Bilangan Reproduksi Dasar [PDF]

Citation preview

BAB 4 Bilangan Reproduksi Dasar (R0) Pada Bab ini dibahas Bilangan Reproduksi Dasar, suatu ambang batas terjadinya wabah penyakit. Dengan definisi yang sedikit berbeda, Bilangan Reproduksi Dasar (basic reproduction number ), disebut juga dengan Rasio/Angka Reproduksi Dasar (basic reproduction ratio/rate), namun pada dasarnya adalah ukuran infeksi sekunder yang terjadi karena satu infeksi primer pada populasi yang seluruhnya rentan. Dalam Murray (1993) Bilangan Reproduksi Dasar, yang biasa ditulis dengan R0 , didefinisikan sebagai jumlah infeksi sekunder yang terjadi karena satu infeksi primer pada populasi yang seluruhnya rentan. Nilai R0 tergantung pada penyakit dan lingkungan. Tabel berikut memberikan beberapa contoh nilai pendekatan untuk R0 . Semakin besar R0 berarti penyakit semakin mudah menular. Tabel 4.1: Beberapa contoh nilai pendekatan untuk R0 Penyakit



Nilai pendekatan R0



Cacar (small pox)



4



Cacar air (measles)/campak



17



HIV (untuk kaum homoseksual pria di Inggris dan Wales)



4



Malaria



100



51



4.1



Tujuan Pembelajaran



Setelah mempelajari Bab ini diharapkan mahasiswa dapat menentukan Bilangan Reproduksi Dasar (R0 ).



4.2



Metode Pendekatan Operator Generasi Berikutnya ( The Next Generation Operator Approach).



Penghitungan R0 seringkali tidak mudah, bahkan untuk populasi yang sangat heterogen kadangkala R0 tidak dapat dihitung. Sebagian besar model epidemi pada umumnya mempunyai dua tipe titik ekulibrium, yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik. Pada umumnya, dapat ditunjukkan bahwa titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal jika R0 < 1, dan tidak stabil jika R0 > 1. Bilangan reproduksi dasar, R0 , kadangkala dapat ditemukan pada saat menghitung nilai eigen Matriks Jacobian di sekitar titik ekuilibrium bebas penyakit. Diekmann dkk. memperkenalkan suatu pendekatan lain yaitu dengan menghitung radius spektral dari operator generasi berikutnya, yang biasa disebut dengan metode pendekatan operator generasi berikutnya ( the next generation operator approach). Pembahasan dalam Subbab ini mengacu pada artikel karangan Castillo-Chavez dkk ([2]). Dalam metode ini, diasumsikan suatu model epidemi dapat dituliskan ke dalam bentuk dX = f (X, Y, Z) dt dY = g (X, Y, Z) dt dZ = h (X, Y, Z) dt dengan X ∈ Rr , Y ∈ Rs , Z ∈ Rn , r, s, n ≥ 0, dan h(X, 0, 0) = 0.



(4.1)



Dalam hal ini vektor X menyatakan vektor subpopulasi yang tidak terinfeksi (termasuk subpopulasi yang rentan, dikarantina, dan sembuh), Y menyatakan vektor subpopulasi yang terinfeksi dan belum menularkan (laten), sedangkan Z menyatakan vektor subpopulasi yang terjangkit dan menularkan (termasuk yang tidak dikarantina). Selanjutnya, 52



ukuran vektor X, Y, dan Z pada saat t berturut-turut dinyatakan dengan X(t), Y(t), dan Z(t). Dimisalkan U0 = (X∗ , 0, 0) merupakan titik ekuilibrium bebas penyakit Sistem 4.1. ˆ (X∗ , Z). Didefinisikan Diasumsikan g(X∗ , Y, Z) secara implisit menyatakan fungsi Y = g A :=



∂ h(X∗ , g ˆ(X∗ , 0), 0). ∂Z



Jika A dapat ditulis menjadi A=M −D



(4.2)



dengan M ≥ 0 ( yaitu mij ≥ 0, ∀i, j) dan D > 0 ( yaitu dij > 0, ∀i, j) matriks diagonal, maka Bilangan reproduksi dasar dapat dihitung dengan R0 = ρ(M D−1 )



(4.3)



dengan ρ radius spektral dari M D−1 . Radius spektral matriks A ditulis ρ(A), didefinisikan sebagai ρ(A) := sup{|λ||λ nilai eigen A}. Radius spektral dari suatu matriks berordo satu adalah modulus dari elemen matriks tersebut. Adapun langkah-langkah menentukan R0 adalah sebagai berikut: 1. Menentukan vektor: X = vektor subpopulasi yang tidak terinfeksi (termasuk subpopulasi yang rentan, dikarantina, dan sembuh) Y = vektor subpopulasi yang terinfeksi dan belum menularkan (laten) Z = vektor subpopulasi yang terjangkit dan menularkan (termasuk yang tidak dikarantina). 2. Mendefinisikan fungsi f , g, dan h. 3. Menentukan titik ekuilibrium bebas penyakit (X∗ , 0, 0). ˆ (X∗ , Z) dari g(X∗ , Y, Z) = 0. 4. Menentukan Y = g 5. Menentukan



∂ h(X∗ , g ˆ(X∗ , Z), Z), ∂Z



kemudian menghitung A = 53



∂ h(X∗ , g ˆ(X∗ , 0), 0). ∂Z



6. Menentukan M dan D, sehingga A = M − D, M ≥ 0, D > 0 (diagonal). 7. Mencari D−1 , dan kemudian menentukan radius spektral M D−1 , yaitu ρ(M D−1 ) = sup{|λ| |λ nilai eigen M D−1 }.



4.3



Beberapa Contoh Penghitungan R0.



Pada Subbab ini akan diberikan beberapa contoh penghitungan R0 . Contoh 4.1. Diberikan Model SIR sederhana: dS I = −βS dt N dI I = βS − γI dt N dR = γI dt



(4.4)



, dengan N = S + I + R. Dalam hal ini parameter β dan γ berturut-turut menyatakan rata-rata penularan per satuan waktu dan laju kesembuhan perkapita. Dari Model 4.4 diperoleh vektor ( X=



S R



) , Y = 0, Z = I.



Dari model 4.4 dapat ditentukan fungsi ( ) −βS NI I f (X, Y, Z) = , g (X, Y, Z) = 0, dan h (X, Y, Z) = βS − γI. N γI Turunan h terhadap Z adalah ∂h ∂h S (X, Y, Z) = (S, I, R) = β − γ. ∂Z ∂I N



54



Titik ekuilibrium bebas penyakitnya adalah (X ∗ , 0, 0) = (N, 0, 0) = (S ∗ , 0, 0), sehingga A=



∂h ∂h N (X ∗ , gˆ(X ∗ , 0), 0) = (N, 0, 0) = β − γ = β − γ. ∂I ∂I N



Dipilih M = β dan D = γ, sehingga didapat R0 = M D−1 = βγ . Contoh 4.2. Diberikan Model SIR dengan rekruitmen konstan dan memperhatikan kematian alami : dS dt dI dt dR dt dN dt



= ∧ − βS = βS



I − µS N



I − (µ + γ) I N



(4.5)



= γI − µR = ∧ − µN,



dengan N = S + I + R. Parameter β, γ, ∧ dan µ berturut-turut menyatakan rata-rata penularan per satuan waktu, laju kesembuhan perkapita, laju kelahiran, dan laju kematian alami. Dalam hal ini diperoleh N ∗ =



∧ µ



dan vektor ( X=



S R



) , Y = 0, Z = I.



Dari Model 4.5 didapat fungsi f, g, dan h ( ) ∧ − βS NI − µS I f (X, Y, Z) = , g (X, Y, Z) = 0, h (X, Y, Z) = βS − (µ + γ) I N γI − µk Turunan h terhadap Z adalah ∂h ∂h S (X, Y, Z) = (S, I, R) = β − (γ + µ). ∂Z ∂I N 55



Selanjutnya diperoleh turunan ∂h1 µ ∧1 (X ∗ , gˆ (X ∗ , Z) , Z) = .β12 . ∂I2 µ ∧1 + ∧2 sehingga



∂h1 ∧1 (X ∗ , 0, 0) = β12 . ∂I2 ∧1 + ∧2 Dari Model 4.5 diperoleh fungsi h2 adalah ) ( I2 I1 ∗ − (µ + k2 ) I2 h2 (X, gˆ(X , Z), Z) = S2 β22 + β21 N N sehingga



∂h2 ∧2 (X ∗ , 0, 0) = β21 ∂I1 ∧1 + ∧2 dan dengan cara analog didapat turunan ∂h2 ∧2 (X ∗ , 0, 0) = β22 − (µ + k2 ) . ∂I2 ∧1 + ∧2 Dalam hal ini didapat ] [ [ ] ∧1 ∧1 ∧1 1 β β11 ∧1∧+∧ − (µ + k ) β β 11 1 12 12 ∧1 +∧2 ∧1 +∧2 ∧1 +∧2 2 M= A= ∧2 ∧2 ∧2 2 β22 ∧1 +∧2 − (µ + k2 ) β21 ∧1 +∧2 β21 ∧1 +∧2 β22 ∧1∧+∧ 2 [



dan D=



0



0



µ + k2



Akibatnya didapat



[ D−1 =



sehingga



[ M D−1 =



]



µ + k1



β11 ∧1 µ+k1 ∧1 +∧2 β21 ∧1 µ+k1 ∧1 +∧2



]



1 µ+k1



0



0



1 µ+k2



β12 ∧1 µ+k2 ∧1 +∧2 β22 ∧1 µ+k2 ∧1 +∧2



.



[



] =



α11 α12



]



α21 α22



Jadi didapat Bilangan Reproduksi Dasar ) ( √ 1 2 R0 = α11 + α22 + (α11 − α22 ) + 4α12 α21 . 2 57



.



Titik ekuilibrium bebas penyakitnya adalah (X ∗ , 0, 0) = ∂h ∂h A= (X ∗ , gˆ(X ∗ , 0), 0) = ∂I ∂I



(



(



)



∧ , 0, 0 µ



, sehingga



) ∧ ∧ 1 , 0, 0 = β . ∗ − (µ + γ) = β − (µ + γ) . µ µ N



Dipilih M = β dan D = γ + µ, sehingga didapat R0 = M D−1 =



β . γ+µ



Contoh 4.3. Diberikan Model SIR yang membedakan status ekonomi: ( ) Ii dSi Ij = ∧i − Si βii + βij − µSi dt N N ( ) dIi Ii Ij − µIi − ki Ii = Si βii + βij dt N N dRi = ki Ii − µRi dt



(4.6)



dengan i = 1, 2, dan N = S1 + S2 + I1 + I2 + R1 + R2 .



Penjelasan lebih detail tentang Model ini dapat dilihat pada Castillo-Chavez dkk (2002) halaman 7. Dalam model ini didapat vektor   S1 ( )    S2  I 1  , Y = 0, Z = X= ,   R I2  1  R2 ( titik ekuilibrium bebas penyakit



∧1 ∧2 , µ , 0, 0 µ



Fungsi h1 diberikan oleh



( ∗



h1 (X, gˆ(X , Z), Z) = S1



)



, dan N ∗ =



I1 I2 β11 + β12 N N



∧1 + ∧2 . µ



) − µI1 − k1 I1



sehingga diperoleh ∧1 µ ∧1 ∂h1 (X ∗ , gˆ (X ∗ , Z) , Z) = .β11 . − (µ + k1 ) = β11 − (µ + k1 ) ∂I1 µ ∧1 + ∧2 ∧1 + ∧2 dan



∧1 ∂h1 (X ∗ , gˆ (X ∗ , 0) , 0) = β11 − (µ + k1 ) . ∂I1 ∧1 + ∧2 56



Contoh 4.4. Diberikan Model yang menggambarkan dinamika penyakit TBC yang memperhatikan resistensi dan sensitivitas terhadap obat (Castillo-Chavez and Feng): dS dt dE1 dt dI1 dt dT dt dE2 dt dI2 dt



I1 I2 − βS − µS N N I1 I2 = p˜ rI1 + β1 S − β2 E1 − (µ + k1 + r) E1 N N



= ∧ − βS



= k1 E1 − (µ + d1 + r˜) I1



(4.7)



I1 I2 − β2 T − µT N N I2 = q˜ rI1 − (µ + k2 ) E2 + β2 (S + E1 + T ) N = rE1 + (1 − p − q) r˜I1 − σβ1 T



= k2 E2 − (µ + d2 ) I2



dengan N = S + E1 + I1 + T + E2 + I2 . Dalam Contoh ini, subpopulasi T menyatakan subpopulasi yang mendapatkan tindakan/perawatan. Penjelasan lebih detail tentang Model ini dapat dilihat pada CastilloChavez dkk (2002) halaman 6. Dalam hal ini didapat vektor ) ( ( ) ( ) E1 S I1 ,Y = X= ,Z = R E2 I2 ( dan titik ekuilibrium bebas panyakitnya adalah fungsi g1 (X ∗ , Y, Z) = p˜ rI1 + β1



)



∧ , 0, 0, 0 µ



. Untuk Model 4.7 didapat



∧ I1 I2 ∧ − β2 E1 ∧ − (µ + k1 + r) E1 = 0 µ µ µ



β2 E1 µI2 − (µ + k1 + r) E1 = 0 ∧ (β1 + p˜ r ) I1 ⇔ E1 = µβ1 I2 ≡ gˆ1 (X ∗ , Z) + (µ + k1 + r) ∧



⇔ p˜ rI1 + β1 I1 −



(



dan ∗



g2 (X , Y, Z) = g˜ rI1 − (µ + k2 ) E2 + β2



58



A + E1 + T µ



)



I2 ∧ µ



β2 µI2 = g˜ rI1 − (µ + k2 ) E2 + β2 I2 + ∧ ⇔ E2 = dengan β2 µI2 K= ∧



(



(



(β1 + p˜ r ) I1 µβ1 I2 + (µ + k1 + r) ∧



) +



µβ2 T I2 =0 ∧



q˜ rI1 + β2 I2 K + , µ + k2 µ + k2



(β1 + p˜ r ) I1 µβ1 I2 + (µ + k1 + r) ∧



) +



µβ2 T I2 . ∧



Fungsi gˆ2 dapat ditulis dengan gˆ2 (X ∗ , Z) =



q˜ rI1 + β2 I2 + ϑ(2), µ + k2



sehingga didapat ˆ (X ∗ , Z) = (ˆ g g1 (X ∗ , Z) , gˆ2 (X ∗ , Z)) . Fungsi h1 diberikan oleh (β1 + p˜ r) I1 h1 (X ∗ , gˆ (X ∗ , Z) , Z) = k1 µβ1 I2 − (µ + d1 + r˜) I1 , + µ + k1 + r ∧ sehingga diperoleh ∂h1 k1 (β1 + p˜ r) (X ∗ , gˆ (X ∗ , 0) , 0) = − (µ + d1 + r˜) ∂I1 µ + k1 + r dan ∂h1 (X ∗ , gˆ (X ∗ , 0) , 0) = 0. ∂I2 Selanjutnya diperoleh fungsi h2 ( ∗



∗



h2 (X , gˆ (X , Z) , Z) = k2



q˜ rI1 + β2 I2 µ + k2



) − (µ + d2 ) I2



dan didapat turunan k2 q˜ r ∂h2 (X ∗ , gˆ (X ∗ , 0) , 0) = ∂I1 µ + k2 dan k2 β2 ∂h2 (X ∗ , gˆ (X ∗ , 0) , 0) = − (µ + d2 ) . ∂I2 µ + k2



59



Dalam hal ini didapat [ k1 (β1 +p˜ r) − (µ + d1 + r˜) µ+k1 +r A= C1 [



dan D=



]



0 k2 β 2 µ+k2



− (µ + d2 )



[ , M=



k1 (β1 +p˜ r) µ+k1 +r



0



C1



k2 β2 µ+k2



]



µ + d1 + r˜



0



0



µ + d2



,



dengan C1 = Akibatnya didapat



[ D−1 =



sehingga



[ MD



−1



=



k2 q˜ r . µ + k2



1 µ+d1 +˜ r



0



0



1 µ+d2



k1 (β1 +p˜ r) (µ+k1 +r)(µ+d1 +˜ r) C1 µ+d1 +˜ r



] ,



0 k2 β 2 (µ+k2 )(µ+d2 )



Karena nilai eigen M D−1 adalah λ1 =



k1 (β1 + p˜ r) (µ + k1 + r) (µ + d1 + r˜)



dan k2 β2 , (µ + k2 ) (µ + d2 ) maka didapat Bilangan Reproduksi Dasar λ2 =



R0 = maks {λ1 , λ2 } .



4.4



Latihan



1. Tentukan R0 untuk model SIR: dS = ∧ − βSI − µS dt dI = βSI − (γ + µ) I dt dR = γI − µR. dt 60



] .



] ,



2. Tentukan R0 untuk model SEIR: dS dt dE dt dI dt dR dt



= ∧ − βS = βS



I − µS N



I − (µ + k) E N



= kE − (γ + µ) I = γI − µR.



61