Bab 3. Kurva Parametrik Bidang Dan Koordinat Polar [PDF]

Citation preview

Integral di RN



3



Kurva Parametrik Bidang dan Koordinat Polar



BAB 3 3.1 3.2 3.3 3.4



Kurva Parametrik Bidang Garis Singgung Pada Kurva Parametrik Sistem Koordinat Polar Luas Daerah dalam Koordinat Polar



Integral di RN



Tujuan Instruksional sional Khusus Mahasiswa mampu: 1. membentuk embentuk representasi parametrik kurva di bidang. 2. mencari persamaan garis singgung dan mengmeng hitung panjang kurva parametrik. 3. menggunakan koordinat polar dan mengubah koordinat kartesius ke koordinat polar dan sese baliknya. 4. mengidentifikasi persamaan polar untuk garis, lingkaran, dan konik. 5. menghitung luas daerah yang batasnya didefinisikan oleh persamaan dalam koordinat polar. 6. memvisualisasi grafik fungsi-fungsi fungsi dalam koordinat parametrik dan polar dengan bantuan TIK



Pendahuluan Dalam matematika, persamaan parametrik adalah salah satu metode mendefinisikan suatu kurva. Salah satu contoh kurva yang didefinisikan dengan persamaan parametrik adalah kurva kupu-kupu. kupu. Contoh sederhana penggunaan persamaan parametrik adalah dalam kinematika, yaitu saat menggunakan parameter waktu untuk menentukan posisi, kecepatan dan informasi-informasi informasi lain tentang pergerakan benda. Selain menggunakan persamaan parametrik, beberapa bentuk geometri tertentu lebih mudah dinyatakan dalam persamaan polar. Contohnya elips, irisan kerucut dan lain-lain. lain Pada bab ini dibahas mengenai persamaan parametrik dan koordinat polar. Subbab 3.1 membahas persamaan parametrik parametrik dan turunannya. Pada Subbab 3.2 dibahas mengenai garis singgung kurva parametrik dan panjang kurva parametrik. Berikutnya Subbab 3.3 mambahas tentang sistem koordinat polar, hubungan antara koordinat polar dan koordinat Cartesius dengan koordinat polar p dan persamaan polar dari bentuk-bentuk bentuk geometri. Pada akhir Bab 3, Subbab 3.4, dipelajari bagaimana mencari luas daerah dalam koordinat polar.



Modul Matematika Dasar A2



Universitas Indonesia | 52



Integral di RN



3.1



Kurva Parametrik Bidang



Kurva Parametrik, Eliminasi Parameter, Turunan Fungsi Parametrik



Kurva Parametrik Pada umumnya suatu grafik didapat dari suatu persamaan. Tetapi kurva pada bidang, misalkan spiral, sangat tidak mudah untuk mengukur dan membuat persamaannya. Tetapi grafik dengan persamaan (1) Gambar 1



y = sin x, 0 ≤ x ≤ π ,



dapat digambar seperti pada Gambar 1. Contoh lainnya misalkan grafik dari persamaan (2)



x = y2, − 2 ≤ y ≤ 2



seperti pada Gambar 2. Suatu lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 = a dapat ditulis dengan persamaan Gambar 2



y = f ( x) = a 2 − x 2



(3) atau



y = f ( x) = − a 2 − x 2 .



(4)



Persamaan (3) dan (4) dapat pula ditulis dengan cara lain, yaitu (5)



x = a cos t ,



y = a sin t , 0 ≤ t ≤ 2π .



Gambar 3 dengan t adalah variabel waktu, sedangkan kan x, y menyatakan posisi partikel pada waktu t. (Lihat Gambar 3) Variabel t disebut parameter, sehingga x dan y dinyatakan dengan terminologi parameter. Akibatnya, persamaan (5) disebut persamaan parametrik dari lingkaran x 2 + y 2 = a . Contoh 1



x = a cos t ,



y = b sin t , 0 ≤ t ≤ 2π



Grafik persamaan ini merupakan elips.



Modul Matematika Dasar A2



Universitas Indonesia | 53



Integral di RN



Contoh 2 Parabola pada persamaan (2) dapat dinyatakan kembali sebagai :



x = t 2 ; y = t , - 2 ≤ t ≤ 2. Jadi suatu kurva bidang dapat ditentukan oleh dua persamaan parametrik yang didefinisikan pada I seperti pada persamaan berikut:



x = f (t ),



(6)



y = g (t ) , t ∈ I



dengan f dan g merupakan fungsi-fungsi kontinu pada interval yang ditentukan. Jika t bergerak dari a ke b maka titik ( x, y ) mengikuti kurva pada bidang-xy. Jika



terletak pada interval tutup [a,b], maka titik P x ( a ) , y ( a ) dan Q x ( b ) , y ( b ) merupakan titik awal dan



(



t



)



(



)



titik akhir. Jika untuk setiap nilai t yang berbeda diperoleh titiktitik di bidang yang juga berbeda, maka kurva disebut kurva sederhana. Hubungan antara x = f ( t ) , y = g ( t ) , dan interval I disebut kurva yang diparametrik atau representasi parametrik kurva. Tabel 1 t -2 -1 0 1 2 3



x 0 -1 0 3 8 15



Eliminasi Parameter y -5 -4 -3 -2 -1 0



Untuk mengetahui suatu kurva yang dinyatakan dengan persamaan parameterik, dapat lebih mudah dikenal dengan mengeliminasi parameter. Dengan begitu, terlihat persamaan kurva dalam satu persamaan yang mungkin dapat dikenali dengan lebih mudah. Contoh 3 Pandang persamaan



x = t 2 + 2t , y = t − 3, − 2 ≤ t ≤ 3 y x



Tuliskan kembali t dalam y. Kemudian substitusikan t ke dalam x sehingga diperoleh (lihat tabel 1)



x = ( y + 3)2 + 2( y − 3) = y 2 + 8 y + 15



-3 -1



atau



-4



x + 1 = ( y + 4) 2 .



-5



Gambar 4



Kurva ini merupakan parabola, Gambar 3, dengan puncak (-1,4) dalam interval −2 ≤ y + 3 ≤ 3 atau −5 ≤ y ≤ 6.



Contoh 4 Selidiki kurva x = t + 1; y = 2t − 5 , t riil.



Modul Matematika Dasar A2



Universitas Indonesia | 54



Integral di RN



y x



Penyelesaian Tulisakan kembali t dalam x,, kemudian substitusikan ke nilai y. Maka y = 2 x − 7 . Persamaan ini ni adalah fungsi suatu garis pada bidang (Gambar 4). with(plots):plot([t+1,2*t-5,t=-9..9]); 9..9]);



Contoh 5 2 Selidiki kurva x = 2t ; y = t , t riil.



Gambar 5



Penyelesaian Lakukan hal serupa dengan Contoh 3, maka didapat



y



x 1 y = ( )2 = x 2 . 2 4



x



Persamaan ini adalah fungsi parabola yang dipartisi (Gambar 5).



Gambar 6



with(plots):plot([2*t,t^2,t=-1..1]); 1..1]);



y



(0,1),



x



Contoh 6 Selidiki kurva yang diparameterisasi oleh fungsi



x = sin 2 t , y = cos t , t ∈ [ 0, π ] . Penyelesaian Dengan menggunkan kesamaan trigonometri diperoleh,



x = sin 2 t = 1 − cos 2 t = 1 − y 2 ; x = 1 − y 2



(0,-1), t=π



atau Gambar 7



y 2 = 1 − x, − 1 ≤ y ≤ 1 dari titik (0,1) sampai (0,-1) (Gambar 6). Contoh 7 Persamaan kurva mulus lingkaran dapat ditulis sebagai



x = 1 − t 2   − 1 ≤ t ≤ 1 atau y=t  1− t2  x= 1 + t 2  − 1 ≤ t ≤ 1 atau  2t  y= 1 + t 2 



x = cos t  π π − ≤ t ≤ y = sin t  2 2



Coba buktikan sendiri Contoh 7. Coba kalian selidiki bentuk kurva parametrik berikut. 1. x = t 2 + 3, y = 6t 2 + 3 2. 3.



x = et , y = 4e 2t x = 5cos t , y = 3sin t



Modul Matematika Dasar A2



Universitas Indonesia | 55



Integral di RN Suatu kurva yang disebut sikloid adalah grafik yang menggambarkan lintasan yang dilalui titik P yang terletak pada roda berjalan. P adalah titik yang mula-mula terletak di roda yang jari-jarinya a (Gambar 8).



y



O T(at,0 π



Jadi persamaan parameter sikloid adalah



Gambar 8



t a= cos t



P



Q a= sin t



x = a (t − sin t ),



(7) (Gambar 9)



E a



at − x = a sin t , x = a(t − sin t ) a − y = a cos t , y = a(1 − cos t )



2 x



y = a (1 − cos t ).



Turunan Fungsi Parametrik Kita dapat mencari kemiringan garis singgung dari kurva parametrik tanpa terlebih dahulu mengeliminasi parameternya. Hal ini dijabarkan dalam Teorema 3.1 berikut.



Gambar 9



TEOREMA 3.1 Misal f dan g adalah fungsi kontinu terturunkan dengan f '(t ) ≠ 0 pada α < t < β . Maka persamaan parametrik



x = f (t ) dan y = g (t ) mendefinisikan y sebagai fungsi yang terturunkan terhadap x dan



dy dy dt = dx dx dt Contoh 8 Cari



dy dari fungsi x = 5 cos t , y = 4 sin t. dx



Penyelesaian



dy dy dt 4 cos t 4 = = = − cot t . dx dx −5 sin t 5 dt Terkadang integral tentu melibatkan dua variabel x dan y. Tetapi pada persamaan parametrik semua integral maupun diferensial dinyatakan dalam terminologi t dan dt. Contoh 9 3



Selesaikan



∫ y dx dengan x = 2t − 3 dan



y = t 2 + 1.



1



Modul Matematika Dasar A2



Universitas Indonesia | 56



Integral di RN Penyelesaian x = 2t − 3 maka dx = 2dt . Akibatnya, batas integrasi, yaitu x = 1 berubah menjadi t = 1 dan x = 3 menjadi t = 2 . Sehingga, 3



2



2



t3 26 y dx = ( t + 2)2 dt = 2( + 2t ) = . ∫1 ∫1 3 3 1 2



dy Carilah nilai dan dx



1



∫ y dx jika diberikan



2



x = t 2 dan y = et .



0



Contoh 10 Carilah luas A dari sikloid satu busur dan sumbu x . Penyelesaian Persamaan sikloid adalah



x = a(t − sin t )   0 ≤ t ≤ 2π y = a(t − cos t )  dx = a (1 − cos t ) dt. Maka, 2π a



A=



∫



2π a



y dx = a 2



0



1



∫ (1 − cos t )(1 − cos t ) dt 2 0



2π



=a 2



∫ (1 − 2 cos t + cos



2



t ) dt



0 2π



=a 2



1



1



∫ (1 − 2 cos t + 2 + 2 cos 2t ) dt 0



2π



3 1 =a ( t − 2sin t + sin 2t ) = 3π a 2 2 4 0 2



Carilah luas A dari hiposikloid berikut



x = a cos3 t   0 ≤ t ≤ 2π . y = a sin 3 t 



Modul Matematika Dasar A2



Universitas Indonesia | 57



Integral di RN



3.2



Garis Singgung pada Kurva Parametrik



Garis Singgung pada Kurva Parametrik, Panjang Kurva Parametrik



Garis Singgung pada Kurva Parametrik Suatu kurva parametrik dikatakan mulus apabila turunan f ′ ( t ) dan g ′ ( t ) kontinu dan tidak pernah bersama-sama bersama bernilai nol. Kurva parametrik dapat dinyatakan dengan salah satu, atau keduanya, dari bentuk y = F ( x ) atau x = G ( y ) . Lebih lanjut, kita dapat menggunakan aturan rantai untuk menghitung itung kemiringan garis singgung pada suatu titik di y = F ( x) kurva parametrik. Turunkan terhadap t menghasilkan



dy dy dx = ⋅ . dt dx dt Sehingga,



dy dy dt g ′ ( t ) y ′ = = = . dx dx dt f ′ ( t ) x′



(1)



di setiap titik x′ = f ′ ( t ) ≠ 0 . Contoh 1 2



3



Carilah persamaan persamaan garis singgung pada kurva x = t , y = t di t = 2.



y



Penyelesaian Gradien garis singgung pada t=2 adalah, t=2



dy 2t 2 2 1 = 2 = = = . dx 2t 3t 3 ⋅ 2 3



x



Titik



( x, y )



pada t = 2 adalah x = t 2 = (2) 2 = 4, y = (2)3 = 8 .



Jadi garis singgung pada titik (4,8) dengan gradien Gambar 1



1 adalah 3



1 ( x − 4) ⇒ 2 y − x − 16 + 4 = 0 atau 2 y − x − 12 = 0. 2 (Lihat Gambar 1) y −8 =



Modul Matematika Dasar A2



Universitas Indonesia | 58



Integral di RN Contoh 2 Carilah persamaan garis singgung kurva x = 2 sec t , y = 2 tan t pada t = −



π 6



.



Penyelesaian



dy dy dt 2sec2 t sec t 1 cos t 1 = = = = . = dx dx dt 2sec t.tan t tan t cos t sin t sin t Pada



t=−



π 6



dy 1 = = −2 . dx sin(− π ) 6 Titik ( x, y ) adalah



1 2 2 4 −2 = = = , y = 2 tan − 30 = 1 cos − 30 cos 30 3 3 3 2 4 2 Jadi, garis singgung pada titik ( , − ) dengan gradien -2 3 3 2 4 ) = −2( x − ). adalah ( y + 3 3 x=2



Coba kalian tentukan persamaan garis singgung kurva



y = 9 sin (16t ) dan x = 16 cos ( 9t ) pada t =



π 3



.



Panjang Kurva Parametrik Pada Matematika Dasar A1 telah dipelajari cara menghitung beberapa nilai geometri berkaitan dengan grafik y = f ( x ) . Salah satu yang akan dipelajari disini adalah panjang kurva. Ingat kembali rumus panjang kurva adalah s



(2)



b



s = ∫ ds = ∫ 1 + ( dy dx ) dx . 2



0



a



Sekarang kita akan mencari panjang kurva parametrik yang mulus (3)



x = f (t ) ,



dari kurva



y = g (t ) , α ≤ t ≤ β .



Kita dapat menghitung panjang kurva parametrik dengan substitusi



Modul Matematika Dasar A2



Universitas Indonesia | 59



Integral di RN



x = f (t ) dx = f ′ ( t ) dt



(4)



y = g (t ) dy = g ′ ( t ) dt 2



2



ds =  f ′ ( t )  +  g ′ ( t )  dt Lakukan integrasi dari t = α ke t = β tanpa memperhatikan arah pergerakan sepanjang kurva. Asumsikan bahwa f ′ ( t ) > 0 jika f (α ) = a dan f ( β ) = b , dan f ′ ( t ) < 0 jika



f (α ) = b dan f ( β ) = a , maka β



s=∫ α



 g ′ (t )  1+    f ′ ( t ) 



2



f ′ ( t ) dt.



Sehingga, β



s=∫



(5)



α



β



2



2



2 2  dx   dy   f ′ ( t )  +  g ′ ( t )  dt = ∫   +   dt.  dt  α  dt 



Contoh 3 Carilah panjang kurva dari sikloid berikut



x = 9(t − sin t )   0 ≤ t ≤ 2π . y = 9(t − cos t )  Penyelesaian Untuk menghitung panjang busur, mula-mula mula kita hitung dulu dx dt dan dy dt .



dy dx = 9 (1 − cos t ) dan = 9 (1 + sin t ) . dt dt Kemudian kita gunakan persamaan (12) untuk menghitung panjang busurnya seperti berikut. β



s=∫ ( α



dx 2 dy 2 ) + ( ) dt = dt dt



2π



2π



∫ 0



2π



= 9 ∫ 2(1 − cos t ) dt = 9 ∫ 0



9 2 (1 − cos t ) 2 + 92 (sin 2 t ) dt



0



2π



t t 4sin dt = 18 ∫ sin dt 2 2 0 2



2π



t = ( −36 cos ) = 72. 2 0 Cari Carilah panjang kurva dari hiposikloid berikut



x = 6cos3 t   0 ≤ t ≤ 2π . y = 6sin 3 t 



Modul Matematika Dasar A2



Universitas Indonesia | 60



Integral di RN



Sistem Koordinat Polar



3.3



Sistem Koordinat Polar, Persamaan Polar, Hubungan antara Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius, Persamaan Polar untuk Garis, Lingkaran, dan Irisan Kerucut (Konik), Grafik Persamaan Polar



y P (x,y)



Koordinat Polar O



Koordinat Cartesian



x



Gambar 1 P (r,Ө) Ө Sumbu Polar



Koordinat yang telah lebih dahulu dikenal adalah ada koordinat Cartesius atau sistem sistem koordinat tegak lurus yang yan ditemukan oleh Rene Descartes. Setiap Setiap titik P pada bidang memiliki koordinat yang terdiri pasangan bilangan (x,y)) yang diartikan jarak dar dua buah sumbu yang saling tegak lurus. (Gambar 1). dari Kemudian munculah sistem koordinat polar yang dilengkapi dengan setengah garis tetap yang disebut sumbu polar dan titik tertentu O , yang disebut kutub/titik awal. Oleh karena itu, sistem ini disebut juga sistem koordinat kutub. Sedangkan θ adalah besar sudut dalam radian, yang diukur berlawanan arah jarum jam (jika θ >0) dari sumbu-x sebagai sisi awal. awal (Gambar 2).



Gambar 2



Jika r > 0 , maka P terletak pada sisi kedua dari sudut dan berjarak r dari titik awal. Jika r < 0 maka P terletak pada garis berlawanan dengan sisi kedua pada jarak r = −r > 0 dari titik kutub (Gambar 3).



Ө |r|



Jika r positif, titik P terletak pada kuadran yang sama dengan θ , tetapi jika r negatif,, maka P terletak pada sisi yang berber lawanan kuadran. kuadran Jika r=0, θ tidak berarti apa-apa. apa



Gambar 3



Contoh 1 Koordinat polar



r