BA Kalkulus Integral [PDF]

Citation preview

KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



No. Revisi 02



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



BAHAN AJAR/DIKTAT KALKULUS INTEGRAL 20P03346 3 SKS



PRODI MATEMATIKA S1 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG TAHUN 2023



Dibuat oleh :



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :



KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



No. Revisi 02



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga dengan segala kekhilafan dan kekurangan penulis dapat menghasilkan sebuah bahan ajar sederhana yang diharapkan dapat membantu mahasiswa dalam mempelajari konsep matematika tentang Kalkulus 2. Bahan Ajar ini membahas tentang integral tak tentu dan integral tertentu beserta aplikasinya. Materi mata kuliah ini meliputi: (1) Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, (2) Integral tertentu: jumlah Riemann, teorema-teorema integral tertentu, dan teorema dasar kalkulus, (3) Aplikasi integral tertentu: luas bidang, volum benda putar, panjang busur kurva, luas permukaan benda pu-tar, usaha, dan pusat massa, (4) Fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan fungsi hiperbolik, dan (5) Teknik pengintegralan, dengan demikian tulisan ini selain membantu mahasiswa juga dapat memberikan bekal tambahan dalam mengikuti mata kuliah Kalkulus 2. Proses penulisan Bahan Ajar sederhana ini dari awal hingga akhir tidak terlepas dari bantuan rekan-rekan se profesi di Universitas Negeri Semarang, lebih-lebih para mahasiswa yang menjadi motivasi penulis untuk segera menyelesaikannya. Semoga konsep teori, pembahasan soal, dan soal-soal latihan yang disajikan dalam Bahan Ajar ini dapat berguna dan membantu mahasiswa. Kekurangan dan kekhilafan disana sini Insya Allah akan diperbaiki di kemudian hari. Semarang, Februari 2023 Penulis



Dibuat oleh :



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :



KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



No. Revisi 02



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



DESKRIPSI MATAKULIAH Mata kuliah ini membahas tentang integral tak tentu dan integral tertentu beserta aplikasinya. Materi mata kuliah ini meliputi: (1) Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, (2) Integral tertentu: jumlah Riemann, teorema-teorema integral tertentu, dan teorema dasar kalkulus, (3) Aplikasi integral tertentu: luas bidang, volum benda putar, panjang busur kurva, luas permukaan benda pu-tar, usaha, dan pusat massa, (4) Fungsi logaritma,



fungsi



eksponen,



dan



fungsi



hiper-bolik,



dan



(5)



Teknik



pengintegralan. Sebagai prasyarat matakuliah Kalkulus 2 ini adalah Kalkulus



1.



Penguasaan Kalkulus 1 ini sangat memperlancar pembahasan materi Kalkulus 2. Pembelajaran mata kuliah ini berintegrasi dengan pendidikan karakter dan pilar konservasi Capaian Pembelajaran Lulusan (CPL) Berkontribusi dalam peningkatan mutu kehidupan bermasyarakat, berbangsa, bernegara, dan kemajuan peradaban berdasarkan Pancasila (CP Sikap); Menguasai konsep teoretis matematika meliputi logika matematika, matematika diskret, aljabar, analisis dan geometri, serta teori peluang dan statistika (CP Pengetahuan); Menguasai



konsep



matematika



yang



diperlukan



untuk



melaksanakan



pembelajaran di satuan pendidikan dasar dan menengah. (CP Pengetahuan) Mampu menerapkan pemikiran logis, sistematis, dan inovatif dalam implementasi ilmu pengetahuan dan teknologi yang memperhatikan dan menerapkan nilai humaniora yang sesuai dengan bidang keahliannya (CP Keterampilan Umum); Mampu mengamati, mengenali, merumuskan dan memecahkan masalah melalui pendekatan matematis dengan atau



tanpa bantuan piranti lunak (CP



Keterampilan Khusus)



Dibuat oleh :



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :



KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



No. Revisi 02



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



Capaian Pembelajaran Matakuliah (CPMK) Mahasiswa memahami secara cerdas materi anti turunan, integral tertentu, aplikasi



integral



tertentu,



fungsi



logaritma



dan



eksponen,



dan



teknik



pengintegralan serta dapat memanfaatkan pengetahuannya dengan penuh tanggung jawab.



Dibuat oleh :



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :



KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



No. Revisi 02



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



DAFTAR ISI Prakata Daftar Isi Daftar Gambar Daftar Tabel BAB I KONSEP ANTI TURUNAN A. Deskripsi Singkat B. Sub Capaian Pembelajaran Mata Kuliah C. Isi Materi Perkuliahan D. Rangkuman E. Pertanyaan BAB II TEOREMA KELINEARAN, TEOREMA PENGGANTIAN, INTEGRAL PARSIAL, DAN BEBERAPA RUMUS TEKNIS INTEGRAL A. Deskripsi Singkat B. Sub Capaian Pembelajaran Mata Kuliah C. Isi Materi Perkuliahan D. Rangkuman E. Pertanyaan BAB III NOTASI SIGMA, INDUKSI MATEMATIKA, DAN JUMLAH RIEMANN BAB IV INTEGRAL TERTENTU DAN TEOREMA-TEOREMA INTEGRAL TERTENTU BAB V TEOREMA DASAR KALKULUS 1 DAN 2 BAB VI LUAS DAERAH DAN VOLUM BENDA PUTAR BAB VII PANJANG BUSUR DAN LUAS PERMUKAAN BAB VIII USAHA DAN PUSAT MASSA BAB IX FUNGSI LOGARITMA BAB X FUNGSI EKSPONEN BAB XI FUNGSI HIPERBOLIK BAB XII INTEGRAL PARSIAL DAN INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI BAB XIII INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI BAB XIV INTEGRAL FUNGSI RASIONAL



Dibuat oleh :



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :



KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



No. Revisi 02



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



Daftar Pustaka Glosarium



Dibuat oleh :



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :



KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



No. Revisi 02



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



BAB I KONSEP ANTI TURUNAN FUNGSI



A. Deskripsi singkat Pada bab ini akan dibahas definisi dan teorema tentang konsep anti turunan dan integral tak tentu yang disertai contoh dan latihan untuk mahasiswa.



B. Sub Capaian Pembelajaran Mata Kuliah Capaian Pembelajaran: 1. Mahasiswa memahami secara cerdas materi anti turunan dan integral tak tentu. Indikator : 1. Mahasiswa dapat menjelaskan konsep anti turunan. 2. Mahasiswa dapat menerapkan konsep anti turunan untuk menghitung anti turunan yang sederhana.. C. Isi Materi Perkuliahan 1. Pengertian Anti Turunan Teorema 1.1 Dipunyai fungsi f mempunyai turunan pada selang buka I. Jika f '(x) = 0 pada selang I, maka f(x) = k untuk suatu konstanta k.



Teorema 1.2 Dipunyai fungsi f dan g mempunyai turunan pada selang buka I. Jika



f '(x) = g'(x) pada selang I, maka f(x) = g(x) + k untuk suatu konstanta k.



Definisi 1.1 Dipunyai fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I. Fungsi F yang memenuhi F’(x) = f(x) pada selang I disebut anti turunan



Dibuat oleh :



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :



KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



No. Revisi 02



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



2. Integral Tak Tentu Pada bagian ini diawali dengan pengertian anti deferensial suatu fungsi yang merupakan bentuk paling umum dari suatu anti turunan.



Definisi 1.2 Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari suatu anti turunan atau primitif fungsi. Jika F’(x) = f(x) pada selang buka I, maka anti diferensial dari fungsi f pada selang I adalah y = F (x) + C untuk sembarang konstanta C.



Selanjutnya pengertian tentang integral tak tentu didefinisikan sebagai berikut.



Definisi 1.3 Dipunyai fungsi f terdefinisi pada selang buka I dan F adalah suatu anti turunan f pada selang I. Proses menentukan anti diferensial dari fungsi f dinamakan integral tak tentu f pada I, ditulis dengan lambang



 f ( x) dx = F (x) + C dengan C sembarang konstanta dan dibaca integral tak tentu dari f terhadap variabel x.



Contoh 1.1



f (x) = sin 2x ,



Dipunyai



F (x) = − 1 cos 2x , 1



2



F (x) = sin 2 x ,



dan



2



F3 (x) = −cos 2 x . Periksa apakah



F1 (x) , F2 (x) , dan F3 (x) semuanya merupakan suatu anti



turunan dari f(x). Pemeriksaan:



d[F1 (x)] d[− 12 cos 2x] 1 d (cos 2x) d (2x) 1 = =−   = − (− sin 2x)  2 = sin 2x = f (x) dx dx 2 d (2x) dx 2



Dibuat oleh :



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :



KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



No. Revisi 02



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



d[F2 (x)] d[sin 2 x] d (sin 2 x) d (sin x) =  = = 2  sin x  cos x = sin 2x = f (x) , dan dx dx d (sin x) dx d[F3 (x)] d[−cos 2 x] d (cos2 x) d (cos x) =−  = = −2.cos x  (− sin x) = sin 2x = f (x) dx d (cos x) dx dx Jadi F1 (x) , F2 (x) , dan F3 (x) semuanya merupakan suatu anti turunan dari f(x).



Contoh 1.2 Tentukan



 2x dx .



Penyelesaian: Tulis f (x) = 2x dan F (x) = x 2 . Jelas F '(x) =



d[F (x)] d (x 2 ) = = 2x = f (x) . dx dx



Jadi F (x) adalah suatu anti turunan f(x). Jadi



 2x dx = x 2 + C .



D. Rangkuman 1. Fungsi F yang memenuhi F’(x) = f(x) pada selang terbuka I disebut anti turunan. 2. Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari suatu anti turunan atau primitif fungsi. 3. Proses menentukan anti diferensial dari fungsi f dinamakan integral tak tentu f pada selang buka I, ditulis dengan lambang



 f (x) dx = F (x) + C ,



dengan C konstanta.



Dibuat oleh :



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :



KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



No. Revisi 02



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



E. Pertanyaan/Diskusi Tugas Tugas individu dalam portofolio terprogram, mengerjakan soal latihan, diskusikan dengan kelompok, kemudian siapkan presentasinya sebagai tugas kelompok. Latihan Periksa kebenaran pernyataan berikut. 1. F0 (x) = x 2 +  adalah anti turunan dari f (x) = 2x . 2. F (x) = − 1 − x merupakan anti turunan dari f ( x) =



1 2 1− x



3. F (x) = x  cos 2x merupakan anti turunan dari f (x) = cos 2x − 2x  sin 2x 4. F (x) = x x merupakan anti turunan dari f (x) = x x .



Dibuat oleh :



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :



KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



No. Revisi 02



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



BAB II TEOREMA KELINEARAN, TEOREMA PENGGANTIAN, INTEGRAL PARSIAL, DAN BEBERAPA RUMUS TEKNIS INTEGRAL



A. Deskripsi singkat Pada bab ini akan dibahas Teorema Kelinearan, Teorema Penggantian, Integral Parsial, dan Beberapa Rumus Teknis Integral yang disertai contoh dan latihan untuk mahasiswa.



B. Sub Capaian Pembelajaran Mata Kuliah Capaian Pembelajaran: 1.



Mahasiswa memahami secara cerdas penggunaan teorema dan rumus teknis integral.



Indikator : 1. Mahasiswa dapat membuktikan teorema-teorema integral tak tentu (kelinearan, penggantian, dan integral parsial). 2. Mahasiswa dapat menggunakan teorema dan rumus teknis integral untuk menyelesaikan integral tak tentu C. Isi Materi Perkuliahan



1. Teorema Kelinearan, Teorema Penggantian, dan Integral Parsial Teorema 2.1 (Kelinearan)















(a) [ f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx dan (b)



 K  f (x) dx = K  f (x) dx , dengan K suatu konstanta.



Teorema 2.2 (Penggantian) Dipunyai y = g(x) mempunyai turunan pada Dg dan Rg I dengan I adalah suatu selang. Jika y = f (x) terdefinisi pada selang I sehingga F’(x) = f(x), maka



 f [ g(x)]  g'(x) dx = F[g(x)] + C Dibuat oleh :



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :



KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



No. Revisi 02



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



Teorema 2.3 (Integral Parsial) Jika u = u(x) dan v = v(x) adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pada selang buka I, maka



 u dv = uv −  v du . 2. Beberapa Rumus Teknis Integral Berikut ini disajikan beberapa rumus teknis integral. 1. 2.



 dx = x + C x2



 x dx = 2



+C



xn+1 +C 3.  x dx = n +1 n







4. sin x dx = − cos x + C, 5.



n  −1



 cos x dx = sin x + C 



6. sec2 x dx = tan x + C 7.



 csc2 x dx = −cot x dx 



8. sec x  tan x dx = sec x + C 9.



 csc x  cot x dx = − csc x + C dx



10.







11.



 1+ x2



12.



x



13.







= sin −1 x + C = −cos−1 x + C



1− x



2



dx



= tan−1 x + C = −cot−1 x + C



dx x −1 2



= sec−1 x + C = −csc−1 x + C



u u = sin −1  + C = −cos−1  + C a a a2 − u2



Dibuat oleh :



du



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :



KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



No. Revisi 02



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



1 −1 u  1 u tan + C = − cot−1 +C. a     a a a du 1 1 u u 15.  = sec−1  + C = − csc−1  + C a a a u u2 − a2 a 14.



du



 a2 + u2



=



Contoh 2.1 Tentukan (a)



 (2x + cos x) dx 



(b) (x 3 + 2x + 6)6 (3x 2 + 2) dx (c)



 x 2 sin x dx



Penyelesaian: (a)



 (2x + cos x) dx = 2x dx +  cos x dx = (x 2 + C 1 ) + (sin x + C 2) = x 2 + sin x + (C 1 + C 2) = x 2 + sin x + C .



(b)



 (x 3 + 2x + 6)6 (3x 2 + 2) dx =  (x 3 + 2x + 6)6 d (x 3 + 2x + 6) ((x3 + 2x + 6)7 =



(c)



 x 2 sin x dx



+C .



7







= − x 2 sin x dx







= −[x 2 cos x − cos x d (x 2 )]







= − x 2 cos x + 2 x  cos x dx







= − x 2 cos x + 2 x d (sin x)







= − x 2 cos x + 2(x  sin x − sin x dx) = − x 2 cos x + 2x  sin x + 2 cos x + C .



Dibuat oleh :



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :



KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



No. Revisi 02



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



Contoh 2.2 Tentukan (a)



x



dx 2



(b)



+ 2x + 5







dx 4x − x 2



Penyelesaian:



x



(a)



2



dx = + 2x + 5



dx



 (x + 1)2 + 22



= 1 tan−1  x + 1  + C .



  2 



2



(b)



dx







4x − x



= 2







dx



2 − (x − 2)2  x − 2 = sin −1 +C .    2  2



D. Rangkuman Teorema kelinearan, teorema penggantian, dan teorema integral parsial merupakan teorema integral yang mendasar dan harus dikuasai. Banyak soal integral yang bisa dibawa ke dalam bentuk integral seperti yang tercantum dalam beberapa rumus teknis integral. E. Pertanyaan/Diskusi Tugas Tugas individu dalam portofolio terprogram, mengerjakan soal latihan, diskusikan dengan kelompok, kemudian siapkan presentasinya sebagai tugas kelompok. Latihan Tentukan integral berikut. 1.



x



Dibuat oleh :



x − 4 dx



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :



KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



2. 3. 4.



5.



No. Revisi 02



 cos x  



x2 1− x dx



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



1 − sin x dx dx



 x 2 − 4x + 9  x 2 cos x dx



Dibuat oleh :



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :



KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Komplek Simpang 5 Unnes Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229 Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website: www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]



FORMULIR MUTU



BAHAN AJAR/DIKTAT No. Dokumen FM-01-AKD-07



No. Revisi 02



Hal 1dari 17



Tanggal Terbit 27 Februari 2017



Daftar Pustaka



1. Chotim, M. 2005. Kalkulus 2. Semarang: Penerbitan FMIPA UNNES. 2. Purcell, E.J. & Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis. (Diterjemahkan oleh I Nyoman, Bana Kartasasmita, dan Rawuh). Jilid 1. Jakarta: Penerbit Erlangga.



Dibuat oleh :



Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi dokumen tanpa ijin tertulis dari BPM UNNES



Diperiksa oleh :