BAB 1 Pengertian Vektor Dimensi 2 [PDF]

Citation preview

BAB 1 VEKTOR DIMENSI DUA 1 VEKTOR DIMENSI DUA



BAB I



A. Tujuan Pembelajaran 1. Menggambar vektor dengan sistem vektor satuan. 2. Menghitung perkalian vektor. 3. Menghitung penambahan vektor dengan aturan segitiga, aturan jajaran genjang, dan aturan poligon. 4. Menghitung panjang vektor dalam ruangMenjelaskan kedudukan titik diantara dua titik pada bidang dengan perbandingan tertentu menggunakan vektor 5. Menjelaskan kedudukan titik pada bangun tertentu seperti segitiga, segiempat dsb dan sifat bangun datar menggunakan vektor



B. Vektor Dimensi Dua



Pengertian Vektor Vektor merupakan sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor digambarkan sebagai panah dengan yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut besar vektor. Dalam penulisannya, jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya ada tanda garis/ panah seperti



atau



 atau juga:




Misalkan vektor merupakan vektor yang berawal dari titik
 ,  menuju titik



 ,  dapat digambarkan koordinat cartesius dibawah. Panjang garis sejajar sumbu adalah



x



adalah



dan



panjang



garis



sejajar



sumbu



merupakan komponen-komponen vektor .



Komponen vektor dapat ditulis untuk menyatakan vektor secara aljabar yaitu:           atau   



[email protected]



y



BAB 1 VEKTOR DIMENSI DUA 2



Jenis-jenis Vektor Ada beberapa jenis vektor khusus yaitu:




Vektor Posisi Suatu vektor yang posisi titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A(a1,a2)








Vektor Nol Suatu vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan . Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.








Vektor satuan








Vektor basis



 Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari    adalah:        || |   |  Vektor basis merupakan vektor satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensi   memiliki dua vektor basis yaitu  1,0 dan  0,1



Panjang sebagai



segmen



garis



yang



menyatakan



vektor



atau



dinotasikan



Panjang vektor sebagai:



Panjang vektor tersebut dapat dikaitkan dengan sudut dan sumbu x. positif.



[email protected]



yang dibentuk oleh vektor



BAB 1 VEKTOR DIMENSI DUA 3 1 Vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis    dan 0  1 0 0    seperti:           0 1 1 



Operasi Vektor di R2 Penjumlahan dan pengurangan vektor di R2 Penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menggunakan metode segitiga (aturan cosinus, metode jajarangenjang (aturan cosinus), metode poligon dan metode penguraian vektor. Pengurangan vektor sama dengan penjumlahan vektor dengan salah satu vektor negatif dari vektor semula. untuk memudahkan dalam operasi geometri, bentuknya sebagai berikut : perhatikan arah anak panahnya



Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang      seletak. Jika    dan     maka:            Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar di samping: Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:



Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor sebagai berikut:





[email protected]



BAB 1 VEKTOR DIMENSI DUA 4



Perkalian vektor di R2 dengan skalar Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika



adalah vektor dan k adalah skalar. Maka



perkalian vektor: Dengan ketentuan:




Jika k > 0, maka vektor



searah dengan vektor








Jika k < 0, maka vektor



berlawanan arah dengan vektor








Jika k = 0, maka vektor



adalah vektor identitas



Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:



Secara aljabar perkalian vektor dengan skalar k dapat dirumuskan:



Perkalian Skalar Dua Vektor di R2 Perkalian skalar dua vektor disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan ditulis sebagai:



(dibaca : a dot b)



Perkalaian skalar vektor



dan dilakukan dengan mengalikan panjang vektor



panjang vektor dengan cosinus . Sudut



yang merupakan sudut antara vektor



dan vektor . Sehingga: Dimana: Perhatikan bahwa:




dan



Hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar









[email protected]



BAB 1 VEKTOR DIMENSI DUA 5



Sifat-sifat skalar dengan vektor



[email protected]



BAB 1 VEKTOR DIMENSI DUA 6



[email protected]



BAB 1 VEKTOR DIMENSI DUA 7



[email protected]



BAB 1 VEKTOR DIMENSI DUA 8



[email protected]



BAB 1 VEKTOR DIMENSI DUA 9



C.



Rangkuman



Vektor digambarkan sebagai panah dengan yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya Misalkan vektor merupakan vektor yang berawal dari titik
 ,  menuju titik



 ,  dapat digambarkan koordinat cartesius dibawah. Panjang garis sejajar sumbu



x



adalah



adalah



dan



panjang



garis



sejajar



sumbu



y



merupakan komponen-komponen vektor .



Ada beberapa jenis vektor khusus yaitu:




Vektor Posisi Suatu vektor yang posisi titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A(a1,a2)








Vektor Nol Suatu vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan . Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.








Vektor satuan








Vektor basis



 Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari    adalah:        || |   |  Vektor basis merupakan vektor satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensi   memiliki dua vektor basis yaitu  1,0 dan  0,1



Penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menggunakan metode segitiga (aturan cosinus, metode jajarangenjang (aturan cosinus), metode poligon dan metode penguraian vektor.



Perkalian Skalar Dua Vektor di R2 Perkalian skalar dua vektor disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan ditulis sebagai:



(dibaca : a dot b)



[email protected]



BAB 1 VEKTOR DIMENSI DUA 10



D. Problem Soal-soal vektor :



[email protected]



BAB 1 VEKTOR DIMENSI DUA 11



10. Gambarlah vektor-vektor dibawah ini pada koordinat kartesean. ` a). a = 4i+5j b). b = -4i+5j c). c = -4i–5j d). d= 4i – 5j 11. Diketahui vektor a = 1,5 i + 3 j dan vektor b = 2 - 5j Hitunglah: a. a + b b. a – b c. a . b 12. Gambarlah dan tuliskan dalam bentuk vektor ai + bj yang memiliki ketentuan sebagai berikut : a. Dari titik sumbu ( 0 , 0 ) ke titik ( 2 ; -3 ) b. Dari titik ( 2 ; 3 ) ke titik ( 4 ; 2 ) c. Mempunyai besar 6 dengan arah 150° 13. Vektor a = 3i + 4j ; vektor b = 2i + 5j dan vektor c = -5i + 3j. Hitunglah : a. a + b b. a + b + c c. a . b . c 14. Hitunglah kerja yang dilakukan vektor 6i + 8j pada vektor 2i + 3j. 15. tentukan besarnya sudut pada vektor-vektor i + j ; 2i – 3j dan 5j. 16. Vektor a = 1i + 5j, vektor b = -5i – 7j dan vektor c = 3i – 7j. Gambarlah : a. 2 . a – b + c b. b – 0.25 ( a –2. c ) c. a + b +3 c



[email protected]