Bab 5 Fungsi Kompleks PDF [PDF]

Citation preview

Sistem Bilangan Kompleks Bilangan Kompleks Kurva dan Daerah Limit dan Fungsi Kompleks Fungsi Elementer 1



Notasi Sebuah bilangan kompleks dapat disajikan dalam dua bentuk : 1.



z = x + iy



2.



z = (x, y )



x adalah bagian riil dan y bagian imaginernya dan bisa dituliskan sebagai Re z = x ,



Im z = y



Contoh bilangan kompleks : 2+3i, i,1–i , 3



Re (2 + 3i ) = 2



Im (2 + 3i ) = 3



Im (1 − i ) = −1



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



2



Bidang Kompleks Keterangan Suatu bilangan kompleks bisa digambarkan dalam suatu



Y (Imaginer) - axis y1



o z = x1 + i y1



bidang kompleks seperti menggambarkan suatu titik pada bidang kartesius XY.



x1



X (Real )-axis



Sumbu x : sumbu riil Sumbu y: sumbu imaginer



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



3



Operasi – Operasi dalam bilangan kompleks Bila z1 = x1 + i y1 dan z2 = x2 + i y2 1. Penjumlahan



z1 + z2 = x1 + x2 + i ( y1 + y2 ) 2. Perkalian



z1 .z2 = x1 x2 − y1 y2 + i ( x1 y2 + x2 y1 ) 3. Pembagian



z1 x1 + iy1 ( x1 + iy1 )( x2 − iy2 ) x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2 = = = + i 2 2 2 2 z2 x2 + iy2 ( x2 + iy2 )( x2 − iy2 ) x2 + y 2 x2 + y 2



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



4



Operasi – Operasi dalam bilangan kompleks Contoh Diketahui z1 = 1+i dan z2 = 2–2i , Penjumlahan



z1 + z2 = 1 + 2 + i ( 1 − 2 ) = 3 − i Perkalian



z1 .z2 = 1.2 − ( 1. − 2 ) + i ( 1. − 2 + 2.1 ) = 4 Pembagian



z1 1.2 + ( 1. − 2 ) 2.1 − (1. − 2 ) 0 4 1 = 2 + i = + i = i 2 2 2 z2 8 8 2 2 + (− 2 ) 2 + (− 2 )



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



5



Sifat – sifat operasi 1. Komutatif



z1 + z2 = z2 + z1 z1 .z2 = z2 .z1



2. Assosiatif



z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3 z1 ( z2 z3 ) = ( z1 z2 ) z3



3. Distributif



z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 4. Identitas / lainnya



0 + z = z +0 = z



z + ( −z ) = ( −z ) + z = 0



z .1 = z



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



6



Bilangan Sekawan Definisi Bila z = x+iy maka sekawan dari z dinotasikan dengan z yang memiliki rumusan berikut :



Y (Imaginer-axis) y1



z = x − iy Bila dikaitkan dengan nilai z dan .z maka bagian riil dan imaginer bisa dinyatakan sebagai



x=



z



o



x1 –y1



o



z



1 1 ( z + z ) dan y = ( z − z ) 2i 2



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



7



Soal−soal latihan 1. Diketahui z1 = 2 + i , z2 = 3 − 4i Hitung a. z1 z2



d.



z1 z1 + z2



e.



Re



b. 3 z1 + 2 z2



c. ( z1 + z2 )2 2. Tentukan a. Re c.



1 1−i



b.



Im



z1 z2



2−i 1+ i



(1 − i )6



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



8



Soal−soal latihan 3. Tentukan a. b. c.



( (



)



Re z 2 + iz Im z 2 + 2 z + i



Im( zz )



)



4. Bila z = –1–i a. b. c.



( zz )2 ( z + z )2 ( z i − z i )2



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



9



Bentuk Polar Bilangan kompleks juga bisa dinyatakan dalam bentuk polar yaitu dalam parameter r dan θ dengan hubungan sebagai berikut :



x = r Cos θ y = r Sinθ r



: disebut modulus z, r juga dinotasikan dengan | z |



θ



: disebut argumen z, biasa disingkat dengan arg z



Jadi z bisa dituliskan dalam bentuk :



z = r cosθ + i(r sinθ ) = r (cosθ + i sinθ )



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



10



Bentuk Polar Gambar iy



• z1



r1 θ1 θ2



x



r2 • z2 Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



11



Bentuk Polar Dari hubungan x,y terhadap r dan θ maka r dan θ dapat dinyatakan dalam bentuk :



r= x +y 2



2



y θ = arc tg    x



Secara geometrik, r merupakan jarak titik z terhadap titik asalnya (0,0) sedangkan θ merupakan sudut z yang diukur dari sumbu x positif dan θ tidak terdefinisi pada z = 0. Nilai prinsipil θ didefinisikan pada



−π w1 = r n  Cos + i Sin  n n  k = 1 −−> w2 = r



1



n  Cos θ



M



k = n−1 −−> wn = r



 



1



+ 2π θ + 2π  + i Sin  n n 



n  Cos θ



 



+ 2(n − 1)π θ + 2(n − 1)π  + i Sin  n n 



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



24



Bentuk pangkat dan akar Khusus untuk kasus n =2 yaitu akar kompleks yang berbentuk selain



menggunakan



rumusan



sebelumnya



juga



2



z. bisa



menggunakan rumus berikut : 2



 | z | +x | z | −x  z = ± + ( sign y ) i 2 2  



dengan ketentuan sign y = 1 jika y ≥ 0 dan sign y = −1 jika y < 0 . Rumusan ini peroleh dengan menggunakan sifat 2θ



 Cos θ = 2Cos   − 1 2



dan



θ  Cos θ = 1 − 2 Sin 2   2



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



25



Bentuk pangkat dan akar Contoh a. Tentukan akar − akar dari



3 − 4i



b. Tentukan semua nilai z yang memenuhi



z2 − 2z + i = 0



c. Tentukan semua nilai z yang memenuhi z 3 + 1 = 0



Jawaban a. | z | = 5, x = 3 , y < 0 −−> sign y = −1 2



 5+3 5−3  z = ± −i = ± (2 − i )  2   2



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



26



Bentuk pangkat dan akar Jawaban (lanjutan) b. Dengan rumus abc 2 ± 2 1− i 2 ± 4 − 4i = 2 2 Karena masih mengandung bentuk akar maka bentuk akar tersebut z=



harus disederhanakan dulu. Misalkan w1 dan w2 adalah akar – akar dari 1− i memiliki r = 2 dan θ = − 1 π maka R = 20.25 4 1 Untuk k = 0 −−> β = − π



, dimana 1–i



8



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



27



Bentuk pangkat dan akar Jawaban (lanjutan) b. Diperoleh nilai w1   π  π  w1 = 2  Cos −  + i Sin −   = 1,19(0 ,92 − 0 ,38i )  8  8   Untuk k = 1 −−> β= π diperoleh



w2 =



  7π   7π   2  Cos  + i Sin   = 1,19(− 0 ,92 + 0 ,38i )  8   8  



Jadi nilai z yang memenuhi persamaan adalah



z=



2 + 2.[1,19 ( 0,92 - 0,38 i) ] = 2,09 + 0,38i 2



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



28



Bentuk pangkat dan akar Jawaban (lanjutan) b. Atau



z= c.



i − 2.[1,19 ( 0,92 - 0,38 i)] = −0 ,09 + 0 ,38i 2



z 3 + 1 = 0 −−> z 3 = −1 −−> z = 3 − 1 ( bentuk akar pangkat 3 ) Bilangan kompleks −1 akan memiliki r = 1 dan θ = π dan misalkan w1,w2 dan w3 adalah akar − akar dari



3



− 1 maka



3 π π 1  w = 1 Cos + i Sin = + i Untuk k = 0 diperoleh = 1   3 3 2 2  Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



29



Bentuk pangkat dan akar Jawaban (lanjutan) c. Untuk k = 1 diperoleh



π + 2π π + 2π   w2 = 1 Cos + i Sin  = −1 3 3   Untuk k = 2 diperoleh



π + 4π π + 4π  1 3  w3 = 1 Cos + i Sin i = − 3 3 2 2   Jadi akar – akarnya adalah



1 3 1 3 + i ,−1 dan − i 2 2 2 2



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



30



Soal−soal latihan 1. Hitung a.



z z



b.



z −1 z +1



2. Tentukan modulus , semua argumen dan nilai prinsipil argumen dari bilangan kompleks berikut a. 1+ i



d.



–1–i



b. −5



e.



3i



c. 1 − i 3



f.



0



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



31



Soal−soal latihan 3. Diketahui z = 3 − i ,tentukan a. Re(z5)



b. Im(z7)



4. Tentukan z yang memenuhi persamaan a. z 2 + 2 z + 2 = 0 b. z 4 + 1 = 0 5. Sajikan dalam bentuk bentuk − bentuk akar berikut a.



−i



b.



3



i



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



32



Kurva dan Daerah dalam Bidang Kompleks Definisi |z–a| : Jarak antara z dan a. Lingkaran C dg jari-jari r dan pusat a dpt disajikan dlm bentuk |z–a| = r |z–a|< r : Interior dari C Daerah ini disebut : cakram buka dg pusat a or lingkungan a. |z- a|≤r : sebuah cakram tertutup dg pusat a r1< | z − a | ≤ r2 : annulus terbuka atau cincin buka yaitu daerah diantara dua lingkaran dg jari2 r1 dan r2



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



33



Kurva dan Daerah dalam Bidang Kompleks



C : |z–a|=r Cakram buka dg pusat a a



r



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



34



Kurva dan Daerah dalam Bidang Kompleks Definisi Himpunan S disebut terbuka jika setiap titik di S memiliki cakram buka yg keseluruhan titiknya masuk didalam S. Himpunan terbuka S disebut tersambung jika utk sembarang 2 titik di Sdpt dihubungkan oleh sejumlah ruas garis yg terletak di S juga Himpunan terbukadan tersambung disebut domain ( fungsi kompleks)



S



Himp. terbuka



Himp. tertutup



Himp. tertutup



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



Himp tersambung terbuka 35



Kurva dan Daerah dalam Bidang Kompleks Contoh Buatlah pers. “ cakram buka di 1+ i dg radius 2, kemudian gambar dlm bidang kompleks Jawaban Persamaannya adalah



z − (1 + i ) < 2



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



36



Soal−soal latihan 1.



2.



3.



Buatlah persamaan grafik beserta gambarnya dari pernyataan berikut a.



Cakram tertutup pusat ( 1,1) dan jari − jari 2



b.



Cakram terbuka pusat 3 − 4i dengan jari − jari 3



Gambarkan grafik dari a.



|z|>2



b.



| z + 1 −i | < 3



c.



Re z > 3



d.



arg z < π/2



Dari nomor 1 dan 2, tentukan mana yang merupakan domain fungsi kompleks



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



37



Turunan Fungsi Kompleks Diketahui fungsi kompleks yang berbentuk :



f ( z ) = u ( x , y ) + i v( x , y ) Fungsi ini menunjukkan fungsi kompleks yang ekuivalen dengan dua fungsi riil u(x,y) dan v(x,y) yang masing − masing tergantung pada dua variabel riil x dan y. Limit fungsi lim f ( z ) = L Z → Zo



Ini memgandung pengertian bahwa untuk semua z yang dekat dengan zo maka nilai f(z) akan dekat dengan nilai L.



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



38



Turunan Fungsi Kompleks Pengertian dekat dengan z0 adalah bilangan kompleks yang terletak didalam cakram buka dengan pusat z0 dengan jari – jari yang sangat kecil. f(z) dikatakan kontinu dititik z0 bila



lim f ( z ) = f ( z0 )



Z → Zo



f(z) dikatakan differensiabel dititik z0 (f ′ (z0) ) bila f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) lim = f ' ( z0 ) ada ∆Z →0 ∆z atau



lim



Z →Zo



f ( z ) − f ( z0 ) = f ' ( z0 ) z − z0



ada



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



39



Turunan Fungsi Kompleks Contoh 1 Apakah | z | memiliki turunan dititik (0,0) ? Jawaban f ( z ) = z = x + iy Maka | x + iy | − | 0 + 0 | | x + iy | lim = lim Z →0 ,0 x + iy − ( 0 ,0 ) Z →0 ,0 x + iy Anggap x = 0 konstan maka | iy | | iy | lim lim = 1 dan Y →0 iy = −1 Y →0 iy −



+



Karena limitnya tdk ada, |z| tdk memiliki turunan



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



40



Turunan Fungsi Kompleks Contoh 2 Periksa apakah 2 x + i 2 y memiliki turunan? Kalau punya tentukan turunannya



Jawaban



f (z ) = f (x, y ) = 2 x + i2 y f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆Z →0 ∆z f ( x + iy + ∆( x + iy )) − f ( x + iy ) = lim ∆Z →0 ∆( x + iy )



f ' ( z ) = lim



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



41



Turunan Fungsi Kompleks Jawaban (lanjutan) f ( x + ∆x + i( y + ∆y )) − f ( x + iy ) f ' ( z ) = lim ∆Z →0 ∆( x + iy ) 2 x + 2∆x + 2i ( y + ∆y )) − 2( x + iy ) =2 ∆Z →0 ∆( x + iy )



= lim



Jadi f ( z ) = 2 x + i 2 y memiliki turunan yaitu sama dengan 2



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



42



Turunan Fungsi Kompleks Contoh 3 Diketahui f ( z ) = 3 z 2 + 2 z , tentukan f ' (1 + i ) ?



Jawaban Bila f(z) disajikan dalam variabel z saja maka selain menggunakan definisi turunan yang telah dibahas sebelumnya maka bisa juga f(z) diturunkan secara langsung dengan aturan penurunan biasa. Jadi f ' ( z ) = 6 z + 2 sehingga



f ' (1 + i ) = 6(1+ i) + 2 = 8+ 6i



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



43



Soal latihan 1. Tentukan dari fungsi − fungsi berikut a.



f (x, y ) = x2 + 3x − y 2



b.



f (z ) = z 2 + 3z



c.



f ( z ) = Re z + 1



2. Dengan menggunakan definisi turunan, tunjukkan bahwa



x + iy x + ( 1 − i )y



tidak differensiabel dititik i



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



44



Soal latihan 3. Tentukan f′ (1+i ) dari fungsi − fungsi berikut a. b. c.



f ( z ) = (2 z − 1)



3



f ( x , y ) = x 2 − y 2 − x + i (2 xy − y ) z f (z ) = z −1



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



45



Fungsi analitik Definisi f(z) dikatakan fungsi analitik pada suatu domain D jika f(z) terdefinisi dan memiliki turunan ( differensiabel ) disemua titik di D. f(z) analitik di titik a bila f(z) analitik dilingkaran buka dengan pusat a. Bila f(z) analitik disemua titik dibidang kompleks maka f(z) disebut juga fungsi entire.



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



46



Fungsi analitik Contoh Diketahui



f (z ) =



z+2 z2 + 1



Apakah f(z) analitik di daerah berikut a. P : z < 1 b. Q : z + 1 − i < 1,5 c. R : z − 1 < 2



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



47



Fungsi analitik Pertama akan dilihat pada titik − titik berapa f(z) menjadi tidak analitik.



z+2 z+2 f (z ) = 2 = z + 1 ( z + i )( z − i ) Jadi f(z) tidak analitik dititik −i dan i. Untuk melihat apakah f(z) akan analitik di daerah P,Q atau R cukup dengan melihat apakah titik −i dan i terletak didalam P, Q atau R dan untuk mempermudah akan ditunjukkan dalam gambar berikut



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



48



Fungsi Analitik a. Titik −i dan i diluar P , maka f(z) analitik di P b. Titik i di dlm Q, maka f(z) tdk



point i



Q



analitik di Q c. Titik −i dan i diluar R, maka f(z) analitik di R



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



•



•



P •



•



R point −i



49



Tes keanalitikan fungsi kompleks Bila suatu fungsi kompleks disajikan dalam bentuk .



f (z ) = U (x, y ) + iV (x, y )



Maka untuk menentukan apakah fungsi tersebut analitik pada suatu daerah D maka kita harus mengetahui terlebih dulu apakah fungsi kompleks tersebut terdefinisi dan memiliki turunan di daerah D tersebut. Untuk mengetahui apakah fungsi kompleks tersebut terdefinisi atau tidak mungkin tidak begitu rumit, sedangkan untuk menentukan turunannya mungkin memerlukan waktu yang lebih lama.



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



50



Tes keanalitikan fungsi kompleks Ada cara yang lebih pendek untuk menentukan keanalitikan dari fungsi ini yaitu menggunakan persamaan Cauchy−Riemman. Bila fungsi kompleks f ( z ) = U ( x , y ) + i V ( x , y ) analitik disuatu domain D, maka akan berlaku persamaan Cauchy−Riemman.



U x = Vy Vx = −U y Untuk setiap titik didalam D Turunan f(z) didefinisikan dengan f ' ( z ) = U x + iVx



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



51



Tes keanalitikan fungsi kompleks Bila fungsi kompleks disajikan dalam bentuk polar .f ( z ) = U (r ,θ ) + iV (r ,θ )analitik disuatu domain D, maka akan berlaku persamaan Cauchy−Riemman



1 U r = Vθ r



1 Vr = − Uθ r



Untuk setiap titik didalam D Turunan f(z) didefinisikan sebagai



f ' ( z ) = e −iθ (U r + iVr )



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



52



Fungsi analitik Contoh 1 Apakah



(



)



f ( z ) = x 3 + y 3 + i x 2 y − y 2 x analitik?



Jika ya tentukan turunannya



Jawaban Akan dipeiksa apakah memenuhi persamaan Cauchy-Riemman



U x = 3x 2



V y = x 2 − 2 yx



Ternyata U x ≠ V y jadi tidak memenuhi PCR Sehingga f(z) tidak analitik dan tidak memiliki turunan



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



53



Fungsi analitik Contoh 2 Apakah f ( z ) = 4 x 2 − 4 y 2 − 4 x + 1 + i (8 xy − 4 y ) Jika ya tentukan turunannya



analitik?



Jawaban Akan dipeiksa apakah memenuhi persamaan Cauchy-Riemman



Ux = 8x − 4



Vx = 8 y



U y = −8 y



Vy = 8 x − 4



Ternyata memenuhi PCR yaitu U x = V y dan Vx = −U y Sehingga f(z) analitik dan turunannya adalah f ' ( z ) = 8 x − 4 + i (8 y ) Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



54



Fungsi Harmonik dan Sekawan Harmonik Definisi f ( z ) = U ( x , y ) + i V ( x , y ) sebuah fungsi analitik pd domain D, maka u(x,y) dan v(x,y) akan memenuhi pers. Laplace Jika



∇ 2 u = U xx + U yy = 0



∇ 2 v = Vxx + V yy = 0



(∇ : Nabla)



Suatu fungsi 2 peubah (riil) yg memenuhi pers. Laplace disebut fungsi Harmonic (
u,v : harmonic function) u : fungsi sekawan harmonis v v : fungsi sekawan harmonis u



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



55



Fungsi Harmonik dan Sekawan Harmonik Contoh 1 Bila U ( x , y )adalah bagian Riil f(z) yang analitik, tunjukkan bahwa U = x 2 − y 2 − y harmonik ? kemudian tentukan Sekawan Harmoniknya !



Jawaban ∇ 2 u = U xx + U yy = 2 − 2 = 0 Jadi U merupakan fungsi Harmonik.



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



56



Fungsi Harmonik dan Sekawan Harmonik Jawaban (lanjutan) Dihitung turuanan parsial terhadap x dan y.



U x = 2x



U y = −2 y − 1



Dengan menggunakan PCR maka



Vy = U x = 2 x Vx = −U y = 2 y + 1 Kita dapat memulai dari salah satu persamaan Vy atau Vx . Misalkan akan mulai dari Vy maka V y = 2 x Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



57



Fungsi Harmonik dan Sekawan Harmonik Jawaban (lanjutan) Dengan mengintegralkan terhadap y



V = ∫ 2 x dy = 2 xy + h( x ) Dengan menurunkan terhadap x diperoleh Vx = 2 y + h' ( x ) Dari PCR sudah diperoleh persamaan Vx = −U y = 2 y + 1 Dengan menggabungkan dua persamaan Vx : 2 y + h' ( x ) = 2 y + 1 Maka h' ( x ) = 1 sehingga h( x ) = x + c Jadi sekawan harmoniknya adalah V = 2 xy + x + c Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



58



Fungsi Harmonik dan Sekawan Harmonik Contoh 2 DiketahuiV ( x , y ) = 2 xy adalah bagian imaginer dari suatu fungsi analitik f ( z ) . Tentukan f ( z )



Jawaban Pembuktian bahwa V ( x , y ) = 2 xy adalah fungsi Harmonik yaitu fungsi memenuhi persamaan Laplace tidak perlu dilakukan karena berdasarkan soal bahwa f ( z ) sudah analitik sehingga V ( x , y ) sudah tentu fungsi Harmonik.



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



59



Fungsi Harmonik dan Sekawan Harmonik Jawaban (lanjutan) Dengan menggunakan PCR maka



U x = Vy = 2 x U y = −Vx = −2 y Misalkan akan mulai dari U x maka U x = 2 x Dengan mengintegralkan terhadap terhadap x



U = ∫ 2 x dx = x 2 + h( y )



Dengan menurunkan terhadap y diperoleh U y = h' ( y )



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



60



Fungsi Harmonik dan Sekawan Harmonik Jawaban (lanjutan) Dari PCR sudah diperoleh persamaan



U y = −Vx = −2 y



Dengan menggabungkan dua persamaan Vx : Jadi nilai h( y ) adalah



h' ( y ) = −2 y



h( y ) = − y 2 + c



Sekawan harmonik V ( x , y ) = 2 xy



adalah



U = x2 − y2 + c



Sehingga f ( z ) adalah



f ( z ) = U ( x , y ) + i V ( x , y ) = x 2 − y 2 + c + i(2 xy )



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



61



Soal Latihan Diketahui



f ( z ) = u ( x , y ) + i v( x , y ) adalah fungsi yang analitik



Tentukan sekawan harmonik dari fungsi – fungsi berikut 1.



u=x



4.



v = e x Sin y



2.



u = xy



5.



v = xy



3.



u = x 3 − 3 xy 2



6.



v = − Sin x Sinh y



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



62



Fungsi Elementer Ada tiga fungsi elementer yang dibahas yaitu 



Fungsi eksponensial







Fungsi logaritma (termasuk bentuk pangkat )







Fungsi trigonometri.



Fungsi – fungsi elementer ini akan disederhanakan menjadi bentuk bilangan kompleks yang standar yaitu .



z = x + iy



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



63



Fungsi Eksponensial Fungsi ini memiliki bentuk e z . Untuk mengubah e z kedalam bentuk x + iy maka dapat dilakukan dengan cara memecah z dalam x + iy kemudian menggunakan rumus Euler untuk menyederhanakan bentuk eiy.



e z = e x+iy = e x (Cos y + i Sin y ) = e xCos y + i e x Sin y Bila dijumpai persamaan berbentuk e z = z2 ,untuk menentukan nilai z1 maka z2 dapat diubah terlebih dulu menjadi z = r2 eiθ 1



2



sehingga persamaannya menjadi e z = r2 eiθ 1



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



64



Fungsi Eksponensial Dengan meng-ln-kan kedua ruas didapatkan persamaan



z1 = ln r2 + iθ Bentuk ini sudah sesuai dengan bentuk standarnya Periodisitas e z adalah 2π i ,ini berarti



e z = e z +2π ik



untuk k = 0,1,2,…



Daerah pokok adalah − π < y ≤ π dan − ∞ < x < ∞



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



65



Fungsi Eksponensial Contoh 1 Tentukan bagian riil dan imaginer dari



e −1+π i



Jawaban e −1+π i = e −1(Cos π + i Sin π ) = −



Jadi bagian riilnya adalah − 1 e dan bagian imaginernya = 0.



1 e



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



66



Fungsi Eksponensial Contoh 2 Tentukan z yang memenuhi persamaan e z = i



Jawaban Modulus i = 1 dan argumen i = Persamaan e = i z



π



π . 2



dapat diubah menjadi



i + 2π k z e = 1e 2



k = 0,1,2,…



Bisa disederhanakan menjadi



π  π  z = ln 1 + i + 2πk  =  + 2πk  i 2  2 



k = 0,1,2,…



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



67



Fungsi Logaritma Logaritma asli dari z dinotasikan dg ln z . Nilai ln z yg terkait dg nilai prinsipil argumen z dinotasikan dg Ln z. Misal W =ln z dg W =u + iv dan z dituliskan sbg reiθ ,maka kita akan dapatkan



eW = z e



u + iv



= re



iθ



eu = r v =θ



u = ln r



W = ln z = ln r + i (arg z ) Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



68



Fungsi Eksponensial Contoh 1 Tentukan bagian riil dan imaginer dari Ln(− 1 + i )



Jawaban Modulus



−1+ i = 2



dan argumen



3π Ln(1 + i ) = ln 2 + i 4 Jadi bagian riilnya ln 2 dan bagian imaginernya



3π −1+ i = 4



3π 4



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



69



Fungsi Eksponensial Contoh 2 Tentukan z yang memenuhi persamaan e z = i yang terkait dengan nilai prinsipil argumen z !



Jawaban Dari persamaan e z = i dapat disederhanakan menjadi



z = Ln i = Ln 1 +



πi πi 2



=



2



Jadi nilai z yang memenuhi adalah π i



2 Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



70



Fungsi Eksponensial Contoh 3 Sederhanakan ln i dalam bentuk standar bilangan kompleks !



Jawaban Dengan menggunakan rumusan bentuk akar diperoleh akar- akar dari i adalah w1 dan w2 dengan modulus w1 = 1, modulus w2 = 1, π dan argumen 5π. argumen w1 = w2 =



4



Jadi bentuk standarnya adalah 1. ln i = ln 1 + π i = π i



4



4



4



2. ln i = ln 1 +



5π 5π i= i 4 4



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



71



Bentuk Pangkat Bentuk pangkat bil. kompleks didefinisikan sbg



z1z 2



dimana z1 dan z2 keduanya adalah bilangan kompleks Kita dpt menyederhanakan bentuk pangkat ini dg fungsi eksponensial dan logaritma



z1 misal



z2



=e



ln z1 z2



= e z 2 ln z1



z3 = ln z1 , maka



Dg rumus Euler



x z1z 2 = e z 2 z3 = e x4 + iy 4 = e 4 (cos y4 + i sin y4 )



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



72



Bentuk Pangkat Contoh Sederhanakan (1+i) – i Jawaban Modulus



1 + i = 2 , argumen 1 + i =



π



4 Dg penyederhanaan fungsi logaritma asli, kita peroleh



ln (1 + i ) = ln 2 + i



π



4



π  − i . ln 2 + i  4 z1z 2 = e 



=e



π 4



π



=e 4



− i ln 2



(Cos (ln 2 )− iSin(ln 2 ))



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



73



Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri dapat dinyatakan dalam bentuk :



(



1 Cos z = eiz + e −iz 2



)



(



1 iz −iz Sin z = e − e 2i



)



Dengan mengubah fungsi trigonometri dalam bentuk seperti diatas dan dengan memanfaatkan fungsi - fungsi eksponen maka penyederhanaan dalam bentuk standar bilangan kompleks dapat dilakukan.



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



74



Fungsi Trigonometri Contoh 1 Hitunglah nilai Cos i



Jawaban



(



)



1 i .i −i .i 1  1  Cos i = e + e =  + e 2 2e 



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



75



Fungsi Trigonometri Contoh 2 Tentukan z yang memenuhi persamaan Cos z = 2



Jawaban Dari rumusan Cos z diperoleh persamaan



eiz + e −iz = 4 Misalkan R = eiz maka diperoleh persamaan R 2 − 4 R + 1 = 0 Dengan rumus abc diperoleh akar – akar persamaannya



R=



4 ± 12 =2± 3 2



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



76



Fungsi Trigonometri Jawaban (lanjutan) Untuk



R = 2 + 3 diperoleh persamaan



eiz = 2 + 3



( ) adalah z = −i ln (2 + 3 )



Bisa disederhanakan sebagai i z = ln 2 + 3 Salah satu solusinya Untuk R = 2 − 3



diperoleh persamaan



eiz = 2 − 3



(



Bisa disederhanakan sebagai i z = ln 2 − 3



(



Solusinya yang lain adalah z = −i ln 2 − 3



)



)



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



77



Soal Latihan 1. Tentukan nilai e 3 −i 2. Untuk z = 1 + i ,tentukan bagian riil dan imaginer dari a. b.



e −3 z z2 e



3. Tentukan nilai z yang memenuhi a. e z = −2 z b. e = −i



4. Hitung nilai ln(− 5 )



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



78



Soal Latihan 5. Hitung nilai dari a. b. c. d.



Ln(1 − i 3 )



Ln( − 1 + i )



Cos (1 + i )



Sin (1 + i )



7. Tentukan nilai z yang memenuhi persamaan Sin z = −2



Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung



79