Bagian 4 Hiperbola [PDF]

Citation preview

BAGIAN 4. HIPERBOLA A. PERSAMAAN HIPERBOLA Kompetensi dasar: memahami konsep hiperbola serta menggunakannya dalam memecahkan masalah yang berkaitan. Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa dapat: 1. Menentukan persamaan hiperbola 2. Mengetahui unsur-unsur yang membangun hiperbola Persamaan Hiperbola Hiperbola adalah himpunan titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap. Untuk mendapatkan persamaan hiperbola dibuat suatu susunan sumbu sedemikian hingga sumbu−x melalui kedua titik tertentu itu, misalkan F 1 dan F 2 sedangkan sebagai sumbu− y diambil sumbu yang tegak lurus dengan F 1 F 2. Y T



X



Gambar 4.1 Misalkan F 1( c , 0) dan F 2(−c ,0) dan T ( x1 , y 1) suatu titik pada tempat kedudukan hiperbola maka T F 2−T F 1=2 a dengan (2 a 0, berarti m>



b b atau m← a a



Jika persamaan hiperbola dengan pusat (h , k ) adalah (x−h)2 ( y −k )2 − =1 a2 b2 Maka persamaan garis singgungnya adalah y−k=m(x−h)± √ a2 m2−b2 Jika hiperbola yang sejajar sumbu− y, maka persamaannya y−k=m(x−h)± √ a2−b 2 m 2 Contoh 2 Tentukan persamaan garis singgung hiperbola x2 y2 − =1 64 36 Yang tegak lurus dengan garis x−2 y +3=0 Penyelesaian:



68



1 Garis yang sejajar dengan garis x−2 y +3=0 memiliki gradien . 2 Garis singgung hiperbola yang tegak lurus garis x−2 y +3=0 gradiennya −2 Persamaan garis singgungnya adalah y=mx ± √ a2 m2−b 2 y=−2 x ± √ 64 (−22) −36 y=−2 x ±2 √ 55 atau 2 x+ y −2 √55=0 dan 2 x+ y +2 √ 55=0 2. Garis singgung dengan titik singgung T ( x 1 , y 1 ¿ Persamaan garis singgung elips x1 x a



2



+



y1 y b2



x2 y 2 + =1 dengan titik singgung ( x 1 , y 1 ) adalah a2 b 2



=1



Jadi persamaan garis singgung pada hiperbola



x2 y 2 − =1 dengan titik singgung a2 b2



( x 1 , y 1 ) adalah x1 x



−



y1 y



=1 a2 b2 Jika persamaan hiperbola (x−h)2 ( y −k )2 − =1 a2 b2 Maka persamaan garis singgungnya adalah (x ¿¿ 1−h)( x−h) ( y ¿¿ 1−k )( y−k ) − =1 ¿ ¿ a2 b2 Contoh 3 Dari titik T (2 ,−5) ditarik garis-garis singgung pada hiperbola



69



x2 y 2 − =1 8 4 Hitung jarak T ke garis yang menghubungkan titik-titik singgung Penyelesaian:



(2,-5)



Persamaan garis singgungnya adalah 2 x (−5 ) y − =1 8 4 x 5y + =1 4 4 x +5 y−4=0 Jarak T (2 ,−5) ke tali busur singgung adalah d=



|a x 1 +b y 1 +c| |1 (2 )+5 (−5 )−4| |−27| 27 = = = √ 26 √ 26 √ a2 +b 2 √ 12+ 52



LATIHAN Cari persamaan garis singgung dari hiperbola pada titik berikut x2 1. − y 2=1 ,( 4,1) 2. −x 2+ 2 y 2=1,(−1,1) 8 3. ( x−2)2− y 2=3 ,(0 ,−1)



70



Tunjukkan bahwa garis di bawah ini adalah garis singgung hiperbola yang disediakan kemudian tentukan titik potongnya 4. x +1=0 , 4 x2 −3 y2 =4



5. x−2 y +1=0 , x 2−6 y 2=3



( 2 x−3 )2 6. x + y−1=0 , − y 2=1 5 7. Carilah persamaan garis singgung dari hiperbola 2 x2 −3 y 2=6 yang sejajar dengan garis x + y−2=0 8. Carilah persamaan garis singgung dari titik (0,-1) terhadap hiperbola 2 x2 −3 y 2=6 9. Carilah persamaan garis singgung hiperbola



x2 y 2 − =1 dan lingkaran x 2+ y 2=1 4 2



5 x2 y 2 10. Tentukan nilai p agar garis y= x + p menyinggung hiperbola − =1 2 9 36 C. SIFAT UTAMA GARIS SINGGUNG Kompetensi dasar: memahami sifat utama garis singgung hiperbola serta menggunakannya dalam memecahkan masalah yang berkaitan. Sifat Utama Garis Singgung Garis singgung suatu titik pada hiperbola membagi dua sama besar sudut antara garis-garis yang menghubungkan titik singgung dengan titik-titik fokus. Bukti Y



T



X



O P



71



Gambar 4.3



c a2 x 1− a c



a2 T F1 d 1 c = = = 2 2 T F2 d 2 c a a x + x+ 1 c a c



( ) ( )



x 1−



Persamaan garis singgung di T ( x1 , y 1) adalah x1 x 2



a



−



y1 y b2



=1



Ordinat P adalah nol, maka x1 x a



2



x1 x a2



−



y 1 .0 b2



=1



=1 → x p =



a2 x1



a2 a2 x 1− 2 P F1 x 1 cx1 −a c T F1 = = = = 2 2 P F2 a c x1 +a a2 T F 2 c+ x1 + x1 c c−



P F1 T F1 = P F2 T F2 Jadi TP merupakan garis bagi ∠ F 2 T F 1 atau ∠ F 2 TP=∠ PT F 1



72



D. TEMPAT KEDUDUKAN TITIK Kompetensi dasar: memahami tempat kedudukan titik menggunakannya dalam memecahkan masalah yang berkaitan.



hiperbola



serta



Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa dapat: 1. Mengetahui garis tengah sekawan 2. Mengetahui lingkaran orthoptis atau lingkaran monge 3. Mengetahui dalil apollonius I 4. Mengetahui dalil apollonius II 5. Mengetahui lingkaran titik kaki 1. Garis Tengah Sekawan Kedua garis tengah sekawan hiperbola terletak pada kuadran I dan III atau pada kuadran II dan IV



73



Bukti x2 y 2 − =1 dan garis y=mx, maka tempat a2 b2 kedudukan titik-titik tengah tali busur hiperbola yang sejajar dengan garis y=mx dimulai dengan mencari titik-titik potong garis-garis y=mx+n, n parameter dengan hiperbola kemudian kita mencari titik tengahnya Misalkan persamaan hiperbola



2



x2 ( mx+n ) − =1 atau ( b 2−a2 m 2 ) x 2−2 a2 mnx−a2 n2−a2 b 2=0 a2 b2 Absis dari titik-titik potongnya adalah akar-akar dari persamaan kuadrat di atas. Misalkan titik tengah tali busurnya adalah T, maka x T=



x 1−x 2 2 a2 mn a2 mn = = 2 2 2 2 2 ( b 2−a2 m 2) b −a m



a2 mn n b2 y T =m x T + n=m 2 2 2 + n= 2 2 2 b −a m b −a m 2 xT b Berarti = 2 yT a m



(



)



Sehingga persamaan y=



b2 x merupakan persamaan suatu garis tengah hiperbola a2m



Garis-garis tengah y=mx dan y= m1=m dan m 2=



b2 x disebut garis-garis tengah sekawan dan a2m



2



b disebut arah-arah sekawan. a2 m



2. Garis Orthoptis atau Garis Monge Garis orthoptis atau garis monge adalah tempat kedudukan titik-titik potong garisx2 y 2 − =1 yang tegak lurus sesamanya adalah garis singgung pada hiperbola a2 b2 lingkaran x 2+ y 2=a2 −b2 dengan a> b Bukti



74



Misalkan gradien garis singgungnya adalah m, maka persamaan garis singgungnya adalah y=mx ± √ a2 m2−b 2 Garis singgung yang tegak lurus pada garis singgung ini mempunyai gradien sehingga persamaan garis singgungnya adalah y=



−1 , m



−1 a2 x± −b2 2 m m



√



Karena m suatu parameter, maka tempat kedudukan titik potong kedua garis singgung diperoleh dengan mengeliminasi m dari kedua persamaan di atas menjadi y−mx=± √ a2 m 2−b2 my+ x=± √a 2−b2 m2 Setelah kedua persamaan dikuadratkan kemudian dijumlahkan, diperoleh:



( 1+m2 ) y 2+ ( 1+ m2 ) x 2=( 1+m2 ) a2−( 1+ m2 ) b2 atau x 2+ y 2=a2 −b2 Jadi tempat kedudukan yang dicari memiliki persamaan x 2+ y 2=a2 −b2 Persamaan ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari √ a2−b2. Lingkaran ini disebut lingkaran orthoptis atau lingkaran monge.



3. Dalil Apollonius I Selisih kuadrat garis-garis tengah sekawan suatu hiperbola sama dengan selisih kuadrat sumbu-sumbunya Bukti Misalkan A ( x 1 , y 1 ) salah satu ujung dari suatu garis tengah. Persamaan garis yang menyinggung hiperbola



x2 y 2 − =1 di titik A ( x 1 , y 1 ) adalah a2 b2



75



x1 x 2



a



−



y1 y b2



=1



b2 x 1 Gradiennya m1= 2 a y1 Misal A, B, dan C, D dua garis tengah yang sekawan maka b2 m AB mCD = 2 a y1 b2 x1 b2 m = ⇔ mCD = 2 x 1 CD a 2 a y1 Ternyata garis tengah CD sejajar dengan garis singgung hiperbola di titik A CD ≡ y=



b2 x 1 x a2 y 1



Akan ditentukan koordinat C sebagai titik potong hiperbola b 2 x 2−a2 y 2 +a2 b2=0 dengan garis y=



b2 x1 x a2 y1 b 2 x 2−a2



b2 x1



2



( ) a2 y1



x =−a2 b2



b4 x 21 x 2 b x −a =−a2 b2 4 2 a y1 2



2



2



x 2−



(



1−



b2 x 21 x 2 =−a2 2 2 a y1



b2 x12 2



a y



2 1



−( b 2 x 21−a 2 y 21 ) 2



a y



2 1



)



x 2=−a2



x 2=−a2



76



a2 b 2 2 2 x =a a2 y 21 x2 b2 2 =a 2 y1 a2 y 21 x= 2 b 2



x=±



y 1=



C



( aby , bax ) ⟺0 A =a =x + y 1



1



2



2 1



2 1



a y1 b



b2 x 1 a y 1 b x1 ± =± 2 b a a y1



(



)



2 1



b2 x21 a2 y 21 O C =b = 2 + 2 a b 2



2 1



b2 2 a2 2 x + 1− y1 1 a2 b2



( ) ( )



a 21−b21= 1−



2 x 21 2 2 y1 ¿ ( a −b ) 2 −( a −b ) 2 a b 2



2



¿ ( a 2−b2 )



(



x 21 y 21 − a2 b 2



)



a 21−b21=a2−b 2 2



2



2



2



( 2 a1 ) − ( 2b 1 ) =( 2 a ) −( 2 b ) Jadi terbukti Dalil Apollonius I 4. Dalil Apollonius II



Luas jajargenjang pada garis-garis tengah sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbu hiperbola 77



Y Q C P A O



X



F2



F1 B R D



S



Gambar 4.4 Bukti sin α =



y1 x bx ay ; cos α = 1 ; sin β = 1 ; cos β= 1 a1 a1 a b1 b b1



θ=β−α sin θ=sin ( β−α )=sin β cos α −sin α cos β ¿



b x1 x1 y 1 a y 1 . − . a b1 a1 a1 b b1



¿



2 2 1 b x 1 a y1 − a1 b 1 a b



(



)



2 2 2 2 1 b x 1−a y 1 ¿ a1 b1 ab



(



)



78



¿



1 a2b2 . a1 b1 ab



¿



ab a1 b1



Luas jajar genjang OAQC =OAOC sin θ a 1 b1



ab =ab a1 b 1



Luas jajargenjang PQRS = 4 Luas jajargenjang OAQC ¿ 4 ab ¿( 2a)(2 b) Jadi terbukti Dalil Apollonius II 5. Lingkaran Titik Kaki Tempat kedudukan titik-titik kaki garis-garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus garis-garis singgung ialah suatu lingkaran x 2+ y 2=a2 yang disebut lingkaran titik kaki. Bukti Misalkan gradien garis singgungnya adalah m, maka persamaan garis singgungnya adalah y=mx ± √ a2 m2−b 2 Persamaan garis yang melalui titik api dan tegak lurus garis singgung di atas adalah −1 y= (x ± c) m Dengan mengeliminasi m dari kedua persamaan di atas, y−mx=± √ a2 m 2−b2 my+ x=± c=± √ a 2+ b2 Setelah kedua persamaan dikuadratkan dan dijumlahkan, diperoleh



79



( 1+m2 ) y 2+ ( 1+ m2 ) x 2=( 1+m2 ) a2 atau x 2+ y 2=a2 Jadi tempat kedudukan yang dicari mempunyai persamaan x 2+ y 2=a2 Persamaan ini merupakan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari lingkaran ini disebut lingkaran titik kaki.



RANGKUMAN 1.



Hiperbola adalah himpunan titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap. Hiperbola tersusun dari titik pusat, titik puncak, titik api atau fokus, garis sumbu, latus rectum, garis arah atau direktris, serta eksentrisitas. x2 y 2 −x 2 y 2 Persamaan hiperbola dengan pusat di (0,0) adalah 2 − 2 =1; 2 + 2 =1 a b a b 2 2 x y Persamaan garis singgung hiperbola 2 − 2 =1 dengan gradien m adalah a b



2. 3. 4.



y=mx ± √ a2 m2−b 2 Persamaan garis singgung hiperbola dengan titik singgung T (x1 , y 1) adalah



5. x1 x 2



a 6. 7.



8. 9.



−



y1 y b2



=1



Garis singgung hiperbola membagi dua sama besar sudut-sudut antara garisgaris yang menghubungkan titik singgung dengan titik fokus. Tempat kedudukan titik-titik potong garis-garis singgung pada hiperbola x2 y 2 − =1 yang saling tegak lurus adalah berupa lingkaran dengan pusat O a2 b2 (0,0) dan jari-jari √ a2−b2 Kedua garis tengah sekawan hiperbola terletak pada kuadran I dan III atau pada kuadran II dan IV Garis orthoptis atau garis monge adalah tempat kedudukan titik-titik potong x2 y 2 garis-garis singgung pada hiperbola 2 − 2 =1 yang tegak lurus sesamanya a b 2 2 2 2 adalah lingkaran x + y =a −b dengan a> b



80



10. Dalil Apollonius I membuktikan bahwa selisih kuadrat garis-garis tengah sekawan suatu hiperbola sama dengan selisih kuadrat sumbu-sumbunya 11. Dalil Apollonius II membuktikan bahwa luas jajargenjang pada garis-garis tengah sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbu hiperbola 12. Tempat kedudukan titik-titik kaki garis-garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus garis-garis singgung ialah suatu lingkaran x 2+ y 2=a2 yang disebut lingkaran titik kaki.



LATIHAN 1. Cari persamaan hiperbola yang titik-titik fokusnya terletak pada sumbu-x, 8 3 simetris terhadap O, jarak antara kedua direktrisnya dan eksentrisitasnya e= 3 2 2. Garis 2 x− y−4=0 menyinggung hiperbola yang titik fokusnya F 1(−3,0) dan F 2( 3,0). Tentukan persamaan hiperbola tersebut. 3. Dari titik A(−1,2) dibuat garis-garis singgung pada parabola y 2=10 x . Tentukan persamaan garis yang menghubungkan titik-titik singgungnya x2 y2 x2 y2 4. Tunjukkan bahwa titik potong elips + =1 dan hiperbola − =1 adalah 20 5 12 3 titik-titik sudut suatu persegi panjang dan tentukan persamaan sisi-sisi persegi panjang tersebut. 5. Tentukan titik-titik pada parabola y 2=16 x yang jaraknya 13 satuan dari titik fokus.



81



Kemukakan apa yang dapat kalian temukan dari gambar di atas!



82