HIPERBOLA [PDF]

Citation preview

KATA PENGANTAR



Puji syukur kami ucapkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan hidayahnya, sehingga penyusunan makalah dengan judul Hiperbola akhirnya dapat terselesaikan dengan baik. Kami berharap dari isi makalah ini dapat di jadikan suatu pedoman bagi pembaca dalam menulis tugas ataupun makalah, sehingga pesan/materi dapat tersampaikan dengan baik. Penulis mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang membantu dalam penyelesaian makalah ini. Makalah ini tidak terlepas dari kesalahan maka dari penulis mengharap kritik dan saran yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah ini.



Penulis



1



DAFTAR ISI



HALAMAN JUDUL...................................................................................... KATA PENGANTAR..................................................................................... DAFTAR ISI.................................................................................................. BAB I



PENDAHULUAN......................................................................... A. Latar Belakang......................................................................... B. Rumusan Masalah.................................................................... C. Tujuan .....................................................................................



BAB II



PEMBAHASAN............................................................................ A. B. C. D.



Pengertian Hiperbola............................................................... Unsur-Unsur Hiperbola............................................................ Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)......................... Persamaan hiperbola yang berpusat dititik P(x,y)...................



BAB III PENUTUP..................................................................................... A. Kesimpulan.............................................................................. B. Saran........................................................................................ DAFTAR PUSTAKA



2



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.Jarak kedua titik tertentu tersebut adalah 2a. Hiperbola dan elips memiliki hubungan yang sangat erat, khususnya pada bentuk persamaannya. Hiperbola dan elips, adalah hasil dari suatu pengirisan dari kerucut. Suatu kerucut jika diiris horizontal, maka irisannya berbentuk lingkaran. Jika kerucut tersebut dipotong secara miring (dan tidak memotong alasnya), maka terbentuk suatu ellips. Jika mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya secara vertikal, maka terbentuk suatu hiperbola. Berdasarkan definisi hiperbola, kita dapat menggambarkan grafik hiperbola. Misalkan kita tentukan titik fokusnya adalah F’(-c, 0) dan F(c, 0) sedangkan selisih jarak konstan tertentu adalah 2a. B. Rumusan Masalah 1. Pengertian hiperbola. 2. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0) 3. Persamaan hiperbola yang berpusat di P(x,y) C. Tujuan 1. Untuk mengetahui pengertian hiperbola 2. Untuk mengetahui persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0) 3. Untuk mengetahui persamaan hiperbola yang berpusat di P(x,y)



BAB II PEMBAHASAN



1



A. Pengertian Hiperbola Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.Jarak kedua titik tertentu tersebut adalah 2a. Hiperbola dan elips memiliki hubungan yang sangat erat, khususnya pada bentuk persamaannya. Hiperbola dan elips, adalah hasil dari suatu pengirisan dari kerucut. Suatu kerucut jika diiris horizontal, maka irisannya berbentuk lingkaran. Jika kerucut tersebut dipotong secara miring (dan tidak memotong alasnya), maka terbentuk suatu ellips. Jika mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya secara vertikal, maka terbentuk suatu hiperbola. Berdasarkan definisi hiperbola, kita dapat menggambarkan grafik hiperbola. Misalkan kita tentukan titik fokusnya adalah F’(-c, 0) dan F(c, 0) sedangkan selisih jarak konstan tertentu adalah 2a.



F dan F’ disebut titik focus. (-a,0) dan (a,0) disebut titik puncak. B. Unsur-Unsur Hiperbola



2



-



Titik O merupakan pusat hiperbola Titik Fokus yaitu : F dan F’ titik puncak (-a,0) dan (a,0) persamaan asimtot : Sumbu-x (yang memuat dua titik dari hiperbola) disebut sumbu tranversal (transverse axis) dan sumbu-y disebut sumbu sekawan (conjugate axes). Titik potong hiperbola dengan sumbu trasversal disebut titik ujung (dalam hal ini (±a, 0)) dan perpotongan kedua sumbu simetri disebut pusat hiperbola. Jarak antara kedua titik ujung adalah 2a dan disebut sumbu mayor dan besaran 2b disebut sumbu minor.



C. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)



3



Perhatikan kembali gambar di atas dengan F(-c, 0) atau F1 (-c, 0) dan G(c, 0) atau F2(c, 0), serta titik P(x, y) atau T(x, y) pada hiperbola.  F1T – F2T  = 2a, atau F1T – F2T = ± 2a



√(x +c)2 +( y−0)2



√( x−c )2+( y −0)2



-



√(x +c)2 + y 2



-



√( x−c )2+ y 2



√(x +c)2 + y 2



= 2a +



= 2a



= 2a



√( x−c )2+ y 2



. . . . 1



Persamaan satu sama – sama dikuadratkan lalu disederhanakan, diperoleh : ( x + c )2 + y2 = 4a2 + (x – c)2 + y2 + 4a 2cx = 4a2 – 2cx + 4a



√( x−c )2+ y 2



√( x−c )2+ y 2



4cx – 4a2 = 4a cx – a2 = a



√( x−c )2+ y 2



√( x−c )2+ y 2



Dengan mengkuadratkan kembali, diperoleh : x2c2 – 2a2xc + a4 = a2 (x2 – 2xc + c2 + y2) x2c2 – 2a2xc + a4 = a2 x2 – 2a2xc + a2c2 + a2y2 x2c2 – 2a2xc + a4 – a2x2 + 2a2xc = a2c2 + a2y2 x2c2 – a2x2 – a2y2 = a2c2- a4 x2(c2 – a2) - a2y2 = a2(c2 – a2) Misalkan : c2 – a2 = b2 , maka : x2 b2- a2y2 = a2b2 jika kedua ruas dibagi dengan a2b2 maka diperoleh : x2 a2



-



y2 b2



= 1 Persamaan hiperbola .



 Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu x adalah :



4



2



x 2 a



2



y 2 b



–



=1



Dengan unsur – unsur sebagai berikut :    



Pusat O(0,0) Fokus F1(-c, 0) dan F2(c, 0) Puncak A(-a, 0) dan B(a, 0) Sumbu simetri : - Sumbu utama adalah sumbu X - Sumbu sekawan adalah sumbu Y  Sumbu nyata AB = 2a  Sumbu imajiner MN = 2b b  Asimtot, y = ± a x



 Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu y adalah : y2 a2



-



x2 b2



=1



Dengan unsur – unsur sebagai berikut :    



Pusat O(0,0) Fokus F1(0, -c) dan F2(0, c) Puncak A(0, -a) dan B(0, a) Sumbu simetri : - Sumbu utama adalah sumbu Y - Sumbu sekawan adalah sumbu X  Sumbu nyata AB = 2a  Sumbu imajiner MN = 2b a  Asimtot, y = ± b x



Contoh soal : 1. Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui :



5



Fokus F1 (-13, 0) dan F2 (13, 0) dengan puncak (-5, 0) dan (5, 0) Jawab : Diketahui F1 (-13, 0) dan F2 (13, 0) => pusat (0, 0) Fokus (±13, 0), maka c = 13 Puncak (±5, 0), maka a = 5 b 2= c2- a2 = 132+ 52= 169 – 25 = 144 sumbu utama sumbu X, maka persamaan hiperbolanya adalah x2 a2



-



y2 b2



2



= 1 



2



x 25



-



y 144



=1



2. Tentukan koordinat titik puncak, fokus, dan persamaan asimtot 2



hiperbola dari persamaan berikut Jawab : x2 16 -



y2 4



x 16



2



-



y 4



= 1  a2 = 16 maka a = 4 dan b2 = 4 maka b = 2



Pusat (0, 0) Puncak (-a, 0) = (-4, 0) dan (a, 0) = (4, 0) c2 = a2 + b2 = 16 + 4 = 20 maka c = √ 20 = 2 fokus (-c, 0) = (-2



2 4



√5



√ 5 , 0) dan (c, 0) = (2 √ 5 , 0)



persamaan asimtot : y = ± maka y = ±



=1



b a



x



1 atau ± 2



D. Persamaan hiperbola yang berpusat dititik P(x,y)



6



Persamaan Hiperbola yang berpusat P (m,n) diperoleh dengan cara menggeser hiperbola yang pusatnya (0,0) yaitu pada arah horizontal dan vertikal sehingga diperoleh hiperbola yang berpusat di titik p(m,n) sebagai berikut : (x−m)2 a2



–



( y−n)2 b2



=1



Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu x (x−m)2 a2



–



( y−n)2 b2



Dengan unsur – unsurnya sebagai berikut :  



Pusat P (m,n) Fokus F1(m – c , n) dan F2(m + c, n )



7



=1



 



Puncak A(m – a , n) dan B(m + a, n) Sumbu simetri : - Sumbu utama adalah sumbu y = n - Sumbu sekawan adalah sumbu x = m  Sumbu nyata AB = 2a  Sumbu imajiner MN = 2b 



b Persamaan Asimtot g1 dan g2 adalah : y – n = ± a



Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu y 2



( y−n) a2



2



–



( x−m) b2



Dengan unsur – unsurnya sebagai berikut :   



Pusat P (m,n) Fokus F1(m , n – c) dan F2(m,n + c ) Sumbu simetri : - Sumbu utama adalah sumbu x = m - Sumbu sekawan adalah sumbu y = n  Sumbu nyata AB = 2a  Sumbu imajiner MN = 2b  Persamaan Asimtot g1 : y – n =



b a



(x – m)



b g2 : y – n = - a 



Eksentristas (e) =



(x – m) c a



,e>1



Contoh soal



8



=1



(x – m)



1. Fokus F1(-2 , -3) dan Fokus F2(8 , -3) dan titik puncak (7 , -3) Jawab : Diketahui Fokus F1(-2 , -3) dan Fokus F2(8 , -3)  pusat



−3+(−3) 2



−2+8 2



,



= (3 , -3)



Jarak pusat ke fokus (c) = 8 – 3 = 5 Puncak ( 7,-3) Jarak pusat dengan puncak (a) = 7 – 3 = 4 b 2= c2- a2 =5 2- 42= 25 - 16 = 9 persamaan hiperbola : ( x−3)2 16 9



–



x 2 - 16



( y +3)2 9



2 = 1 atau 9 ( x−3)



( y +3)2 = 144



- 16



y 2 - 54x – 96y - 207 = 0



2. Tentukan titik pusat , titik fokus , titik puncak, panjang lactus rectum dan 2



persamaan asimtotnya pada hiperbola berikut



( x−4) 64



2



–



( y +1) 225



1 Jawab : 2



Diketahui 2



a



2



b



( x−4) 64



2



–



( y +1) 225



= 1  titik pusat (4, -1)



= 64  a = 8 = 225  b = 15



c 2 = a2 +b 2 = 64 + 225 = 289  c = 17 Fokus (4 – 17, -1) = (-13, -1) dan (4 + 17, -1) = (21, -1) Titik puncak (4 – 8, -1) = (-4, -1) dan (4 + 8, -1) = (12, -1) Panjang lactus rectum =



2b a



2



=



9



2 .225 8



=



225 4



=



Asimtot : y + 1 = ±



15 8



(x – 4)



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan 1. Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.Jarak kedua titik tertentu tersebut adalah 2a. 2. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)



10



2



x a2



2



–



y b2



=1



3. Persamaan hiperbola yang berpusat dititik P(x,y) 2



( x−m) a2



2



–



( y−n) b2



=1



B. Saran Semoga dengan penyusunan makalah ini dapat membantu pembaca dalam membuat tugas, dan menjadikan makalah ini sebagai referensi dalam belajar.



DAFTAR PUSTAKA Matematika untuk SMK dan MAK kelas XII http://www.slideshare.net/rasyidyelsi/makalah-hiperbola?from_action=save http://www.slideshare.net/nidashafiyanti/soal-dan-pembahasan-hiperbola



11



SOAL dan PEMBAHASAN 1. Persamaan hiperbola dengan jarak dua fokus = 20, sumbu utama adalah sumbu X dengan pusat O dan asimtot membentuk sudut sumbu X positip adalah …. x2 y 2 − =3 a. 75 25 2



2



2



2



b.



x y − =4 75 25



c.



x y − =1 75 25



12



30 °



dengan



d.



x2 y 2 − =4 75 25



e.



x2 y 2 − =1 /2 75 25



Pembahasan : 2 c=20 c=10 tan 30 °=



1 √3



tan 30 °=



b a



b 1 = a √3 c 2=a 2+ b2 2



2



100=3 b + b b2=25 b=5



a=b √ 3 a=5 √ 3 ; sumbu utama adalah sumbu X Persamaan hiperbola adalah : x2 y 2 − =1 75 25



2. Salah satu persamaan asimtot hiperbola …. a.



4 y+3 x−16=0



b.



3 y+ 4 x−16=0



13



9 x 2−16 y 2−72 x +32 y=16



adalah



c.



3 y+ 4 x +16=0



d.



4 y+3 x 16=0



e.



4 y−3 x−16=0



Pembahasan : 9(x 2−8 x +16)−16 ( y 2−2 y+ 1)=16+144 – 16 2



2



(x−4) ( y−1) − =1 16 9



a=4 b=3



Asimtot :



3 y−1=± ( x−4) 4



3 y 1= x−3+1 4 4 y−3 x+ 8=0 y 2=



−3 x+3+ 1 4



4 y+3 x−16=0



3. Salah satu persamaan garis singgung pada hiperbola yang tegak lurus garis x− y +7=0 adalah …. y=−x−5 atau y =−x −1 a. b.



y=−x+ 5 atau y=−x +1



c.



y=x +5 atau y =−x +1



d.



y=−x+ 5 atau y=x +1



14



( x−1)2 ( y−2)2 − =1 8 4



y=−x−5 atau y =x+1



e.



Pembahasan : Gradien garis



x− y +7=0 adalah m1=1 m2=−1



Gradien garis singgung yang tegak lurus garis tersebut adalah Jadi persamaan garis singgungnya adalah : y−2=−1(x −1)± √8.(−1)2−4



y−2=−x +1 ±2 y=−x+ 5 atau y=−x +1



4. Tentukan persamaan garis singgung di titik (−1, 1) pada hiperbola 4 x 2−8 y2 =32 a. b. c. d. e.



y=



−5 2 x+ 7 7 Dan



y=x +2



y=



−2 2 x+ 7 7 Dan



y=x +2



y=



−5 7 x+ 7 7 Dan



y=x +2



y=



−5 2 x+ 7 7 Dan



y=x−2



5 2 y= x + 7 7 Dan



y=x +2



Pembahasan : x2 y2 2 2 4 x −8 y =32 Hiperbola  8 − 4 =1 Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (−1, 1) adalah: y−1=m( x+1) atau



y=mx +m+ 1



Persamaan garis singgung dengan gradien m pada hiperbola



15



x2 y2 − =1 8 4



Adalah y=mx ± √ 8 m2−4 mx+ m+1=mx ± √8 m2−4 m2+2m+1=8 m2 – 4 7 m2−2 m−5=0



( 7 m+ 5 )( m−1 )=0 m 1=



−5 , m2=1 7



Persamaan garis singgungnya : y=



−5 2 x+ 7 7



Dan



y=x +2



16