 2 𝑥 2 √𝑥 3 + 1



17



10. Jika 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)(𝑥3 + 1) maka 𝑓′(1) = ⋯ A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 E. 10 11. Turunan pertama dari 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2(𝑥 + 1) adalah 𝑓′(𝑥) = ⋯ A. 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 B. 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 C. 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 D. 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 E. 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 𝑥+1



12. Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥+5, maka 𝑓′(𝑥) = …. A.



4𝑥 (2𝑥+5)2



B.



7 (2𝑥+5)2



C.



6 (2𝑥+5)2



D.



3 (2𝑥+5)2



E.



4𝑥−3 (2𝑥+5)2



13. Nilai 𝑓′(2) dari fungsi 𝑓(𝑥) yang ditentukan oleh 𝑓(𝑥) =



𝑥 2 −3𝑥+4 𝑥 2 −𝑥+2



dan 𝑓′(𝑥)



adalah turunan pertama dari 𝑓(𝑥) adalah ... 7



A. − 16 1



B. − 8 C. D. E.



1 8 1 4 7 16



18



14. Jarak yang ditempuh dalam 𝑡 dari suatu partikel dinyatakan dengan rumus 𝑠(𝑡) = 𝑡 3 + 2𝑡 2 + 𝑡 + 1. Pada saat kecepatan partikel tersebut 21, maka percepatannya adalah .… A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 E. 20 15. Turunan pertama dari 𝑓(𝑥) = (5𝑥2 − 4)4 adalah ... A. 𝑓′(𝑥) = 40𝑥(10𝑥 − 4)3 B. 𝑓′(𝑥) = 40𝑥(5𝑥2 − 4)3 C. 𝑓′(𝑥) = 40(5𝑥2 − 4)3 D. 𝑓′(𝑥) = 40𝑥(10𝑥2 − 4)4 E. 𝑓′(𝑥) = 40𝑥(5𝑥2 − 4)4 16. Besar populasi di suatu daerah t tahun mendatang ditentukan oleh persaman p(t) = 103t3 – 5.102t + 106. Laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah….



A. 10.500 jiwa per tahun B. 10.000 jiwa per tahun C. 9.500 jiwa per tahun D. 9.000 jiwa per tahun E. 8.500 jiwa per tahun 17. Suatu perusahaan memproduksi 𝑥 buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225𝑥 − 𝑥2) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, maka banyak barang yang harus diproduksi adalah ... A. 120 buah B. 135 buah C. 140 buah D. 145 buah E. 150 buah



19



18. Suatu perusahaan menghasilkan 𝑥 produk dengan biaya sebesar (9000 + 1000𝑥 + 1000𝑥2) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 u ntuk setiap produknya, maka laba maksimum yang didapat diperoleh perusahaan tersebut adalah .... A. Rp149.000,00 B. Rp249.000,00 C. Rp391.000,00 D. Rp609.000,00 E. Rp757.000,00 19. Dua bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan 2m – n = 40. Nilai minimum dari p = m2 + n2 adalah .... A. 320 B. 295 C. 280 D. 260 E. 200 20. Jika suatu proyek akan diselesaikan dalam 𝑥 hari, maka biaya proyek perhari akan menjadi (2𝑥 +



1000 𝑥



− 40). Dengan demikian biaya proyek



minimum sama dengan ... A. 550 B. 800 C. 880 D. 900 E. 950



20



C. Kriteria Penilaian Cocokkanlah jawaban Ananda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat pada bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Ananda terhadap modul ini. 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑃𝑒𝑛𝑔𝑢𝑎𝑠𝑎𝑎𝑛 (𝑇𝑃) =



𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑜𝑎𝑙



× 100%



Arti tingkat penguasaan: 90% ≤ 𝑇𝑃 ≤ 100% ∶ 𝑠𝑎𝑛𝑔𝑎𝑡 𝑏𝑎𝑖𝑘 80% ≤ 𝑇𝑃 < 90% ∶ 𝑏𝑎𝑖𝑘 70% ≤ 𝑇𝑃 < 80% ∶ 𝑐𝑢𝑘𝑢𝑝 𝑇𝑃 < 70% ∶ 𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔 Apabila tingkat penguasaan Ananda 70% atau lebih, Ananda dapat melanjutkan ke model berikutnya. Sedangkan, apabila tingkat penguasaan Ananda kurang dari 70%, maka Ananda harus mempelajari kembali modul ini dan sering berlatih lagi.



21



DAFTAR PUSTAKA Irawan, Etsa Indra & Cunayah.



(2015).



1700



Bank



Soal



Bimbingan



Pemantapan Matematika untuk SMA/MA. Bandung: Yrama Widya. Kharis, Muhammad. (2019). Modul Pendalaman Materi Matematika. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Manullang, Sudiarto, dkk. (2017). Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Normandiri, B.K. (2016). Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Wajib. Jakarta: Erlangga. Yuniarti, Yuyun Sri. (2020). Modul Pembelajaran Matematika Umum Kelas XI. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.



22



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF



1. C



6. E



11. D



16. C



2. A



7. C



12. D



17. E



3. E



8. D



13. B



18. C



4. E



9. A



14. C



19. A



5. B



10. E



15. B



20. B



23