Bahan Ajar SPTLDV PDF [PDF]

Citation preview

2020 Bahan Ajar Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)



Matematika Wajib Kelas X Khosi’atun Khoiriyah 10/21/2020



Keep Calm and Love Math



2020



Keep Calm and Love Math A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar



No



Kompetensi Dasar



1.



3.3 Menjelaskan metode pembuktian



Indikator Pencapaian Kompetensi 3.3.1 Menjelaskan pertidaksamaan linear



pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian



dua variabel (PtLDV). 3.3.2 Menggambar grafik pertidaksamaan



dengan induksi matematika.



linear dua variable (PtLDV). 3.3.3 Menjelaskan sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV). 3.3.4 Menggambar



grafik



sistem



pertidaksamaan linear dua variable (SPtLDV). 2.



4.3 Menggunakan metode pembuktian 4.3.1



Memodelkan



dan



menyelesaian



induksi matematika untuk menguji



permasalahan



sehari-hari



pernyataan matematis berupa



berkaitan



barisan ketidaksamaan,



pertidaksamaan linear dua variable



keterbagian.



(SPtLDV)..



dengan



yang sistem



Pengalaman Belajar



Melalui pembelajaran materi Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel, siswa memperoleh pengalaman belajar :







Menjelaskan karakteristik masalah otentik yang penyelesaiannya terkait dengan model matematika sebagai SPtLDV







Merancang model matematika dari sebuah permasalahan otentik yang merupakan SPtLDV



Bahan Ajar SPtLDV Matematika Wajib Kelas X



2



Keep Calm and Love Math



2020



B. Tokoh Matematikawan



George Bernard Dantzig (1914 - 2005)



George Bernard Dantzig mendapat gelar Ph.D. (Philosopy Doctor) dari Universitas California. Pada tahun 1947 ia bekerja di bagian perencanaan Angkatan Udara Amerika Serikat. Semua orang mengetahui bahwa sangat sulit mengokordinasikan persediaan, peralatan dan prajurit secara efisien. Akan tetapi, Dantig berhasil memformulasikan Angkata Udara Amerika Serikat sebagai masalah program linear. Masalah yang dihadapi memuat beribu variabel yang sulit dipecahkan dan Dantzig berhasil mengkoordinasikan persediaan, peralatan, dan prajurit secara efisien. Sumber: Finite Mathematic and Its Application,1998



Bahan Ajar SPtLDV Matematika Wajib Kelas X



3



Keep Calm and Love Math



2020



D. Materi Pelajaran 1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV) Pada subbab ini akan dipelajari pertidaksamaan linear dua variabel dan suatu keuntungan apabila kalian memahami konsep pertidaksamaan linear dua variabel. Bentuk pertidaksamaan linear dua variabel sama dengan bentuk pertidaksamaan linear satu variabel, pertidaksamaan linear dua variabel memiliki dua variabel (peubah). Adapun pertidaksamaan linear satu variabel hanya memiliki satu peubah. Begitu pula dengan persamaan linearduavariabelsamadenganpertidaksamaanlinearduavariabel,hanyasaja



berbeda



dalam



tanda



ketidaksamaannya. Pada persamaan linear dua variabel, digunakan tanda hubung “ = ” sedangkan pertidaksamaan linear dua variabel digunakan tanda hubung “ >, , 𝑐 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 < 𝑐 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑐 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐 Dengan 𝑎 = koefisien dari 𝑥, 𝑎 ≠ 0 𝑏 = koefisien dari 𝑦, 𝑏 ≠ 0 Bahan Ajar SPtLDV Matematika Wajib Kelas X



4



Keep Calm and Love Math



2020



𝑐 =konstanta 𝑎, 𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑐 anggota bilangan real.



Penggunaan simbol ≥ dan ≤, telah ada sejak tahun 1631, setelah karya Artist Analyticae Praxis. Meskipun Oughtred telah mengembangkan beberapa variasi simbol pertidaksamaan pada abad ke–18, namun simbol yang paling umum digunakan adalah simbol yang dibuat Harrior.



Sumber: Ensiklopedi Matematika



Kamu telah mengenal dan mengetahui definisi serta bentuk umum dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel. Sekarang, Anda tentu dapat membedakan yang manakah di antara pertidaksamaanpertidaksamaan berikut yang merupakan pertidaksamaan linear dua variabel. 1. 2x < 15



4. x2 + 2y ≤ 5



2. 2x + 3y ≥ 6



5. –x ≥ y + 1



3. xy + x > 3 Manakah yang merupakan pertidaksamaan linear dua variabel? Dari ke lima nomor pertidaksamaan tersebut, yang merupakan pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan nomor 2 dan 5. Pertidaksamaan nomor 1, merupakan pertidaksamaan linear satu variabel. Pertidaksamaan nomor 3 bukanlah pertidaksamaan linear dua variabel karena pada pertidaksamaan tersebut memuat perkalian variabel. Pertidaksamaan nomor 4 juga bukan pertidaksamaan linear dua variabel karena ada variabel yang derajatnya lebih dari satu.



Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel berupa pasangan terurut (a, b) yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel. Semua penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel disatukan dalam suatu himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel biasanya disajikan dalam bentuk grafik pada bidang koordinat cartesius.



Bahan Ajar SPtLDV Matematika Wajib Kelas X



5



Keep Calm and Love Math



2020



Langkah-langkah yang harus diambil untuk menggambarkan grafik penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel, hampir sama dengan langkah-langkah dalam menggambarkan grafik persamaan linear dua variabel.



Berikut ini langkah-langkah mencari daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel. a. Ganti tanda ketidaksamaan >, atau 6 Alternatif Penyelesaian: 𝑥 + 2𝑦 > 6 ganti tanda ketidaksamaan sehingga diperoleh garis 𝑥 + 2𝑦 = 6 Titik potong dengan sumbu 𝑥, 𝑦 = 0 x



0



6



y



3



0



(x,y)



(0, 3)



(6,0)



Bahan Ajar SPtLDV Matematika Wajib Kelas X



6



2020



Keep Calm and Love Math Sehingga persamaan garis 𝑥 + 2𝑦 = 6 diperoleh titik (0, 3) dan (6,0)



Diperoleh grafik 𝑥 + 2𝑦 = 6



𝑥 + 2𝑦 = 6 Lakukan uji titik. Maka diambil sebarang titik yang terletak dikedua sisi garis. Dipilih titik (0,0) dan (7,0). Kemudian uji titik-titik tersebut pada pertidaksamaan Uji titik



Pertidaksamaan 𝒙 + 𝟐𝒚 > 𝟔



Keterangan



(𝟎, 𝟎)



0 + 2 ( 0) > 6



Tidak Memenuhi



(𝟕, 𝟎)



7 + 2 ( 0) > 6



Memenuhi



Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah daerah di atas garis batas, sehingga daerah yang diarsir adalah daerah dibawah garis batas (tidak memenuhi). Gambar garfik pertidaksamaan 𝑥 + 2𝑦 > 6:



Bahan Ajar SPtLDV Matematika Wajib Kelas X



7



2020



Keep Calm and Love Math



4 3



DHP



2 1 -2



-1



0



1



2



3



4



5



6



7



x  2y  6



Grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan 𝒙 + 𝟐𝒚 > 𝟔



Tugas



Buatlah dua buah pertidaksamaan linear dua variabel. Kemudian, tentukan daerah himpunan penyelesaiannya. Penyelesaian :



Bahan Ajar SPtLDV Matematika Wajib Kelas X



8



Keep Calm and Love Math



2020



2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) Jika Kamu memiliki dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel, dan pertidaksamaan tersebut saling berkaitan maka terbentuklah suatu sistem. Sistem inilah yang dinamakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel Definisi Definisi Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel



Langkah-langkah menentukan daerah) penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel sebagai berikut. a.



Gambarkan setiap garis dari setiap pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel.



b. Gunakanlah satu titik uji untuk menentukan daerah yang memenuhi setiap



pertidaksamaan linear dua variabel. Gunakan arsiran yang berbeda untuk setiap daerah yang memenuhi pertidaksamaan yang berbeda. Arsir daerah yang tidak memenuhi. c.



Tentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear, yaitu daerah yang merupakan irisan dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel pada langkah b.



Supaya Kamu memahami langkah-langkah dalam menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel, pelajari contoh soal berikut.



Contoh Gambar lah grafik sistem pertidaksamaan linear dua variabel berikut, kemudian tentukan titik-titik pojoknya:



Bahan Ajar SPtLDV Matematika Wajib Kelas X



9



Keep Calm and Love Math



2020



𝑥 + 2𝑦 ≤ 10 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 18 { 𝑥≥0 𝑦≥0 Alternatif Penyelesaian: Gambarlah setiap garis batas dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel yaitu 𝑥 + 2𝑦 = 10, 3𝑥 + 2𝑦 = 18, 𝑥 = 0 (sumbu 𝑦), 𝑦 = 0 (sumbu 𝑥). Untuk 𝑥 + 2𝑦 = 10 x



0



10



y



5



0



(0, 5)



(10,0)



x



0



6



y



9



0



(x,y)



(0, 9)



(6,0)



(x,y)



Untuk 3𝑥 + 2𝑦 = 18



Persamaan garis 𝑥 + 2𝑦 = 10 melalui titik (0,5) dan (10,0) Persamaan garis 3𝑥 + 2𝑦 = 18 melalui titik (0,9) dan (6,0) Pilih sebarang titik yang terletak dikedua sisi garis garis pada grafik 𝑥 + 2𝑦 = 10 yaitu titik (0,0) dan (11,0). Kemudian uji titik-titik tersebut pada pertidaksamaan. Uji titik



Pertidaksamaan 𝑥 + 2𝑦 ≤ 10



Keterangan



(0, 0)



(0)+2(0) ≤ 10



Memenuhi



(11,0)



𝟏𝟏 + 𝟐(𝟎) ≤ 𝟏𝟖



Tidak memenuhi



Pilih sebarang titik yang terletak dikedua sisi garis garis pada grafik 3𝑥 + 2𝑦 = 18 yaitu titik (0,0) dan (7,0). Kemudian uji titik-titik tersebut pada pertidaksamaan. Uji titik



Pertidaksamaan 𝑥 + 2𝑦 ≤ 10



Keterangan



(0, 0)



(0)+2(0) ≤ 10



Memenuhi



(7,0)



𝟑(𝟕) + 𝟐(𝟎) ≤ 𝟏𝟖



Bahan Ajar SPtLDV Matematika Wajib Kelas X



Tidak memenuhi



10



Keep Calm and Love Math



2020



Arsir daerah yang tidak memenuhi. Sehingga grafik SPtLDV : 𝑥 + 2𝑦 ≤ 10 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 18 { 𝑥≥0 𝑦≥0



5



DHP 0



𝟔



Grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan Dari gambar, diketahui bahwa titik-titik pojoknya adalah (0,0), (6,0), (0,5) dan titik pojok yang lain dapat ditentukan dengan menyelesaikan sistem persamaan garis yang berpotongan di titik tersebut. 𝑥 + 2𝑦 = 10 𝑑𝑎𝑛 3𝑑 + 2𝑦 = 18 Dengan menggunakan eliminasi dan subsitusi diperoleh 𝑥 = 4 dan 𝑦 = 3 . Sehingga koordinat titik pojok yang lain adalah (4,3). Jadi, terdapat empat titik pojok yaitu (0,0), (6,0), (5,0), 𝑑𝑎𝑛 (4,3).



Bahan Ajar SPtLDV Matematika Wajib Kelas X



11



Keep Calm and Love Math



2020



Cobalah



Tentukan derah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel berikut 𝑥 + 2𝑦 ≤ 7 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 11 { 𝑥≥0 𝑦≥0 Penyelesaian :



3. Penerapan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Banyak permasalahan sehari-hari yang memiliki batasan terhadap variabelvariabelnya. Misalkan seorang petani yang memiliki luas tanah terbatas yang akan digunakan untuk lahan bercocok tanam. Kendaraan pengangkut barang yang memiliki kapasitas terbatas, baik dari segi berat ataupun volume barang yang diangkut, yang akan digunakan untuk mengangkut barang. Batasan-batasan ini dapat dimodelkan dengan menggunakan SPtLDV. Untuk lebih memahminya perhatikan permasalahan pertidaksamaan berikut.



Bahan Ajar SPtLDV Matematika Wajib Kelas X



12



Keep Calm and Love Math



2020



PERMASALAHAN Pak Rendi berencana membangun 2 tipe rumah; yaitu, tipe A dan tipe B di atas sebidang tanah seluas 10.000 𝑚2. Setelah dia berkonsultasi dengan arsitek



(perancang bangunan), ternyata untuk membangun rumah tipe A dibutuhkan tanah seluas 100 𝑚2 dan untuk membangun rumah tipe B dibutuhkan tanah seluas 75 𝑚2. Karena dana yang dimilikinya terbatas, maka banyak rumah yang direncanakan akan dibangun paling banyak 125 unit. Jika kamu adalah arsitek



pak Rendi maka: 1) Bantulah pak Rendi menentukan berapa banyak rumah tipe A dan tipe B yang dapat dibangun sesuai dengan kondisi luas tanah yang ada dan jumlah rumah yang akan dibangun! 2) Gambarkanlah daerah penyelesaian pada bidang kartesius berdasarkan batasan- batasan yang telah diuraikan!



Penyelesaian: Misalkan 𝑥 : banyak rumah tipe A yang akan dibangun 𝑦 : banyak rumah tipe B yang akan dibangun 1) Banyak rumah tipe A dan tipe B yang dapat dibangun a) Keterbatasan yang dimiliki pak Rendi adalah: Luas tanah yang diperlukan untuk membangun rumah tipe A dan tipe B di atas seluas 10.000 𝑚2 ditentukan oleh pertidaksamaan: 100𝑥 + 75𝑦 ≤ 10.000, pertidaksamaan ini disederhanakan menjadi: 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 400................................................................................................. (1) b) Jumlah rumah yang akan dibangun, dibentuk oleh pertidaksamaan: 𝑥 + 𝑦 ≤ 125 .................................................................................................... (2)



Bahan Ajar SPtLDV Matematika Wajib Kelas X



13



Keep Calm and Love Math



2020



Dari kedua keterbatasan di atas (pertidaksamaan 1 dan pertidaksamaan 2), banyak rumah tipe A dan tipe B yang dapat dibangun, dihitung dengan menggunakan konsep sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut: 4𝑥 + 3𝑦 = 400



× 1



𝑥 + 𝑦 = 125 × 3



→



4𝑥 + 3𝑦 = 400



→



3𝑥 + 3𝑦 = 375



𝑥= 2 Untuk 𝑥 = 2, maka 𝑦 = 125 − 𝑥 = 125 − 25 = 100



Hal ini berarti: dengan keterbatasan yang ada, pak Rendi dapat membangun rumah tipe A sebanyak 25 unit, dan rumah tipe B sebanyak 100 unit.



2) Grafik daerah pada diagram kartesius Untuk menggambar daerah penyelesaian pada diagram kartesius dilakukan langkah- langkah sebagai berikut: Langkah 1 Menggambar garis dengan persamaan 4𝑥 + 3𝑦 = 400 dan garis 𝑥 + 𝑦 = 125. Agar kita mudah menggambar garis ini, terlebih dahulu kita cari titik potong dengan sumbu 𝑥 yang terjadi jika 𝑦 = 0 dan titik potong dengan sumbu 𝑦 yang terjadi jika 𝑥 = 0. 



Untuk garis 4𝑥 + 3𝑦 = 400, jika 𝑦 = 0, maka 𝑥 = 100 jika 𝑥 = 0, maka 𝑦 = 133.3 Maka garis 4𝑥 + 3𝑦 = 400 memotong sumbu 𝑦 di titik (0, 133.3) dan memotong sumbu 𝑦 di titik (100, 0).







Untuk garis 𝑥 + 𝑦 = 125,



jika 𝑦 = 0, maka 𝑥 = 125 jika 𝑥 = 0, maka 𝑦 = 125



Bahan Ajar SPtLDV Matematika Wajib Kelas X



14



Keep Calm and Love Math



2020



Maka garis 𝑥 + 𝑦 = 125 memotong sumbu 𝑦 di titik (0, 125) dan memotong sumbu 𝑦 di titik (125, 0).



Langkah 2 a) Menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 400 𝑑𝑎𝑛 𝑥 + 𝑦 ≤ 125. Daerah penyelesaian pertidaksamaan 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 400. b) Jika garis 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 400 digambar pada diagram kartesius, maka garis tersebut akan membagi dua daerah, yaitu daerah 4𝑥 + 3𝑦 < 400 dan daerah 4𝑥 + 3𝑦 > 400. c) Selanjutnya menyelidiki daerah mana yang menjadi daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 400, dengan cara mengambil sembarang titik misal 𝑃(𝑥, 𝑦) pada salah satu daerah. Kemudian mensubstitusikan titik tersebut ke pertidaksamaan 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 400. d) Jika pertidaksamaan tersebut bernilai benar, maka daerah yang yang memuat titik 𝑃 𝑥, 𝑦 merupakan daerah penyelesaiannya. Jika bernilai salah, maka daerah tersebut bukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 400. Dengan cara yang sama maka daerah penyelesaian 𝑥 + 𝑦 ≤ 125 juga dapat diketahui.



Langkah 3 Mengarsir daerah yang merupakan daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan. Daerah yang diarsir dua kali merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear.



Setelah langkah 1, 2, dan 3 di atas dilakukan,



maka daerah penyelesaian sistem



pertidaksamaan digambarkan disamping. Gambar yang diberi warna merah muda merupakan daerah penyelesaian.



Bahan Ajar SPtLDV Matematika Wajib Kelas X



15



Keep Calm and Love Math



2020



Gambar daerah penyelesaian



Cobalah Seorang petani akan menanam jagung dan singkong dengan lahan yang dibutuhkan tidak lebih dari 50 petak. Petani tersebut memebutuhkan pupuk sebanyak 30 kg per petah untuk memupuk jagung dan 60 kg per petak untuk memupuk singkong. Jumlah pupuk yang terseddia adalah 2.400 kg. a) Bantulah petani untuk memodelkan permasalahan tersebut. b) Gambarlah daerah penyelesaian pada bidang koordinat kartesius berdasarkan batasan-batasan yang telah diuraikan dan tentukan titik-titik pojoknya



Bahan Ajar SPtLDV Matematika Wajib Kelas X



16