Modul Hiperbola [PDF]

Citation preview

1



Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus. 4.1. Unsur-Unsur Hiperbola Y



b y=− x a



y=



b x a



T (x,y) ( 0,b )



.



(- a,0 )



( a,0 )



F2 ( -c,0) O



. F1 ( c,0)



X



( 0, -b )



Dari gambar diatas, titik O merupakan pusat hiperbola, titik F 1 & F2 adalah focus hiperbola, titik puncak ( -a,0) & (a,0), panjang sumbu mayor = 2a dan panjang sumbu minor = 2b.



4.2. Persamaan Hiperbola A. Persamaan Hiperbola yang berpusat di ( 0,0 ) 1. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu x, persamaan hiperbolanya adalah :



b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2b 2 atau



x2 y2 − =1 a2 b2



Dengan : -



Pusat ( 0,0 )



-



Titik fokus F1( -c,0 ) & F2 ( c,0 )



-



Titik puncak ( -a,0 ) & ( a,0 )



-



Panjang sumbu mayor = 2a



-



Panjang sumbu minor = 2b



-



Persamaan asimptot : y = ±



b x a



2



-



Persamaan direktriks : x = ±



-



Eksentrisitas: e =



-



Panjang lactus rectum =



-



c2 = a 2 + b2



a2 c



c a 2b 2 a



2. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah :



b 2 y 2 − a 2 x 2 = a 2b 2 atau



y2 x2 − =1 a 2 b2



Dengan : -



Pusat ( 0,0 )



-



Titik fokus F1( 0,-c ) & F2 ( 0,c )



-



Titik puncak ( 0,-a ) & ( 0,a )



-



Panjang sumbu mayor = 2a



-



Panjang sumbu minor = 2b



-



Persamaan asimptot : y = ±



a x b



-



Persamaan direktriks : y = ±



a2 c



Contoh 1 : x2 y 2 Diketahui persamaan hiperbola − = 1 , tentukan : 36 25 a. Koordinat titik puncak b. Koordinat titik fokus c. Persamaan asimptot d. Persamaan direktriks e. Eksentrisitas f. Panjang lactus rectum Jawab :



x2 y2 Dari persamaan hiperbola − = 1 , diperoleh a2=16, maka a=4 dan a2=9, maka a=3 16 9 c = a 2 + b 2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5 a. koordinat titik puncak : ( - a,0 )=( - 4,0) & ( a,0 )=(4,0) b. koordinat titik fokus : ( - c, 0 )=( -5,0 ) & ( c,0 )=( 5,0 )



3 c. persamaan asimptot : y = ±



b 3 x=± x a 4



d. persamaan direktriks : x = ±



a2 42 16 1 = ± = ± = ±3 c 5 5 5



e. eksentrisitas : e =



c 5 = a 4



f. panjang lactus rectum =



2b 2 2.32 9 1 = = =4 a 4 2 2



Contoh 2 : Tentukan persamaan hiperbola yang puncaknya (0,3) & (0,-3) serta fokusnya (0,5) & (0,-5). Jawab : Dari puncak (0,3) & (0,-3) diperoleh a=3, dari fokus (0,5) & (0,-5) diperoleh c=5. b = c 2 − a 2 = 52 − 32 = 25 − 9 = 16 = 4 Jadi persamaan hiperbolanya adalah



y2 x2 y2 x2 y2 x2 − = 1 ⇔ − = 1 ⇔ − =1 a 2 b2 32 42 9 16



B. Persamaan hiperbola yang berpusat di P( α,β ) 1.



Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu x, persamaan hiperbolanya adalah :



( x −α ) a2



2



( y−β) −



2



b2



=1



Dengan : -



Pusat ( α,β )



-



Titik fokus F1( α - c, β ) & F2 ( α + c, β )



-



Titik puncak ( α - a, β ) & ( α + a, β )



-



Panjang sumbu mayor = 2a



-



Panjang sumbu minor = 2b



-



Persamaan asimptot : y − β = ±



-



a2 Persamaan direktriks : x = α ± c



b ( x −α ) a



4 2.



Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah :



( y−β)



( x −α ) −



2



a2



2



=1



b2



Dengan : -



Pusat ( α,β )



-



Titik fokus F1( α , β - c ) & F2 ( α, β + c )



-



Titik puncak ( α , β - a ) & ( α, β + a )



-



Panjang sumbu mayor = 2a



-



Panjang sumbu minor = 2b



-



Persamaan asimptot : y − β = ±



-



Persamaan direktriks : y = β ±



a ( x −α ) b



a2 c



Contoh 3 : Diketahui persamaan hiperbola −4 x 2 + 3 y 2 − 24 x − 18 y + 27 = 0 . Tentukan: a. koordinat titik pusat b. koordinat titik puncak c. koordinat titik fokus d. persamaan asimptot e. persamaan direktriks Jawab : Nyatakan terlebih dahulu persamaannya ke dalam bentuk baku



( x −α ) a2



2



( y−β) −



2



=1



b2



−4 x 2 + 3 y 2 − 24 x − 18 y + 27 = 0 −4 x 2 − 24 x + 3 y 2 − 18 y = −27 −4 ( x 2 + 6 x ) + 3 ( y 2 − 6 y ) = −27



{



} {



}



−4 ( x + 3) − 32 + 3 ( y − 3) − 32 = −27 2



{



2



} {



}



−4 ( x + 3) − 9 + 3 ( y − 3) − 9 = 27 2



2



−4 ( x + 3) + 36 + 3 ( y − 3) − 27 = −27 2



2



−4 ( x + 3) + 3 ( y − 3) = −27 + 27 − 36 2



2



5 −4 ( x + 3) + 3 ( y − 3) = −36 2



2



4 ( x + 3) − 3 ( y − 3) = 36 2



( x + 3) 9



2



2



( y − 3) − 12



2



=1



Dari persamaan diatas, diperoleh α = −3 dan β = 3 , a2=9, maka a=3 dan b2=12, maka b= 2 3 , c = a 2 + b2 = 9 + 12 = 21 a. Koordinat titik pusat ( α,β )=(-3,3) b. Koordinat titik puncak ( α - a, β )=( -3-3, -3 )=( -6,-3 ) & ( α + a, β )=( -3+3,-3 )=(0,-3) c. Koordinat titik fokus : F1( α - c, β )=( -3- 21 ,3 ) & F2 ( α + c, β )=( -3+ 21 , 3 ) d. Persamaan asimptot : y − β = ±



b 2 3 ( x −α ) ⇔ y − 3 = ± ( x + 3) a 3



a2 32 9 3 ⇔ x = −3 ± ⇔ x = −3 ± ⇔ x = −3 ± 21 e. Persamaan direktriks : x = α ± c 7 21 21 f. LATIHAN SOAL ! 1. Tentukan koordinat titik pusat, koordinat titik fokus, koordinat titik puncak dan persamaan asimptot dari persamaan hiperbola berikut x2 y 2 a. − =1 144 25 Jawab :



b. 9 x 2 − 4 y 2 = 36 Jawab :



6



c.



( y − 2) 16



2



( x − 1) − 4



2



=1



Jawab :



d.



4 x 2 − 9 y 2 + 8 x − 18 y − 41 = 0



Jawab :



2. Tentukan persamaan hiperbola yang memenuhi ketentuan berikut : a. Titik fokus : (8,0) dan (-8,0); titik puncak (6,0) dan (-6,0) Jawab :



b. Titik fokus : (3,0) dan (-3,0); persamaan



7 asimptot y = ±2 x . Jawab :



c. Titik puncak : (6,0) dan (-6,0); persamaan 1 asimptot y = ± x 2 Jawab :



SOAL TES FORMATIF ! 1. Tentukan koordinat titik pusat, koordinat titik fokus, koordinat titik puncak dan persamaan asimptot dari persamaan hiperbola berikut :



x2 ( y − 6) − =1 4 8 2



a.



Jawab :



b.



( x − 5) 20



2



( y + 3) − 16



2



= −1



8



c. 4 x 2 − y 2 + 56 x + 2 y + 191 = 0 Jawab :



d. 4 y 2 − 9 x 2 + 16 y + 18 x − 29 = 0 Jawab :



9



2. Tentukan persamaan hiperbola, jika diketahui hal-hal berikut ini : a. Pusat (3,-5); puncak di (7,5) dan fokusnya di (8,-5) Jawab :



b. Pusat (-2,-1);salah satu fokusnya di titik (-2,14) dan direktriksnya pada garis 5y = -53 Jawab :



10