Revisi Kelompok 4 - Luasan Putaran Elips, Parabola, Dan Hiperbola - VA [PDF]

Citation preview

GEOMETRI ANALITIK RUANG LUASAN PUTARAN ELIPS, PARABOLA, DAN HIPERBOLA



OLEH: KELOMPOK 4 1. AFRIDA RIZKI MAYANDA (E1R019006) 2. ALIFIANA RAHMASARI (E1R019007) 3. AULIA DINDA DWI KARTIKA (E1R019021) 4. BAIQ ELISA NOVIANTY (E1R019028) 5. BAIQ SINTA ERVIANA (E1R019030)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MATARAM 2021



KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat dan hidayahNya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini tepat pada waktunya. Adapun tujuan dari penulisan dari makalah ini adalah untuk memenuhi tugas dosen pada mata kuliah Pengembangan Kurikulum Matematika. Selain itu, makalah ini juga bertujuan untuk menambah wawasan dan pengetahuan tentang materi Luasan Putaran Ellips, Parabola, dan Hiperbola bagi para pembaca dan juga bagi penulis. Kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan membagi sebagian pengetahuannya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini. Kami menyadari makalah ini belum sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun akan kami nantikan demi kesempurnaan makalah ini. Mataram, 10 September 2021 Penulis



i



DAFTAR ISI Kata Pengantar …………………………………………………………………………………….i BAB I .............................................................................................................................................. 1 PENDAHULUAN .......................................................................................................................... 1 A. Latar Belakang .......................................................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ..................................................................................................................... 1 C. Tujuan ....................................................................................................................................... 2 BAB II............................................................................................................................................. 3 PEMBAHASAN ............................................................................................................................. 3 A. Luasan Putaran .......................................................................................................................... 3 B. Luasan Putaran Elips pada Bidang C. Luasan Putaran Parabola pada Bidang D. Luasan Putaran Hiperbola pada Bidang



Diputar Mengelilingi Sumbu ................................ 3 Diputar Mengelilingi Sumbu



.......................... 7



diputar Mengelilingi Sumbu X ......................... 8



BAB III ......................................................................................................................................... 13 PENUTUP..................................................................................................................................... 13 A. Kesimpulan ............................................................................................................................. 13 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................... 14



ii



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Geometri analitik merupakan suatu bidang studi hasil persilangan antara geometri dan aljabar. Geometri analitik dibedakan menjadi dua bagian, yaitu geometri analitik bidang dan geometri analitik ruang. Pada geometri analitik ruang terdapat banyak bidang kajian, salah satunya adalah elipsoida, hiperboloida, dan paraboloida. Ellipsoida, hiperboloida, dan paraboloida memuat beberapa bahan ajaran, diantaranya adalah luasan putaran. Luasan putaran yang terjadi dihasilkan dari suatu kurva yang diputar mengelilingi garis lurus. Adapun kurva yang diputar meliputi ellips yan menghasilkan elipsoida putar, hiperbola yang menghasilkan hiperboloida berdaun satu atau berdaun dua tergantung dari kedudukan poros putarnya, dan parabola yang menghasilkan paraboloida dengan sumbu simetrinya merupakan poros putaran. Suatu kurva baik berbentuk elips, parabola, atau hiperbola yang diputar mengelilingi suatu garis lurus disebut sebagai luasan. Luasan yang dihasilkan disebut sebagai luasan putaran dan garis tersebut disebut sebagai sumbu putar. Baik dalam Geometri Analitik Bidang maupun Geometri Analitik Ruang keduanya mempelajari pengertian vektor, persamaan vektor dari suatu garis, persamaan parametrik dan persamaan Kartesiusnya. Penerapan konsep vektor ini digunakan untuk menyatakan persamaan dari suatu kurva dan persamaan vektor dari suatu kurva mempunyai bentuk yang sama, meskipun untuk dimensi-dimensi yang berbeda. Persamaan-persamaan inilah yang akan membantu menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan Analisis Vektor dan Kalkulus peubah banyak. B. Rumusan Masalah 1. Apakah yang dimaksud dengan luasan putaran? 2. Bagaimanakah persamaan luasan putaran suatu ellips di bidang XOY diputar mengelilingi sumbu X? 3. Bagaimanakah persamaan luasan putaran suatu parabola dibidang XOY diputar mengelilingi sumbu X?



1



4. Bagaimanakah persamaan luasan putaran suatu hiperbola dibidang XOY yang diputar mengelilingi sumbu X? C. Tujuan 1. Mengetahui pengertian dari luasan putaran. 2. Mengetahui persamaan luasan putaran suatu ellips di bidang XOY diputar mengelilingi sumbu X. 3. Mengetahui persamaan luasan putaran suatu parabola di bidang XOY diputar mengelilingi sumbu X. 4. Mengetahui persamaan luasan putaran suatu hiperbola di bidang XOY diputar mengelilingi sumbu X.



2



BAB II PEMBAHASAN A. Luasan Putaran Luasan putaran adalah bentuk yang terjadi jika suatu kurva baik berupa garis, ellips, hiperbola, atau parabola diputar mengelilingi suatu garis lurus. Garis lurus yang dikelilingi disebut sumbu putar. Setiap titik pada kurva yang diputar mengelilingi suatu lingkaran yang terletak pada bidang yang tegak lurus sumbu putar dan titik pusatnya pada sumbu putar. Lingkaran ini disebut lingkaran paralel. Bidang yang melalui sumbu putar disebut bidang meridian. Misalkan sumbu bidang



sebagai sumbu putar dan kurva yang diputar terletak pada



Maka akan menghasilkan persamaan sumbu putar:



Persamaan kurva yang diputar adalah Ambil



sebarang titik pada kurva, maka dipenuhi: ..… (1) ..… (2) Lingkaran yang dilalui T adalah perpotongan bidang yang melalui T dan tegak lurus



sumbu putar, yaitu sumbu dengan lingkaran yang pusatnya pada sumbu X (misalkan titik O) dan jari-jarinya OT. Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah: ….. (3) ….. (4) Dari persamaan (1), (2), (3), dan (4), eliminasi



dan



sehingga diperoleh persamaan



luasan putarannya. B. Luasan Putaran Elips pada Bidang Persamaan Elips pada bidang



Diputar Mengelilingi Sumbu berbentuk:



{



Misalkan



sebarang titik pada elips maka harus dipenuhi: ….. (1) 3



….. (2)



Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu



adalah



.



Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah:



Jadi, persamaan lingkaran yang melalui titik T adalah: ..… (3) .…. (4) Dengan mengeleminasi



dan



dari persamaan (1), (2), (3), dan (4) maka diperoleh



persamaan elipsoida putaran dengan sumbu



sebagai sumbu putarnya, yaitu:



Elipsoida putaran dengan sumbu X



Jika sumbu putarnya adalah sumbu



maka persamaan elipsoida yang diperoleh adalah:



{



Misalkan



sebarang titik pada elips maka harus dipenuhi: ….. (5) ….. (6) 4



Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu



adalah



. ..… (7) .…. (8)



Dengan mengeleminasi



dan



dari persamaan (5), (6), (7), dan (8) maka diperoleh



persamaan elipsoida putaran dengan sumbu



sebagai sumbu putarnya, yaitu:



Contoh Soal: 1. Suatu elips dengan persamaan {



diputar mengelilingi sumbu X.



tentukan persamaan elipsoida putaran yang terbentuk! Penyelesaian: Misalkan



sebarang titik pada elips maka harus dipenuhi: ….. (i)



Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu X adalah



.



Persamaan bola yang titik pusatnya di O dan melalui T adalah:



Jadi, persamaan lingkaran yang dilalui T adalah: ….. (ii) ….. (iii) Dari persamaan (i) diperoleh:



Substitusikan



dan



ke dalam persamaan (iii), maka:



5



Jadi,



persamaan



elipsoida



putaran



yang



2. Suatu elips pada bilang XOZ dengan persamaan {



terbentuk



adalah



diputar mengelilingi sumbu



Z. Tentukan persamaan luasan elips yang terbentuk! Penyelesaian: Misalkan



sebarang titik pada elips maka harus dipenuhi:



….. (i) Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu Z adalah



.



Persamaan bola yang titik pusatnya di O dan melalui T adalah:



Jadi, persamaan lingkaran yang dilalui T adalah: ….. (ii) ..... (iii) Dari persamaan (i) diperoleh:



Substitusikan



dan



ke dalam persamaan (iii), maka:



6



C. Luasan Putaran Parabola pada Bidang Persamaan parabola pada bidang



Diputar Mengelilingi Sumbu berbentuk:



{ Misalkan



sebarang titik pada parabola maka harus dipenuhi: ….. (9) ….. (10)



Persamaan lingkaran yang dilalui T adalah: ….. (11) .…. (12) Dengan mengeleminasi



dan



dari persamaan (9), (10), (11), dan (12) maka diperoleh



persamaan paraboloida putaran dengan sumbu



sebagai sumbu putarnya, yaitu:



Paraboloida putaran dengan sumbu X



7



Contoh Soal: Suatu parabola dengan persamaan {



diputar mengelilingi sumbu Z. Tentukan



persamaan luasan paraboloida putaran yang terbentuk! Penyelesaian: Misalkan



sebarang titik pada parabola maka harus dipenuhi: ….. (i) ….. (ii)



Persamaan lingkaran yang dilalui T adalah: ….. (iii) .…. (iv) Dari persamaan (iii) dan (iv) diperoleh Dengan mensubstitusikan



.



ke dalam persamaan (iv) diperoleh persamaan luasan



putaran paraboloida, yaitu:



atau



D. Luasan Putaran Hiperbola pada Bidang XOY diputar Mengelilingi Sumbu X Persamaan hiperbola pada bidang XOY berbentuk: { Misalkan



sebarang titik pada hiperbola maka harus dipenuhi: ….. (13) ….. (14)



8



Persamaan lingkaran yang dilalui T adalah: ….. (15) .…. (16) Dengan mengeleminasi



dan



dari persamaan (13), (14), (15), dan (16) diperoleh



persamaan hiperboloida putaran dengan sumbu X sebagai sumbu putarnya, yaitu:



Persamaan tersebut merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun dua.



Jika hiperbola pada bidang XOY tersebut diputar mengelilingi sumbu Y, maka diperoleh persamaan luasan putaran sebagai berikut: Misalkan



pada hiperbola, maka memenuhi: ….. (17) ….. (18)



Persamaan bidang melalui T dan tegak lurus sumbu Y adalah



.



Persamaan bola melalui T dan pusatnya O adalah:



Jadi, persamaan lingkaran yang melalui T adalah: 9



..… (19) .…. (20) Dengan mengeleminasi



dan



dari persamaan (17), (18), (19), dan (20) diperoleh



persamaan hiperboloida putaran dengan sumbu



sebagai sumbu putarnya, yaitu:



Persamaan tersebut merupakan hiperboloida putaran berdaun satu.



Contoh Soal:



1. Suatu hiperbola dengan persamaan {



diputar mengelilingi sumbu X. Tentukan



persamaan luasan putaran yang terjadi! Penyelesaian: Misalkan



pada hiperbola, maka memenuhi: ….. (i) ….. (ii)



Persamaan lingkaran yang dilalui T adalah: 10



….. (iii) .…. (iv) Dari persamaan (ii)dan (iii) diperoleh :



Substitusikan



ke dalam persamaan (iv) sehingga diperoleh persamaan luasan



hiperboloida putaran yang terbentuk, yaitu:



atau



2. DIketahui persamaan hiperbola pada bidang XOZ {



. Tentukanlah persamaan



luasan yang terjadi apabila hiperbola diputar mengelilingi sumbu Z! Penyelesaian: Misalkan



pada hiperbola, maka memenuhi: ….. (i) ….. (ii)



Jika hiperbola diputar mengelilingi sumbu Z maka persamaan lingkaran yang dilalui T adalah:



11



….. (iii) .…. (iv) Dari persamaan (ii) dan (iii) diperoleh:



Substitusikan



ke dalam persamaan (iv) sehingga diperoleh persamaan luasan



hiperboloida putaran yang terbentuk, yaitu:



12



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Luasan putaran merupakan hasil dari suatu kurva baik berupa elips, parabola, dan hiperboola yang diputar mengelilingi suatu garis lurus yang disebut sebagai sumbu putar. Persamaan



luasan ,



putaran



pada



sedangkan



elips



yang



mengelilingi



mengelilingi



sumbu



berbentuk



sumbu



y



berbentuk



jika keduanya terletak pada bidang XOY. Persamaan luasan putaran pada parabola



memenuhi



bentuk



umum



apabila diputar mengelilingi sumbu X pada bidang XOY. Pada hiperbola, bentuk umum persamaan luasan putaran yang dihasilkan pada bidang XOY mengelilingi sumbu



X dan



mengelilingi



adalah sumbu



y



berbentuk



13



DAFTAR PUSTAKA Sukirman. 2016. Materi Pokok Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Tangerang Selatan: Universitas Terbuka.



14