Bab 1 Vektor [PDF]

Citation preview

VEKTOR Fisika Dasar I



Besaran Vektor dan Skalar • Besaran vektor: mempunyai nilai/harga dan arah. • Besaran skalar: mempunyai nilai/harga saja (tidak memiliki arah) Besaran skalar: massa, panjang mobil, volume mobil



Besaran vektor: kecepatan, percepatan, gaya



www.its.ac.id



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Representasi Vektor • Cara Geometri



A a



q O



www.its.ac.id



𝑂𝐴 = 𝐀 = 𝐴⃗



Huruf tebal



⃗ 𝑎∠𝜃 Vektor 𝑂𝐴 atau 𝐀 atau 𝐴: Modulus/besar atau panjang nya: |A| = a Arahnya: 𝜃 terhadap horisontal



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Representasi Vektor • Cara Geometri A a



www.its.ac.id



C



B c



b



B=A



Vektor A dan B besarnya sama dan sejajar (arahnya sama) è dapat dikatakan vektor A = vektor B Vektor A dan C besarnya sama tetapi berlawanan arah è dapat dikatakan vektor A = - vektor C



C = -A INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Representasi Vektor • Cara Analitis



Merepresentasikan vektor dalam suatu sistem koordinat, misalnya kartesian. Tidak perlu membuat gambar atau sketsa, cukup dinyatakan dengan vektor satuan: 𝚤̂ yang menyatakan arah ke sumbu 𝑥 posi:p 𝚥̂ yang menyatakan arah ke sumbu 𝑦 posi:p 𝑘' yang menyatakan arah ke sumbu 𝑧 posi:p Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan, yang berfungsi untuk menunjukkan arah, misal pada system koordinat kartesian dua dimensi:



y 𝚥̂



O www.its.ac.id



"̂



x INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Vektor Satuan • Vektor satuan: vektor dengan nilai/harga 1 dan



z



memiliki arah di sumbu tertentu.



|𝚤|=1 ̂



• Kegunaan: menentukan/menunjukkan arah



|𝚥|=1 ̂ , |𝑘|=1



𝑘) 𝚤̂



• Vektor satuan yang mengarah ke sumbu posi;f dari ) sumbu 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 diberi label sebagai 𝚤,̂ 𝚥,̂ dan 𝑘;



𝚥̂ 0



y



dimana tanda ̂ menunjukkan bahwa vektor tersebut merupakan vektor satuan.



x www.its.ac.id



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Vektor Satuan z



𝐑 = 𝑎 𝚤̂ + 𝑏𝚥̂ + 𝑐𝑘) 𝐑 =𝑹= 𝑹 𝑘)



𝚤̂



(𝑎!+𝑏 ! + 𝑐 !)



c 𝚥̂



0 b



x www.its.ac.id



y a



𝑹



a cos a = R b cos b = R c cos g = R



Untuk vektor satuan 𝐑: 𝐑 𝑅) = 𝑹 𝑅) = cos 𝛼 𝚤̂ + cos 𝛽 𝚥̂ + cos 𝛾 𝑘) INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Representasi Vektor • Cara Analitis Misal ada vektor 𝑨 Dengan panjang 𝑎



Secara analitis, cukup dinyatakan dalam bentuk 𝑨 = 𝒂𝒙 "̂ + 𝒂𝒚 .̂



a



Yang sebenarnya 𝒂𝒙 𝑑𝑎𝑛 𝒂𝒚 adalah proyeksi 𝑨 ke sumbu 𝑥 dan 𝑦, sehingga 𝑨 dapat dikatakan vektor yang dibentuk mulai dari titik 𝑂 bergerak sebesar 𝒂𝒙 ke arah sumbu 𝑥 dan sebesar 𝒂𝒚 ke arah sumbu 𝑦



y 𝑎𝑦



a



𝑨



www.its.ac.id



• Panjang/modulus 𝑨 = |𝑨|=



𝑎#% + 𝑎$% &!



• Besar sudut 𝜃 dihitung dari tan 𝜃 = &



𝚥̂ 𝑂



Jika 𝐴⃗ membentuk sudut 𝜃 dengan sumbu x, maka dipenuhi: • 𝑎# = 𝑎 cos 𝜃 ; 𝑎$ = sin 𝜃



"̂



𝑎𝑥



"



x INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Operasi Matematika pada Vektor dan Skalar Operasi Skalar



Operasi Vektor



Penjumlahan



Penjumlahan



Pengurangan



Pengurangan



Perkalian



Perkalian titik (dot product)



Pembagian



Perkalian silang (cross product)



Pemangkatan Peng-akar-an Cara Geometris (kedua vektor harus dinyatakan dalam gambar)



www.its.ac.id



Cara Anali/s (5dak perlu digambar, kedua vektor harus dinyatakan dalam notasi vektor satuan dalam system koordinat)



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Sifat Operasi Vektor B A



A



B



C =A+B



C =B+A B



www.its.ac.id



A



C =A+B=B+A (komutatif)



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Sifat Operasi Vektor C C B



D



B A



A



D = (A + B) + C



(A + B) + C = A + (B + C) (asosiatif)



A D C



D = A + (B + C)



B www.its.ac.id



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Operasi Vektor: Penjumlahan Misal, diketahui vektor 𝐴⃗ dengan panjang 𝑎 dan vektor 𝐵 dengan panjang 𝑏 berikut ini



𝒂



𝒃



𝒂



q Berapakah resultan atau panjang (𝐴⃗ + 𝐵) atau 𝑅 ?



www.its.ac.id



𝒃



Dengan q adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh vektor 𝑨 dan vektor 𝑩



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Operasi Vektor: Penjumlahan • Cara Geometri



•



𝑅 = |𝐴⃗ + 𝐵| = ? 𝒂



•



𝑹 𝑎 sin 𝜃



𝒃 Maka, 𝑅 =



www.its.ac.id



q



•



Vektor 𝐴⃗ dan vektor 𝐵 diletakkan pada ::k asal sama Vektor 𝐴⃗ dan vektor 𝐵 digambar lagi sehingga terbentuk (𝐴⃗ + 𝐵) dengan panjang 𝑅 Bentuk (𝐴⃗ + 𝐵) agar menjadi segitiga siku-siku sehingga perhitungan 𝑅 dapat dilakukan dengan teorema Phytagoras



𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃



𝑏 + 𝑎 cos 𝜃



!



+ 𝑎 sin 𝜃



!



= … = 𝑎! + 𝑏 ! + 2𝑎𝑏 cos 𝜃



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Operasi Vektor: Penjumlahan • Cara Anali/s 𝑅 = |𝐴⃗ + 𝐵| = ?



𝐴⃗ = 𝑎# 𝚤̂ + 𝑎$ 𝚥̂



𝐴⃗ + 𝐵 = (𝑎# +𝑏# ) ;𝑖 + 𝑎$ + 𝑏$ 𝚥̂ 𝐴⃗ + 𝐵 = 𝑅 =



Dinyatakan dalam notasi vektor 𝚤⃗, 𝚥⃗, dan 𝑘



𝐵 = 𝑏# 𝚤̂ + 𝑏$ 𝚥̂



Komponen vektor yang searah dijumlahkan



(𝑎# +𝑏# )% + 𝑎$ + 𝑏$



%



Sesuai dengan teorema phytagoras Sedangkan sudut 𝐴⃗ + 𝐵 terhadap horizontal adalah 𝑎$ + 𝑏$ tan 𝜑 = 𝑎# + 𝑏# INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Operasi Vektor: Pengurangan Misal, diketahui vektor 𝐴⃗ dengan panjang 𝑎 dan vektor 𝐵 dengan panjang 𝑏 berikut ini



𝒂



𝒂



𝒃 𝒃



Berapakah selisih atau panjang (𝐴⃗ − 𝐵) atau 𝑅 ?



www.its.ac.id



q



Dengan q adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh vektor 𝑨 dan vektor 𝑩



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Operasi Vektor: Pengurangan • Cara Geometri



Dengan cara yang sama seper: pada penjumlahan: • Vektor 𝐴⃗ dan vektor 𝐵 diletakkan pada titik asal sama



𝑆 = |𝐴⃗ + 𝐵| = ? 𝒂



𝑹



𝑎 sin 𝜃



q



•



Vektor 𝐴⃗ dan vektor 𝐵 digambar lagi sehingga terbentuk (𝐴⃗ − 𝐵) dengan panjang 𝑆



•



Bentuk (𝐴⃗ − 𝐵) agar menjadi segi:ga siku-siku sehingga perhitungan 𝑅 dapat dilakukan dengan teorema Phytagoras



𝑥



𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃



Maka, 𝑅 =



𝑥



!



+ 𝑎 sin 𝜃



!



= … = 𝑎! + 𝑏 ! − 2𝑎𝑏 cos 𝜃



𝒃 www.its.ac.id



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Operasi Vektor 𝒂



q



𝒃



Persamaan penjumlahan dan pengurangan (Resultan dan Selisih) yang diperoleh sebelumnya, juga dapat diaplikasikan untuk berbagai bentuk vektor lain dengan berbagai sudut terhadap horisontal, karena persamaan yang diperoleh, hanya bergantung pada kedua panjang vektor dan sudut terkecil antara dua vektor tersebut



Dengan q adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh vektor 𝑨 dan vektor 𝑩 𝒂 adalah panjang vektor 𝑨 𝒃 adalah panjang vektor 𝑩 www.its.ac.id



𝑅=



𝑎D + 𝑏 D + 2𝑎𝑏 cos 𝜃



𝑆=



𝑎D + 𝑏 D − 2𝑎𝑏 cos 𝜃



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Operasi Vektor: Perkalian Titik Misal, diketahui vektor 𝐴⃗ dengan panjang 𝑎 dan vektor 𝐵 dengan panjang 𝑏 berikut ini



𝒂



𝒃



𝒂



q Berapakah perkalian ::k (dot product) 𝐴⃗ . 𝐵 ?



www.its.ac.id



𝒃



Dengan q adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh vektor 𝑨 dan vektor 𝑩



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Operasi Vektor: Perkalian Titik • Cara Geometri 𝐴⃗ . 𝐵 = ?



Diperoleh dengan memproyeksikan salah satu vektor ke arah vektor yang lain



•



Mengalikan kedua komponen vektor yang searah tersebut, sehingga



𝐴⃗ . 𝐵 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃



𝑎



q



www.its.ac.id



•



𝑏 𝑠𝜃 𝑜 𝑐 𝑎



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Operasi Vektor: Perkalian Titik • Cara Analitik 𝐴⃗ . 𝐵 = ?



𝐴⃗ = 𝑎! 𝚤̂ + 𝑎" 𝚥̂



𝐵 = 𝑏! 𝚤̂ + 𝑏" 𝚥̂ Dinyatakan dalam notasi vektor satuan 𝚤⃗, 𝚥⃗



𝐴⃗ . 𝐵 = 𝑎A 𝚤̂ + 𝑎B 𝚥̂ . 𝑏A 𝚤̂ + 𝑏B 𝚥̂ = 𝑎A 𝑏A (𝚤.̂ 𝚤)̂ + 𝑎A 𝑏B 𝚤.̂ 𝚥̂ + ⋯ + 𝑎B 𝑏B (𝚥.̂ 𝚥)̂ Dengan menerapkan: 𝚤.̂ 𝚤̂ = 𝚤.̂ 𝚤̂ = 1.1. cos 0# = 1 karena searah ; 𝚤.̂ 𝚥̂ = 𝚥.̂ 𝚤̂ = 1.1. cos 90 = 0 karena tegak lurus, maka



𝐴⃗ . 𝐵 = 𝑎! 𝑏! + 𝑎" 𝑏" Skalar www.its.ac.id



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Operasi Vektor: Perkalian Silang Misal, diketahui vektor 𝐴⃗ dengan panjang 𝑎 dan vektor 𝐵 dengan panjang 𝑏 berikut ini



𝒂



𝒃



𝒂



q Berapakah perkalian silang (cross product) 𝐴⃗ 𝑥 𝐵 ?



www.its.ac.id



𝒃



Dengan q adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh vektor 𝑨 dan vektor 𝑩



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Operasi Vektor: Perkalian Silang • Cara Geometri 𝐵 𝑥 𝐴⃗ = 𝑎 𝑏 sin 𝜃 𝑛J



Hasil perkalian silang antara dua vektor selalu mempunyai arah tegak lurus dengan vektor pengalinya (searah 𝑛K atau -𝑛), K sesuai dengan arah putaran sekrup, menghasilkan besaran vektor



𝑛J



𝐴⃗ 𝑥 𝐵 = 𝑎 𝑏 sin 𝜃 (−𝑛) J



𝑎



𝑎



q



q 𝑏



www.its.ac.id



•



Meja horisontal



𝑏 INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia



Operasi Vektor: Perkalian Silang • Cara Analitis



𝐴⃗ = 𝑎! 𝚤̂ + 𝑎" 𝚥̂ + 𝑎$ 𝑘' 𝐵 = 𝑏! 𝚤̂ + 𝑏" 𝚥̂ + 𝑏$ 𝑘' 𝚤̂ 𝐶⃗ = 𝐴⃗ ×𝐵 = 𝑎# 𝑏#



𝚥̂ 𝑎$ 𝑏$



Dinyatakan dalam notasi vektor satuan 𝚤⃗ , 𝚥⃗ , 𝑘



𝑘; 𝑎) 𝑏)



𝐶⃗ = 𝐴⃗ ×𝐵 = 𝑎$ 𝑏) − 𝑎) 𝑏$ 𝚤̂ − 𝑎# 𝑏) − 𝑎) 𝑏# 𝚥̂ + 𝑎# 𝑏$ − 𝑎$ 𝑏# 𝑘;



www.its.ac.id



INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER, Surabaya - Indonesia