![Bab 1 Vektor Fisika Teknik [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/bab-1-vektor-fisika-teknik.jpg)
5 0 1 MB
SUB POKOK BAHASAN • • • • • •
Definisi Vektor Penjumlahan vektor Vektor Satuan Penjumlahan vektor secara analitis Perkalian Skalar Perkalian Vektor
Sasaran Pembelajaran • Mahasiswa mampu mencari besar vektor, menentukan vektor satuan • Mahasiswa mampu menyelesaikan operasioperasi vektor
Syarat Kelulusan
Definisi Vektor Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah di atas huruf (misal A ) Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal.
Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R
b
R a 9/26/2012
Fisika I
5
PENJUMLAHAN VEKTOR Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c. Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua. b S R T=R+S T
c
a 9/26/2012
Fisika I
6
BESAR VEKTOR RESULTAN Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan : (1.1)
T R2 S2 2RS cos θ θ S
R
T=R+S T
Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S
9/26/2012
Fisika I
7
PENGURANGAN VEKTOR Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan.
D
D=A–B B
A
9/26/2012
Fisika I
-B
8
CONTOH Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km Selanjutnya bergerak ke Selatan sejauh 10 km.
N
Tentukan besar perpindahan mobil tersebut !
E B
40 km
U
20 km
10 km S
9/26/2012
Fisika I
9
CONTOH B
40 km
Jawab : 10 km A
C
20 km 10 km 402 102 10 17 m
40 km
Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D. Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah : 9/26/2012
Fisika I
10
VEKTOR SATUAN Vektor satuan didefenisikan sebagai : r
R R
(1.2)
Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R. Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan. •Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif •Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif •Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif
9/26/2012
Fisika I
11
PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS R z
R R R Rx Ry Rz 2
R
2
2
y
x
Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk Besar vektor R adalah :
Vektor dalam 2 Dimensi
Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat. 9/26/2012
Fisika I
12
CONTOH Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan : a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c. Panjang vektor
Jawab :
y
(-2,5) ujung
Ry
(2,2) pangkal
x Rx
a. Vektor perpindahan : R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j 9/26/2012
Fisika I
13
CONTOH y
(-2,5) ujung
Ry
(2,2) pangkal
x Rx
b.
Sudut yang dibentuk :
tan c.
9/26/2012
1
Ry Rx
3 tan 1 37 o 4
Besar vektor R = R x 2 R y 2 3 2 4 2 5 satuan
Fisika I
14
PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku : R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j (1.3) yA + yB
yB
yA
B B A xBxA
A xA + xB
9/26/2012
Fisika I
15
CONTOH Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 2j B = 2i 4j Tentukan : a. A + B dan A + B b. A B dan A B Jawab : a. A + B = 3i + 2j + 2i 4j = 5i 2j A + B =
-B
AB
A B
5 2 (2)2 29
b. A B = 3i + 2j (2i 4j) = i + 6j A B = 2 2
1 6 37
9/26/2012
Fisika I
16
SOAL 1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya! 2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh vektor satuannya 3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA = 10 satuan ! 4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C b. A + B + C 9/26/2012
Fisika I
17
SOLUSI 1. R = Rxi + Ryj
Diketahui : Rx = R cos = 4 cos 60o = 2 3 satuan Ry = R sin = 4 sin 60o = 2 satuan Dengan demikian R = 2i + 2 3 j satuan Vektor satuan : r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ 3j Y
R
9/26/2012
60o X
Fisika I
18
SOLUSI Y
2. 2
R
2 1
2
R x R y 4 2 22 2 5 m
X
5
a. R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan titik akhir (x2,y2) = (5,0). Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j. b. R = c.
9/26/2012
r
R 2 5 5 i j R 5 5
Fisika I
19
SOLUSI 2 2 3. Besar vektor A = 3 4 = 5 satuan Dengan demikian nilai c = 2 satuan
4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j b. A + B + C = 2i + 4j - 7i + 8j = -5i + 12j -5i + 12j = = 13 satuan
52 122
9/26/2012
Fisika I
20
PERKALIAN SKALAR Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku : A . B = AB cos (1.4) Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka : A . B = axbx + ayby + azbz (1.5) Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain.
A
9/26/2012
Fisika I
B 21
PERKALIAN SKALAR Perhatikan animasi di samping ini !
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i.i=j.j=k.k=1 i.j=j.k=k.i=0
9/26/2012
Fisika I
22
CONTOH Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i 2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B ! Jawab : Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1.4). A A .B cos AB A . B = (3i + 4j) . (4i 2j) = 3.4 + AB 4.(-2) = 4 B Besar vektor A = 3 4 5 2 2 Besar vektor B = 4 ( 2) 20 2
2
A.B 4 4 2 cos AB 5 20 10 5 125 9/26/2012
Fisika I
Dengan demikian = 79,7o 23
PERKALIAN VEKTOR Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku : AB=C (1.6) Besar vektor C adalah : C = AB sin (1.7) Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A B tidak sama dengan B A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan. B
C=AB B
C = -C’
A
C’ = B A
A 9/26/2012
Fisika I
24
PERKALIAN VEKTOR
Perhatikan animasi di samping ini !
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : ii=jj=kk=0 i j = k ; j k = i; k i = j j i = -k ; k j = -i; i k = -j 9/26/2012
Fisika I
25
PERKALIAN VEKTOR Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut. Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :
9/26/2012
Fisika I
26
CONTOH Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i 2j + k Tentukan : a. A B b. Buktikan A B = -B A Jawab : a. A B = (3i + 4j) (4i 2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k b. B A = (4i 2j + k) (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A B terbukti
9/26/2012
Fisika I
27
SOAL 1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3 i – 4 k ! 2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B = i + 3 j – 4 k ! 3. Diberikan tiga buah vektor : A=1i+2j–k B=4i+2j+3k C=2j–3k Tentukan : a. A . (B C) b. A . (B + C) c. A (B + C) 4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus ! 9/26/2012
Fisika I
28
SOLUSI 1.
Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor A :
A 12 22 ( 1)2 6 Besar vektor B : B 32 ( 4)2 5
A .B
7
Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh : cos AB 5 6 o Dengan demikian = 55,1 A
2.
AB
B
Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya : A.B 4.1 2.3 ( 1).( 4) 14 A B A cos 2 2 2 B 26 1 3 ( 4) 9/26/2012
Fisika I
29
SOLUSI 3. a.
b. c. 4.
B C = (4i + 2j + 3k) (2j – 3k) = 8(i j) – 12(i k) – 6(j k) + 6(k j) = 8k + 12j 12i A . (B C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4 B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 A (B + C) = (i + 2j – k) (4i + 4j) = i – 4j – 4k
Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh : R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0
R . S = RxSx + RySy + RzSz Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka : R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0
9/26/2012
Fisika I
30
BESARAN FISIS Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya. S = f(x1, x2, . . . , xn)
(1.8)
S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada. Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja. 9/26/2012
Fisika I
31
BESARAN FISIS Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel, yaitu x. Dari grafik di samping diketahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dan y4 = y1.
y
y1 y2 y3
x1 x2
x3
x4
x
Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas. 9/26/2012
Fisika I
32
BESARAN FISIS Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu. 50
t (detik)
x (meter)
0
9
1
4
2
1
30
3
0
25
4
1
20
5
4
15
6
9
10
7
16
8
25
9
36
45 40
x(t) = (t – 3)2
x(t)
35
5 0
9/26/2012
0
1
2
3
4
5 t
6
7
Fisika I
8
9
10
33
BESARAN FISIS
E(r)
9
r (m)
E (N/C)
8
1
9
7
2
2,25
6
3
1
4
0,5625
5
0,36
6
0,25
7
0.1837
8
0,1406
9
0,1111
10
0,09
5 4
Ek
3
q r2
2 1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r
Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.
9/26/2012
Fisika I
34
CONTOH 1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x ! F
x 9/26/2012
Fisika I
35
CONTOH 2.
Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t! Q
Q = q(1 – e-At) q
t 9/26/2012
Fisika I
36
DIFERENSIAL Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM. Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari f (c h) f (c ) m lim persamaan posisi terhadap waktu. h h0 Lihat gambar di samping. Gradien dari garis singgung pada titik P dapat ditentukan f(x) oleh persamaan : (1.9)
f(c+h) f(c)
P
c 9/26/2012
x
c+h Fisika I
38
DIFERENSIAL Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi :
f ( x' ) f ( x ) f ( x ) m lim lim x x' x x' x x' x
(1.10)
Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh : dy f’(x) Dxy dx Berlaku untuk turunan : 1. Dx(cf(x)) = c Dxf(x)
c : konstanta
(1.11a)
2. Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x)
(1.11b)
3. Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x))
(1.11c)
4. Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x)
(1.11d)
5. Dx(xn) = nXn-1
(1.11e)
9/26/2012
Fisika I
39
DIFERENSIAL Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk : dB A dC Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh :
Jarak Kecepa tan waktu
v
Usaha waktu
P
Daya
dW dt dq I dt
Mua tan Arus waktu 9/26/2012
dx dt
Fisika I
40
CONTOH Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan : a. Fungsi arus sebagai waktu b. Besar arus saat t = 0 c. Gambarkan grafik I(t) Jawab : a. Besar arus I : dQ d I q(1 e At ) qAe At qA dt dt b. Pada saat t = 0 harga I adalah : I = qAe-A.0 = qA
I(t)
c.
t 9/26/2012
Fisika I
41
INTEGRAL Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x. 55 50 45 40 35
y
30
Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x – 3)2 + 5 dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai dengan x = 8.
25 20 15
x
10 5 0
0
9/26/2012
1
x0
2
x1
3
x2
4
x3
5 xx4
6
x5
7
x6 Fisika I
8
x7
9
10
42
INTEGRAL Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan : A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x 7
A(n 7) f ( x i )x i0
Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi. Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga. n
8
i0
1
A lim A(n) lim f ( x i )x f ( x )dx n
9/26/2012
n
Fisika I
43
INTEGRAL Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain. Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk : R S dT
Sebagai contoh : Usaha = Gaya jarak
W F ds
Fluks = Medan luas
E dA
9/26/2012
Fisika I
44
CONTOH Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan : a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas b. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu Jawab : W F dx kx dx 21 kx 2 a. Usaha yang dilakukan : b.
W
x 9/26/2012
Fisika I
45
SOAL 1. Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan B = 5.103 N/m2. Tentukan : a. Grafik F terhadap x b. Perubahan Gaya F terhadap jarak c. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm 2. Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak. Tentukan : V (volt) a. Fungsi potensial V sebagai fungsi x 8 b. Jika diketahui medan listrik E adalah turunan pertama dari potensial listrik 4 V, tentukan fungsi E(x) c. Gambarkan grafik E terhadap x 10 9/26/2012
x (m) Fisika I
46
SOAL 3.
Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/s bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan : a. Gambarkan grafik v(t) b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik
c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t) d. Gambarkan grafik a(t) e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu f. Posisi saat kecepatan v = 0
9/26/2012
Fisika I
47
SOLUSI 1. a.
F (N)
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
1. b.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x (cm)
Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh
dF = A – 2Bx = 103 – 104x dx 9/26/2012
Fisika I
48
SOLUSI 1. c. Usaha yang dilakukan :
W F dx W= 2. a.
9.10 2
Bx 2 dx A 21 x 2 B 31 x 3 2 Ax 3.10 2
3.10 36.10-4A –
9.10 2
234.10-6B = 2,43 Joule
V (volt)
Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakan persamaan garis V = ax + b. Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4 Untuk titik (10,8) 10.a + b = 8
8
4
10
x (m)
Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4 9/26/2012
Fisika I
49
SOLUSI dV( x ) 2. b. Medan listrik E(x) = = 2,5 dx Dengan demikian nilai E(x) konstan. E (V/m)
2. c. 2,5 v (m/s)
20
x (m)
15
3. a.
10 5 0 -5 -10 -15 -20
9/26/2012
x (m) 0
1
2
3
Fisika I
4
5
6
7
8
9
10
50
SOLUSI 3. b. Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32 = 12 m/s. 3. c. Percepatan a(t) = 3. d.
10
a (m/s2)
dv( t ) = 10 – 4t dt
5
0
-5
-10
-15
-20
9/26/2012
x (m) 0
1
2
3
4
5
6
7
Fisika I
8
9
10
51
SOLUSI 3. e.
Fungsi posisi x(t) = v( t ) dt 10t 2t 2 dt 5t 2 32 t 3
3. f.
Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik posisi x di : x(5) = 5.5 2 2 5 3 3
125 41 32 3
Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m
9/26/2012
Fisika I
52
Colour scheme Background
Text & Lines
Shadows
Title Text
Fills
Accent
Accent & Hyperlink
Followed Hyperlink
Sample Graph (3 colours) 90 80 70 60 50
East West North
40 30 20 10 0 1st Qtr
2nd Qtr
3rd Qtr
4th Qtr
Picture slide • Bullet 1 • Bullet 2
Process Flow Design
• Bullet 1 • Bullet 2 • Bullet 3
Plan
• Bullet 1 • Bullet 2 • Bullet 3
Build
• Bullet 1 • Bullet 2 • Bullet 3
Test
• Bullet 1 • Bullet 2 • Bullet 3
Evaluate
• Bullet 1 • Bullet 2 • Bullet 3
Example of a table Title
Title
Data
Data
Note: PowerPoint does not allow you to have nice default tables - but you can cut and paste this one
Examples of default styles • Text and lines are like this • Hyperlinks like this • Visited hyperlinks like this
Text box
Table
Text box With shadow
Use of templates You are free to use these templates for your personal and business presentations. We have put a lot of work into developing all these templates and retain the copyright in them. You can use them freely providing that you do not redistribute or sell them.
Do
Don’t
Use these templates for your Resell or distribute these templates. presentations. Put these templates on a website for Display your presentation on a web download. This includes uploading site provided that it is not for the them onto file sharing networks like purpose of downloading the template. Slideshare, Myspace, Facebook, If you like these templates, we would bit torrent etc. always appreciate a link back to our Pass off any of our created website. Many thanks. content as your own work.
You can find many more free PowerPoint templates on the Presentation Magazine website www.presentationmagazine.com
