![Bab 4 Aplikasi Turunan [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/bab-4-aplikasi-turunan.jpg)
15 0 4 MB
KU201209 Kalkulus 1 Bab 4 Aplikasi Turunan Tim Dosen Kalkulus Institut Teknologi Kalimantan
7 Nopember 2020
Outline Tujuan Pembelajaran
1
Tujuan Pembelajaran
Aplikasi Turunan
2
Aplikasi Turunan
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020 2/102
Tujuan Pembelajaran
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
3/102
Tujuan Pembelajaran Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tujuan Pembelajaran 1 Mahasiswa mampu menghitung laju perubahan dengan menerapkan konsep turunan; 2 Mahasiswa mampu menentukan selang naik/turun dan kecekungan suatu fungsi. 3 Mahasiswa mampu menentukan ekstrem relatif suatu fungsi menggunakan uji turunan pertama dan kedua.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020 4/102
Tujuan Pembelajaran Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
Tujuan Pembelajaran
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
4 Mahasiswa mampu menentukan ekstrem relatif suatu fungsi menggunakan uji turunan pertama dan kedua 5 Mahasiswa mampu menerapkan konsep turunan untuk menggambar grafik. 6 Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan aplikatif yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum 7 Mahasiswa mampu menerapkan Teorema Rolle dan Nilai Rata-Rata
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020 5/102
Aplikasi Turunan
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
6/102
Aplikasi Turunan Pada Kasus Laju Perubahan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
Contoh
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut
Sebuah kapal tanker mengalami kebocoran dan tumpahan minyaknya menyebar di lautan dalam bentuk lingkaran yang jari-jarinya bertambah dengan laju konstan 2 m/detik . Seberapa cepatkah luas daerah tumpahan bertambah ketika jari-jari pancaran 70 m.
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020 7/102
Aplikasi Turunan Pada Kasus Laju Perubahan Tujuan Pembelajaran
Langkah 1 : Gambarkan dan beri label besaran yang berubah
Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
t = waktu (detik ) r = jari – jari tumpahan minyak setelah t detik (m) A = luas tumpahan setelah t detik (m2 ) Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
8/102
Aplikasi Turunan Pada Kasus Laju Perubahan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan
Langkah 2: Identifikasi laju-laju yang perubahannya diketahui dan laju perubahan yang akan dicari
Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020 9/102
Aplikasi Turunan Pada Kasus Laju Perubahan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional
Langkah 2: Identifikasi laju-laju yang perubahannya diketahui dan laju perubahan yang akan dicari (i)
dr dt
menyatakan laju pertambahan jari-jari terhadap waktu yang besarnya diketahui 2m/detik . Jadi diketahui dr = 2m/detik dt
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020 9/102
Aplikasi Turunan Pada Kasus Laju Perubahan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
Langkah 2: Identifikasi laju-laju yang perubahannya diketahui dan laju perubahan yang akan dicari menyatakan laju pertambahan jari-jari terhadap waktu yang besarnya diketahui 2m/detik . Jadi diketahui dr = 2m/detik dt
(ii)
dA dt
Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
dr dt
(i)
Kecekungan
menyatakan laju pertambahan luas daerah terhadap waktu yang akan dicari. Jadi dinyatakan dA dt r =70
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020 9/102
Aplikasi Turunan Pada Kasus Laju Perubahan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan
Langkah 3: Tentukan persamaan yang mengkaitkan kuantitas yang laju perubahannya dicari dengan kuantitas yang laju perubahannya diketahui. Dari rumus luas lingkaran diperoleh A = π r 2
Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
10/102
Aplikasi Turunan Pada Kasus Laju Perubahan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Langkah 3: Tentukan persamaan yang mengkaitkan kuantitas yang laju perubahannya dicari dengan kuantitas yang laju perubahannya diketahui. Dari rumus luas lingkaran diperoleh A = π r 2 Langkah 4: Turunkan ke dua sisi persamaan itu terhadap waktu dan selesaikan turunan yang akan memberi laju perubahan yang tidak diketahui. Bila A dan r adalah fungsi dari t, maka kedua sisi dapat diturunkan terhadap t, sehingga diperoleh dr dA = 2π r dt dt
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
10/102
Aplikasi Turunan Pada Kasus Laju Perubahan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
Langkah 5 : Evaluasi turunan di titik yang dimaksud.
Kecekungan
Extrim Relatif
dA dt
Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional
r =70
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
= 2π(70)(2) = 280π m2 /det
jadi pada saat r = 70 daerah tumpahan bertambah dengan laju 280π m2 /det
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
11/102
Aplikasi Turunan Pada Kasus Laju Perubahan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Contoh Kran air yang bocor membentuk genangan air yang semakin lama semakin melebar dalam bentuk lingkaran yang jari-jarinya semakin bertambah dengan laju konstan 3cm/s. Seberapa cepatkah luas daerah tumpahan bertambah ketika jari-jari sebesar 35 cm.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
12/102
Aplikasi Turunan Pada Kasus Laju Perubahan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
Penyelesaian:
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Step 1. Sketsa dan beri label besaran yang berubah t = waktu (detik) r = jari-jari genangan air setelah t detik (cm/s) A = luas tumpahan setelah t detik (cm2 /s) Step 2. Identifikasi laju perubahan yang diketahui dan laju perubahan yang akan dicari dr i. dt = 3cm/s merupakan laju pertambahan jari-jari terhadap waktu ii.
dA dt
merupakan laju pertambahan luas terhadap waktu yang akan dicari
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
13/102
Aplikasi Turunan Pada Kasus Laju Perubahan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
Step 3. Tentukan persamaan yang mengkaitkan kuantitas yang laju perubahannya dicari dengan kuantitas yang laju perubahannya diketahui. Rumus luas lingkaran A = π r 2 . Step 4. Turunkan ke dua sisi persamaan itu terhadap waktu dan selesaikan turunan yang akan memberi laju perubahan yang tidak diketahui. Dari rumus lingkaran kemudian kedua sisi diturunkan terhadap waktu t
Grafik Fungsi Rasional
dA dr = 2π r dt dt
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Jika r = 35cm maka genangan air bertambah dengan laju dA = 2π(35)(3) = 210π cm2 /s dt Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
14/102
Latihan Soal Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
1. Misalkan L luas bujur sangkar yang sisi-sisinya x dan diasumsikan x adalah fungsi waktu. dan dx ? a. Bagaimana hubungan dL dt dt b. Pada kondisi tertentu sisi - sisinya 10 m dan bertambah dengan laju 4 m/menit. Seberapa cepatkah luas bertambah pada saat ini?
2. Misalkan A luas lingkaran dengan jari-jari r dan diasumsikan r adalah fungsi waktu. dan dr ? a. Bagaimana hubungan dA dt dt b. Pada kondisi tertentu jari - jarinya 35 m dan bertambah dengan laju 7 m/menit. Seberapa cepatkah luas bertambah pada saat ini?
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
15/102
Fungsi Naik/Turun/Konstan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan
Definisi Fungsi Naik/Turun/Konstan
Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Misalkan f didefinisikan pada selang tertentu dan x1 , x2 menyatakan titik-titik pada selang tersebut a.
f naik pada selang itu jika f (x1 ) < f (x2 ) untuk x1 < x2
b.
f turun pada selang itu jika f (x1 ) > f (x2 ) untuk x1 < x2
c.
f konstan pada selang itu jika f (x1 ) = f (x2 ) untuk x1 < x2
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
16/102
Fungsi Naik/Turun/Konstan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Fungsi Naik
Tim Dosen Kalkulus
Fungsi Turun
KU201209 Kalkulus 1
Fungsi Konstan
7 Nopember 2020
17/102
Fungsi Naik/Turun/Konstan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan
Teorema Fungsi Naik/Turun/Konstan
Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Misalkan f suatu fungsi kontinu pada selang tertutup [a, b] dan dapat diturunkan pada selang terbuka (a, b) i.
Jika f 0 (x ) > 0 untuk setiap nilai x dalam (a, b) maka f naik pada [a, b]
ii.
Jika f 0 (x ) < 0 untuk setiap nilai x dalam (a, b) maka f turun pada [a, b]
iii.
f 0 (x ) = 0 untuk setiap nilai x dalam (a, b) maka f konstan pada [a, b]
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
18/102
Fungsi Naik/Turun/Konstan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Garis singgung yang mempunyai kemiringan positif
Tim Dosen Kalkulus
Garis singgung yang mempunyai kemiringan negatif
KU201209 Kalkulus 1
Garis singgung yang mempunyai kemiringan nol
7 Nopember 2020
19/102
Kecekungan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
Definisi Kecekungan
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
Misal f dapat diturunkan pada suatu selang. a. f disebut cekung ke atas pada suatu selang jika f 0 naik pada selang tersebut.
Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
20/102
Kecekungan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
Definisi Kecekungan
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Misal f dapat diturunkan pada suatu selang. a. f disebut cekung ke atas pada suatu selang jika f 0 naik pada selang tersebut. b.
f disebut cekung ke bawah pada suatu selang jika f 0 turun pada selang tersebut.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
20/102
Kecekungan Tujuan Pembelajaran
Teorema Kecekungan
Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
i.
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
ii.
Jika f 00 (x ) > 0 pada suatu selang terbuka (a, b) maka f cekung ke atas pada (a , b ) Jika f 00 (x ) < 0 pada suatu selang terbuka (a, b) maka f cekung ke bawah pada (a , b )
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
21/102
Kecekungan Tujuan Pembelajaran
Teorema Kecekungan
Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
i.
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
ii.
Jika f 00 (x ) > 0 pada suatu selang terbuka (a, b) maka f cekung ke atas pada (a , b ) Jika f 00 (x ) < 0 pada suatu selang terbuka (a, b) maka f cekung ke bawah pada (a , b )
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Definisi Jika f kontinu pada suatu selang terbuka yang memuat x0 dan jika f mengubah arah kecekungannya di x0 maka titik (x0 , f (x0 )) titik belok di x0 .
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
21/102
Kecekungan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
22/102
Kecekungan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
Contoh Sketsa grafik dari y = f (x ) = x 3 − 3x 2 + 1
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Penyelesaian : Turunan pertama dari fungsi, yaitu : f 0 (x ) = 3x 2 − 6x = 3x (x − 2) f ”(x ) = 6x − 6 = 6(x − 1)
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
23/102
Kecekungan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
Contoh Sketsa grafik dari y = f (x ) = x 3 − 3x 2 + 1
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Penyelesaian : Turunan pertama dari fungsi, yaitu : f 0 (x ) = 3x 2 − 6x = 3x (x − 2) f ”(x ) = 6x − 6 = 6(x − 1)
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
sehingga
7 Nopember 2020
23/102
Kecekungan Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020 24/102
Extrim Relatif : Uji Turunan Pertama dan Kedua Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
25/102
Extrim Relatif : Uji Turunan Pertama dan Kedua Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
Definisi Definisi Maksimum Relatif Suatu fungsi f dikatakan mempunyai maksimum relatif di x0 , jika f (x0 ) ≥ f (x ) untuk semua x dalam selang terbuka yang memuat x0 .
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
26/102
Extrim Relatif : Uji Turunan Pertama dan Kedua Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Definisi Definisi Maksimum Relatif Suatu fungsi f dikatakan mempunyai maksimum relatif di x0 , jika f (x0 ) ≥ f (x ) untuk semua x dalam selang terbuka yang memuat x0 . Definisi Minimum Relatif Suatu fungsi f dikatakan mempunyai minimum relatif di x0 , jika f (x0 ) ≤ f (x ) untuk semua x dalam selang terbuka yang memuat x0 .
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
26/102
Extrim Relatif : Uji Turunan Pertama dan Kedua Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Definisi Definisi Maksimum Relatif Suatu fungsi f dikatakan mempunyai maksimum relatif di x0 , jika f (x0 ) ≥ f (x ) untuk semua x dalam selang terbuka yang memuat x0 . Definisi Minimum Relatif Suatu fungsi f dikatakan mempunyai minimum relatif di x0 , jika f (x0 ) ≤ f (x ) untuk semua x dalam selang terbuka yang memuat x0 . Definisi Ekstrim Relatif Suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim relatif di x0 , jika fungsi tersebut mempunyai maksimum relatif atau minimum relatif.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
26/102
Extrim Relatif : Uji Turunan Pertama dan Kedua Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
Teorema
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
Jika f mempunyai ekstrim relatif di x0 , maka f 0 (x0 ) = 0 atau f tidak dapat diturunkan di x0 .
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Definisi Titik Kritis Titik kritis untuk fungsi f adalah nilai dalam domain f dimana f 0 (x ) = 0 atau dimana f tidak dapat diturunkan. Titik kritis dimana f 0 (x ) = 0 disebut titik stasioner f .
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
27/102
Extrim Relatif : Uji Turunan Pertama dan Kedua Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
Teorema Uji turunan Pertama Misalkan f kontinu di titik kritis x0 a.
Jika f 0 (x ) > 0 pada selang terbuka di sebelah kiri dari x0 dan f 0 (x ) < 0 pada selang terbuka di sebelah kanan dari x0 maka f mempunyai maksimum relatif di x0 .
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
28/102
Extrim Relatif : Uji Turunan Pertama dan Kedua Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
Teorema Uji turunan Pertama Misalkan f kontinu di titik kritis x0 a.
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
b.
Jika f 0 (x ) > 0 pada selang terbuka di sebelah kiri dari x0 dan f 0 (x ) < 0 pada selang terbuka di sebelah kanan dari x0 maka f mempunyai maksimum relatif di x0 . Jika f 0 (x ) < 0 pada selang terbuka di sebelah kiri dari x0 dan f 0 (x ) > 0 pada selang terbuka di sebelah kanan dari x0 maka f mempunyai minimum relatif di x0 .
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
28/102
Extrim Relatif : Uji Turunan Pertama dan Kedua Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
Teorema Uji turunan Pertama Misalkan f kontinu di titik kritis x0 a.
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
b.
Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
c.
Jika f 0 (x ) > 0 pada selang terbuka di sebelah kiri dari x0 dan f 0 (x ) < 0 pada selang terbuka di sebelah kanan dari x0 maka f mempunyai maksimum relatif di x0 . Jika f 0 (x ) < 0 pada selang terbuka di sebelah kiri dari x0 dan f 0 (x ) > 0 pada selang terbuka di sebelah kanan dari x0 maka f mempunyai minimum relatif di x0 . Jika f 0 (x ) mempunyai tanda sama baik f 0 (x ) > 0 maupun f 0 (x ) < 0 pada selang terbuka di sebelah kiri dari x0 dan selang terbuka di sebelah kanan dari x0 maka f tidak mempunyai ekstrim relatif di x0 .
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
28/102
Extrim Relatif : Uji Turunan Pertama dan Kedua Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut
Teorema Uji Turunan Kedua Misalkan f dapat diturunkan dua kali di titik stasioner x0 . a.
Jika f 00 (x ) > 0 maka f mempunyai minimum relatif di x0
b.
Jika f 00 (x ) < 0 maka f mempunyai maksimum relatif di x0
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
29/102
Extrim Relatif : Uji Turunan Pertama dan Kedua Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
30/102
Extrim Relatif : Uji Turunan Pertama dan Kedua Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
Contoh Tentukan dan gambarkan ekstrim relatif f (x ) = x 4 − 2x 2
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional
Penyelesaian: Turunan pertama dan kedua dari f (x ) diperoleh
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
f 0 (x ) = 4x 3 − 4x = 4x (x − 1)(x + 1)
Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
f ”(x ) = 12x 2 − 4
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
31/102
Extrim Relatif : Uji Turunan Pertama dan Kedua Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan
f 0 (x ) = 0 menghasilkan titik stasioner x = 0, x = 1 dan x = −1 karena
Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan
f ”(0) = −4 < 0
Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
f ”(1) = 8 > 0
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
f ”(−1) = 8 > 0
Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Maka terdapat maksimum relatif di x = 0, minimum relatif di x = 1 dan x = −1
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
32/102
Extrim Relatif : Uji Turunan Pertama dan Kedua Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
33/102
Latihan Soal Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
1.
Bagaimana hubungan dA dan dr . dt dt b. Jika jari-jari 5 cm dan bertambah dengan laju 3cm/detik berapa cepat luas bertambah pada saat itu.
a.
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
2.
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut
Misalkan A luas lingkaran dengan jari-jari r dan asumsikan r fungsi dari waktu
f (x ) = x 2 + 3x − 4 Tentukan dimana f naik, turun, cekung bawah, cekung atas dan tentukan nilai x untuk semua titik belok
3.
Tentukan titik kritis dan klasifikasikan titik tersebut sebagai titik stasioner atau titik yang tidak dapat diturunkan dari fungsi f (x ) = x 23x+2
4.
Tentukan ekstrim relatif dengan menggunakan uji turunan pertama dan uji turunan kedua dari f (x ) = 12 x + cos x, 0 < x < 2π
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
34/102
Latihan Soal di Buku Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
Dale Varberg, Edwin Purcell and Steve Rigdon, Calculus, Prentice Hall, 2007, 9th ed
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
35/102
Asimtot Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan
Asimtot merupakan sebuah batas berbentuk garis lurus yang didekati oleh kurva lengkung di titik jauh tak terhingga.
Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
36/102
Asimtot Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan
Asimtot merupakan sebuah batas berbentuk garis lurus yang didekati oleh kurva lengkung di titik jauh tak terhingga.
Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Asimtot terbagi menjadi 3
1. Asimtot tegak 2. Asimtot datar 3. Asmitot miring
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
36/102
Asimtot Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif
Asimtot Tegak Terjadi pada bagian penyebut fungsi rasional, dengan membuat penyebutnya sama dengan nol maka akan didapatkan nilai asimtot tegak yaitu x = c dengan c adalah konstanta. Garis x = c adalah asimtot tegak dari grafik fungsi kontinu jika salah satu dari syarat berikut terpenuhi
Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
lim f (x ) = ∞, lim+ f (x ) = −∞, lim f (x ) = ∞, lim f (x ) = −∞
x →c +
x →c
x →c −
x →c −
dimana: Fungsi rasional: f (x ) =
Tim Dosen Kalkulus
p(x ) ax m + bx m−1 + cx m−2 + ... = q (x ) px n + qx n−1 + rx n−2 + ...
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
37/102
Asimtot Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan
Contoh Cari asimtot tegak dari f (x ) =
x x +1
dan sketsa grafik asimtotnya
Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut
Perhatikan penyebut x + 1 Asimtot tegak terjadi di x + 1 = 0 sehingga x = −1 dimana
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
lim
x →−1
Tim Dosen Kalkulus
x x +1
=∞
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
38/102
Asimtot Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif
Asimtot Datar Terjadi pada fungsi rasional yang mempunyai derajat penyebut lebih besar atau sama dengan dari derajat pembilangnya. Asimtot datar didapat melalui
Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
lim f (x ) = y0 dan lim f (x ) = y0
Grafik Fungsi Rasional
x →∞
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
x →−∞
Apabila kedua limit tersebut ada dan bernilai sama maka didapatkan nilai asimtot datar yaitu y = y0 dengan y0 adalah konstanta.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
39/102
Asimtot Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan
Contoh Cari asimtot datar dari f (x ) =
Fungsi Naik/Turun/Konstan
x x +1
dan sketsa grafik asimtotnya Grafik Asimtotnya
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
Asimtot datar diperoleh melalui
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional
lim
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
x →∞
x x +1
=1
Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
lim
x →−∞
x =1 x +1
Maka asimtot datarnya adalah y = 1
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
40/102
Latihan Soal Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
Tentukan asimtot tegak dan miring dari persamaan berikut dan sketsa grafik asimtotnya : x 2 − 2x + 4 f (x ) = x −2
Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
41/102
Asimtot Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Asimtot Miring Terjadi pada fungsi rasional yang mempunyai derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebutnya. Asimtot miring didapatkan dengan cara sebagai berikut: p(x ) misalkan f (x ) = q (x ) adalah fungsi rasional dengan derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebutnya, maka melalui proses pembagian panjang f (x ) sisa dapat dibentuk menjadi f (x ) = hasilbagi + pembagi . Asimtot miring terjadi pada hasil bagi yang berbentuk persamaan garis y = px + q dengan p, q adalah konstanta
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
42/102
Asimtot Tujuan Pembelajaran
Contoh
Aplikasi Turunan
Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi
2x 2 −6x +7 x +3
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
Penyelesaian : Kita tentukan hasil dan sisa pembagian dari pembilang dan penyebut menggunakan metode pembagian bersusun
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Jadi persamaan asimtot miringnya adalah 2x − 12 Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
43/102
Grafik Fungsi Polinomial Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
Metode untuk membuat grafik Polinomial P (x ) Langkah 1: Hitung turunan pertama dan kedua dari P (x ), yaitu) P 0 (x ) dan P ”(x )
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
44/102
Grafik Fungsi Polinomial Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
Metode untuk membuat grafik Polinomial P (x ) Langkah 1: Hitung turunan pertama dan kedua dari P (x ), yaitu) P 0 (x ) dan P ”(x ) Langkah 2: Dari P 0 (x ) tentukan titik stasioner dan selang dimana P naik dan turun
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
44/102
Grafik Fungsi Polinomial Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut
Metode untuk membuat grafik Polinomial P (x ) Langkah 1: Hitung turunan pertama dan kedua dari P (x ), yaitu) P 0 (x ) dan P ”(x ) Langkah 2: Dari P 0 (x ) tentukan titik stasioner dan selang dimana P naik dan turun Langkah 3: Dari P ”(x ) tentukan titik belok dan selang dimana P cekung ke atas dan cekung ke bawah
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
44/102
Grafik Fungsi Polinomial Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Metode untuk membuat grafik Polinomial P (x ) Langkah 1: Hitung turunan pertama dan kedua dari P (x ), yaitu) P 0 (x ) dan P ”(x ) Langkah 2: Dari P 0 (x ) tentukan titik stasioner dan selang dimana P naik dan turun Langkah 3: Dari P ”(x ) tentukan titik belok dan selang dimana P cekung ke atas dan cekung ke bawah Langkah4: Plot irisan dengan sumbu y , titik stasioner, titik belok dan jika mungkin, irisannya terhadap sumbu x. Akhirnya, plot titik-titik tambahan yang diperlukan untuk memperoleh akurasi yang diinginkan dalam grafik.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
44/102
Grafik Fungsi Polinomial Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan
Contoh Buatlah sketsa grafik y = x 3 − 3x + 2
Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
Penyelesaian: Turunan pertama dan kedua dari y
Grafik Fungsi Rasional
dy d 2y = 3x 2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1) dan = 6x dx dx 2
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Turunan pertama untuk menentukan titik stasioner dan selang dimana P naik dan turun. Turunan kedua untuk menentukan titik belok dan selang dimana P cekung atas dan cekung bawah.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
45/102
Grafik Fungsi Polinomial Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
46/102
Grafik Fungsi Polinomial Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
47/102
Latihan Soal Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
Buatlah sketsa grafik y = x 3 − 3x + 5
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
48/102
Grafik Fungsi Rasional Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
Metode untuk membuat grafik fungsi rasional f (x ) P (x ) Jika P (x ) dan Q (x ) polinomial maka f (x ) = Q (x ) disebut fungsi rasional dalam x. Pembuatan grafik fungsi rasional lebih sukar akibat adanya diskontinuitas yang terjadi pada titik-tiik dengan Q (x ) = 0
Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
49/102
Grafik Fungsi Rasional Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan
Sifat – sifat yang menarik dari grafik fungsi rasional adalah: 1.
Simetri
Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
50/102
Grafik Fungsi Rasional Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan
Sifat – sifat yang menarik dari grafik fungsi rasional adalah: 1.
Simetri
2.
Perpotongan dengan sumbu x
Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
50/102
Grafik Fungsi Rasional Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan
Sifat – sifat yang menarik dari grafik fungsi rasional adalah: 1.
Simetri
2.
Perpotongan dengan sumbu x
3.
Perpotongan dengan sumbu y
Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
50/102
Grafik Fungsi Rasional Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan
Sifat – sifat yang menarik dari grafik fungsi rasional adalah: 1.
Simetri
2.
Perpotongan dengan sumbu x
3.
Perpotongan dengan sumbu y
4.
Asimtot
Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
50/102
Grafik Fungsi Rasional Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan
Sifat – sifat yang menarik dari grafik fungsi rasional adalah: 1.
Simetri
2.
Perpotongan dengan sumbu x
3.
Perpotongan dengan sumbu y
4.
Asimtot
5.
Selang naik dan selang turun
Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
50/102
Grafik Fungsi Rasional Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan
Sifat – sifat yang menarik dari grafik fungsi rasional adalah: 1.
Simetri
2.
Perpotongan dengan sumbu x
3.
Perpotongan dengan sumbu y
4.
Asimtot
5.
Selang naik dan selang turun
6.
Titik stasioner
Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
50/102
Grafik Fungsi Rasional Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan
Sifat – sifat yang menarik dari grafik fungsi rasional adalah: 1.
Simetri
2.
Perpotongan dengan sumbu x
3.
Perpotongan dengan sumbu y
4.
Asimtot
5.
Selang naik dan selang turun
6.
Titik stasioner
7.
Kecekungan
Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
50/102
Grafik Fungsi Rasional Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan
Sifat – sifat yang menarik dari grafik fungsi rasional adalah: 1.
Simetri
2.
Perpotongan dengan sumbu x
3.
Perpotongan dengan sumbu y
4.
Asimtot
5.
Selang naik dan selang turun
6.
Titik stasioner
7.
Kecekungan
8.
Titik belok
Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
50/102
Grafik Fungsi Rasional Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
Contoh Sketsa grafik y =
2x 2 −8 x 2 −16
Kecekungan Extrim Relatif
Penyelesaian. Gunakan sifat-sifat rasional sebagai berikut:
Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
a.
Simetri: penggantian x dengan −x tidak mengubah persamaan, maka grafik simetri terhadap sumbu y
b.
Perpotongan dengan sumbu x: Diambil y = 0 menghasilkan perpotongan dengan sumbu x di x = −2 dan x = 2
c.
Perpotongan dengan sumbu y : Diambil x = 0 menghasilkan perpotongan dengan sumbu y di y = 12
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
51/102
Grafik Fungsi Rasional Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
Asimtot tegak : diambil x 2 − 16 = 0 maka asimtot tegak x = −4 dan x = 4
Laju Perubahan
lim f (x ) = +∞; lim + f (x ) = −∞
Fungsi Naik/Turun/Konstan
x →−4−
Kecekungan
x →−4
Extrim Relatif Asimtot
lim f (x ) = −∞; lim+ f (x ) = +∞
Grafik Fungsi Polinomial
x →4−
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
x →4
Asimtot datar: y = 2
Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
2x 2 − 8 2x 2 − 8 = lim =2 x →∞ x 2 − 16 x →−∞ x 2 − 16
lim
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
52/102
Grafik Fungsi Rasional Tujuan Pembelajaran
Titik Uji
Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
53/102
Grafik Fungsi Rasional Tujuan Pembelajaran
(x 2 − 16)(4x ) − (2x 2 − 8)(2x ) 48x dy = =− 2 2 2 dx (x − 16) (x − 16)2
Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
54/102
Latihan Soal Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif
Sketsa grafik
Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
f (x ) =
Grafik Fungsi Rasional
x 2 − 2x + 4 x −2
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
55/102
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
Definisi Garis Singgung Tegak: Grafik suatu fungsi f dikatakan mempunyai garis singgung tegak di x0 jika f kontinu di x0 dan |f 0 (x )| menuju +∞ bila x → x0
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
56/102
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Definisi Garis Singgung Tegak: Grafik suatu fungsi f dikatakan mempunyai garis singgung tegak di x0 jika f kontinu di x0 dan |f 0 (x )| menuju +∞ bila x → x0 Definisi Cusp: Grafik fungsi f dikatakan mempunyai cusp di x0 jika f kontinu dan f 0 (x ) → +∞ untuk x mendekati x0 dari satu sisi dan f 0 (x ) → −∞ untuk x mendekati x0 sisi yang lain.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
56/102
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
57/102
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Tujuan Pembelajaran
Contoh
Aplikasi Turunan
y = (x − 4) 3
2
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
a. Simetri : tidak ada simetri terhadap sumbu koordinat atau titik asal. b. Perpotongan dengan sumbu x: y = 0 menghasilkan perpotongan di x = 4 √ c. Perpotongan dengan sumbu y : x = 0 menghasilkan perpotongan di y = 3 16 2
d. Asimtot tegak: tidak ada, karena y = (x − 4) 3 fungsi kontinu e. Asimtot datar: tidak ada, sebab 2 lim y = (x − 4) 3 = +∞ x →+∞
2
lim y = (x − 4) 3 = +∞
x →−∞
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
58/102
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
f.
dy dx d 2y dx 2
1
= f 0 (x ) = 23 (x − 4)− 3 = = f ”(x ) = − 29 (x − 4)
− 43
2 1
3(x −4) 3
=−
2 4
9(x −4) 3
g. Garis singgung tegak: ada garis singgung tegak di x = 4 dikarenakan 2 f (x ) = (x − 4) 3 tidak kontinu di x = 4 dan
Grafik Fungsi Rasional
lim+ f 0 (x ) = lim+
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
x →4
Extrem Absolut
x →4
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
2
Tim Dosen Kalkulus
x → 4−
= +∞
1
= −∞
2
lim f 0 (x ) = lim
x →4−
1
3(x − 4) 3
3(x − 4) 3
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
59/102
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Selang naik dan turun, kecekungan : kombinasi informasi terdahulu dengan mengikuti analisa tanda turunan pertama dan kedua menghasilkan grafik. Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
60/102
Latihan Soal Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
Buatlah sketsa grafik 1
y = 3x 3 (2 + x )
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
61/102
Extrem Absolut Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
62/102
Extrem Absolut Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
Jika S merupakan domain dari fungsi f , maka
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
f (x0 ) disebut nilai maksimum absolut atau nilai maksimum dari fungsi f pada S jika f (x0 ) ≥ f (x ) untuk setiap x dalam domain S. f (x0 ) disebut nilai minimum absolut atau nilai minimum dari fungsi f pada S jika f (x0 ) ≤ f (x ) untuk setiap x dalam domain S. f (x0 ) disebut nilai ekstrem absolut atau nilai ekstrem dari fungsi f pada S jika f (x0 ) adalah nilai maksimum atau nilai minimum. Fungsi yang akan dimaksimum atau minimumkan disebut fungsi objektif.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
63/102
Extrem Absolut Tujuan Pembelajaran
Contoh
Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
64/102
Extrem Absolut Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Teorema Nilai Extrem Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] maka f mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum pada interval [a, b] Jika suatu fungsi mempunyai nilai ekstrem maksimum atau minimum pada interval terbuka (a, b) maka nilai ekstrem terjadi di titik kritis selain titik ujung interval.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
65/102
Extrem Absolut Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
Teorema Titik Kritis Jika f didefinisikan berada dalam interval I yang memuat titik x0 . Jika x0 adalah nilai ekstrem, maka x0 adalah suatu titik kritis, yakni x0 adalah salah satu Titik ujung dari I
Extrem Absolut
Titik stationer dari f dimana f 0 (x0 ) = 0
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Titik Singular dari f dimana f 0 (x0 ) tidak ada.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
66/102
Extrem Absolut Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
Langkah-Langkah Mendapatkan Nilai Extrem
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
1.
Tentukan titik kritis f dalam [a, b]
2.
Evaluasi f di setiap titik kritis dan di titik ujung a dan b
3.
Nilai terbesar pada Langkah kedua adalah nilai maksimum f pada [a, b] dan nilai terkecil adalah nilai minimumnya.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
67/102
Extrem Absolut Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
Contoh Tentukan Nilai maksimum dan minimum dari f (x ) = −2x 3 + 3x 2 pada interval [− 12 , 2]
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Mencari Titik Kritis
a. Titik ujung interval yaitu − 12 dan 2 b. Titik stationer Cari turunan pertama dari fungsi f (x ) = −2x 3 + 3x 2 yaitu f 0 (x ) = −2(3x 2 ) + 3(2x ) ; f 0 (x ) = −6x 2 + 6x Jika f 0 (x ) = 0, maka −6x 2 + 6x = 0 −6x (x − 1) = 0 sehingga −6x = 0 atau x − 1 = 0 x = 0 atau x = 1
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
68/102
Extrem Absolut Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan
c. Titik Singular (tidak terdapat titik singular) Evaluasi Titik
Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Jadi nilai maksimumnya adalah 1 didapatkan ketika x = − 21 atau x = 1 serta nilai minimumnya adalah −4 didapatkan ketika x = 2
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
69/102
Latihan Soal Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
1.
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut
2.
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari a. f (x ) = x 2 + 4x + 4 pada interval [−4, 0] b. f (x ) = x 3 − 3x + 1; I = (− 32 , 3) Temukan titik kritis dan nilai ekstrem dari interval [−1, 5] untuk fungsi a. f (x ) = x 3 + 6x 2 + x + 2
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
70/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
Klasifikasi masalah optimasi
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif
Aplikasi masalah – masalah optimasi yang dibahas dalam subbab ini dikelompokkan ke dalam dua kategori
Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
1.
Masalah – masalah yang tereduksi menjadi maksimum atau minimum suatu fungsi kontinu pada tertutup berhingga.
2.
Masalah – masalah yang tereduksi menjadi maksimum atau minimum suatu fungsi kontinu pada interval tak berhingga atau interval berhingga yang tidak tertutup (yaitu terbuka atau setengah tertutup)
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
71/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum I Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
Langkah-Langkah Prosedur berikut yang dapat dipakai untuk menyelesaikan beberapa aplikasi masalah maksimum dan minimum: 1.
Buatlah gambar yang sesuai dan berikan nama dari sifat-sifat yang terkait dengan permasalahan.
2.
Tentukan sebuah rumusan yang memenuhi untuk dimaksimumkan atau diminimumkan.
3.
Gunakan syarat-syarat yang ada untuk mengeliminasi peubah-peubah, kemudian tuliskan rumusan yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan sebagai fungsi satu peubah.
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
72/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum II Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan
4.
Tentukan interval dari nilai-nilai yang mungkin untuk peubah tersebut berdasarkan pembatasan fisik masalah.
5.
Jika mungkin, gunakan cara-cara dari subbab terdahulu untuk memperoleh nilai maksimum atau minimum.
Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
73/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
a. Masalah – masalah yang terkait dengan interval tertutup berhingga Contoh Tentukan ukuran dari empat persegi panjang yang mempunyai keliling 100 m agar luasnya sebesar mungkin.
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Penyelesaian : x= panjang empat persegi panjang (meter) y = lebar empat persegi panjang (meter) L= luas empat persegi panjang (meter persegi) maka, L = xy
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
(1)
7 Nopember 2020
74/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
Karena keliling persegi panjang 100 m, maka peubah x dan y dapat dinyatakan sebagai berikut:
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
2x+2y=100 x+y=50 y = 50 − x
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
(2)
7 Nopember 2020
75/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (1)
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
L = xy
Kecekungan Extrim Relatif
L = x (50 − x ) = 50x − x 2
Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut
(3)
Karena x merupakan panjang yang tidak negatif dan karena jumlah dua sisi yang panjangnya x tidak dapat melebihi total keliling 100m, peubah x harus memenuhi
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
0 ≤ x ≤ 50
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
(4)
7 Nopember 2020
76/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
Dari persamaan (3) diperoleh turunan pertama dari L(x )) adalah
Laju Perubahan
dL = 50 − 2x dx
Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
dL jika dx = 0 maka
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
50 − 2x = 0 2x = 50
Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
x = 25 Jadi maksimum terjadi di salah satu titik x = 0, x = 25 dan x = 50
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
77/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Dari tabel dapat dilihat bahwa luas maksimum 625m2 terjadi di x = 25, sehingga didapatkan nilai y = 50 − x = 50 − 25 = 25 Jadi empat persegi panjang dengan keliling 100 m dan luas terbesar adalah bujur sangkar dengan panjang sisinya 25 m. Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
78/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
Contoh Kotak terbuka dibuat dari lembaran karton berukuran 16 cm x 30 cm dengan menggunting ke-empat sudutnya berbentuk bujur sangkar yang berukuran sama dan melipatnya ke sisi bagian atas. Berapa ukuran bujur sangkar agar diperoleh kotak dengan isi terbesar?
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Penyelesaian: x= panjang sisi bujur sangkar yang digunting V = isi kotak yang dihasilkan (cm3 ) diketahui V = plt, dari gambar diketahui bahwa p = 30 − 2x l = 16 − 2x t =x Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
79/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran
Sehingga didapatkan :
Aplikasi Turunan
V = (30 − 2x )(16 − 2x )x = 480x − 92x 2 + 4x 3
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
dan 0 ≤ x ≤ 8
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
diperoleh :
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional
dV = 480 − 184x + 12x 2 = 4(120 − 46x + 3x 2 ) dx
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Jika
dV dx
= 0 maka
120 − 46x + 3x 2 = 0 (3x − 10)(x − 12) = 0 didapatkan x = Tim Dosen Kalkulus
10 3
atau x = 12 KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
80/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
Karena x=12 berada di luar interval [0, 8] nilai maksimum V terjadi di x=0, x = atau x=8
10 3
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Dari tabel dapat dilihat bahwa volume maksimum 625m2 , sehingga 1 p = 30 − 2x = 30 − 2( 10 3 ) = 23 3 1 l = 16 − 2x = 16 − 2( 10 3 ) = 93 1 t = 33
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
81/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
b. Masalah - masalah yang terkait dengan interval yang tidak berhingga atau berhingga yang tidak tertutup
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
Contoh Kaleng tertutup dapat diisi 1 lt (1000 cm3 ) cairan. Berapa tinggi dan jari-jari yang dipilih untuk meminimumkan banyaknya bahan yang diperlukan untuk pembuatannya.
Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Penyelesaian: h = tinggi kaleng (cm) r = jari-jari kaleng (cm) S = luas permukaan kaleng (cm3 )
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
82/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
Rumus luas permukaan kaleng:
Laju Perubahan
S = 2π r 2 + 2π rh
Fungsi Naik/Turun/Konstan
(1)
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
Eliminasi salah satu peubah di atas sehingga S akan dinyatakan sebagai fungsi satu peubah. Karena isi kaleng 100 cm3 , dengan rumus V = π r 2 h untuk isi tabung diperoleh:
Extrem Absolut
1000 = π r 2 h
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
h=
Tim Dosen Kalkulus
1000 πr 2
KU201209 Kalkulus 1
(2)
7 Nopember 2020
83/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (1) diperoleh
Laju Perubahan
S = 2π r 2 +
Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan
2000 r
(3)
Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut
Catatan : r adalah jari-jari sehingga harus bernilai positif dengan menentukan nilai r pada (0 ,+∞) yang menyebabkan persamaan (3) minimum. Karena S fungsi kontinu dari r pada (0 , +∞) dengan
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
lim+ (2π r 2 +
r →0
Tim Dosen Kalkulus
2000 ) = +∞ dan r
lim (2π r 2 +
r →+∞
KU201209 Kalkulus 1
2000 ) = +∞ r
7 Nopember 2020
84/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan
Sehingga persamaan (3) mempunyai minimum, bukan maksimum pada (0 , +∞). Nilai minimum harus terjadi di titik kritis dengan menghitung turunan pertamanya
Fungsi Naik/Turun/Konstan
dS 2000 = 4π r − 2 dr r
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
Jika
dS dr
= 0 diperoleh
Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
4π r −
Tim Dosen Kalkulus
2000 10 = 0 atau r = √ 3 2 r 2π
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
85/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
10 Karena r = √ satu-satunya titik kritis pada interval (0 , +∞), nilai r 3 2π menghasilkan nilai minimum S, sehingga jika nilai r disubtitusikan pada persamaan (2) didapatkan
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional
h
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
1000 10 π( √ )2 3 2π
20
=√ 3
2π
KU201209 Kalkulus 1
= 2π
7 Nopember 2020
86/102
Latihan Soal Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
1. Seorang petani ingin memagari dua areak kandang identik yang saling berhimpitan dengan luas masing-masing 200 m2 seperti yang ditunjukan pada Gambar. Berapa panjang x dan y sehingga pagar yang dibangun petani tersebut minimum.
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
87/102
Latihan Soal Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif
2. Sebuah kotak tertutup dibuat dari kertas karton dengan ukuran lebar dan panjang 5m dan 8m. Ini dilakukan dengan memotong bagian yang di warna pada Gambar yang disediakan dan kemudian dilipat pada garis putus-putus. Hitung nilai x, y dan z sehingga volumenya maksimum!
Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
88/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran
Aplikasi Untuk Ekonomi
Aplikasi Turunan
Tiga fungsi penting dalam ekonomi adalah:
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
1.
C (x ) = total biaya produksi x unit produk selama periode waktu tertentu.
2.
R (x ) = total hasil penjualan x unit produk selama periode waktu tertentu.
3.
P (x ) = total keuntungan penjualan x unit selama periode waktu tertentu.
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional
P (x ) = R (x ) − C (x )
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Total biaya C (x ) untuk produksi x unit dapat dinyatakan sebagai penjumlahan C (x ) = a + M (x ) dengan a konstanta disebut overhead dan M (x ) adalah fungsi biaya pembuatan.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
89/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan
Biaya pembuatan M (x ) tergantung pada jumlah item pembuatan, biaya material dan buruh. Ini menunjukkan dalam ilmu ekonomi penyerdehanaan asumsi yang tepat M (x ) dapat dinyatakan dalam bentuk
Extrim Relatif Asimtot
M (x ) = bx + cx 2
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut
dengan b dan c konstanta, sehingga
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
C (x ) = a + bx + cx 2
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
90/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan
Jika perusahaan dapat menjual semua item dengan p rupiah per biji, maka total pendapatan menjadi R (x ) = p(x )
Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
dan total keuntungan menjadi
Grafik Fungsi Rasional
P (x ) = [total penghasilan] − [total biaya] = [R (x )] − [C (x )]
Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
jadi, P (X ) = px − (a + bx + cx 2 ),
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
0≤x ≤l
7 Nopember 2020
91/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
Contoh
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif
Pinicilin berbentuk cair dibuat oleh perusahaan farmasi dan dijual borongan dengan harga Rp 200 per unit. Jika total biaya produksi untuk x unit adalah
Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
C (x ) = 5.000.000 + 80x + 0, 003x 2
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
dan jika kapasitas produksi terbesar dari perusahaan 30.000 unit dalam waktu tertentu. Berapa banyak unit-unit pinicilin harus dibuat dan dijual agar memperoleh keuntungan maksimum?
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
92/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
Penyelesaian: Penyelesaian: Total penghasilan untuk penjualan x unit adalah R (x ) = 200x keuntungan P (x ) pada x unit menjadi: P (x ) = R (x ) − C (x ) = 200x − (5.000.000 + 80x + 0, 003x 2 )
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
karena kapasitas produksi terbesar 30.000 unit, berarti x harus terdapat pada interval [0, 30000], Turunan pertama dari P (x ) dP dx = 200 − (0 + 80 + 0, 003(2x )) = 200 − (80 + 0, 006x ) = 120 − 0, 006x
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
93/102
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum Tujuan Pembelajaran
Jika
dP dx
= 0 maka
Aplikasi Turunan
120 − 0, 006x = 0
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
−0, 006x = −120
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
x=
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
x = 20000
Jadi keuntungan maksimum
Karena titik kritis ini terdapat pada interval [0, 30000], keuntungan maksimum harus terjadi di salah satu titik x = 0, x = 20000, atau x = 30000
P= Rp 700.000 terjadi pada saat x = 20.000 unit
Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
−120 −0, 006
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
94/102
Latihan Soal Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
1.
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan
Biaya total untuk memproduksi dan menjual 100x unit barang per minggu adalah C (x ) = 1000 + 33x − 9x 2 + x 3
Extrim Relatif
hitung
Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
a. Jumlah produksi agar biaya maginal minimum b. Biaya marginal minimun
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
2.
Biaya total untuk memproduksi x unit Xbar per bulan adalah C (x ) = 100 + 3002x − 0, 00012 . Jika jumlah produksi 1600 unit perbulan. C (x ) Hitung biaya rata-rata, x ,untuk setiap unit dan biaya marginalnya.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
95/102
Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-Rata Tujuan Pembelajaran
Teorema Rolle
Aplikasi Turunan
Diasumsikan f terdiferensial pada (a, b) dan kontinu pada [a, b]. Jika f (a) = f (b) = 0, maka terdapatlah sedikitnya satu titik c dalam (a, b) dimana f 0 (c ) = 0.
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
96/102
Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-Rata Tujuan Pembelajaran
Teorema Rolle
Aplikasi Turunan
Diasumsikan f terdiferensial pada (a, b) dan kontinu pada [a, b]. Jika f (a) = f (b) = 0, maka terdapatlah sedikitnya satu titik c dalam (a, b) dimana f 0 (c ) = 0.
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
Contoh
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Fungsi f (x ) = sin x adalah kontinu dan terdiferensial di setiap titik, oleh karena itu kontinu pada [0, 2π]. Selanjutnya f (0) = sin 0 = 0 dan f (2π) = sin2π = 0 sedemikian hingga f memenuhi hipotesa Teorema Rolle pada interval [0, 2π]. Karena f 0 (c ) = cos c, Teorema Rolle menjamin bahwa terdapat sedikitnya satu titik c pada (0, 2π) sedemikian hingga cos c = 0 menghasilkan dua nilai untuk c, yaitu c1 = π2 dan c2 = 32π . Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
96/102
Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-Rata Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
Teorema Nilai Rata-Rata
Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
Jika f dapat diturunkan pada (a, b) dan kontinu pada [a, b], maka terdapat f (b)−f (a) sedikitnya satu titik c dalam (a, b) sehingga f 0 = b−a .
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Contoh Diberikan f (x ) = x 3 + 1 tunjukkan bahwa f memenuhi hipotesa Teorema Nilai Rata – Rata pada interval [1, 2] dan tentukan semua nilai c pada interval yang titik ekstrimnya dijamin oleh teorema.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
97/102
Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-Rata Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial
Penyelesaian: Karena f polinomial, maka f kontinu dan terdiferensial dimana-mana. Oleh karena itu f kontinu pada [1, 2] dan terdiferensial pada (1, 2) sehingga hipotesa Teorema Nilai Rata-rata dipenuhi oleh a = 1 dan b = 2
Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
f (a) = f (1) = 2 f (b) = f (2) = 9
Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
f 0 (x ) = 3x 2
Tim Dosen Kalkulus
f 0 (c ) = 3c 2
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
98/102
Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-Rata Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan
Sehingga dari teorema rata-rata
Laju Perubahan
f 0 (c ) =
Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan
f (b) − f (a) b−a
Extrim Relatif Asimtot
3c 2 =
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan)
3c 2 = 7
Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
9−2 2−1
p
p
sehingga didapatkan c = 7/3 atau c = − 7/3 p p karenac = 7/3 berada dalam interval (1, 2) maka c = 7/3 adalah bilangan yang eksistensinya dijamin oleh Teorema Nilai Rata-Rata.
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
99/102
Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-Rata Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan
Akibat Teorema Nilai Rata-Rata
Fungsi Naik/Turun/Konstan Kecekungan Extrim Relatif Asimtot
Diberikan fungsi kontinu f pada interval tertutup [a, b] dan terdiferensial pada interval terbuka (a, b).
Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
a.
Jika f 0 (x ) > 0 untuk setiap x pada (a, b) maka f naik pada [a, b]
b.
Jika f 0 (x ) < 0 untuk setiap x pada (a, b) maka f turun pada [a, b]
c.
Jika f 0 (x ) = 0 untuk setiap x pada (a, b) maka f konstan pada [a, b]
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
100/102
Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-Rata Tujuan Pembelajaran Aplikasi Turunan Laju Perubahan Fungsi Naik/Turun/Konstan
Teorema
Kecekungan Extrim Relatif Asimtot Grafik Fungsi Polinomial Grafik Fungsi Rasional Garis Singgung Tegak dan Cusp (Patahan) Extrem Absolut
Jika f dan g kontinu pada interval tertutup [a, b] dan jika f 0 (x ) = g 0 (x ) untuk semua x dalam interval terbuka (a, b), maka f dan g dibedakan oleh konstanta pada [a, b] artinya terdapat konstanta k sedemikian hingga f (x ) − g (x ) = k untuk semua x dalam [a, b].
Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
Tim Dosen Kalkulus
KU201209 Kalkulus 1
7 Nopember 2020
101/102
