BAB 3 - Suku Banyak (Polinomial) . [PDF]

Citation preview

POLINOMIAL Pengertian Polinomial Polinomial (suku banyak) dalam x yang berderajad n , dengan n bilangan cacah dan an ≠ 0 dituliskan dalam bentuk: y = F(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an Keterangan : n Є bilangan bulat. an ≠ 0 dengan a0, a1, a2 ,…, an-1 , an koefisien masing-masing merupakan bilangan. Derajat Suku Banyak adalah pangkat tertinggi dari pangkat-pangkat pada tiap-tiap suku, disebut n. Untuk suku banyak nol dikatakan tidak memiliki derajat. Suku : a0xn , a1xn-1 , a2xn-2 , … , an-1x , an. a0 adalah suku tetap atau konstanta, tidak mengandung variabel/peubah. Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Tentukanlah derajat, banyak suku dan konstanta masing-masingnya dari polinomial berikut! a. f(x) = 2x5 + 3x4 - 5x2 + x - 7 b. f(x) = 7x5 - 3x4 - 7x3 + x2 + 8x - 12 Jawaban : a. f(x) = 2x5 + 3x4 - 5x2 + x - 7 Derajat dari polinomial di atas adalah 5. Banyak suku adalah 5 yaitu 2x5 , 3x4 , -5x2 ,x dan – 7 Konstanta x5 adalah 2 Konstanta x4 adalah 3 Konstanta x adalah 1 Konstanta x3 adalah 0 Konstanta x0 adalah -7 2 Konstanta x adalah -5 b. f(x) = 7x5 - 3x4 - 7x3 + x2 + 8x – 12 Derajat dari polinomial di atas adalah 5. Banyak suku adalah 6 yaitu 7x5 , 3x4 , - 7x3 , x2 , 8x dan - 12 Konstanta x5 adalah 7 Konstanta x4 adalah -3 Konstanta x adalah 8 Konstanta x3 adalah -7 Konstanta x0 adalah -12 Konstanta x2 adalah 1



Nilai polinomial Jika f(x) = axn + bxn-1+cXn-2+…+z maka nilai suku banyak dapat dicari dengan cara subtitusi dan skematik. Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Diketahui fungsi polinomial Maka nilai fungsi tersebut untuk adalah... 2.



Diketahui fungsi kuadrat banyak tersebut adalah...



untuk



maka nilai suku



Jawaban : 1. Dengan cara subtitusi



dengan nilai



Dengan cara skematik Tentetukan terlebih dahulu konstanta dari masing-masing suku, kemudian urutkan konstanta tersebut dari pangkat yang tertinggi hingga pangkat yang terendah. Operasi yang akan dilakukan yaitu operasi penjumlahan dan perkalian. Untuk operasi yang pertama, konstanta suku tertinggi di tambahkan dengan 0 (nol) kemudian di kali dengan nilai x = -2. Hasilnya di tambahkan dengan konstanta pangkat tertingggi k-2 dan begitu seterusnya. Seperti dibawah ini: -2 -2



Ditambah 0 2 3 0 0 -4 2 -4



-5 -4



1 18



-7 -38



2



-9



19



-45



-1



2



nilai polinomial



2 2.



dengan nilai Dengan cara subtitusi



Dengan cara skematik 2 1/2 3/4 0 1 1/2 7/4



-5 7/2 -3/4



nilai polinomial



Operasi pada polinomial Operasi yang akan dibahas yaitu penjumlahan, pengurangan dan perkalian pada polinomial. Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Diketahui f (x) = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3 , g(x) = 4x3 – 6x2 + 7x – 1. Tentukanlah : a. f (x) + g(x) b. f (x) - g(x) c. f (x) x g(x) 2. Diketahui f (x) = x2 – 4x + 3 , g(x) = 6x2 – 1. Tentukanlah : a. 2f(x) + 3g(x) b. [f(x) – g(x)] x g(x) c. [f(x) x g(x)] – 2f(x)



.



Jawaban : 1. Diketahui f (x) = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3 , g(x) = 4x3 – 6x2 + 7x – 1 a. Penjumlahan f(x) + g(x) f (x) + g(x) = (3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3) + (4x3 – 6x2 + 7x – 1) = 3x4 + (-2 +4)x3 + (5-6)x2 + (-4+7)x + (3-1) = 3x4 + 2 x3 – 1x2 + 3x + 2 b. Pengurangan f(x) - g(x) f (x) - g(x) = (3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3) - (4x3 – 6x2 + 7x – 1) = 3x4 + (-2 -4)x3 + (5+6)x2 + (-4-7)x + (3+1) = 3x4 - 6x3 +11x2 - 11x + 4 c. Perkalian f (x) x g(x) f (x) x g(x) = (2x3 + 5x2 – 4x + 3) x (6x2 + 7x – 1) = 2x3 (6x2 + 7x – 1) + 5x2 (6x2 + 7x – 1) – 4x (6x2 + 7x – 1) + 3 (6x2 + 7x – 1) = 12x5 + 14x4 – 2x3 + 30x4 + 35x3 – 5x2 - 24x3 – 28x2 + 4x + 18x2 +21x – 3 2. Diketahui f (x) = x2 – 4x + 3 , g(x) = 6x2 – 1 a. 2f(x) + 3g(x) 2f(x) + 3g(x) = 2(x2 – 4x + 3) + 3(6x2 – 1) = (2x2 – 8x + 6) + (18x2 – 3) = 20x2 – 8x + 3 b. [f(x) – g(x)] x g(x) [f(x) – g(x)] x g(x) = [(x2 – 4x + 3) - (6x2 – 1)] x (6x2 – 1)



= (-5x2 – 4x + 5) x (6x2 – 1) = (-30x4 + 5x2) + (-24x3 + 4x) + (30x2 – 5) = -30x4 - 24x3 + 35x2 + 4x – 5



Pembagian polinomial Pembagian suku banyak P(x) oleh (x – a) dapat ditulis sebagai berikut: Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa pembagian P(x) = (x – a) . H(x) + S Keterangan: P(x) suku banyak yang dibagi (x – a) adalah pembagi



H(x) adalah hasil pembagian S adalah sisa pembagian



 Pembagian suku banyak P(x) dengan (x – a) Pembagian suku banyak P(x) dengan pembagi Q(x) = x – a menghasilkan hasil bagi H(x) dan sisa S(x) berderajat nol atau H(x) = konstanta, sebagai berikut: Penentuan hasil bagi H(x) dan S(x) dari pembagian P(x) dengan (x – a) dapat dilakukan dengan 3 cara yaitu operasi aljabar, bersusun kebawah dan bagan horner. Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! dengan 1. Tentukan hasil bagi H(x) dan sisa S(x) dari pembagian ! jawaban : Cara bersusun ke bawah x – 1 x3 + 2x – 3 = x2 + x + 3 x3 – x2 x2 + 2x – 3 x2 – x 3x – 3 3x – 3 0 Jadi hasil bagi dan sisa Bagan horner x=1 1 0



0 1



2 1



-3 3



1 1 Jadi hasil bagi



3



0



=> sisa dan sisa



Cara operasi aljabar Polinomial Pembagi Hasil bagi Sisa Berdasarkan defenisi diperoleh:



Berdasarkan aturan kesamaan dua suku banyak diperoleh : Koefisien Koefisien Koefisien Koefisien Jadi hasil bagi dan sisa



 Pembagian suku banyak P(x) dengan (ax – b) Jika P(x) dibagi dengan (ax – b), maka hasil baginya jika menggunakan bagan dan sisanya P(b/a), dengan H(x) hasil bagi dari pembagian P(x) horner adalah dengan (x – b/a). Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Tentukan hasil bagi H(x) dan sisa S(x) dari pembagian



dengan



jawaban : Cara bersusun ke bawah 2x + 1



x3 + 2x – 3 = 1/2x2 - 1/4x + 9/8 x3 + 1/2x2 -1/2x2 + 2x – 3 -1/2x2 - 1/4x 9/4x – 3 9/4x + 9/8 -33/8



Jadi hasil bagi yaitu



Bagan horner x =-1/2 1 0 0 -1/2 1



-1/2



dan sisa



2 1/4



-3 - 9/8



9/4



-33/8



=> sisa



Jadi hasil bagi jika menggunakan bagan horner yaitu maka hasil



dengan a = 2



dan sisa



Cara operasi aljabar Polinomial Pembagi Hasil bagi Sisa Berdasarkan defenisi diperoleh:



Berdasarkan aturan kesamaan dua suku banyak diperoleh : Koefisien Koefisien Koefisien Jadi hasil bagi yaitu dan sisa  Pembagian suku banyak dengan



Metode pembagian sintetik atau bagan horner dapat digunakan untuk menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak yang berbentuk dan lainnya dengan syarat: Bagan Horner Bagan horner hanya dapat digunakan untuk pembagi yang dapat difaktorkan saja. Misalkan P(x) dibagi dengan suku banyak yang dapat difaktorkan, dengan Hasil bagi adalah dan sisanya . Bagan Horner-kino Metode ini merupakan pengembangan dari bagan horner yang terbatas hanya untuk pembagian yang bisa difaktorkan. Bagan horner-kino dapat diterapkan untuk pembagi apapun juga. Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Tentukan hasil bagi



dibagi



!



Jawaban : Cara bersusun ke bawah dibagi x2 – x – 2



!



x4 – 3x2 + 2x – 1 = x2 + x hasil bagi 4 3 2 x - x – 2x x3 – x2 + 2x - 1 x3 - x2 - 2x 4x – 1 sisa dan sisa adalah



Jadi didapatkan hasilnya adalah Bagan horner Pembagi



2



-1



dapat difaktorkan menjadi :



1 0



0 2



-3 4



2 2



-1 8



1



2



1



4



7



0



-1



-1



0



1



1



0



4



Sisa 1



Sisa 2 dan sisa adalah



Jadi didapatkan hasilnya adalah



Bagan horner-kino Pembagi , dicari nilai a = 1 , b = -1 dan c = -2, sehingga :



dan



seperti berikut:



2 1



1 0 0



0 0 1



-3 2 1



2 2 0



-1 0 0



1



1



0



4



-1



Jadi didapatkan hasilnya adalah



sisa dan sisa adalah



Teorema Sisa Jika suku banyak P(x) dibagi (x – a) sisanya P(a), dibagi (x + a) sisanya P(-a) dan dibagi (ax – b) sisanya P(b/a) Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Tentukan sisanya jika 2x3 – x2 + 7x + 6 dibagi (x + 1) ! 2. Tentukan sisa dan hasil baginya jika x3 + 4x2 - 5x – 8 dibagi (x – 2) ! Jawaban : 1. Sisanya jika 2x3 – x2 + 7x + 6 dibagi (x + 1) adalah P(-1) = 2.(-1)3 – (-1)2 + 7(-1) + 6 =-2–1–7 +6 = -4 2. Sisa dan hasil baginya jika x3 + 4x2 - 5x – 8 dibagi (x – 2) adalah dengan teorema sisa, kita dapatkan sisanya, yaitu P(2) = 8 + 16 - 10 - 8 =6 tapi untuk menentukan hasil baginya kita gunakan: Pembagian Horner: 2



1 0



4 2



-5 12



-8 14



1 6 7 6 Sehingga didapatkan hasil baginya yaitu x2 + 6x + 7



Pembagian Dengan (x –a)(x – b) Bentuk pembagiannya dapat ditulis sebagai P(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x) Berarti: untuk x = a , P(a) = S(a) dan untuk x = b,P(b) = S(b) Catatan: S(x) berderajat 1, misal px + q Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Tentukan sisa suku banyak (x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6) dibagi (x2 – x – 2) ! 2. Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 2 bersisa -13, dibagi oleh (x – 3) sisanya 7. Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x2 – x - 6 bersisa… 3. Jika suku banyak x3 – x2 + px + 7 dan suku banyak 2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x+1) akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai p sama dengan… 4. Jika suku banyak P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3 dibagi oleh (x2 – 4) memberi sisa (x + 23), maka a + b adalah...



Jawaban :



1. Bentuk pembagian ditulis: P(x) = (x2 – x – 2)H(x) + S(x) karena pembagi berderajat 2 maka sisa = S(x) berderajat 1, misal: sisanya px + q sehingga bentuk pembagian ditulis: x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x2 – x – 2).H(x) + px + q x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x + 1)(x – 2).H(x) + px + q P(x) dibagi (x + 1) bersisa P(-1) P(x) dibagi (x – 2) bersisa P(2) P(-1) = (-1)4 – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6 = 1+3–5–1–6 = -8 P(2) = 24 – 3.23 – 5.22 + 2 – 6 = 16 – 24 – 20 + 2 – 6 = -32 P(x) = px + q P(-1) = -p + q = -8 P(2) = 2p + q = -32 -3p = 24 → p = -8 p = -8 disubstitusi ke –p + q = -8 8 + q = -8 → q = -16 Sisa: px + q = -8x + (-16) Jadi sisa pembagiannya: -8x -16



2. Misal sisanya: S(x) = ax + b, P(x): (x + 2) ⇒ S(-2) = -13 → -2a + b = -13 P(x): (x – 3) ⇒ S(3) = 7 → 3a + b = 7 -5a = -20→ a = 4 a = 4 disubstitusi ke -2a + b = -13 -8 + b = -13 b = -5 Jadi sisanya adalah: ax + b = 4x - 5 3. x3 – x2 + px + 7 dibagi (x + 1) Sisanya P(-1) = -1 -1 – p + 7 =5-p 2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x + 1) Sisanya P(-1) = -2 + 3 + 4 – 1 =4 Karena sisanya sama, Berarti 5 – p = 4 -p=4–5 p=1 jadi didapatkan nilai p adalah 1. 4. P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3 P(x) : (x2 – 4) ⇒ sisa = x + 23 Pembagi : (x2 – 4) = (x + 2)(x – 2) Maka: P(x):(x + 2) ⇒ sisa = P(-2) -16 + 4a + 2b + 3 = (-2) + 23 4a + 2b = 21 + 13 4a + 2b = 34 . . . (1) P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3 P(x) : x2 - 4 ⇒ sisa = x + 23 Pembagi : x2 -4 = (x + 2)(x – 2) Maka: P(x):(x – 2) ⇒ sisa = P(2) 16 + 4a – 2b + 3 = 2 + 23 4a – 2b + 19 = 25 4a – 2b = 25 – 19 4a – 2b = 6. . . (2)



Eliminasi pers (1) dan (2) 4a + 2b = 34 4a – 2b = 6 8a = 40 →a=5 a = 5 disubstitusi ke 4a – 2b = 6 20 – 2b = 6 - 2b = -14 →b=7 Jadi a + b = 5 + 7 = 12



Teorema Faktor Jika f(x) adalah suku banyak; (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0. Artinya: Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai f(k) = 0 sebaliknya, jika f(k) = 0 maka (x – k) merupakan faktor. Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1 ! 2. Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6 ! 3. Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 + 11x2 – 7x – 6 ! Jawaban : 1. (x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0 P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1 = -1 + 4 – 2 – 1 = 0 Jadi, (x + 1) adalah faktornya. Cara lain untuk menunjukan (x + 1) adalah faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1 adalah dengan bagan horner. -1 1 4 2 -1 0 -1 -3 1 1 3 -1 0 Karena sisa pembagiannya 0 maka (x + 1) meripakan factor dari x3 + 4x2 + 2x – 1 2. Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6, yaitu pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k itu di substitusikan ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh: P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6 =2–1–7+6 =0 Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu faktor dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6. Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x – 1) dengan bagan horner: 1 2 -1 -7 6 0 2 1 -6 2 1 -6 0 2 Hasil baginya: H(x) = 2x + x – 6 = (2x – 3)(x + 2) dengan demikian 2x3 – x2 – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6) 2x3 – x2 – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2) Jadi faktor-faktornya adalah (x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)



3. Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6, yaitu pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k itu di substitusikan ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh: P(1) = 2.13 + 11.12 – 7.1 - 6 = 2 + 11 – 7 - 6 =0 Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu faktor dari P(x) = 2x3 + 11 x2 -7x - 6. Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x – 1) dengan bagan horner: 1 2 11 -7 -6 0 2 13 6 2



13



6



0



Hasil baginya: H(x) = 2x2 + 13x + 6 = (2x + 1)(x + 6) dengan demikian 2x3 – x2 – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + 13x + 6) 2x3 – x2 – 7x + 6 = (x – 1)(2x + 1)(x + 6) Jadi faktor-faktornya adalah (x – 1), (2x + 1 ) dan (x + 6)



Akar-akar Rasional Polinomial Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-akar sebuah persamaan suku banyak. Jika P(x) adalah suku banyak; (x – k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0 k disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak: P(x) = 0  Teorema Akar-akar Rasional Jika dari P(x) maka k merupakan akar dari P(x).



dan (x – k) merupakan faktor



Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x3 – 7x + 6. Kemudian tentukan akarakar yang lain ! 2. Persamaan x4 + 2x3 – 7x2 – 20x – 12 = 0 mempunyai akar-akar x = -2 dan x = 3. Tentukan akar lainnya ! 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan polinomial x4 - 15x2 – 10x – 24 = 0 !



Jawaban : 1. Untuk menunjukan -3 akar dari P(x), cukup kita tunjukan bahwa P(-3) = 0 P(x) = x3 – 7x + 6. P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 =0 Oleh karena P(-3) = 0, maka -3 adalah akar dari Persamaan P(x) = x3 – 7x + 6. Untuk menentukan akar-akar yang lain, kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi P(x) = x3 – 7x + 6 dengan (x + 3) sebagai berikut :



-3



1 0



0 -3



-7 9



6 -6



1



-3



2



0



Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) Sehingga persamaan suku banyak tsb dapat ditulis menjadi: (x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0. Jadi akar-akar yang lain adalah x = 1 dan x = 2 2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x = -2 dan x = 3 adalah H(x) = (x + 2) (x – 3) = x2 – x – 6 sebagai faktor dari persamaan polinomial x4 + 2x3 – 7x2 – 20x – 12 = 0 Berdasarkan bagan horner-kino diperleh faktor lainnya :



6 1



1



2



-7



-20



-12



0 0



0 1



6 3



18 2



12 0



1



3



2



0



0



Hal ini berarti x4 + 2x3 – 7x2 – 20x – 12 = 0 (x + 2) (x – 3) (x2 + 3x + 2) = 0 (x + 2) (x – 3) (x + 2) (x + 1) = 0 Jadi akar yang lainnya adalah x = -2 dan x = -1



3. misalkan f(x) = x4 - 15x2 – 10x – 24 Lakukan langkah (1) Jumlah koofisien-koefisien f(x) = 1 - 15 – 10 + 24 = 0 Jadi, x = 1 merupakan akar dari f(x) = 0. Berdasarkan bagan horner: 1 0 -15 -10 24 1 0 1 1 -14 -24 1



1



-14



-24



0



hasil bagi g(x) = x3 + x2 – 14x – 24 Lakukan kembali langkah (1) Jumlah koofisien-koefisien g(x) = 1 + 1 – 14 - 24 = 0 Perhatikan faktor-faktor dari 24 Faktor-faktor dari 24 adalah Coba x = 2 dengan horner, diperoleh :



-2



1 0



1 -2



-14 2



.



-24 24



 Jumlah dan 1 hasil-1Akar-akar -12Persamaan 0 Suku Banyak Jika akar-akar Persamaan Sukubanyak: ax3 + bx2 + cx + d = 0 adalah x1, x2, \ Maka x = -2 merupakan akarnya. dan x3 maka : Sehingga h(x) = x2 – x - 12 = (x – 4) (x + 3) x = 4 dan x = -3 akar-akar persamaan x4 - 15x2 – 10x – 24 = 0 adalah 1, -2, 4 dan -3 sehingga HP dari - 15x2 – 10x – 24 = 0 adalah {-3, -2, 1, 4} Perhatikan Contoh Soal di bawah ini! 1. Jumlah akar-akar persamaan x3 – 3x2 + 2 = 0 adalah . . . 2. Hasil kali akar-akar persamaan 2x3 – x2 + 5x – 8 = 0 adalah. . . 3. Salah satu akar persamaan x3 + px2 – 3x – 10 = 0 adalah -2 jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah. . . 4. Akar-akar persamaan x3 – 4x2 + x – 4 = 0 adalah x1, x2, dan x3. Nilai x12 + x22 + x32 adalah. . .



Jawaban : 1. a = 1, b = -3, c = 0, d = 2 x1 + x2 + x3 = -b/a = -3/1 =3 2. a = 2, b = -1, c = 5, d = -8 x1.x2.x3 = c/a = 5/2



3. -2 adalah akar persamaan x3 + px2 – 3x - 10 = 0 → -2 memenuhi persamaan tsb. sehingga: (-2)3 + p(-2)2 – 3(-2) – 10 = 0 -8 + 4p + 6 – 10 = 0 -8 + 4p + 6 – 10 = 0 4p – 12 = 0 → 4p = 12→ p = 3 3 Persamaan tersebut: x + 3x2 – 3x – 10 = 0 Jumlah akar-akarnya: x1 + x2 + x3 = -b/a = -3



4. x1 + x2 + x3 = 4 x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1 Jadi: x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = 42 – 2.1 = 16 – 2 = 14