Makalah Integral Kalkulus (Klmpok 5) [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Karena kalkulus ini mempunyai dua cabang utama, tapi disini saya ingin membahas tentang kalkulus integralnya. Seperti yang kita ketahui bahwa integral merupakan



kebalikan dari proses



diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Kalkulus integral juga memiliki banyak aplikasi, baik dalam kehidupan sehari-hari, maupun dalam bidang sains, sosial, ekonomi pertanian dan lain sebagainya.



1.2 Tujuan Intruksional Umum ( TIU ) dan Tujuan Intruksional Khusus ( TIK ) 1.2.1. Tujuan Instruksional Umum (TIU) Setelah selesai mempelajari BAB V maka mahasiswa mampu memahami dan mengetahui materi tentang integral kalkulus 1.2.2 Tujuan Instruksional Khusus (TIK) Tujuan Instruksional Khusus a. Mampu menententukan rumus dasar integral b. Mampu menjelaskan metode integral c. Mampu menentukan metode integral fungsi beberapa variable d. Mampu menjelaskan integral tertentu e. Mampu menjelaskan integral lipat 2 dan lipat



1



BAB II PEMBAHASAN 2.1. Definisi, Konsep Dasar dan Notasi Integral 2.1.1 Definisi Integral Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika dan bersama dengan inversnya, diferensiasi. Diferensiasi adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkanya masalah dalam diferensiasi dimana matematikawan harus berfikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ʃ Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral). Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivativ dari fungsinya diketahui. Sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas-batas atau limit dari area tersebut sudah tertentu. 2.1.2 Konsep Dasar Integral Telah kita ketahui bahwa fungsi gradien merupakan turunan dari fungsi kurva dan fungsi kurva merupakan turunan dari fungsi jarak. Jika kita mengetahui fungsi kurva, kita dapat dengan mudah memperoleh fungsi gradient dengan cara diturunkan, begitu pula jika kita mengetahui fungsi jarak tersebut kita peroleh fungsi kecepatan. Jika yang diketahui adalah fungsi gradiennya, bagaimana kita mencari fungsi kurvanya? Bagaimana pula mengetahui jarak jika fungsi kecepatannya diketahui? Integral adalah jawabannya. Pada pembahasan kali ini, kita akan mencari f(x) jika f’(x) diketahui. Misalkan diketahu: f(x) = 3x3 + 2x maka turunannya adalah f’(x) = 6x + 2x perhatikan pula bahwa: f(x) = 3x2 + 2x + 3



f’(x) = 6x + 2



f(x) = 3x2 + 2x – 4



f’(x) = 6x + 2



f(x) = 3x2 + 2x + 5



f’(x) = 6x + 2



2



f(x) = 3x2 + 2x - 7



f’(x) = 6x + 2



f(x) = 3x2 + 2x + C



f’(x) = 6x + 2



Proses pengerjaan dari f(x) ke f’(x) merupakan operasi pendiferensial, sedangkan proses pengerjaan dari f’(x) ke f(x) merupakan operasi kebalikan dari pendifferensial, yang dinamakan anti pendifferensialan atau dikenal dengan pengintegralan. Perhatikan bahwa masing masing fungsi f(x) di atas yang berbeda hanya suku tetapnya saja, sedangkan suku lainnya selalu sama yaitu 3x2 dan 2x. ini berarti bahwa semua fungsi hasil pengintegralan f’(x) = 6x + 2 dapat ditulis sebagai f(x) = 3x 2 + 2x + C, dengan C adalah konstanta dan C ϵ R. 2.1.3. Notasi Integral Jika f suatu turunan dari F, maka notasinya adalah F’(x) = f(x) atau dapat juga dituliskan sebagai d(F(x)) = f(x). Sebaliknya, F adalah anti turunan dari f dan notasi atau dimbol untuk operasi pengintegralan adalah ∫, kita tuliskan: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 Dengan:   



𝐹(𝑥) adalah fungsi integral umum yang bersifat 𝐹 ′(𝑥) = 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) disebut fungsi integral, 𝐶 adalah konstanta real sembarang.



Pengintegralan fungsi 𝑓 terhadap 𝑥 seperti tertulis di atas dinamakan integral tak tentu dari fungsi 𝑓 terhadap 𝑥. 2.2. Integral Tak Tentu Telah disebutkn diatas bahwa untuk menentukan integral tak tentu dari aturan turunan digunakan hubungan: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 Ini berarti bahwa untuk menentukan hasil suatu integral tak tentu ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 adalah mencari fungsi 𝐹(𝑥) yang bersifat 𝐹 ′(𝑥) = 𝑓(𝑥). Fungsi integral 𝑓(𝑥) dapat berbentuk fungsi aljabar atau juga fungsi trigonometri, bahkan juga dapat berebentuk fungsi eksponen. Yang akan kita bahas kali ini adalah jika integralnya berupa fungsi aljabar dan fungsi trigonometri dan juga metode metode pengerjaannya.



3



INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABAR Anti differensial atau integral merupakan operasi invers atau kebalikan dari differensiasi atau turunan. Karena itu rumus - rumus anti differensial (integral) dapat diturunkan dari rumus-rumus differensial (turunan). Untuk memperoleh metode integral umum mari kita perhatikan ilustrasi berikut: 1 Jika 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 3



1



Berarti, ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 𝐶 1



Jika 𝐹(𝑥) = 3 𝑥 3 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 Berarti, ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 =



1



3



𝑥3 + 𝐶 1



Jika 𝐹(𝑥) = 4 𝑥 4 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 1



Berarti, ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 = 4 𝑥 4 + 𝐶 Dari ilustrasi tersebut kita dapatkan pola keteraturannya, sehingga dapat kita simpulkan rumus umum integral tak tentu aljabar adalah: 1



∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑛+1 𝑥 𝑛+1 + 𝐶 1



Perhatikan bahwa 𝐹(𝑥) = 𝑛+1 𝑥 𝑛+1, sehingga 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 . Rumus umum di atas berlaku untuk semua n bilangan rasional, kecuali untuk n=1. Dengan cara yang sama kita juga akan memperoleh aturan berikut. 𝑘



∫ 𝑘𝑥 𝑛 = 𝑛+1 𝑥 𝑛+1 + 𝐶 Dengan k sembarang konstanta real.



Sekarang mari kita rancang aturan-aturan lainnya. Misalnya 𝐹(𝑥) = 𝑥, maka 𝐹′(𝑥) = 1. Dengan demikian, ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 Misalkan 𝐹(𝑥) = 𝑘𝑥 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘 sembarang bilangan real, maka demikian,



𝐹′(𝑥) = 𝑘. Dengan



∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶 Kemudian misalkan 𝐹(𝑥) dan 𝐺(𝑥) berturut-turut merupakan integral dari 𝑓(𝑥) dan ′ 𝑓(𝑥) serta 𝑘 sembarang bilangan real, maka berlaku (𝑘. 𝐹(𝑥)) = 𝑘. 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑘. 𝑓(𝑥). Dengan demikian , ∫ 𝑘𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘(𝐹(𝑥) + 𝐶) ′



Dan berlaku pula (𝐹(𝑥) ± 𝐺(𝑥)) = 𝐹 ′ (𝑥) ± 𝐺 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥), ini berarti bahwa:



4



∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑥) + 𝐺(𝑥) + 𝐶 dan ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) + 𝐶 Berdasarkan uraian di atas, metode umum integral tak tentu fungsi aljabar dapat dirangkum sebagai berikut: Misalkan 𝑘 konstanta real sembarang, 𝑓(𝑥)𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥) masing-masing merupakan fungsi integral yang dapat ditentukan dengan fungsi integral umumnya, maka: (i)



∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶



(ii)



∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶



(iii)



∫(𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 + ⋯ + 𝑑𝑧) = ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑣 + ⋯ + ∫ 𝑑𝑧



(iv)



∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑛+1 𝑥 𝑛+1 + 𝐶, dengan n bilangan rasional, n≠1



(v)



∫ 𝑘𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑛+1 𝑥 𝑛+1 + 𝐶, dengan n bilangan rasional, n≠1



(vi)



∫ 𝑘𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘(𝐹(𝑥) + 𝐶)



(vii)



∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑥) + 𝐺(𝑥) + 𝐶



(viii)



∫(𝑓(𝑥) − 𝑔)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) + 𝐶



(ix)



∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶



1



1



Sekarang, untuk menentukan fungsi apa yang turunannya adalah 𝑥 −1 . Untuk fungsi ini, disefinisikan secara khusus, bahwa : 1



∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + C atau, ∫



𝑑𝑥 𝑥



= ∫ ln 𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶



5



Contoh: 1. ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 = ∆𝐻



𝑥4 4



+𝐶



2. ∫ 𝑅𝑇 2 𝑑𝑇, 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝐴𝐻 𝑑𝑎𝑛 𝑅 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 ∆𝐻 ∆𝐻 1 ∆𝐻 ∆𝐻 −1 ∆𝐻 ∫ 2 𝑑𝑇 = ∫ 2 𝑑𝑇 = ∫ 𝑇 −2 𝑑𝑇 = − 𝑇 =− +𝐶 𝑅𝑇 𝑅 𝑇 𝑅 𝑅 𝑅𝑇 𝑐 𝑐 𝑏 3. ∫ (𝑎 + 𝑏𝑇 + 𝑇) 𝑑𝑇 = ∫ 𝑎 𝑑𝑇 + 𝑏𝑇 𝑑𝑇 + 𝑇 𝑑𝑇 = 𝑎𝑇 + 2 𝑇 2 + 𝑐 ln 𝑇 + 𝐶 INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI Sebagaimana rumus dasar integral tak tentu dari fungsi aljabar, rumus-rumus dasar untuk fungsi trigonometri pun dirancang dari aturan/rumus turunan untuk fungsi trigonometri. Dengan menggunakan aturan tak tentu ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 yang bersifat 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥), maka kita peroleh rumus-rumus dasar integral tak tentu untuk fungsi trigonometri sebagai berikut: ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 ∫ cos 𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶 ∫ tan 𝑥 . sec 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 ∫ cot 𝑥 . cos 𝑒𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = − cos ec 𝑥 + 𝐶 Kita dapat merumuskan aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri yang sudutnya berbentuk (𝑎𝑥 + b), sebagai berikut: ∫ cos(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =



1 sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 𝑎



1 ∫ sin(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = − cos(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 𝑎 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =



1 tan(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 𝑎



1 ∫ cos 𝑒𝑐 2 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = − cot(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 𝑎 ∫ tan(𝑎𝑥 + 𝑏) . sec(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 =



1 sec(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 𝑎



1 ∫ cot(𝑎𝑥 + 𝑏) . cos 𝑒𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = − cos(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎



6



Contoh: Evaluasi integral ∫ 𝑐𝑜𝑠 3 2𝑥 𝑑𝑥 Integral fungsi ini dapat dikerjakan menggunakan: ∫ 𝑐𝑜𝑠 3 ( 𝑎𝑥 + 𝑏 )𝑑𝑥 = Sehingga,



1 𝑎



1



sin ( ax + b ) -3𝑎 𝑠𝑖𝑛3 ( 𝑎𝑥 + 𝑏 ) + 𝑐



∫ 𝑐𝑜𝑠 3 ( 2𝑥 )𝑑𝑥 =



1 1 sin( 2𝑥 ) − 𝑠𝑖𝑛3 ( 2𝑥) + 𝑐 2 6



METODE INTEGRAL TAK TENTU A. Integral Subtitusi Sekarang, kita sudah mengetahui bagamana mencari anti differensial dari 𝑓(𝑥) = 𝐹(𝑥). Namun, pada kenyataannya banyak dijumpai fungsi-fungsi yang tidak mudah ditentukan integralnya. Karena itu, para ahli kalkulus mengembangkan teknik-teknik pengintegrasian untuk mengatasi masalah ini. Salah satunya adalah dengan menggunakan rumus integral subtitusi. Untuk dapat menggunakan metode subtitusi dengan hasil yang memuaskan, kita harus mengetahui integral-integral sebanyak mungkin. Fungsi matematika tertentu dapat diubah menjadi salah satu bentuk umum atau ke dalam salah satu bentuk yang ditemukan dalam table integral oleh beberapa bentuk subtitusi aljabar. Berikut akan dibahas dua jenis rumus integral subtitusi, yaitu: 1. Pengintegralan yang diubah kedalam bentuk ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢, 2. Penginegralan yang memuat bentuk-bentuk √𝑎2 − 𝑥 2 , √𝑎2 + 𝑥 2 , √𝑥 2 − 𝑎2 Berikut proses mengintegralkan fungsi dengan metode substitusi : 1. Misalkan salah satu fungsi sebagai u. 2. Turunkan fungsi u terhadap x 3. Bentuk hubungan keduanya (a dx = n du) 4. Substitusi fungsi pemisalan ke bentuk integral awal 5. Setelah diintegralkan, kembalikan fungsi pemisalan ke bentuk awalnya.



7



Misalkan: ∫(5𝑥 + 3)7 𝑑𝑥 Untuk menghitung hasil pangkat tujuh dari 𝑓(𝑥) tersebut. Maka teknik subtitusi hadir untuk membantu kita mengatasi masalah diatas. Dimisalkan (5𝑥 + 3) = 𝑢, maka 5𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 atau 𝑑𝑥 = 1⁄5 𝑑𝑢 sehingga, 1 ∫(5𝑥 + 3)7 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢7 𝑑𝑢 5 =



1 8 𝑢 +𝐶 40



=



1 (5𝑥 + 3)8 + 𝐶 40



Teorema: Dengan menggunakan subtitusi 𝑢 = 𝑔(𝑥), dengan 𝑔 adalah fungsi yang mempunyai turunan (𝑑𝑢 = 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥), sehingga: ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶 Pengintegralan yang memuat bentuk-bentuk √𝑎2 − 𝑥 2 , √𝑎2 + 𝑥 2 , √𝑥 2 − 𝑎2 Dilapangan, banyak juga ditemukan integran-integran yang memuat betuk-bentuk √𝑎2 − 𝑥 2 , √𝑎2 + 𝑥 2 , √𝑥 2 − 𝑎2 . Bentuk-bentuk tersebut tentu saja tidak mudah kita integralkan, bahkan dengan teknik subtitusi yang telah kita pelajari pun bentuk ini tidak dapat diselesaikan. Karena itu, bentuk-bentuk ini menjadi bentuk-bentuk yang khusus dalam integral. Penyelesaian dari integral yang memuat bentuk-bentuk tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan subtitusi fungsi trigonomerti sebagai berikut: 



∫ √𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥, subtitusi dengan 𝑥 = 𝑎 sin 𝜃







∫ √𝑎2 + 𝑥 2 𝑑𝑥 subtitusi dengan 𝑥 = 𝑎 tan 𝜃







∫ √𝑥 2 − 𝑎2 𝑑𝑥 subtitusi dengan 𝑥 = 𝑎 sec 𝜃



Lalu bagaimana dengan hasil integralnya? Simak uraian berikut: Untuk integral √𝑎2 − 𝑥 2 dengan mensubtitusi dengan 𝑥 = 𝑎 sin 𝜃 diperoleh: √𝑎2 − 𝑥 2 = √𝑎2 − 𝑎 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = √𝑎2 − 𝑎2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = √𝑎2 (1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃)= √𝑎2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 𝑎 cos 𝜃 Kemudia jika 𝑥 = 𝑎 sin 𝜃, maka 𝑑𝑥 = a cos 𝜃𝑑𝜃, sehingga:



8



∫ √𝑎2 − 𝑥 2 dx = ∫ a cos 𝜃 (𝑎 cos 𝜃 𝑑𝜃) = ∫ 𝑎2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝜃 = 𝑎2 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝜃 1



Ingat kembali identitas trigonometri: cos 2𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 2 (1 + cos 2𝑥), sehingga, 𝑎2 ∫ 𝑎 𝜃𝑑𝜃 = ∫(1 + cos 2𝜃) 𝑑𝜃 2 2



𝑎2 1 = ∫(𝜃 + sin 2𝜃) + 𝐶 2 2 𝑎2 = (𝜃 + sin 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃) + 𝐶 2 𝑥



𝑥



Dari hubungan 𝑥 = a sin 𝜃, diperoleh 2 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 sin [𝑎] Dan juga diperoleh cos 𝜃 =



√𝑎2 −𝑥2 𝑎



Dengan demikian, ∫ √𝑎2 − 𝑥 2 dx =



=



𝑎2 (𝜃 + sin 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃) + 𝐶 2



𝑎2 𝑥 𝑥 √𝑎2 − 𝑥 2 (𝑎𝑟𝑐 sin ( ) + ( ) ( )) + 𝐶 2 𝑎 𝑎 𝑎



=



𝑎2 𝑥 𝑥 𝑎𝑟𝑐 sin ( ) + √𝑎2 − 𝑏 2 + 𝐶 2 𝑎 2



Jadi, ∫ √𝑎2 − 𝑥 2 dx =



𝑎2 𝑥 𝑥 𝑎𝑟𝑐 sin ( ) + √𝑎2 − 𝑏 2 + 𝐶 2 𝑎 2



Misalkan, Tentukan Integral berikut: ∫ √25 − 𝑥 2 = ∫ √25 − 𝑥 2 𝑑𝑥 =



25 2



𝑥



𝑥



𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑖𝑛 (5) + 2 √252 − 𝑥 2



9



Contoh Lain: 1. ∫ 2𝑥( 1 − 𝑥 2 )5 𝑑𝑥 Kita coba untuk mengubah intagral ke bentuk ∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢. misalkan u = ( 1 - 𝑥 2 ) . maka du = - 2x dx. Karenanya, 1



1



∫ 2𝑥 (1 − 𝑥 2 )5 dx = -∫ 𝑢5 du = - 6 𝑢6 + c = - 6 ( 1 − 𝑥 2 )6 + 𝑐 𝛥𝐸



𝛥𝐸



2. ∫ 𝑒 −𝑘𝑇 (𝑘𝑇 2 ) dT. 𝛥𝐸



∆𝐸



Misalkan u= - -𝑘𝑇 2. Makan du = 𝑘𝑇 2 𝑑𝑇. Karenanya, ∫𝑒



−



∆𝐸 𝑘𝑇 2



∆𝐸 ( 2 ) 𝑑𝑇 = ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝑐 = 𝑒 −∆𝐸𝑘𝑇+𝑐 𝑘𝑇



3. ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 Misalkan u= sin x. maka du = cos x dx. Karenanya, 1 1 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑢3 + 𝑐 = 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 𝑐 3 3 B. Integral Persial Ternyata, beberapa teknik pengintegralan diataspun belum bisa mengatasi semua permasalahan dalam pengintegralan. Misalkan kita ingin menghitung integral tak tentu berikut:∫ 𝑥 cos 𝑥𝑑𝑥. Sungguh sulit kita menentukan fungsi yang turunannya sama dengan 𝑥 cos 𝑥 baik dengan menggunakan rumus dasar integral tak tentu, maupun dengan teknik subtitusi. Karena itu, para ahli terus mengembangkan metode penyelesaian integral agar dapat mengatasi masalah pengintegralan yang lebih luas lagi. Rumus integral parsial dihadirkan untuk menjadi solusi atas permasalahan tersebut. Integral parsial ditandai dengan adanya fungsi yang jika di turunkan terus bernilai nol sehingga dalam hal ini hanya sebagian fungsi saja yang diintegralkan sedangkan yang lain diturunkan. Integral parsial digunakan ketika integral suatu fungsi tidak dapat diselesaikan dengan metode anti turunan sesuai definisinya. Integral parsial umumnya digunakan pada integral hasil kali dua fungsi yang secara umum berbentuk ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥. Integral parsial ditandai dengan pemisahan salah satu fungsinya f(x) = u dan g(x)dx = dv, sehingga dihasilkan hasil lain yang biasanya disimbolkan dengan∫ 𝑈𝑑𝑣 Misalkan terdapat fungsi 𝑢 dan fungsi 𝑣 yang hasil kalinya adalah 𝑦 = 𝑢𝑣. Dengan menggunakan aturan turunan hasil kali fungsi-fungsi diperoleh hubungan:



10



𝑦 ′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣′ 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑣 = 𝑣+ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑣𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑣 Kemudian kita melakukan operasi pengintegralan pada kedua ruas persamaan, sehingga diperoleh: ∫ 𝑑𝑦 = ∫(𝑣𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑣) 𝑦 = ∫ 𝑣𝑑𝑢 + ∫ 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑣 = ∫ 𝑣𝑑𝑢 + ∫ 𝑢𝑑𝑣 ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 Persamaan terakhir yang diperoleh merupakan rumus integral parsial yang dimaksud. Berdasarkan uraian di atas, diperoleh devinisi berikut: Misalkan 𝑢(𝑥) dan 𝑣(𝑥) masing masing adalah fungsi dalam variabel 𝑥, maka pengintegralan ∫ 𝑢𝑑𝑣 ditentukan dengan: ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 Misalkan, tentukan integral berikut dengan menggunakan rumus integral parsial. 1. ∫ 𝑥 cos sin 𝑥𝑑𝑥 Memilih



𝑢 = 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑣 = cos 𝑥𝑑𝑥,



sehingga: ∫ 𝑥 cos sin 𝑥𝑑𝑥



maka



𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑣 = ∫ cos 𝑥𝑑𝑥 = sin 𝑥,



= 𝑥 sin 𝑥 − ∫ sin 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − (−𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝐶 = 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶



Jadi, ∫ 𝑥 cos sin 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶



11



Contoh 𝑑𝑥



∫ (𝑎−𝑥)(𝑏−𝑥), dimana a dan b konstan Tipe integral ini dapat ditrasformasikan melalui metode, misalkan A = (𝑎 − 𝑥) dan B = (𝑏 − 𝑥). 1 𝐴



1



𝐵



𝐴



− 𝐵 = 𝐴𝐵 −



𝐴𝐵



=



𝐵−𝐴 𝐴𝐵



Selanjutnya, 1 𝐴𝐵



1



1



1



= (𝐵−𝐴) (𝐴 - 𝐵)



1 ( 𝑎−𝑥 )(𝑏−𝑥)



1



1



1



= ( 𝑏−𝑎 ) ((𝑏−𝑥 ) − (𝑏−𝑥))



Atau ∫



𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = [∫ − ∫ ] (𝑎 − 𝑥 )( 𝑏 − 𝑥 ) ( 𝑏 − 𝑎) (𝑎−𝑥) (𝑏 − 𝑥 )



Sehingga 𝑑𝑥 1 [– 𝐼𝑛 (𝑎 − 𝑥 ) + 𝐼𝑛 ( 𝑏 − 𝑥 )] + 𝐶 = ( 𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑥) (𝑏−𝑎) ∫ 1 (𝑏−𝑥) = 𝐼𝑛 + 𝐶 (𝑏−𝑎) ( 𝑎 − 𝑥) 2.3 Integral Tentu Pengertian atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh Newton dan Leibniz. Namun pengertian secara modern dikenalkan oleh Reimann. Materi pembahasan terdahulu yakni tentang integral tak tentu akan kita gunakan untuk mendefinisikan tentang integral tentu. Pandang suatu fungsi f(x) yang didevinisikan pada suatu selang tutup [ a, b ]. Pada tahap awal akan lebih mudah untuk dimengerti bila mana fx diambil selalu bernilai positif, kontinu dan grafiknya sederhana. Integral tertentu adalah nilai dari jumlah luas dibawah suatu kurva tertentu dalam interval a ≤ x ≤ b, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas integral tertentu. Integral 𝑏



tertentu dituliskan dalam notasi ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. Notasi ini disebut integral tertentu karena hasilnya berupa nilai tertentu dan tidak lagi mengandung konstanta.



12



Rumus dan bentuk umum integral tertentu: 𝑏



∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎



Dalam menghitung integral tentu dengan teknik substitusi, kedua batas integral pada umumnya berubah dan kita dapat menghitung integral dalam perubahan baru tanpa harus mensubstitusikan kembali perubahan lama. Secara umum, dengan melakukan substitusi u = g(x), du= g’(x)dx, kita peroleh Integral tak tentu: ∫f(g(x)).g’(x)dx= ∫f(u) du. TEOREMA DASAR INTEGRAL KALKULUS Telah dijelaskan bahwa luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan sumbu 𝑥 pada selang [a, b] dapat dihitung dengan pendekatan proses limit, yang kemudian dikenal dengan jumlah Reimann, yaitu : 𝑏



𝑛



𝐿 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(→)∆𝑥𝑖 𝑛→∞



𝑎



𝑖=1



𝑥𝑖



Selanjutnya dihitung antara luas daerah dibawah kurva dengan konsep integral tentu:



Luas daerah dibawah kurva 𝑓(𝑥) yang dibatasi sumbu 𝑥 pada selang [a,b] atau dapat juga dikatakan dibatasi garis 𝑥 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑥 adalah luas daerah ABCD yang ditentukan oleh: 𝑏



𝐿 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎



Jika 𝑥 digeser ke 𝑥 + ∆𝑥, maka luas daerah baru menjadi L (𝑥 + ∆𝑥), sehingga pertambahan luas daerah yaitu daerah CDFH adalah L (𝑥 + ∆𝑥)-L(x). Dengan demikian diperoleh hubungan:



13



Luas CDGH Luas CDFH < Luas CEFH



 𝑓 (𝑥). ∆𝑥 < 𝐿 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝐿(𝑥) < 𝑓(𝑥 + ∆𝑥). ∆𝑥  𝑓(𝑥)