Buku Matematika Diferensial 1 [PDF]

Citation preview

DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



PENGAPLIKASIAN KONSEP DIFERENSIAL PADA DUNIA TEKNIK



Disusun Oleh : Adi Firman Romadhon (210511612834) Ahmad Ali I (210511612863) Arfan Arif Y(210511612847) Aried Zaldi N (210511612826) Achmat Afiq R (210512612881) Ahmad Reza M (210511612870) Andreas Yoga P (210511612810) Ahmad Zahrul F (210511612845) Bahrul Nuralim (210511612891) Dimas Ekanda A.P (210511612874) Abim Destiandi Y.S (210511612868) Bimfi Herbima M.K (210511612839)



UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS TEKNIK



2021



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



KATA PENGANTAR



Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas karunia-Nya dalam membimbing penulis menyelesaikan penyusunan buku “Pengaplikasian Konsep Diferensial Pada Dunia Teknik ”. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Puteri Ardista Nursisda selaku dosen pengampu mata kuliah Matematika Teknik yang sudah membimbing dan memberikan materi mengenai Persamaan Diferensial. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam penyusunan buku ini. Penulisan buku “Pengaplikasian Konsep Diferensial Pada Dunia Teknik” ini dibuat sebagai bagian dari materi Matematika Diferensial. Selain itu, penyusunan buku ini juga bertujuan untuk menambah wawasan kepada pembaca tentang Pengaplikasian Konsep Diferensial Pada Dunia Teknik. Atas kesadaran adanya kekurangan-kekurangan yang terdapat dalam isi maupun sistematika buku ini, penulis meminta kritik dan saran yang membangun. Penulis berharap semoga buku ini dapat berguna dan memberikan manfaat bagi setiap pihak terutama bagi pembaca.



Malang, 22 Oktober 2021



Penyusun



I



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii DAFTAR ISI ............................................................................................................ i BAB I ...................................................................................................................... 1 PENDAHULUAN .................................................................................................. 1 I.1.



LATAR BELAKANG .............................................................................. 1



BAB II ..................................................................................................................... 2 PEMBAHASAN ..................................................................................................... 2 II.1.



MENEMUKAN KONSEP TURUNAN .................................................. 2



A. Pengertian Turunan ..................................................................................... 2 B. Rumus Turunan ........................................................................................... 2 C. Turunan Fungsi Aljabar .............................................................................. 7 D. Rumus – Rumus Turunan Fungsi Aljabar .................................................. 7 II.2.



KONSEP KEMONOTONAN FUNGSI ................................................ 10



A. Kemonotonan Fungsi ................................................................................ 10 B. Teorema Kemonotonan ............................................................................. 12 C. Nilai Minimum Dan Maksimum Turunan Fungsi .................................... 14 D. Menentukan Percepatan Menggunakan Turunan...................................... 17 E. Hubungan Kelajuan, Kecepatan, Dan Percepatan ..................................... 18 II.3. KONSEP TURUNAN DALAM MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS SINGUNG KURVA ............................................................................. 21 A. Menentukan Gradien Garis Singgung ....................................................... 21 B. Menentukan Persamaan Garis Singgung Pada Kurva ............................... 21 C. Konsep Turunan Dalam Menentukan Laju Perubahan Fungsi Terhadap Variabel Bebasnya ......................................................................................... 24 D. Konsep Turunan Dalam Menentukan Laju Pertambahan Nilai Fungsi .... 25 II.4.



KLASIFIKASI PERSAMAAN TURUNAN/DIFFERENSIAL ............ 29



A. Persamaan Diferensial ............................................................................... 29 B. Klasifikasi Persamaan Differensial : ......................................................... 31 C, Persamaan Diferensial Linear Vs Nonlinear ............................................. 36 II. 5. KATEGORI PERSAMAAN DIFFERENSIAL ..................................... 44 A. Persamaan Differemsial Dan Kategorinya ............................................. 44 B. Persamaan Diferensial Biasa ..................................................................... 49 C. Penyelesaian Persamaan Differensial Biasa.............................................. 50 II



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



D. Persamaan Diferensial Parsial................................................................... 56 E. Konsep-Konsep Dasar ............................................................................... 57 F. Persamaan Diferensial Parsial Linear Orde Kedua Yang Penting ............ 57 G. Hubungan Dengan Persamaan Diferensial ............................................... 60 H. Pemodelan: Dawai Bervibrasi, Persamaan Gelombang Berdimensi- Satu60 I.Persamaan Diferensial Bernoulli ................................................................. 62 J. Persamaan Diferensial Riccati ................................................................... 65 H.Persamaan Diferensial Separabel Dan Reduksi Ke Persamaan Separabel 69 I. Persamaan Diferensial Separabel .............................................................. 69 J. Persamaan Diferensial Separabel ............................................................... 71 II. 6. Persamaan Diferensial Eksak Dan Faktor Integrasi ............................... 75 A. Persamaan Diferensial Eksak ................................................................. 75 B. Persamaan Diferensial Non Eskak ......................................................... 78 C. Orde Dan Derajat Persamaan Diferensial............................................... 81 D. Persamaan Diferensial Orde 1 ................................................................ 82 E.



Bentuk Persamaan Umum PD Linier Orde 2 Homogen ........................ 84



F.



Definisi (Solusi Persamaan Diferensial) ................................................ 86



II. 7. Menemukan Pers Differensial ................................................................ 87 A. Pembentukan Persamaan Diferensial ..................................................... 87 B. Pemecahan Persamaan Diferensial ......................................................... 88 II. 8. Persamaan Diferensial Orde Satu ........................................................... 90 A. Pengertian Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Solusinya ................ 90 B. Keluarga Lengkungan (Kurva) ............................................................... 92 C. PD Variabel Terpisah Dan PD Homogen............................................... 94 C. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu ............................................... 97 II. 9. Penerapan Diferensial Dalam Bidang Teknik ...................................... 100 A. Penerapan Differensial Pada Teknologi ............................................... 100 B. Penerapan Differensial ......................................................................... 102 C. Diferensial ............................................................................................ 105 D. Teorema 1 Turunan Sebagai Suatu Fungsi........................................... 106 F.



Keterdiferensialan Menunjukkan Kekontinuan .................................... 110



CONTOH SOAL ................................................................................................. 112 II. 10.



PILIHAN GANDA ........................................................................... 112



II. 11.



SOAL URAIAN ............................................................................... 141 III



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 195



III



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



BAB I PENDAHULUAN



I.1. LATAR BELAKANG Matematika Teknik merupakan ilmu yang mengkaji tentang persamaan dan hitungan yang digunakan dalam aplikasi ilmu matematika untuk domain yang lain. Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, teknik, dan wilayah lainnya. Matematika teknik merupakan ilmu yang diperlukan untuk menghitung segala sesuatu yang memerlukan rumus. Dalam pembahasan kali ini, kita akan membahas tentang persamaan diferensial dalam matematika teknik. Di dalam matematika teknik menggunakan teori untuk menyelesaikan masalah-masalah konkret seperti materi Diferensial, di dalam bidang teknik, membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana percobaan, survei, dan pengkajian pengamatan dalam penyelesaian gejala-gejala dalam keteknikan. Dilihat dari sejarahnya, matematika terapan secara prinsipal terkandung analisa terapan, kebanyakan berupa persamaan diferensial, teori aproksimasi (dianalisa secara luas, untuk memasukkan representasi, metode asimtotik, metode variasional, dan analisa numerical), dan probabilitas terapan. Teori atau materi diferensial adalah materi persamaan matematika untuk fungsi satu variable atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunnya dalam berbagai kondisi.dan materi diferensial ini sangat penting dalam rekasyasa,fisika, ilmu ekonomi, dan berbagai macam ilmu disiplin. Terutama pada jurusan tekni mesin karena setiap pengaplikasian rancangan dan rangkaian membutuhkan perhitungan secara matematik.



1



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



BAB II PEMBAHASAN



II.1.



MENEMUKAN KONSEP TURUNAN



A. Pengertian turunan Turunan fungsi memiliki definisi sebagai berikut yaitu pengukuruan dimana hasil dari fungsi tersebut akan berubah sesuai dengan variabel yang sudah kita masukan selain itu juga bisa didefinisakan secara umum yaitu suatu besaran yang berubah seiring perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan suatu turunan disebut juga sebagai diferensiasi atau diferensial. Turunan pertama fungsi y terhadap x didefinisikan seperti di bawah ini :



Nilai fungsi turunan f‘ untuk x = a yaitu



Sifat-sifat dari turunan antara lain : • • • • • • Rumus turunan rumus-rumus turunan fungsi yang meliputi fungsi pangkat, hasil kali fungsi, hasil pembagian fungsi, dan pangkat dari fungsi. •



Turunan fungsi pangkat



Turunan fungsi pangkat (f(x) = xn) dapat menggunakan rumus seperi dibawah ini.



berikut ini penjelasannya



2



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Jadi, rumus dari turunan fungsi pangkat adalah f’(x) = n.xn – 1 •



Turunan hasil kali fungsi



Asal muasal rumus hasil kali ini dari proses dibawah ini :



3



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Jadi, kita dapatkan rumus turunan hasil kali fungsi adalah f’(x) = u’. v + u . v’ •



Turunan fungsi pembagian



Fungsi f(x) yang terbentuk dari pembagian fungsi u(x) dan v(x) atau f(x) = u(x)/v(x), turunannya didapatdari cara dengan:



Lalu menjadi



Jadi, kita dapatkan rumus turunan hasil pembagian fungsi yaitu



4



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



•



Turunan fungsi pangkat



Fungsi f(x) Turunan yang terbentuk dari hasil pangkat (f(x) = (u(x))n). Ingat kembali jika f(x) = xn, maka:



Dan karena f(x) = (u(x))n = un, maka:



Atau



Jadi rumus turunan fungsi pangkat adalah f’(x) = nun-1 + u’ •



Turunan Fungsi Aljabar



f(x) = c —> f’(x) = 0 f(x) = xn —> f’(x) = n . xn-1 f(x) = axn —> f’(x) = a . n . xn-1 f(x) = In.x —> f’(x) = 1/x



•



Turunan Fungsi Trigonometri



f(x) = sinx



f’(x) = cosx



f(x) = cosx



f’(x) = - sinx



f(x) = tanx



f’(x) = sec2x



f(x) = cotx



f’(x) = - cosec2x



f(x) = secx



f’(x) = secx tanx



f(x) = cosecx



f’(x) = - cosecx cotx



Untuk U = U(x), dapat dirumuskan menjadi: f(x) = sin u



f’(x) = u’. cos u



f(x) = cos u



f’(x) = - u’. sin u 5



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



f(x) = tan u



f’(x) = u’ sec 2u



f(x) = cot u



f’(x) = - u ’. cosec 2u



f(x) = sinn u



f’(x) = n . Sinn-1 u . (u’ cos u)



f(x) = cosn u



f’(x) = - n . cosn-1 u . (u’ sin u)



•



Aplikasi



Menentukan Gradien Garis Singgung Kurva



Titik (x1,y1) adalah titik singgung garis g dengan kurva y = f (x). Gradien (kemiringan) garis singgung kurva y = f (x) adalah m = f '(x1) maka persamaan garis singgungnya: y - y1 = m (x - x1) •



Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun Fungsi akan naik jika f ‘(x) > 0 dan fungsi akan turun jika f ‘(x) < 0.



•



Menentukan Titik Stasioner Fungsi y = f(x) mengalami stasioner jika f ‘(x) = 0 dan terdapat titik-titik stasioner.Jenis-jenis titik stasioner: 1. Titik balik maksimum Syarat: f '(x) = 0 dan f ''(x) < 0 2. Titik balik minimum Syarat: f '(x) = 0 dan f ''(x) > 0



6



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



3. Titik belok horizontal Syarat:f '(x) = 0 dan f ''(x) = 0 Turunan Fungsi Aljabar Turunan fungsi aljabar adalah suatu fungsi diferensial dari fungsi aljabar. Pengertian dari turunan atau diferensial sendiri adalah suatu fungsi yang berubah seiring perubahan nilai input. Umumnya turunan dari fungsi f (x) dituliskan dalam bentuk f ‘(x). Rumus – Rumus Turunan Fungsi Aljabar •



Menentukan Turunan Fungsi f(x) = axn Misal diketahui fungsi f(x) = axn dengan n = 1, 2, 3, .... maka diperoleh f’(x)



= naxn-1 Contoh : Tentukan turunan dari fungsi berikut ini : a. f’(x) = 2x4 ? 2



b. f(x) = 𝑥 ? Penyelesaian : a. f(x) =2x4 dengan a = 2 dan n = 4 maka diperoleh f’(x) = 4 x 2x4-1 = 8x3 Jadi turunan dari f(x) adalah f’(x) = 8x3 2



b. f(x) = 𝑥 dengan n = -1 f’(x) = 2x-1 = -1 x 2x-1-1 = -2x2 Jadi turunan dari f(x) adalah f’(x) = −



2 𝑥2



Untuk n = O maka f(x) axn menjadi axo a. Fungsi f(x) = a dinamakan fungsi konstan sehingga untuk berapa pun nilai x nilai fungsinya tetap, yaitu a, Turunan tungsi konstan Sebagai berikut. f’(x) = lim = lim = lim



𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) 𝑥 𝑎−𝑎 ℎ 0 ℎ



=0 7



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



•



Menentukan Turunan Fungsi f(x) dengan n Bilangan Rasional



Misal f(x) axn dengan n bilanqan rasional maka turunannya adalah f(x) = naxn-1 Contoh : Tentukan turunan tungsi berikut : 1



a. f(x) = x3 b. f(x) = 2√𝑥 Penyelesaian : 1



a. f(x) = x=3 1



1



f(x) = 3.x13 − 1 =3.x23 =



1 3



3 √𝑥2



b. f(x) = 2√𝑥 = 2x12 1



1



2



√𝑥



f’(x) = 2x12 = 2. 𝑥 12 − 1= 𝑥12 = •



Menentuknn Turunan Fungsi Berbentuk y = u ± v



Apabila diketahui fungsi y = f(x) dengan f(x) = u(x) ± v(x), dalam hal ini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuk a bilangan real maka berlaku : y = f’(a) = u’(a) ± v’(a) Contoh : Tentukan turunan fungsi berikut : f(x) = x2 + 3x Penyelesaian : f(x) = x2 + 3 Misalkan u(x) = x2 dan v(x) = 3. D"gan demikian. U’(x) = 2x dan v'(x) = 0 f’(x)n= u’(x) + v’(x) = 2x + 0 =2x •



Menentukan Turunan Fungsi Berbentuk y = a • u



8



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Apabila diketahui tungsi y = f(x) dengan f(x) = k •u(x). dalam hal ini k Sebagai konstanta dan u(x) sebagai fungsi dapat diturunkan di x = a untuk a bilangan real maka berlaku: y’ = f’(a) = k.u’(a) Contoh : Tentukan turunan dari fungsi f(x) = 5x4 Penyelesaian : f(x) = 5x4 maka f’(x) =5(4)x4-1 = 20x3 •



Menentukan Turunan Fungsi Berbentuk y = u • v Apabila diketahui tungsi y = f(x) dengan f(x) = u(x) • v(x).v(x) dengan u(x) dan v(x) ialah fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuk a bilangan real maka berlaku : f’(a) = u(a) . v’(a) = u’(a) . v(a) Contoh : Tentukan turunan pertama dari f(x) = (x -1)(2x +7) ? Penyelesaian : Misal u(x) = x -1 dan v(x) = 2x + 7 maka u’(x)= 1 dan v’(x)= 2 f’(x) = u(x) x v’(x) = u’(x) x v(x) = (x – 1)(2) = (1)(2x + 7) = 2x – 2 + 2x +7 = 4x + 5 •



Menentukan Turunan Fungsi Berbentuk y = un



Apabila diketahui y = f(u) dengan f(x) = un dan u = g(x). Jika u = g(x) dapat diturunkan di x = a untuk a bilangan real maka : f’(x) = nun-1 . u’(x) Contoh : Tentukan turunan dari fungsi f’(x) = (2x2 + 4)3 ? Penyelesaian : Misal u = 2x2 + 4 maka u’(x) = 4x sehingga f(x) = u3 f’(x) = 3u2 . u’(x) = 3u2 . 4x + 3(2x2 + 4)2 . 4x = 12x(2x2 + 4)2



9



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



𝒖



•



Menentukan Turunan Fungsi Berbentuk y = 𝒗 𝑢(𝑥)



Apabila diketahui y = f(x) dengan f(x) = 𝑣(𝑥), dalam hal ini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuk a bilangan real maka berlaku : f’(a) =



•



𝑢′ (𝑎).𝑣(𝑎)−𝑢(𝑎).𝑣′(𝑎) (𝑣(𝑎))2



Menyelesaikan Soal-Soal Terapan Langkah-langkah menentukan nilai maksimum dan minimum dalam soalsoal terunan.



1. Tuliskan rumus apa yang maksimum atauminimum dalam soal tersebut. 2. Jika rumus maksimum dan minimum tersebut lebih dari satu variabel maka jadikan satu variabel dengan persamaanlain. 3. Tentukan kondisi stasioner fungsi 4. Jawablah yang ditanyakan soal. II.2.



KONSEP KEMONOTONAN FUNGSI



A. Kemonotonan fungsi Kemonotonan fungsi adalah salah satu materi yang termasuk kedalam penggunaan turunan. Materi ini digunakan untuk melihat naik turunya suatu grafik fungsi. Kemonotonan grafik fungsi akan mudah dipahami jika kamu sudah mengenal materi selang/interval. Soal kemonotonan fungsi biasanya menanyakan pada interval berapa fungsi tersebut naik dan pada interval berapa fungsi tersebut turun. Kemonotonan fungsi sederhananya seperti ini, suatu fungsi dikatakan monoton jika fungsi tersebut naik terus ataupun turun terus pada suatu selang/interval. 10



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Agar mudah memahami konsep kemonotonan fungsi, simaklah gambar dan pembahasan berikut.



Diatas adalah grafik dari fungsi y = x², dapat dilihat bahwa grafik tersebut turun pada interval - ∞ < x < 0 dan naik pada interval 0< x < ∞ . Pertanyaan yang muncul adalah jika diketahui hanya bentuk fungsinya (tanpa ada gambar) bagaimana cara menentukan interval naik dan turunnya? Jika harus digambar dulu tentunya akan ribet dan memakan waktu. Oleh karena itu untuk menyelesaikan kasus ini, kita akan menggunakan konsep turunan. Perhatikan contoh konsep kemonotonan fungsi dibawah ini. Perhatikan gambar diatas! Fungsi f(x) naik ketika garis-garis singgung miring ke kanan dan f(x) turun ketika garis-garis singgung miring ke kiri. Seperti yang kita tahu bahwa garis singgung yang miring ke kanan mempunyai gradien positif (+) dan yang miring ke kiri mempunyai gradien negatif (-). Artinya untuk mengetahui dimana sebuah fungsi naik dan turun yaitu dengan melihat tanda positif dan negatif dari gradien garis singgung, untuk menentukan nilai gradien sebuah fungsi yaitu dengan turunan



11



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



pertama. Nah dari situasi ini munculah sebuah teorema, namanya teorema kemonotonan. Teorema Kemonotonan Andaikan f kontinu pada interal I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I. i. ii.



Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I



Maksud dari kalimat di atas bisa dikatakan “fungsi akan naik jika turunan pertamanya lebih besar dari nol (+) dan fungsi akan turun jika turunan pertamanya lebih kecil dari nol (-).” Pada fungsi y = x² di atas, dapat diselesaikan dengan teorema kemonotonan tersebut. y



= x²



y’



= 2x



Selanjutnya, cari batas-batas gradien dengan cara turunan pertama dibuat sama dengan nol. Dibuat sama dengan nol, karena bahwa pada puncak/lembah pada suatu grafik pasti garis singgungnya berupa garis horizontal, yang mana pada kondisi tersebut garis memiliki gradien nol. Pada saat nilai gradien nol, maka sebuah fungsi tidak naik dan juga tidak turun. 2x



=0



x



= 0/2



x



=0



Ketika batas-batas gradiennya sudah didapat, selanjutnya cari didaerah kiri dan kanan apakah nilainya positif atau negatif, sama halnya seperti ketika mencari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat. Gunakan turunan pertama dengan memilih bilangan sembarang dari sebelah kiri bilangan 0. Jika hasil yang didapat berupa bilangan positif, maka daerah tersebut bertanda positif dan begitupun sebaliknya, jika hasil yang didapat berupa bilangan negatif, maka daerah tersebut bertanda negatif. Gunakan juga cara tersebut untuk daerah sebelah kanan 0. Daerah sebelah kiri 0 : x



= -2



y’



= 2x 12



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



y’



= 2(-2)



y’



= -4



Hasil yang didapat berupa bilangan negatif atau f’(x) < 0 Daerah sebelah kanan 0 : x



=1



y’



= 2x



y’



= 2(1)



y’



=2



Hasil yang didapat berupa bilangan positif atau f’(x) > 0



Berdasarkan gambar diatas, dapat disimpulkan sebagai berikut. Grafik turun pada interval - ∞ < 4x³ - 16x



=0



4x (x² - 4)



=0



4x (x – 2)(x+2)



=0



4x



=0→x=0



x–2



=0→x=2



x + 2 = 0 → x = -2



Langkah selanjutnya adalah menentukan nilai positif atau negatif disembarang interval dengan menggunakan turunan pertama x



= -1



f’(x)



= 4x³ - 16x



f’(x)



= 4(-1)³ - 16(-1) = -4 + 16 = 12



13



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Pada saat x = -1 hasilnya positif, maknanya interval yang memuat x = -1 merupakan interval positif. Dan untuk interval lainnya yaitu interval negatif, karena interval positif dan negatif akan selalu berselang seling, seperti gambar berikut.



Nilai Minimum dan Maksimum Turunan Fungsi Nilai suatu fungsi akan dikatakan maksimum apabila nilai dari suatu fungsi tersebut paling besar, sebaliknya nilai suatu fungsi dikatakan minimum apabila nilai dari suatu fungsi tersebut paling kecil pada sebuah selang waktu atau interval tertutup.



Andaikan S adalah daerah asal f yang memuat titik c, maka : f(c) adalah nilai maksimum pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S



i. ii.



Nilai minimum dan maksimum pada suatu fungsi disebut sebagai Nilai Ekstrim. Nilai ekstrim terjadi atau terdapat pada titik-titik kritis. Titik kritis merupakan sebarang titik dalam daerah asal atau domain dari suatu fungsi, yaitu titik selang, titik stasioner, dan titik singular. •



Titik Selang



Merupakan batas dari sebuah daerah asal atau domain suatu fungsi, dalam hal ini selang yang dimaksud merupakan selang tertutup. Teorema Eksistensi Minimum-Maksimum



14



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum.



•



Titik Stasioner



Merupakan sebuah titik yang membuat turunan pertama dari suatu fungsi sama dengan nol. Secara grafik titik stasioner berada pada titik puncak atau lembah suatu kurva. Jika c adalah sebuah titik dalam daerah asal yang mengakibatkan f’(c) = 0, maka c disebut dengan titik stasioner. Nilai-nilai ekstrim sering terjadi pada titik stasioner seperti gambar berikut. •



Titik Singular



Merupakan sebuah titik yang membuat turunan pertama dari suatu fungsi yang tidak ada nilainya. Jika c adalah sebuah titik dalam daerah asal yang mengakibatkan f’(c) tidak ada, maka c disebut dengan titik singular. Titik ini merupakan grafik yang mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal, atau mungkin lompatan. Nilai minimum dan maksimum juga terjadi pada titik singular ini. Contoh soal Diketahui sebuah fungsi y = -2x³ + 3x² dengan interval tertutup [ -1/2, 2]. Tentukan : a. Titik-titik Kritis b. Nilai maksimum dan nilai minimum Jawab a : 15



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



-



Titik kritis terdapat pada ujung selang tertutup, yaitu -1/2 dan 2 Titik kritis terdapat pada titik stasioner : y = f(x) = -2x³ + 3x² f’(x) = -6x² + 6x Untuk mencari titik stasioner f’(x) harus sama dengan 0 f’(x) =0 -6x² + 6x =0 -x² + x =0 x(-x +1) =0 x = 0 dan –x + 1 = 0 → x = 1 Jadi, titik stasionernya adalah 0 dan 1 Sehingga untuk titik kritisnya terdiri dari -1/2, 0, 1, 2



Jawab b : Untuk mencari nilai maksimum dan minimum, substitusikan titik-titik ekstrim ke fungsi f(x), nilai yang paling besar merupakan nilai maksimum dan nilai yang paling kecil merupakan nilai minimum. f(x)



= -2x³ + 3x²



f(-1/2) = -2(-1/2)³ + 3(-1/2)²



f(0)



=1 f(1)



= -2(0)³ + 3(0)² =0



= -2(1)³ + 3(1)²



f(2)



=1



= -2(2)³ + 3(2)² = -4



Jadi, nilai maksimumnya adalah 1 dan nilai minimumnya -4



•



Maksimum dan Minimum Turunan Fungsi Konsep Turunan Dalam Permasalahan Kecepatan dan Percepatan



Menentukan kecepatan dengan konsep turunan Jika s = f(t) menyatakan persamaan gerak dari suatu benda sepanjang garis lurus, dengan s adalah perpndahan atau jarak langsung benda dari titik awal pada waktu t. Fungsi f yang menggambarkan gerakan disebut fungsi posisi benda. Pada selang waktu dari t = c sampai dengan t = c + h. Perubahan posisi adalah f(c + h) – f(c). Seperti gambar berikut. Kecepatan rata-rata pada selang waktu ini adalah Kecepatan rata-rata =



𝑝𝑒𝑟𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢



=



𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐) ℎ



16



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Jika kita akan menghitung untuk selang waktu yang sangat kecil (h mendekati 0), maka kita memperoleh kecepatan sesaat untuk t = c Kecepatan sesaat = 𝑣(𝑐) = lim



ℎ→0



𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐) ℎ



Bentuk tersebut merupakan turunan pertama pada fungsi s = f(t) yaitu f’(c) jika memiliki nilai limit. Dapat disimpulkan bahwa kecepatan suatu fungsi s(t) = f(t) pada waktu t tertentu adalah : v(t) = s’(t) atau v(t) = f’(t). Secara fisis, kecepatan sesaat gerak benda pada waktu t tertentu adalah f’(t). Sedangkan laju perubahan sesaat didefinisikan sebagai nilai mutlak besarnya kecepatan sesaat, ditulis laju = |v(t)| = |f’(x)| = |s’(t)|. Kecepatan sesaat bisa bernilai positif atau bernilai negatif, tergantung benda bergerak dalam arah positif atau arah negatif. Jika benda dalam keadaan diam, maka kecepatan sesaatnya adalah 0. Menentukan Percepatan Menggunakan Turunan Percepatan sesaat merupakan laju perubahan sesaat dari kecepatan. Misalnya, sebuah benda bergerak mengikuti fungsi gerak s = f(t), dengan kecepatan sesaat pada t tertentu adalah v dan percepatan sesaatnya adalah a. Percepatan (a) adalah turunan pertama dari v terhadap t atau percepatan adalah turunan kedua dari s terhadap t. Percepatan : 𝑎 =



𝑑𝑣 𝑑𝑡



𝑑²𝑠



= 𝑑𝑡² = 𝑣 ′ = 𝑠"



Dari definisi tersebut, dapat diketahui bahwa jika a > 0 maka v akan bertambah, jika a < 0 maka v akan berkurang, dan jika a = 0 maka v tidak akan berubah.



17



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Hubungan Kelajuan, Kecepatan, dan percepatan



Laju adalah



benda pada t detik |v|, sehingga hubungan laju,



kecepatan, dan percepatannya adalah : i. ii. iii. iv.



Jika v ≥ 0 dan a > 0, maka laju akan bertambah Jika v ≥ 0 dan a < 0, maka laju akan berkurang Jika v ≤ 0 dan a > 0, maka laju akan berkurang. Jika v ≤ 0 dan a < 0, maka laju akan bertambah



Contoh Soal 1. Suatu benda bergerak sepanjang garis mendatar mengikuti persamaan : s(t) = t³ - 3t² + 5, dengan jarak satuan meter dan t detik . Tentukan : a. Kecepatan dan Percepatan dalam t b. Kecepatan dan percepatan saat t = 3 c. Kapan benda tersebut akan berhenti atau diam Penyelesaian : 18



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



a. Kecepatan dan Percepatan Fungsi : s(t) = t³ - 3t² + 5 Kecepatan : v(t) = s’(t) = 3t² - 6t Percepatan : a(t) = s”(t) = 6t – 6 b. Kecepatan dan Percepatan saat t = 3 Kecepatan : v(t) = 3t² - 6t v(3) = 3(3)² - 6(3) v(3) = 9 m/s Percepatan : a(t) = s”(t) = 6t – 6 a(3) = 6(3) – 6 a(3) = 12 m/s² c. Benda tersebut akan berhenti atau diam ketika kecepatannya 0 v(t) =0 3t² - 6t =0 3t (t – 2) =0 t=0 Vt=2 benda terebut akan berhenti pada saat t = 2



2. Sebuah bola dilemparkan vertikal ke atas dari tanah dengan kecepatan awal 80 m/s. Jika arah positif diambil ke atas, persamaan geraknya adalah s(t) = -16t² + 80t. Misal t menuatakan waktu sejak bola dilemparkan dinyatakan dalam detik, dan s jarak bola dari titik awal dan dinyatakan dalam meter pada saat t detik. Tentukan : a. Kecepatan dan Percepatan sesaat bola setelah 2 detik b. Waktu yang diperlukan bola untuk mencapai titik tertinggi c. Waktu dan kecepatan yang diperlukan bola untuk menyentuh tanah kembali Penyelesaian : -



Kecepatan



: v(t) = s’(t) = -32t +80



Percepatan



: a(t) = s”(t) = -32



a. Kecepatan dan Percepatan sesaat, t = 2 Kecepatan



: v(2) = -32(2) + 80



→ 16



Percepatan



: a(2) = s”(t)



→ -32



Jadi setelah 2 detik, bola naik dengan kecepatan sesaat 16 m/s dan percepatannya adalah -32 m/s²



19



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



b. Bola tersebut akan mencapai titik tertinggi ketika benda berhenti atau pada saat kecepatannya 0 v(t) =0 -32t + 80 =0 t = 80/32 → 2,5 Artinya, waktu yang diperlukan bola untuk mencapai titik tertingginya adalah 2,5 detik c. Bola tersebut akan kembali ke tanah pada saat s(t) = 0 s(t) =0 -16t² + 80t =0 16t (-t + 5) =0 t=0 V t=5 Jadi, bola terebut akan mencapai tanah lagi setelah 5 detik



20



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



II.3. KONSEP TURUNAN DALAM MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS SINGUNG KURVA II. 161. II. 162. A. Menentukan Gradien Garis Singgung Perhatikan gambar berikut.



Titik P(x, y) adalah titik sembarang pada kurva y = f(x), sehingga koordinattitik P dapat ditulis (x, f(x)). Absis titik Q adalah (x + h) sehingga titik koordinat titik Q adalah ((x + h), (f(x + h)). Jika h → 0, maka S akan menjadi garis singgung pada kurva di titik P, yaitu PS. Dengan demikian gradien garis singgung pada kurva di titik P adalah sebagai berkut. m



= tan QPR = lim



𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)



ℎ→0



ℎ



= f’(x) Jadi, gradien garis singgung di titik A(a, f(a)) adalah m = f’(a) Langkah-langkah menentukan gradien di titik A(a, f(a)) pada kurva y = f(x) : i. ii. iii.



Tentukan turunan fungsinya terlebih dahulu (f’(x)) Substitusi nilai x = a atau absis titik A(a, f(a)) Gradiennya adalah m = f’(a)



Menentukan Persamaan Garis Singgung Pada Kurva Secara umum, persamaan garis di titik A(x₁, y₁) pada kurva y = f(x) dapat ditentukan dengan rumus : Persamaan garis lurus : y - y₁ = m(x - x₁) Dengan gradiennya



: m = f’(x₁)



21



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Contoh Soal 1. Tentukan persamaan garis singgung di titik (2,6) pada kurva y = x³ - 3x + 4 Penyelesaian : -



Turunan fungsinya :



y



= x³ - 3x + 4



f’(x)



= 3x² - 3



-



Gradien di titik (2,6) :



m = f’(2) m = 3(2)² -3 m=9 -



Menyusun persamaan garis singgung di titik (2,6) dan m = 9



y - y₁ = m(x - x₁) y–6



= 9(x – 2)



y–6



= 9x – 18



y



= 9x – 12



2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x² - x + 2 di titik dengan absis 1 dan tentukan titik potong garis singgungnya terhadap sumbu X dan sumbu Y Penyelesaian : x



Menentukan titik singgung (x₁ , y₁) dengan substitusi absis x =1 ke persamaan kurva =1 22



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



y



= x² - x + 2 = (1)² - 1 + 2 =2 -



Turunan fungsinya :



y



= x² - x + 2



f’(x)



= 2x -1



-



Menentukan gradien di titik (1,2) :



m



= f’(1)



m



= 2(1) – 1 =1 -



Menyusun persamaan garis singgung d titik (1,2) dan m =1



y - y₁ = m(x - x₁) y–2



= 1(x – 1)



y–2



=x–1



y



=x+1



-



Menentukan titik potong pada sumbu X dan Y:



Sumbu X, substitusi y = 0 y = 0 → y = x + 1 → 0 = x + 1 → x = -1 Titik potong sumbu X (-1,0) Sumbu Y, substitusi x = 0 x=0→y=x+1→y=0+1→y=1 Titik potong sumbu Y (0,1) Persamaan Garis Singgung pada Kurva Menggunakan Turunan ~ Konsep Matematika



23



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Konsep Turunan Dalam Menentukan Laju Perubahan Fungsi Terhadap Variabel Bebasnya Perubahan banyaknya suatu variabel bebas biasanya dinyatakan dengan sebuah fungsi, untuk menentukan laju perubahannya dapat menggunakan definisi dari turunan fungsi. Misalkan banyaknya populasi dari makhluk hidup setelah t tahun dinyatakan dengan fungsi f(t), maka laju perkembangan populasi setelah a tahun dapat dinyatakan dengan: Contoh Soal 1. Tentukan turunan dari f(x) = 4x2 . Penyelesaian: Tentukan dulu nilai f(x) dan f(x + h). Karena f(x) = 4x2 , maka: f(x + h) = 4 (x + h)2 = 4 (x2 + 2xh + h2 ) = 4x2 + 8xh + 4h2 . Dengan demikian, diperoleh:



Jadi, turunan dari f(x) = 4x2 adalah f '(x) = 8x. 2. Tentukan turunan dari f(x) = 3x - 2. Penyelesaian: Karena f(x) = 3x - 2, maka: f(x + h) = 3 (x + h) - 2 = 3x + 3h - 2 24



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Diperoleh:



Jadi, turunan dari f(x) = 3x - 2 adalah f '(x) = 3.



A. Konsep Turunan Dalam Menentukan Laju Pertambahan Nilai Fungsi Laju perubahan nilai fungsi y = f(x) terhadap x dapat dinyatakan dalam bentuk:



Berdasarkan aturan rantai, diketahui bahwa:



Rumus tersebut digunakan untuk menentukan laju pertambahan nilai fungsi y = f(x) seiring pertambahan variabel x terhadap variabel t saat nilai x ditetapkan.



Contoh Soal



25



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



1.



Seorang anak laki-laki menerbangkan layang-layang yang tingginya 150 kaki. Jika layang-layang tersebut bergerak horizontal menjauhi anak itu pada 20 kaki/detik, seberapa cepat tali layang-layang terpakai ketika layang-layang itu 250 kaki dari anak laki-laki tersebut ?



Dengan menggunakan rumus Phytagoras diperoleh: x² + 150



= z²



x² + 150²



= 250²



x² + 22500



= 62500



x²



= 40000



x



= 200



Dikaitkan dengan waktu menggunakan difernsiasi implisi : z²



= x² + 150



500 dz/dt



= 8000



2z dz/dt



= 2x dx/dt + 0



dz/dt



= 8000/500



2



(250) dz/dt



= 2 (200) (20)



dz/dt



= 16 kaki/detik



2.



Jari-jari sebuah lingkaran bertambah dengan kelajuan 2 cm/detik. Tentukan laju pertambahan dari : a. Keliling lingkaran b. Luas lingkaran, saat jari-jarinya 10 cm



Penyelesaian a. Rumus keliling lingkaran : K = 2∏r , maka laju pertambahan keliling lingkarang, yaitu : dK/dt



= 2∏ dr/dt



dK/dt



= 2∏ (2)



dK/dt



= 4∏ cm/detik



b. Rumus luas lingkaran : L = ∏r² , maka laju pertambahan luas lingkaran : dL/dt



= ∏ 2r dr/dt



dL/dt



= ∏ 2 .10 . 2



dL/dt



= 40∏ cm²



26



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



contoh soal 1. Diberikan suatu fungsi dengan persamaan y = 2x − √x Tentukan persamaan garis singgung kurva melalui titik (9, 16) Penyelesaian Penggunaan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung. Turunkan fungsi untuk mendapatkan gradien dan masukkan x untuk mendapat nilainya.



Persamaan garis yang melalui titik (9 , 16) dengan gradien 11/6 adalah



2. Sebuah benda bergerak dengan persamaan gerak y = 5t2 − 4t + 8 dengan y dalam meter dan t dalam satuan detik. Tentukan kecepatan benda saat t = 2 detik Penyelesaian Persamaan kecepatan benda diperoleh dengan menurunkan persamaan posisi benda. y = 5t2 − 4t + 8 ν = y ‘ = 10t − 4 Untuk t = 2 detik dengan demikian kecepatan benda adalah ν = 10(2) − 4 = 20 − 4 = 16 m/detik



3. Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x3 + 2x2 − 5x di titik (1, −2) adalah….



27



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Penyelesaian Tentukan dulu gradien garis singgung y = x3 + 2x2 − 5x m = y ‘ = 3x2 + 4x − 5 Nilai m diperoleh dengan memasukkan x = 1 m = 3(1)2 + 4(1) − 5 = 2 Persamaan garis dengan gradiennya 2 dan melalui titik (1, −2) adalah y − y1 = m(x − x1) y − (−2) = 2(x − 1) y + 2 = 2x − 2 y = 2x – 4



4. Tentukan nilai maksimum dari fungsi f(x) = 3x(x2 − 12) Pembahasan Nilai maksimum diperoleh saat f ‘(x) = 0 Urai kemudian turunkan f(x) = 3x(x2 − 12) f(x) = 3x3 − 36x f ‘(x) = 9x2 − 36 = 0 9x2 = 36 x2 = 4 x = √4 = ±2 Untuk x = +2 f(x) = 3x3 − 36x = 3(2)3 − 36(2) = 24 − 72 = − 48 Untuk x = −2 f(x) = 3x3 − 36x = 3(−2)3 − 36(−2) = −24 + 72 = 48 Dengan demikian nilai maksimumnya adalah 48



28



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



II.4.



KLASIFIKASI PERSAMAAN TURUNAN/DIFFERENSIAL



A. PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial (diferential equation) ialah persamaan yang berisi satu atau lebih variabel tak bebas beserta turunannya terhadap variabel-variabel bebas. Persamaan diferensial yang berisi suatu variabel tak bebas y dan variabel bebas x biasa dinotasikan dengan : 𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 ′ (𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦′ dibaca,



"Turunan Pertama Variabel Tak Bebas y terhadap variabel bebas x" Secara umum persamaan diferensial yang melibatkan variabel-variabel ini dapat dinyatakan dalam bentuk : 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 (𝑛) = 0 Dengan 𝑦 (𝑛) merupakan turunan ke – n dari y terhadap x. 𝑑2𝑦 + 𝑘𝑦 = sin 𝑡 𝑑𝑡 2 𝑓 ′′ + 𝑓 = 0 𝜕𝑢 𝜕 2𝑢 + 𝑢 2 + 𝑢𝑥 = 0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑡 = 0 𝐷𝑡 𝑢 + 𝐷𝑥𝑥 𝑢 = 0 PD → Persamaan yang memuat turunan suatu fungsi



Solusi dari suatu PD → fungsi yang memenuhi PD tersebut (jika ada) 𝑥, 𝑡 variable bebas



𝑓, 𝑢, 𝑦 variable tak bebas



𝑘, 𝛼 parameter koefisien



Persamaan turunan differensial diklasifikan menjadi 2, antara lain : 1. Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation), disingkat PDB 29



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



2. Persamaan diferensial parsial (parsial differential equation), disingkat PDP •



PDB merupakan persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu variable bebas, sedangkan PDP yaitu persamaan diferensial yang melibatkan lebih dari satu variabel bebas.



• Banyaknya variabel bebas 1. Persamaan diferensial biasa (PDB) → satu variabel bebas 2. Persamaan diferensial parsial (PDP) → lebih dari satu variabel bebas • Orde → turunan tertinggi yang muncul 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝜕𝑓



𝑑𝑦



+ 6 𝑑𝑥 − 10𝑦 3 = 0 (PDB orde…) 𝜕3𝑦



+ 𝛼 𝜕𝑥 3 + 𝛽𝑓 4 = 0 (PDP orde…) 𝜕𝑡



Kelinieran ➢ Linier → semua variabel tak-bebas dan/atau turunannya muncul dalam bentuk linier ➢ Nonlinier → bukan linier



Kehomogenan ➢ Homogen → tidak terdapat suku bukan nol yang merupakan fungsi terhadap variabel bebas (saja) ➢ Nonhomogen → terdapat suku bukan nol yang merupakan fungsi terhadap variabel bebas (saja) Kemandirian (autonomicity) ➢ Mandiri (autonomous) → koefisien (yang menyertai variable tak-bebas atau turunannya) bernilai konstan ➢ Tak-mandiri (non-autonomous) → koefisien (yang menyertai variabel takbebas atau turunananya) bernilai tak-konstan Persamaan diferensial biasa orde-n dikatakan linier jika dapat dinyatakan dalam bentuk: 𝑎0 (𝑥)𝑦 (𝑛) + 𝑎1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦1 + 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 = 𝐹(𝑥)



30



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Dengan 𝑎0 (𝑥) ≠ 0 Jika tidak maka persamaan diferensial dikatakan tidak linear. 1. Jika koefisien 𝑎0 (𝑥), 𝑎1 (𝑥), … . , 𝑎𝑛 (𝑥) konstan maka disebut persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan, jika tidak disebut persamaan differensial linear dengan koefisien variable. 2. Jika 𝐹(𝑥) = 0, maka disebut persamaan differensial linear homogen, jika 𝐹(𝑥) ≠ 0 disebut tidak homogen. Contoh :



Tabel 1.1 persamaan dan klasifikasi diferensial II. 163. KLASIFIKASI PERSAMAAN DIFFERENSIAL : II. 164. Persamaan Diferensial Biasa dan Ordenya Persamaan diferensial biasa adalah sebuah bentuk persamaan yang berisi turunan satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas suatu fungsi. Penentuan orde suatu persamaan diferensial tergantung pada kandungan fungsi turunan di dalam persamaan diferensial tersebut. Orde atau tingkat suatu persamaan diferensial merupakan pangkat tertinggi turunan dalam persamaan diferensial. Contoh: a. y' = sin x + cos x atau y'− sinx – cos x = 0 persamaan diferensial biasa orde pertama. b. y+7 y = persamaan diferensial biasa order kedua. c. y'''− exy - yy ' = left ({x} ^ {2} +1 right ) persamaan diferensial biasa orde ketiga. •



PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL



Persamaan diferensial parsial yaitu sebuah bentuk persamaan yang berisi turunan parsial satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variable bebas suatu fungsi. • Tingkat (order) dari PD parsial : tingkat tertinggi dari derivatif yang 31



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



terdapat pada PD. • Derajat (degree) dari PD parsial : pangkat tertinggi dari turunan tingkat tertinggi yang terdapat pada PD. • PD parsial dikatakan linear apabila hanya memuat derajat pertama dari variabel - variabel bebasnya dan derivatif - derivatif parsialnya. Jika z ialah variabel terikat (dependent) dan x, y ialah variabel bebas (independent) maka 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) • Untuk mempermudah penulisan turunan dapat memakai notasi sebagai berikut :



Contoh :



a. b. c.



𝜕𝑢 𝜕𝑥



+



𝜕𝑢 𝜕𝑦



=0



𝜕2 𝑢



𝜕𝑢



𝜕𝑥 𝜕𝑣



𝜕𝑦 𝜕𝑣



𝜕𝑥



2 +



−



𝜕𝑦



=𝑘



+ 2𝑣 = 0



1 – 5 adalah persamaan differensial biasa 6 – 7 adalah persamaan differensial parsial 32



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



1,3,6 adalah orde pertama 2,5,7 adalah orde keuda 5 adalah persamaan berderajat kedua. Selain 5 adalah persamaan 1 4berderajat orde ketiga



• • • • •



Persamaan gelombang satu dimensi Persamaan konduksi panas satu dimensi Persamaan laplace dua dimensi Persamaan poisson dua dimensi Persamaan laplace tiga dimensi



•



PEMBENTUKAN PD PARSIAL



Pembentukan persamaan differensial parsial bisa dilakukan menggunakan dua cara, antara lain : A. Eliminasi konstanta (elimination of arbitrary constants) B. Eliminasi fungsi (elimination of arbitrary functions)



•



PD PARSIAL LINIER ORDE 2



33



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



z = variabel tak bebas, merupakan fungsi dari x dan y x, y = variabel bebas dari PD A,B,C,D,E,F,G = Koefisien, bisa konstanta atau merupakan fungsi dari x atau y tetapi bukan fungsi dari z



Jika :



Jika :



G=0



disebut PD homogen



G≠0



disebut PD non homogen



B2 – 4ac < 0 disebut PD Eliptik B2 – 4ac = 0 disebut PD Parabolis B2 – 4ac > 0 disebut PD Hiperbolis



•



METODE PENYELESAIAN PD PARSIAL



A. Integral Langsung Mencari penyelesaian umum dengan metoda yang digunakan pada PD biasa (mengintegralkan masing - masing ruas ke setiap variabel bebasnya). B. Pemisalan 𝑢 = 𝑒 𝑎𝑥+𝑏𝑦 PD parsial linear orde 1 atau 2 dengan A,B,C,D,E,F konstan, PU PD ditentukan dengan memisalkan 𝑢 = 𝑒 𝑎𝑥+𝑏𝑦 ; a,b konstanta yang harus dicari. C. Pemisahan Variabel



34



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



1) Persamaan Diferensial Biasa Linear dan non Linear Persamaan diferensial biasa linear orde n dapat dituliskan sebagai :



Solusi (Penyelesaian) PDB Beberapa jenis solusi PD akan dijabarkan sebagai berikut: 1. Solusi PD bentuk eksplisit adalah solusi PD dengan fungsi yang mana variable bebas dan variabel tak bebas bisa dibedakan dengan jelas. Solusi eksplisit dinyatakan dalam bentuk y = f(x). Contoh solusi/fungsi eksplisit: y = x2 + 7x + 3 2. Solusi PD bentuk implisit merupakan solusi PD dengan fungsi yang mana variable bebas dengan variabel tak bebas tidak bisa dibedakan secara jelas. Fungsi implisit ditulis dalam bentuk f(x,y) = 0. Contoh solusi/fungsi implisit: x2 + y2 = 35 atau x2 + y2 – 35 = 0 Penyelesaian implisit dan penyelesaian eksplisit, keduanya secara singkat biasa disebut penyelesaian PDB.



Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) terbagi dalam tiga jenis solusi yaitu: 1. Solusi Umum (Penyelesaian Umum): solusi PDB yang masih mengandung konstanta sembarang misalnya c. 2. Solusi Khusus/Partikulir (Penyelesaian Khusus/Partikulir): solusi yang tidak mengandung konstanta variabel karena terdapat syarat awal dalam suatu PDB. 3. Solusi Singular (Penyelesaian Singular): solusi yang tidak diperoleh dari hasil mensubstitusikan suatu nilai konstanta pada solusi umumnya.



Metode Penyelesaian : Metode yang digunakan untuk mencari solusi (menyelesaikan) Persamaan Diferensial antara lain:



35



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



1. Metode Analitik: Metode ini menghasilkan dua bentuk solusi ialah bentuk eksplisit dan implisit. Untuk masalah-masalah yang komplek metode analitik tersebut jarang digunakan karena memerlukan analisis yang cukup rumit. 2. Metode Kualitatif: Solusi PDB didapatkan dengan perkiraan pada pengamatan pola medan gradien. Metode ini memberikan gambaran secara geometris dari solusi PDB. Metode ini meskipun bisa memberikan pemahaman kelakuan solusi suatu PDB tetapi fungsi asli dari solusinya tidak diketahui dan metode ini tidak dipergunakan terhadap kasus yang komplek. 3. Metode Numerik. Solusi yang didapatkan dari metode ini ialah solusi hampiran (solusi pendekatan/aproksimasi). Dengan bantuan program komputer, metode ini dapat menyelesaikan PDB dari tingkat sederhana sampai terhadap masalah yang komplek. Ketiga metode tersebut dapat diselesaikan dengan software MATLAB. •



CONTOH SOAL PERSAMAAN DEFERENSIAL



1. Tentukan solusi PD 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 3



PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR VS NONLINEAR Persamaan yang mengandung setidaknya satu koefisien diferensial atau turunan dari variabel yang tidak dikenal sebagai persamaan diferensial. Persamaan 36



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



diferensial bisa berupa linear atau non-linear. Ruang lingkup artikel ini yaitu untuk menjelaskan tentang apa persamaan diferensial linier, apa persamaan diferensial nonlinear, serta apa perbedaan antara persamaan diferensial linear dan nonlinear. Sejak pengembangan kalkulus pada abad ke-18 oleh para ahli matematika seperti Newton dan Leibnitz, persamaan diferensial telah memainkan peran penting dalam kisah matematika. Persamaan diferensial sangat penting dalam matematika karena jangkauan aplikasinya. Persamaan diferensial merupakan inti dari setiap model yang kami kembangkan untuk menjelaskan setiap skenario atau peristiwa di dunia apakah itu dalam fisika, teknik, kimia, statistik, analisis keuangan, atau biologi (daftar ini tidak ada habisnya). Bahkan, hingga sampai kalkulus menjadi teori yang mapan, alat matematika yang tepat tidak tersedia untuk menganalisis masalah menarik di alam. Persamaan yang dihasilkan dari aplikasi spesifik kalkulus mungkin sangat kompleks dan kadang-kadang tidak bisa dipecahkan. Tetapi, ada beberapa yang dapat diselesaikan, namun mungkin terlihat sama dan membingungkan. Oleh sebab itu, untuk memudahkan identifikasi, persamaan diferensial dikategorikan berdasarkan perilaku matematikanya. Linear dan nonlinear merupakan salah satu kategorisasi tersebut. Penting untuk mengidentifikasi perbedaan antara persamaan diferensial linear dan nonlinear. Apa itu Persamaan Diferensial Linier? Seandainya f: X → Y dan f (x) = y, a persamaan diferensial tanpa syarat nonlinear dari fungsi yang tidak diketahui y dan turunannya dikenal sebagai persamaan diferensial linier.



Ini membebankan kondisi bahwa y tidak dapat memiliki istilah indeks yang lebih tinggi seperti y2, y3,… Dan banyak turunan seperti



dimana y dan g adalah fungsi dari x. Persamaannya adalah persamaan diferensial orde n, yang merupakan indeks turunan orde tertinggi. Dalam persamaan diferensial linear, operator diferensial ialah operator linear dan solusi membentuk ruang vektor. Sebagai hasil dari sifat linier set solusi, kombinasi linear dari solusi juga merupakan solusi untuk persamaan diferensial. Itu kalau y1 dan y2 adalah solusi dari persamaan diferensial, lalu C1 y1+ C2 y2 juga merupakan solusi. 37



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Linearitas persamaan hanya satu parameter dari klasifikasi, dan selanjutnya bisa dikategorikan ke dalam persamaan diferensial homogen atau nonhomogen dan biasa atau parsial. Jika fungsinya g= 0 maka persamaannya ialah persamaan diferensial homogen linier. Jika f merupakan fungsi dari dua atau lebih variabel independen (f: X, T → Y) dan f (x, t) = y , maka persamaannya adalah persamaan diferensial parsial linier. Metode solusi untuk persamaan diferensial tergantung pada jenis dan koefisien persamaan diferensial. Kasus termudah muncul ketika koefisien konstan. Contoh klasik untuk kasus ini yaitu hukum gerak kedua Newton dan berbagai aplikasinya. Hukum kedua Newton menghasilkan persamaan diferensial linear orde kedua dengan koefisien konstan.



•



PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINEAR



Persamaan yang mengandung istilah nonlinier dikenal sebagai persamaan diferensial non-linear. Semua di atas yaitu persamaan diferensial nonlinier. Persamaan diferensial nonlinier sulit untuk diselesaikan, oleh sebab itu, studi yang cermat diperlukan untuk mendapatkan solusi yang tepat. Dalam kasus persamaan diferensial parsial, sebagian besar persamaan tidak memiliki solusi umum. Oleh karena itu, setiap persamaan harus diperlakukan secara independen. Persamaan Navier-Stokes dan persamaan Euler dalam dinamika fluida, persamaan medan Einstein tentang relativitas umum dikenal dengan persamaan diferensial parsial nonlinier. Kadang-kadang penerapan persamaan Lagrange ke sistem variabel dapat menghasilkan sistem persamaan diferensial parsial nonlinier.



•



PERBEDAAN ANTARA PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER DAN NONLINIER



• Persamaan diferensial, yang hanya mempunyai istilah linier dari variabel tidak diketahui atau dependen dan turunannya, dikenal sebagai persamaan diferensial linier. Ia tidak memiliki istilah dengan variabel dependen indeks lebih tinggi dari 1 dan tidak mengandung kelipatan turunannya. Itu tidak dapat memiliki fungsi nonlinier seperti fungsi trigonometri, fungsi eksponensial, dan fungsi logaritmik sehubungan dengan variabel dependen. Setiap persamaan diferensial yang berisi istilah yang disebutkan di atas merupakan persamaan diferensial nonlinear.



38



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



• Solusi persamaan diferensial linier membuat ruang vektor dan operator diferensial juga merupakan operator linear dalam ruang vektor. • Solusi persamaan diferensial linear relatif lebih mudah dan ada solusi umum. Untuk persamaan nonlinier, dalam banyak kasus, solusi umum tidak ada dan solusinya mungkin spesifik masalah. Ini membuat solusinya jauh lebih sulit daripada persamaan linear.



•



PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN



Pada persamaan diferensial homogen yaitu sebagai berikut 𝑓(𝑥, 𝑦) dapat dikatakan homogen berderajat jika n seperti dibawah ini : 𝑓(𝑎𝑥, 𝑎𝑦) = 𝑎𝑛 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 Pada persamaan diferensial homogen memiliki syarat persamaan seperti diatas, dapat disebut homogen jika 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑎𝑛 𝑁(𝑥, 𝑦) adalah homogen dan derajatnya sama.



Langkah – Langkah Menentukan Persamaan Umum Diferensial Homogen Dalam menentukan persamaan umum diferensial homogen antara lain : 1. Menggunakan transformasi 𝑦 = 𝑢𝑥 → 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑥 , atau dapat juga menggunakan 𝑥 = 𝑢𝑦 → 𝑑𝑦 = 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑢 𝑑𝑢 2. Solusi umum persamaan diferensial homogen dapat diperoleh dengan menggunakan aturan diferensial terpisah 𝑦 3. Menggunakan transformasi seperti mengganti 𝑢 = 𝑥 dengan 𝑦 = 𝑢 𝑥 dan 𝑥



𝑢 = 𝑦 . Sedangkan jika menggunakan transformasi x maka seperti berikut 𝑥 = 𝑢 𝑦 . transformasi ini dipergunakan untuk mendapat variabel semula



Contoh soal dan penyelesaian Buktikan bahwa persamaan dibawah ini adalah persamaan homogen! 1) 𝑦 ′ =



𝑥 2 +𝑦 2 𝑥𝑦 3



39



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Pembahasan : 1) 𝑦 ′ =



𝑥 2 +𝑦 2 𝑥𝑦 2



3



→ 2



𝑑𝑦 𝑑𝑥



=



𝑥 2 +𝑦 2 𝑥𝑦 2



2



𝑥𝑦 𝑑𝑦 − (𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑥 = 0 •



Fungsi M (x,y) dx M (x,y) dx = -x2-y2 →= -a2x2 – a2y2 = a2 (- x2 – y2) M (ax,ay) = a2[M(x,y)]



•



Fungsi N (x,y) dy N (x,y) dy = xy3 →



= axa2y2 = a2 (xy3)



N (ax,ay) = a2[N(x,y)



•



Didapatkan a2, maka TERBUKTI persamaan diferensial diatas merupakan persamaan diferensial homogen berderajat 2



•



PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK HOMOGEN Persamaan diferensial tak homogen merupakan persamaan linier, namun tidak homogen. Contoh bentuk persamaan diferensial seperti berikut :



(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐)𝑑𝑥 + (𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑟)𝑑𝑦 = 0



Dapat dilihat bahwa a,b,c,p,q,r merupakan konstanta dari contoh tersebut, dengan begitu terdapat beberapa tipe yang mungkin terjadi, yaitu :



𝑎 𝑏 𝑐 = = =𝑎 𝑝 𝑞 𝑟 Pada hal seperti ini langkah – langkah penyelesaian dapat diketahui sebagai berikut ini Diketahui seperti diatas maka dengan itu menggunakan transformasi px + qy +r = u yang berarti bahwa ax + by + c = a u



40



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Setelah itu membentuk persamaan tereduksi menjadi persamaan dengan variabel terpisah dan kemudian dapat terselesaikan.



𝑎 𝑏 𝑐 = ≠ 𝑝 𝑞 𝑟 Pada hal seperti ini langkah – langkah untuk penyelesaian dapat diketahui sebagai berikut Dalam hal ini dapat menggunakan transformasi px + qy = u dan dapat diketahui dari hal tersebut bahwa berarti 𝑑𝑦 = 𝑎



𝑑𝑢−𝑞 𝑑𝑦 𝑞



atau juga 𝑑𝑥 =



𝑑𝑥−𝑞 𝑑𝑦 𝑝



𝑏



Misalkan 𝑝 = 𝑞 = 𝛽 maka ax + by = 𝛽 u Setelah itu mengubah persamaan tereduksi menjadi persamaan variabel terpisah 𝑑𝑢−𝑝 𝑑𝑥



(𝛽 𝑥 + 𝑐)𝑑𝑥 + (𝑢 + 𝑟) (



𝑞



) = 0 atau dapat pula (𝛽𝑥 + 𝑐) (



𝑑𝑢−𝑝 𝑑𝑥 𝑞



)+



(𝑢 + 𝑟)𝑑𝑦 = 0 Dalam menyelesaikan persamaan variabel terpisah ini setelah mengganti x = px + qy agar bisa menyelesaikan solusi umumnya.



𝑎 𝑏 ≠ 𝑝 𝑞 Pada hal seperti ini langkah – lagkah penyelesaian dapat diketahui sebagai berikut Penyelesaian dapat dilakukan menggunakan cara transformasi seperti dibawah ini 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 𝑢 → 𝑎 𝑑𝑥 + 𝑏 𝑑𝑦 = 𝑑𝑢 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 𝑣 → 𝑝 𝑑𝑥 + 𝑞 𝑑𝑦 = 𝑑𝑣



•



PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK Persamaan diferensial eksak atau yang biasa disebut persamaan diferensial total adalah salah satu jenis persamaan diferensial biasa yang sering difungsikan dalam ilmu fisika dan teknik. 1. Bentuk umum persamaan diferensial biasa orde pertama



41



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



2. Dalam beberapa kasus fungsi f(x,y) di sebelah kanan persamaan dapat dituliskan



Definisi persamaan eksak •



Persamaan diferensial



Disebut persamaan eksak jika ada fungsi kontinyu u(x,y)



Cara menentukan fungsi kontinyu u(x,y) Teorema (kondisi persamaan eksak) ▪



Persamaan M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 Adalah eksak jika dan hanya jika 𝜕𝑀 𝜕𝑁 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥



▪



Buktikan bahwa M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0. Kemudian apakah ada fungsi kontinyu u(x,y) dengan menggunakan persaman diferensial 𝑑𝑢 =



▪



𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦



Bandingkan dengan persamaan 2



42



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝑀 𝑑𝑎𝑛 =𝑁 𝜕𝑥 𝜕𝑦



▪



Persamaan diturunkan terhadap y dan x, maka 𝜕 2𝑢 𝜕𝑀 𝜕 2𝑢 𝜕𝑁 = 𝑑𝑎𝑛 = 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥



▪



u(x,y) kontinyu jika 𝜕 2𝑢 𝜕 2𝑢 = 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦



▪



Maka didapatkan 𝜕𝑀 𝜕𝑁 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥



43



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



II. 5.



KATEGORI PERSAMAAN DIFFERENSIAL



A. Persamaan Differemsial dan Kategorinya Persamaan diferensial memiliki kategori yang luas. Kita akan berhadapan dengan persamaan diferensial biasa - persamaan fungsi satu variabel dan turunanturunannya, trigonometri. Persamaan diferensial biasa lebih mudah dipahami dan diselesaikan dibandingkan persamaan diferensial parsial, yaitu persamaan relasi fungsi dengan lebih dari satu variabel. Dibawah ini adalah contoh persamaan diferensial biasa.



Di bawah ini adalah contoh persamaan diferensial parsial.



Persamaan pertama di dalam contoh diatas adalah persamaan orde pertama. Persamaan kedua adalah persamaan orde kedua. Derajat dari sebuah persamaan adalah angka pangkat pada suku dengan turunan tertinggi. Misalnya, persamaan di bawah ini adalah persamaan orde ketiga, derajat kedua.



44



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Persamaan diferensial linier apabila derajat dan orde dari fungsi dan semua turunannya bernilai 1. Jika tidak, persamaan tersebut adalah sebuah persamaan diferensial nonlinier. Persamaan diferensial linier harus mendapat perhatian khusus karena solusinya dapat dijumlahkan dalam kombinasi linier untuk membentuk solusinya berikutnya. Di bawah ini adalah contoh persamaan diferensial linier.



Di bawah ini adalah contoh persamaan diferensial nonlinier. Persamaan pertama disebut nonlinier karena mengandung fungsi sinus.



Jumlah konstanta ini biasanya sama dengan orde persamaan tersebut. Dalam penggunaannya, konstanta-konstanta ini biasanya diberi kondisi awal: nilai fungsi dan turunannya pada Kondisi awal ini diperlukan untuk mencari solusi particular



dari sebuah persamaan diferensial yang jumlahnya biasanya sama dengan orde 45



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



persamaan tersebut.



Persamaan ini adalah persamaan diferensial linier orde kedua. Solusi umumnya mengandung dua konstanta tak tentu. Untuk mencari nilai kedua konstanta ini, kita memerlukan kondisi awal pada x(0) dan x'(0). Kondisi awal yang biasa dipakai adalah nilai pada x=0 , tetapi tidak ada keharusan untuk itu. Kita jugaakan mendiskusikan cara mencari solusi partikular dari kondisi awal lain.



Persamaan linier orde pertama. Di dalam bagian ini, kita akan mendiskusikan cara penyelesaian persamaan diferensial orde pertama, baik secara umum maupun pada kasus khusus dimana beberapa suku harus dijadikan nol. Andaikan y = y(x), p(x), dan q(x) sebagai fungsi dari x.



dy/dx + p(x)y=q(x)



Kasus p(x) = 0. Dengan teorema fundamental kalkulus, integral dari turunansebuah fungsi adalah dirinya sendiri. Kita bisa langsung mengintegralkannya untuk mendapatkan jawaban. Ingat bahwa perhitungan dari sebuah integral tak tentu menghasilkan sebuah konstanta tak tentu.



y(x) = [ Q(x)dx



Kasus q(x) = 0. Bisa menggunakan teknik pemisahan variabel. Pemisahan variabel secara intuitif meletakkan masing-masing variabel pada sisi persamaan yang berbeda. Misalnya, kita memindahkan semua suku y di satu sisi dan suku x 46



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



di sisi lain. Kita bisa memperlakukan da dan dy di dalam turunan sebagai sebuah suku yang bisa dipindah-pindahkan, tetapi ingat selalu bahwa suku ini hanya sebuah ringkasan dari sebuah perhitungan yang menggunakan aturan rantai. Sifat nyata dari objek ini, yang dinamakan diferensial.



Pertama-tama, pindahkan tiap variabel yang berbeda pada sisi persamaan berlawanan



Integralkan kedua sisi. Proses integral akan menghasilkan sebuah konstanta tak tentu pada kedua sisi, tetapi kita bisa menggabungkan keduanya pada sisi kanan



Pada langkah terakhir, kita menggunakan hukum eksponensial e^a+b = e^a e^b dan mengganti dengan karena suku ini adalah sebuah konstanta tak tentu.



47



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Jika y = cxn dengan c dan n konstanta real , maka dy/dx = cn xn-1contoh y = 2x4 maka dy/dx = 4.2x4-1 = 8x3 kadang ada soal yang pakai pangkat pecahan atau akar y = 2√x = 2x1/2 turunannya adalah 1/2.2 x (1/2-1) = x -1/2 = 1/√x



Jika y = c dengan c adalah konstanta maka dy/dx = 0 contoh jika y = 6 maka turunannya adalah sama dengan nol (0)



Jika y = f(x) + g(x) maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masingfungsi = f'(x) + g'(x) contoh y = x3 + 2x2 maka y‟ = 3x2 + 4x y = 2x5 + 6 maka y‟ = 10x4 + 0 = 10x4



Turunan Perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x) maka y‟ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x) contoh



y = x2 (x2+2) maka f(x) = x2 f'(x) = 2x g(x) = x2+2 g'(x) = 2x Masukkan ke rumus y‟ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x) y‟ = 2x (x2+2) + 2x . x2 y‟ = 4x3 + 4x



48



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Persamaan Diferensial Biasa Jika hanya ada satu peubah bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Contoh PDB adalah sebagai berikut:



Sedangkan jika persamaan memuat dua atau lebih peubah bebas, maka disebutPersamaan Diferensial Parsial (PDP). Misalkan :



Bentuk persamaan diferensial biasa : 𝑑𝑦



f(x,y)



𝑑𝗑



di mana solusi atau penyelesaian dari PD tersebut merupakan suatu fungsi eksplisit * = 2(3) bentuk persamaan diferensial orde n : •



yn = f (x,y,y1,yII,… … yn-1)



yang menyatakan adanya keterkaitan antara peubah bebas x dan peubah tak bebas y beserta turunan-turunannya dalam bentuk persamaan yang identic nol. Beberapa buku menuliskan persamaan ini dalam bentuk : f(x,y,y1,yII, … … yn-1, yn) = 0 Order dari persamaan diferensial adalah order tertinggi dari turunan yang ada dalam persamaan. Misalkan 49



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



𝑑𝑦



+ 2 xy = sin x 𝑑𝑥



Adalah persamaan diferensial order satu, sedangkan 𝑑2 𝑦



+y=0 𝑑𝑥2



Merupaka persamaan diferensial order dua.



Penyelesaian Persamaan Differensial Biasa Masalah kita selanjutnya adalah bagaimana menemukan penyelesaian PDB, yaitu suatu fungsi y(x) yang memenuhi PDB tersebut. Definisi: suatu fungsi y(x) yang didefinisikan pada suatu interval disebut penyelesaian PDB jika secara identic memenuhi persamaan (3) pada interval yang diberikan. Contoh 1: Fungsi y = kex adalah penyelesaian persamaan diferensial 𝑑𝑦 = 𝑦 pada interval 𝑑𝑥 −∞ < 3 < ∞, Jadi jika disubstitusikan ke dalam persamaan diperoleh kex=kex, yangberlaku untuk semua x. Tidak semua penyelesaian PDB dapat disajikan secara eksplisit seperti contoh 1. Beberapa kasus ditemukan penyelesaian yang disajikan dalam bentuk implisit, seperti pada contoh 2 berikut :



Contoh 2 :



50



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



jadi solusi umum PDB : 𝑑𝑦 + = 0 adalah y = e-x.c 𝑑𝑥



51



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Masalah Nilai Awal.



Misalkan kita akan mencari penyelesaian dari y = y(x) dari PDB orde Satu. Y1 = f (x,y) Yang memenuhi y(xo) = yo Contoh : a.



Sehingga solusi umum PDB dengan syarat awal :



52



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



53



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



54



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



55



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Persamaan Diferensial Parsial Persamaan diferensial parsial dijumpai dalam kaitan dengan berbagai masalah fisik dan geometris bila fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah bebas. Tidak berlebihan jika dikatakan bahwa hanya sistem fisik yang paling sederhana yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa mekanika fluida dan mekanika padat, transfer panas, teori elektromagnetik dan berbagai bidang fisika lainnya penuh dengan masalah-masalah yang harus dimodelkan dengan persamaan differensial parsial. Yang sesungguhnya, kisaran penerapan persamaan diferensial parsial sangatlah besar, dibandingkan dengan kisaran penerapan persamaan diferensial biasa. Peubah-peubah bebas dapat berupa waktu dan satu atau lebih koordinat di dalam ruang. Bab ini akan ditujukan untuk beberapa persmaan diferensial parsial paling penting yang dijumpai di dalam penerapan rekayasa. Kita akan menurunkan persamaan itu sebagai model dari sistem fisik dan mengupas cara-cara untuk memecahkan masalah nilai awal dan masalah nilai batas, dengan kata lain metode untuk memperoleh solusi bagi persamaan yang berkaitan dengan masalah fisik yang dihadapi. Di dalam pasal 11.1, kita akan mendefinisikan pengertian solusi persamaan diferensial Parsial. Pasal 11.2 – 11.4 akan ditujukan untuk persamaan gelombang berdimensi-satu, yang mengatur gerak seutas dawai yang bervibrasi. Persamaan panas akan dibahas dalam pasal 11.5 dan 11.6; persamaan gelombang berdimensi- dua (membran bervibrasi) dalam pasal 11.7 – 11.10, dan persamaan 56



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Laplace dalam pasal 11.11 dan 11.12.



Di dalam pasal 11.13 dan 11.14 kita akan melihat bahwa persamaan diferensial parsial dapat juga dipecahkan melalui transformasi Lapace (lihat Bab 5) atau transformasi Fourier (lihat pasal 10.10-10.12). Metode numerik untuk persamaan diferensial parsial akan disajikan dalam pasal 20.4-20.7. Prasyarat untuk Bab ini: persamaan diferensial biasa (Bab 2) dan deret Fourier (Bab 10). Pasa-pasal yang dapat dilewati untuk kuliah yang lebih singkat : 11.6, 11.9, 11.10. Konsep-konsep dasar Persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan parsial suatu fungsi (yang diketahui) dengan dua atau lebih peubah bebas dinamakan persamaan diferensial parsial. Ordo turunan tertinggi dinamakan ordo persamaan tersebut. Seperti pada persamaan diferensial parsial biasa, kita katakan bahwa suatu persamaan diferensial parsial linear jika persamaan itu berderajat satu dalam peubah biasanya dan turunan parsialnya. Jika setiap suku persamaan demikian ini mengandung peubah takbebasnya atau salah satu dari turunannya, persamaan itu dikatakan homogen; bila tidak, persamaan itu dikatakan tak homogen. Persamaan diferensial parsial linear orde kedua yang penting



Dalam hal ini c adalah konstanta, t adalah waktu, x y z adalah adalah koordinat Kartesius. Persamaan 4 dengan ( f ≠ 0) adalah tak homogen, sedangkan persamaan-persamaan lainnya homogen. Yang dimaksud dengan solusi suatu persamaan diferensial pada suatu daerah R di dalam ruang peubah (peubah) bebasnya ialah fungsi yang memiliki turunan parsial yang muncul di dalam persamaan itu, yang didefenisikan pada suatu domain mengandung R dan yang memenuhi persamaan itu dimana-mana di dalam R. Ada kalanya orang hanya 57



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



menyaratkan bahwa fungsi tersebut kontinu pada batas daerah R, mempunyai turunanturunan tersebut di dalam interior daerah R, dan memenuhi persamaan itu di dalam interior daerah R.) Secara umum, keseluruhan solusi suatu persamaan diferensial adalah sangat besar. Misalnya, fungsi-fungsi u = x2-y2, u = excos y. u = In (x2 + y2),



Yang berbeda sama sekali satu sama lain, semuanya merupakan solusi bagi (3), sebagai pembaca dapat menverifikasi sendiri. Kita akan melihat nanti bahwa solusi tunggal suatu persamaan diferensial parsial yang berasal dari suatu masalah fisik tertentu akan diperoleh dengan memanfaatkan informasi tambahan dari dari situasi fisik tersebut. Misalnya, sering kali nilai solusi yang diinginkan pada batas domainnya diketahui (“syarat atau kondisi batas”); dalam kasus lain, bila t menyatakan waktu, nilai solusi pada t = 0 adakalanya diberikan (”syarat awal”).



Kita tahu bahwa jika suatu persamaan diferensial biasa bersifat linear dan homogen, maka dari solusi yang diketahui dapat diperoleh solusi-solusi lain melalui superposisi. Pada kasus persamaan diferensial parsial linear, keadaannya sangat serupa. Dan memang, teorema berikut ini berlaku.



Teorema Dasar 1 (Prinsip Superposisi) Jika u1 dan u2 adalah solusi bagi suatu persamaan diferensial parsial homogen linear pada sutu daerah, maka u = c1u1 + c2u2 dengan c1 dan c2 sembarang konstanta, juga merupakan solusi bagi persamaan itu dalam daerah tersebut. Bukti teorema penting ini mudah dan sangat mirip dengan bukti untuk Teorema 1 Pasal 2.1 dan disediakan untuk pembaca. Di dalam pasal berikut, kita akan memulai pembahasan dengan persamaan penting pertama yang dicantumkan pada Teladan 1, yaitu persamaan gelombang berdimensi satu. Istilah ”berdimensi satu” menunjukkan bahwa persamaan itu mengandung hanya satu peubah ruang, yaitu x. Persamaan ini mengatur gerak seutas dawai 58



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



elastik, misalnya dawai biola. Soal-soal Latihan untuk Pasal.



1. Buktikan Teorema Dasar 1 untuk persamaan diferensial ordo-kedua



dalam dua dan tiga peubah bebas. 2. Verifikasi bahwa fungsi-fungsi (6) merupakan solusi bagi ( 3). Verifikasi bahwa fungsi-fungsi berikut merupakan solusi bagi persamaan gelombang (1) untuk nilai konstan c di dalam (1) yang sesuai.



Verifikasi bahwa fungsi-fungsi berikut merupakan solusi persamaan panas (2) untuk nilai konstanta c yang sesuai.



21. Tunjukkan bahwa u(x,y) = v(x + c) + w(x – ct) merupakan solusi bagi



persamaan gelombang (1); dalam hal ini v dan w terdirensialkan dua kali. Verifikasi bahwa u(x,y)= a In(x2 + y2) + b memenuhi persamaan laplce (3) dan tentukan a dan b sedemikian rupa sehingga u memenuhi syarat batas u =0 pada lingkaran x2 + y2 = 4.



22. Tunjukkan bahwa merupakan suatu solusi bagi persamaan Laplace (5). 59



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



23. Tentukan potensial elektrostatik [soluis bagi (5)] antara dua bola konsentrik S1



: √𝑥3 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 dan S2 : 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 bila S1 bertegangan 110 volt sedangkan S2 dihubungkan dengan tanah [0 volt]. 25. Tunjukkan bahwa 𝑢 = 𝑦 − 𝑦 (𝑥2 + 𝑦2) memenuhi persamaan Laplace (3) dan bernilai 0 pada sumbu-x maupun pada lingkaran. (𝑥2 + 𝑦2) = 1



Hubungan dengan persamaan diferensial



biasa Jika suatu persamaan diferensial parsial mengandung turunan terhadap hanya salah satu peubahnya saja, maka kita dapat memecahkannya seperti suatu persamaan diferensial biasa, dengan memperlakukan peubah (-peubah) bebas lainnya sebagai prameter. Pecahkan persamaan berikut jika u merupakn fungsi dua peubah x dan y. Pecahkan persamaan berikut jika u merupakan fungsi dua peubah x dan y.



39. Perlihatkan jika kurva datar z = konstanta dari suatu permuklaan z = (x, y) berupa garis-garis lurus yang sejajar sumbu-x, makla z merupakan solusi bagi persamaan diferensial zx = 0. Berikan beberapa cotoh sebagai ilustrasi. 40. Tunjukkanbahw solusi z=(x,y) bagi yzx – xzy = 0merepresentasikan permukaan benda-benda putar. Berikan contoh ilustrasinya. Petunjuk.



Pemodelan: Dawai Bervibrasi, Persamaan Gelombang Berdimensi- Satu Berbagai persamaan diferensial parsial penting yang pertama, Marilah kita turunkan persamaan yang mengatur vibrasi pada seutas dawai elastis, yang diregangkan sampai panjang L dan diikatkan pada kedua ujungnya. Misalkan 60



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



kemudian dawai itu ditarik dan diganggu dan kemudian dilepaskan pada t = 0 agar bergetar. Masalahnya adalah menentukan vibrasi dawai tersebut, dengan kata lain menentukan penyimpangannya u(x, t) pada sembarang titik x dan waktu t > 0. Bila menurunkan suatu persamaan diferensial yang bersumber pada suatu masalah fiska tertentu, biasanya kita harus menyederhanakan asumsi-asumsi untuk menjamin agar persamaan yang dihasilkan tidak menjadi terlalu rumit. Kenyataan penting telah kita peroleh ketika kita mempelajari persamaan diferensial biasa, dan hal yang sama pun berlaku untuk persamaan diferensial parsial. Pada kasus kita sekarang ini, kita memberlakukan asumsi-asumsi berikut : 1. Massa dawai persamaan satuan panjang adaah konstan (”dawai homogen”) Dawainya elastis sempurna dan tidak memberikan perlawanan terhadap pelengkungan. 2. Tegangan yang disebabkan oleh peregangan dawai itu sebelum pengikatan kedua ujungnya lebih besar diandingkan dengan gaya gravitasi, sehingga yang terakhir ini dapat diabaikan. 3. Dawai itu mengalami gerak tranversal (melintang) kecil pada suatu bidang vertikal; artinya, setip partikel dawai itu bergerak secara vertikal dengan defleksi (penyimpangan) dan kemiringan di setiap titik dawai tetap kecil nilai mutlaknya.



Asumsi-asumsi itu sedemikian rupa sehingga sehingga kita dapat berharap bahwa solusi u(x, t) bagi persamaan diferensial yang diperoleh dapat menerangkan dengan cukup baik vibrasi kecil dawai ”nonideal” yang bermassa kecil dan homogen yang mengalami tegangan besar. Untuk memperoleh persamaan diferensialnya, kita simak gaya-gaya yang bekerja pada suatu bagian kecil dawai tersebut. Karena dawai itu tidak memberi perlawanan terhadap pelengkungan (does not offer resistance to bending), maka tegangan bersifat tangensial terhadap kurva dawai itu pada setiap titik. Misalkan T1 dan T2 adalah tegangan di kedua titik ujng P dan Q dari bagian kecil tersebut. Karena tidak ada gerak dalam arah horisontal, berarti komponen horisontal tegangan ini pasti konstan. Dengan menggunakan notasi, kita memperoleh. T1 cos a = T2 cos B = T = konstanta Pada arah vertikal terdapat dua gaya, yaitu komponen vertikal -T1 sin a dari T1 dan T2 sin β dari T2 ; tanda minus disini berarti bahwa komponen yang bersangkutan di P arah ke bawah. Menurut hukum kedua Newton, resultan kedua gaya tersebut sama dengan massa bagian itu, px, kali percepatannya, 2uI t2 , dihitung pada suatu titik daerah x dan x + Δx; dalam hal ini p adalah massa dawai yang tidak 61



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



terdefleksi persatuan panjang, sedangkan Δx adalah panjang bagian dawai yang tidak terdefleksi persatuan panjang, sedangkan Δx adalah panjang bagian dawai yang tidak terdefleksi.



Dengan menggunakan (1) kita memeperoleh



Sekarang tan a dan tan B adalah kemiringan kurva dawai itu dititik x dan x + 𝞓x :



Di sini kita harus menuliskan turunan parsial sebab u juga tergantung pada t. Pembagian (2) dengan 𝞓x menghasilkan



Jika 𝞓x mendekati nol, kita memperoleh persamaan diferensial parsial linier



Inilah yang dinamakan Persamaan gelombang berdimensi-satu, yang mengatur masalah kita. Kita lihat bahwa persamaan homogen dan berorde dua. Notasi c 2 (alih-alih c untuk konstanta fisik T/p diambil unutuk menunjukkan bahwa konstanta positif. Solusi persamaan ini akan diperoleh dalam pasal berikut.



Persamaan Diferensial Bernoulli Definisi 8.1. Persamaan diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk 62



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Langkah 2. Gunakan langkah PD linier orde satu untuk menyelesaikannya. Langkah 3.Gantilah v dengan transformasi semula untuk mendapatkan penyelesaian umum PD Bernoulli.



Contoh 1 :



Penyelesaian 63



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Dengan Substitusi:



V = y1-n V = y1-3 V = y-2



Diperoleh:



Sehingga penyelesaian umumnya adalah:



Dimana :



Sehingga diperoleh:



64



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Jadi penyelesaian umum PD adalah:



Persamaan Diferensial Riccati Persamaan Riccati berbentuk



Jika y1 adalah fungsi yang memenuhi persamaan Riccati, dapat dibuktikan bahwa dengan substitusi y= y1 + 1/u akan diperoleh PD linier tingkat satu



Dengan penyelesaian umum berbentuk



Secara jelas, jika R (x) = 0, maka persamaan menjadi persamaan Bernoulli. Jika R(x) ≠ 0, penyelesaian umum dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut :



Langkah 1. Jika satu penyelesaian khusus yang sudah diketahui, misal y1= (3), dan karena itu dipunyai



65



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



1



Langkah 2. Disubstitusikan y = u + 𝑧 dengan derivatifnya Kepersamaan Riccati diperoleh:



Diperoleh persamaan diferensial tingkat satu z :



Merupakan persamaan diferensial linier orde 1, dan dapat diselesaikan dengan mencari faktor integrasinya dengan cara yang telah dipelajari sebelumnya. Langkah 3. Setelah solusi didapatkan, substitusikan . Jadi dengan langkah terakhir tadi didapatkan solusi untuk persamaan diferensial Riccati:



66



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Contoh 1 :



Dengan y= 2 adalah penyelesaian khususnya. Penyelesaian : Diketahui suatu penyelesaian khusus y=v(x) = 2 Misalkan :



Sehingga



y=2+



1 𝑧 1



dy = d (2 + ) 𝑧



Diperoleh :



Sehingga diperoleh:



67



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Kalikan PD dengan faktor integrasi :



Jadi, solusi untuk PD :



Contoh 2: Selesaikan PD Riccati dibawah ini



Penyelesaian : Jika y1 = x, maka dengan substitusi



Sehingga penyelesaian umumnya adalah:



68



di peroleh



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Persamaan Diferensial Separabel Dan Reduksi Ke Persamaan Separabel Pada bab ini, kita akan membahas cara menyelesaikan Persamaan Separabel orde satu. Untuk Persamaaan Diferensial Separabel orde satu yang berbentuk 𝑦 ′ = 𝑓 (𝑥), di mana 𝑓 fungsi kontinu dari satu peubah bebas x, maka kita bisa mengintegralkan secara langsung kedua ruas untuk memperoleh penyelesaiannya. Selanjutnya akan dicari penyelesaiaan persamaan diferensial separabel order satu.



Bentuk umum : 𝑑𝑦 𝑑𝑥



= 𝑓(𝑥)..............(1)



Dimana 𝑓 fungsi kontinu dari dua peubah bebas x dan y. Penyelesainnya tidak bisa diperoleh dengan mengintegralkan secara langsung. Untuk meyelesaikan PDB orde satu terdapat beberapa langkah :



Persamaan Diferensial Separabel Dalam mencari penyelesaian umum dari persamaan (1), terlebih dahulu kita pisahkan peubah x dan y, sehingga kita memperoleh fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑝(𝑥)𝑞(𝑦) Persamaan (1) berubah menjadi 𝑑𝑦 𝑑𝑥



= 𝑝(𝑥)𝑞(𝑦)



Atau dapat dituliskan 𝑑𝑦 𝑞(𝑦)



= 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑦



Sehingga∫ 𝑞(𝑦) = ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 maka akan ditemukan solusi umum Pers. Differensial tersebut 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 Contoh 1 : 𝑑𝑦



Selesaikan 𝑑𝑥 = 2𝑒 −𝑦 cos 𝑥 Penyelesaian: dengan memisahkan peubahnya 𝑑𝑦 𝑒 −𝑦



1



= 2 cos 𝑥 𝑑𝑥 → 𝑎𝑏 = 𝑎−𝑏 69



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = 2 cos 𝑥 𝑑𝑥 Integralkan kedua ruas:



Cos2 𝑥 Misalkan :



∫ 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 2 cos 𝑥 𝑑𝑥



Sehingga kita peroleh penyelesaian umumnya adalah 𝑑𝑥



𝑒 𝑦 + 𝐶 = 2 sin 𝑥 + 𝐶



Sehingga : 𝑠i𝑛𝑥 − 𝑑𝑥 =



𝑒 𝑦 = 2 sin 𝑥 + 𝐶



In 𝑒 𝑦 = 𝐼𝑛 |2 sin 𝑥 + 𝐶 |→𝑖𝑛𝑔𝑎𝑡 𝑠𝑖𝑓𝑎𝑡 ∶ log 𝑎𝑏 = 𝑏 log 𝑎 =−



𝑦 In 𝑒 = In|2 sin 𝑥 + 𝐶| 𝑦 = In |2 sin 𝑥 + 𝐶 | Contoh : Selesaikan soal berikut dengan pemisah peubah a.



𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝑥



= 𝑒 𝑥 .𝑒 𝑦



Jawab : 𝑑𝑦 𝑥 = 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑒 𝑒 𝑑𝑦 𝑒 −𝑥 =𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑒 𝑦 𝑒 𝑑𝑦 = 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑦 + 𝐶 = −𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 + 𝑐 𝑒 𝑦 = −(𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑒 −𝑥 ) + 𝐶 y + C = In|−(x𝑒 −𝑥 + 𝑒 −𝑥 )| + In 𝐶 𝑦 = In | − 𝑐(𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑒 −𝑥 )| b. 𝑦𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑦 + sin 𝑥 𝑑𝑥 = 0 Jawab : 𝑦𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑦 = − sin 𝑥 𝑑𝑥 sin 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 = − 𝑑𝑥 cos 𝑥 2 𝑥 sin 𝑥 ∫ 𝑦 𝑑𝑦 = ∫ − 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1 2 1 Ingat : 𝑦 =− +𝐶 2 cos 𝑥 2 𝑦2 = − +𝐶 cos 𝑥 Misalkan : 𝑦 + 2 sec 𝑥 = 𝐶 𝑢 = 𝑥& 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥



70



𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥



Sehingga



1



1 𝑑𝑢 = − + 𝐶 𝑢 1 +𝐶



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



c.



𝑑𝑦 𝑑𝑥



= 𝑥 𝑦 4𝑥



2



Jawab : Langkah 1 dengan memisahkan variabelnya 𝑑𝑦 2 = 𝑥𝑦𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 = 𝑥𝑦𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 Langkah 2 dengan mengintegralkan kedua ruas 1 2 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 1 2 In 𝑦 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 1 𝑥2 +𝐶



𝑒 In 𝑦 = 𝑒 2𝑒



1 𝑥2



𝑦 = 𝐶𝑒 2𝑒 Sehingga solusi Persamaan Diferensial 1 𝑥2



di atas adalah 𝑦 = 𝐶𝑒 2𝑒



Persamaan Diferensial Separabel Definisi Persamaan Diferensial dengan bentuk : 𝐹(𝑥)𝐺(𝑦)𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 0 ......(persamaan 1.1.) disebut persamaan separabel. Secara umum persamaan diferensial separabel tidak eksak, tetapi mempunyai faktor integrasi yang jelas yaitu: 1 𝜇(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝐺(𝑦) sehingga persamaan (1.1.) menjadi 1 1 𝐹(𝑥)𝐺(𝑦)𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦)𝑑𝑦 𝑓(𝑥)𝐺(𝑦) 𝑓(𝑥)𝐺(𝑦) 𝐹(𝑥) 𝑓(𝑥)



𝑔(𝑦)



𝑑𝑥 + 𝐺(𝑦) 𝑑𝑦 = 0......................................(2)



Persamaan (1.2.) merupakan persamaan diferensial eksak, karena 𝜕 𝐹(𝑥) 𝜕 𝑔(𝑦) ( )=0= ( ) 𝜕𝑦 𝑓(𝑥) 𝜕𝑥 𝐺(𝑦) Pada persamaan (2) terlihat jika variabel-variabel x dan y dapat dikelompokkan, maka dari itu penyelesaian pada persamaan (1) adalah 𝐹(𝑥)



𝑔(𝑦)



∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝐺(𝑦) 𝑑𝑦 = 𝐶................................(3)



71



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Contoh : Selesaikan persamaan diferensial (𝑥 − 4)𝑦 2 𝑑𝑥 − 𝑥 3 (𝑦 2 − 3)𝑑𝑦 = 0 𝐹(𝑥) = 𝑥 − 4; 𝐺(𝑦) = 𝑦 2 ; 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 ; 𝑔(𝑦) = 𝑦 2 − 3 1



1



𝜇(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝐺(𝑦) = −𝑥 3𝑦 2 Penyelesaian : Persamaan tersebut adalah persamaan diferensial separabel dengan mengkalikan 1 −𝑥 3 𝑦 2



−



1 −𝑥 3 𝑦 2



sehingga diperoleh :



(𝑥 − 4)𝑦 2 𝑑𝑥 −



1 −𝑥 3 𝑦 2



𝑥 3 (𝑦 2 − 3)𝑑𝑦 = 0



𝑥−4 𝑦2 − 3 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0 𝑥3 𝑦2



−(𝑥 − 4). 𝑥 −3 𝑑𝑥 + (𝑦 2 − 3). 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0 (−𝑥 −2 + 4𝑥 −3 )𝑑𝑥 + (1 − 3𝑦 −2 )𝑑𝑦 = 0 ∫(−𝑥 −2 + 4𝑥 −3 )𝑑𝑥 + ∫(1 − 3𝑦 −2 )𝑑𝑦 ∫ −𝑥 −2 𝑑𝑥 + ∫ 4𝑥 −3 𝑑𝑥 + ∫(1 − 3𝑦 −2 )𝑑𝑦



Ingat definisi Integral : 1



∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑛+1 𝑥 𝑛+1 + 𝐶 ∫ −𝑥 −2 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥 1



= − (−2+1 𝑥 −2+1 ) = −(−1. 𝑥 −1 ) = 𝑥 −1 1



=𝑥



Dengan mengintegralkan maka diperoleh penyelesaian umum 1 𝑥



2



3



− 𝑥2 + 𝑦 𝑦 = 𝐶



Latihan Selesaikan persamaan



72



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



𝑥 sin 𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥 2 + 1) cos 𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝜋



Dengan syarat awal y(1)= 2 Penyelesaian :



Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel 2 karena dengan membagi (𝑥 + 1) sin 𝑦 (FAKTOR INTEGRASI) diperoleh 𝑥 𝑥 2 +1



cos 𝑦



𝑑𝑥 + sin 𝑦 𝑑𝑦 = 0



Dengan mengintegralkan diperoleh 1 2



In(𝑥 2 + 1) + In|sin 𝑦| = In |𝑐|



In(𝑥 2 + 1) + 2 In|sin 𝑦| = 2 In |𝑐| In(𝑥 2 + 1)𝑠𝑖𝑛2 y = In 𝑐 2 (𝑥 2 + 1)𝑠𝑖𝑛2 y = C2 Sehingga solusi umum persamaan diferensialnya adalah (𝑥 2 + 1)𝑠𝑖𝑛2 y = C 𝜋



Dengan memberikan syarat x=1 dan y = 2 diperoleh C=2. Jadi penyelesaian masalah syarat awalnya (𝑥 2 + 1)𝑠𝑖𝑛2 y = 2



Masalah Syarat Awal dan Eksistensi Solusi Persamaan Diferensial Orde Satu Definisi 2.1. Misal persamaan diferensial orde satu dengan bentuk derivatif 𝑑𝑦 𝑑𝑥



= 𝑓(𝑥, 𝑦)



(2.1.) dengan f kontinu pada domain 𝐷𝐶𝑅 2 dan (x0, y0)∈ 𝐷. Masalah mencari penyelesaian ɸ yang terdefinisi pada interval I yang memuat x0 dari persamaan (2.1.) dan memenuhi syarat awal ɸ(x0)=y0 disebut masalah syarat awal dan ditulis sebagai berikut : 𝑑𝑦 𝑑𝑥



= 𝑓(𝑥, 𝑦)



73



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



y(x0)=y0



Contoh 1. Selesaikan masalah syarat awal Persamaan Diferensial biasa berikut ini : 𝑑𝑦 𝑥 =− 𝑑𝑥 𝑦 𝑦(3) = 4 Penyelesaian : 𝑑𝑦 𝑥 =− 𝑑𝑥 𝑦 𝑦 𝑑𝑦 = −𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑦 𝑑𝑦 =− ∫ 𝑥 𝑑𝑥 1 2



1



𝑦2 + 𝐶 = − 2 𝑥2 + 𝐶 1 2 1 2 𝑦 + 𝑥 =𝐶 2 2 1 2 (𝑥 + 𝑦 2 ) = 𝐶 2 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝐶 𝑥2 + 𝑦2 = 𝐶



Persamaan diferensial tersebut mempunyai solusi umum 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝐶....................(1)



Dengan memberikan syarat 𝑦(3) = 4 disubstitusikan pada penyelesaian umum, maka diperoleh 9+16 = C2 atau C2=25. Jadi diperoleh penyelesaian masalah syarat awalnya 2 2 𝑥 + 𝑦 = 25



Teorema2.1. jika persamaan diferensial 𝑑𝑦 𝑑𝑥



= 𝑓(𝑥, 𝑦)



(2.2.)



memenuhi :



74



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Fungsi f kontinu pada domain 𝐷𝐶𝑅 2 𝜕𝑦



Derivatif partial 𝜕𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦) kontinu pada domain D, dan (x0, y0)∈ 𝐷, maka terdapat penyelesaian tunggal ɸ dari persamaan (2.2.) yang terdefinisi pada suatu interval [𝑥0 − ℎ, 𝑥0 + ℎ ] dimana h cukup kecil dan memenuhi syarat ɸ(𝑥0) = 𝑦0.



LATIHAN 1. Selesaikan PDB dengan masalah MNA berikut a.



𝑑𝑦 𝑑𝑥



+ 𝑥𝑦 − 𝑥 = 0, 𝑦(1) = 2



b. 𝑦 + 𝑦 sin 𝑥 = 0, 𝑦(𝜋) = 1 c. 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑒 −𝑥 𝑑𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1 d.



𝑑𝑃 𝑑𝑡



+ 𝑃 = 𝑃𝑡𝑒 𝑡 𝜋



e. sin 2𝑥 𝑑𝑥 + cos 3𝑦 𝑑𝑦 = 0, 𝑦 ( 2 ) = f. 𝑦 =



𝑒 −𝑥 −𝑒 𝑥 3+4𝑦



𝜋 3



, 𝑦(0) = 1



2. Selesaikan masalah syarat awal 2 − 𝑒𝑥 𝑦= , 𝑦(0) = 0 3 + 2𝑦 Dan tentukan letak solusi dalam mencapai nilai maksimumnya



II. 6.



Persamaan Diferensial Eksak Dan Faktor Integrasi



A. Persamaan Diferensial Eksak Merupakan persamaan diferensial total, misalkan F fungsi dua variabel yang memiliki derivatif partial orde satu kontinu pada Domain D. Diferensial total dF dari fungsi F di definisikan: 𝒅𝑭(𝒙, 𝒚) =



𝝏𝑭(𝒙,𝒚) 𝝏𝒙



𝒅𝒙 +



𝝏𝑭(𝒙,𝒚) 𝝏𝒚



Untuk setiap (x, y) ∈D Contoh : F fungsi dua variabel dengan rumus : F(x,y) = xy3 + sin (x+y2) 75



𝒅𝒚



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Maka memiliki diferensial total : dF (x,y) = (y3 + cos (x+y2))dx + (3xy2 + 2ycos(x+y2))dy Bentuk pers. Diferensial eksak : M (x , y)dx + N (x, y)dy Disebut diferensial eksak pada domain D apabila terdapat fungsi dua variabel F sehingga diferensial di atas merupakan diferensial total F untuk setiap (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷. Dengan kata lain terdapat fungsi F sehingga 𝑀(𝑥, 𝑦) dan



𝜕(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦



𝜕𝐹(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥



=



= 𝑁(𝑥, 𝑦).



Apabila M (x , y)dx + N (x, y)dy merupakan diferensial eksak, maka persamaan diferensial orde satu 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 disebut persamaan diferensial eksak.



Teorema



1,



misalkan



persamaan



𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0(pers. 1), jika 𝑀(𝑥, 𝑦) =



diferensial



𝜕𝐹(𝑥+𝑦) 𝜕𝑥



𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 +



dan 𝑁(𝑥, 𝑦) =



𝜕𝐹(𝑥+𝑦) 𝜕𝑦



memiliki sifat derivatif parsial orde satu kontinu pada D. Persamaan diferensial eksak pada D jika dan hanya jika 𝝏𝑭(𝒙+𝒚) 𝝏𝒚



=



𝝏𝑭(𝒙+𝒚) 𝝏𝒙



Bukti : Jika persamaan diferensial (persamaan 1) adalah eksak, maka terdapat suatu fungsi diferensial 𝑓(𝑥, 𝑦) sehingga 𝑑[𝑓(𝑥, 𝑦)] = 0. Dipunyai : 𝑴(𝒙, 𝒚) =



Teorema



2,



𝝏𝑭(𝒙+𝒚) 𝝏𝒙



dan 𝑵(𝒙, 𝒚) =



misalkan



persamaan



𝝏𝑭(𝒙+𝒚) 𝝏𝒚



diferensial



𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 +



𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 eksak pada D fungsi dua variabel F memenuhi : 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑎𝑛



𝜕𝐹(𝑥+𝑦) 𝜕𝑦



𝜕𝐹(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥



=



= 𝑁(𝑥, 𝑦) untuk setiap (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, maka penyelesaian



umum persamaan diferensial eksak tersebut adalah 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝐶 dan C Konstanta sembarang. 𝑭(𝒙, 𝒚) = ∫ 𝑴(𝒙, 𝒚) 𝒅𝒙 = 𝒇(𝒙, 𝒚) + 𝒉(𝒚)



76



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Eksak adalah sebagai berikut : 1. Menuliskan Persamaan Diferensial dalam bentuk diferensial : 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 2. Tes keeksakan Persamaan Diferensial, apakah 𝝏𝑴(𝒙+𝒚) 𝝏𝒚



=



𝝏𝑵(𝒙+𝒚) 𝝏𝒙



3. Misal eksak , integralkan𝑀(𝑥, 𝑦) terhadap x atau 𝑁(𝑥, 𝑦) terhadap y. Misal dipilih 𝑀(𝑥, 𝑦) maka 𝑭(𝒙, 𝒚) = ∫ 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝒉(𝒚) 4. Menurunkan 𝐹(𝑥, 𝑦) terhadap 𝑦 dan samakan hasilnya dengan 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝑵(𝒙, 𝒚) =



𝝏 (∫ 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙) + 𝒉(𝒚) 𝝏𝒚



5. Mengintegralkan ℎ′(𝑦) untuk memperoleh ℎ(𝑦) 6. Menuliskan penyelesaian umum dan bentuk implisit : 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝑪 7. Menentukan nilai C jika diberikan masalah syarat awal



LATIHAN 1. Selesaikan persamaan diferensial berikut! (2𝑥 2 + 5𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (3𝑥 2 + 2𝑦)𝑑𝑦 = 0 2. Selesaikan masalah syarat awal : (3𝑥 cos 𝑦 + 2𝑥 2 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦 3 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0 dengan y(0)=2 3. Selesaikan Persamaan Diferensial (2𝑥 2 𝑦 2 − 𝑥)𝑑𝑦 + (2𝑥𝑦 3 − 𝑦)𝑑𝑥 = 0 4. Tentukan masalah syarat awal berikut! (𝑦 3 + cos (𝑥 + 𝑦 2 ))𝑑𝑥 + (3𝑥𝑦 2 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦 2 ))𝑑𝑦, 𝑦(0) = 1 5. Pilih dari persamaan-persamaan berikut yang eksak dan selesaikan! a. (𝑥 2 − 𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0 b. 𝑦(𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0 1



c. 𝑑𝑥 − (𝑎2 − 𝑥 2 )2 𝑑𝑦 = 0 d. (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0



77



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



1



1



e. (4𝑥 3 𝑦 3 + 𝑥) 𝑑𝑥 + (3𝑥 4 𝑦 2 − 𝑦) 𝑑𝑦 = 0 B. PERSAMAAN DIFERENSIAL NON ESKAK Dalam persamaan diferensial bentuk



M ( x,y )dx + N ( x,y )dy = 0



(1) Yang memenuhi persamaan diferensial eksak. Apabila syarat awal persamaan diferensial eksak tidak terpenuhi dimana



≠N ( x,y )dx



M ( x,y )dy



Maka perlu adanya faktor tambahan yang biasa disebut dengan faktor integrasi. x 1



u ( x )= e ∫ P ( x ) dx, dimana P (x ) = M (x ,,y) { 1



atauP (x ) = N (x ,,y) {



GM (x ,,y) GN (x xG) − Gx , j Gy



GN (x ,,y) GM (x ,,y) − Gy } Gx du



atau dx =



My - N x N



.} u



sehingga bentuk persamaan (1) akan berubah menjadi : u ( x )M ( x,y )dx + u ( x )N ( x,y )dy = 0 untuk langkah mencari solusi umumnya sama dengan PD eksak.



CONTOH 1 : Selesaikan persamaan diferensial berikut Ydx + 2xdy = 0



(1)



Jawab : Jika dilihat dari bentuk persamaan diferensial tersebut mengarah ke persamaan diferensial eksak bentuk: M (x,y)dx + N(x,y)dy = 0



78



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Tetapi untuk menguji persamaan diatas eksak atau bukan harus memenuhi syarat awal ydx + 2xdy = 0 GM (x,y)/ Gy = 1 dan GN (x,y ) / Gx = 2 karena GM (x,y) / Gy = GN ( x,y ) / Gx Maka perlu adanya faktor integrasi u ( x ) = e|P (x)dx dimana P (x) = 1/2x (1-2) = 1/2x



sehingga u (x) = e|-1/2x dx



Ein x -1/2 = x-1/2 sehingga persamaan (1) di ubah menjadi :



x-1/2 ydx + x-1/2 2xdy =0 Setelah menemukan faktor integrasi lakukan uji ulang untuk membuktikan eksak atau bukan.



CONTOH 2 : Selesaikan persamaan diferensial (3xy + y2 )dx + (x2 + xy )dx = 0



Apakah merupakan persamaan diferensial eksak ? A. Jika ya tentukan solusi umumnya B. Jika tidak carilah faktor integrasiya C. Tentukan solusi umum dari PD di atas



Jawab :



A. GM (x,y) / Gy atau My = 3x + 2y dan GN ( x,y ) / Gx atau Nx = 2x + y karena GM ( x,y ) / Gx = GN (x,y) / Gx



79



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Maka perlu adanya faktor integrasi u(x) = e|P(x)dx B. Faktor integrasi : du/dx = My – Nx/N.u du/dx = 3x +2y – 2x – y / x2 + xy . u du/dx = x + y / x(x+y).u du/dx = 1/x.u 1/u du = 1/x.u In u = 1/x dx ein u = ein x u(x) = x



C. Faktor integrasi u(x) dikalikan ke bentuk persamaan diferensial awal : x ( 3xy + y2 )dx + x(x2 + xy )dy = 0 (3x2y + xy2 )dx + (x3 + x2y )dy = 0 Kita uji ke eksakkannya : M ( x,y ) = 3x2y + xy2 → My = 3x2 + 2xy N (x,y ) = x3 + x2y → Nx +3x2 + 2xy



Sehingga diperoleh : My = Nx Solusi umum : F ( x,y ) = C F (x,y) = | M (x,y)dx + h(y)



Diperoleh : F ( x,y ) = | ( 3x2y +xy2 )dx + h(y) F ( x,y ) = x3y + ½ x2y2 + h(y)



turunkan : dF (x,y)/dy = N (x,y) x3 + x2y + dh(y)/dy = x3 + x2y dh(y)/dy = 0



80



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



dh(y)



= 0.dy



| dh(y) = C h(y)



=C



Maka solusi umum PD : x3y + ½ x2y2 + C = C x3y + ½ x2y2 = C



LATIHAN SOAL 𝑦



1. (𝑥 + 6𝑥) 𝑑𝑥 + (In𝑥 − 2)𝑑𝑦 = 0 untuk x > 0 1



2. 𝑥 3 𝑦 3 𝑑𝑥 + 𝑥(1 + 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0 dimana 𝜇(𝑥) = 𝑥𝑦 3 3. Tentukan 𝑁(𝑥, 𝑦) sehingga (𝑥𝑦 − 𝑦 2 + 𝑥)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 eksak. 4. Tunjukkan bahwa Persamaan Diferensial 2𝑥𝑦𝑑𝑦 + (3𝑥 + 2𝑦 2 )𝑑𝑥 = 0 adalah non eksak. Kemudian tentukan faktor integrasinya sehingga Persamaan Diferensial tersebut menjadi eksak dan selesaikan. 5. Selesaikan Persamaan Diferensial 𝑑𝑦 cos 𝑦 = 𝑑𝑥 𝑥 sin 𝑦 − 𝑦 2 Sumber :Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd. 2018. Modul Pengantar Diferensial Elementer dan Penerapannya



C. Orde Dan Derajat Persamaan Diferensial Persamaan differensial (Ordinary Differential Equation) diartikan sebagai suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari satu variable tak bebas terhadap satu atau lebih variable bebas. RUMUS UMUM:



Di dalam persamaan differensial dapat di bagi menajadi dua jenis yaitu persamaan differensial biasa (PDB) dan Persamaan Differensial Parsial (PDP). Berikut penjelasan dari masing masing-masing jenis Persamaan Differensial : •



Persamaan Differansial Biasa (PDB) adalah persamaan differensial yang mengandung hanya satu variable bebas. Mengenai pengaplikasian PDB ini 81



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



yaitu biasa digunakan pada permodelan analisa rangkaian listrik dan permodelan analisa kinematika hokum Newton. Contoh:



•



Persamaan Differensial Parsial (PDP) adalah persamaan differensial yang mengandung lebih dari satu variable bebas. Dalam pengaplikasiannya yaitu digunakan pada permodelan persamaan getaran atau gelombang satu dimensi dan permodelan matematis konduksi panas.



Contoh:



Istilah-istilah dalam persamaan differensial yaitu: • •



Orde (tingkat) persamaan differensial adalah pangkat tertinggi turunan yang muncul pada persamaan differensial tersebut. Degree (derajat) persamaan differensial adalah bentuk polynomial (suku banyak) yang terdapat pada turunan tingkat tertinggi dan muncul pada persamaan differensial tersebut.



D. Persamaan Diferensial Orde 1



82



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap x. Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan tersebut.



A. persamaan diferensial orde 2 derajat 1



B. persamaan diferensial orde 2 derajat 3.



C. persamaan diferensial orde 2 derajat 4.



a. Bentuk Persamaan Umum PD linier orde 2 Bentuk umum persamaan diferensial linier orde 2 adalah : Y’’ =p(x) y’+g(x) y=r(x) 83



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



dimana p(x) dan g(x) disebut konstanta. Bila variabel bebas dan turunan-turunannya mempunyai pangkat tertinggi sama dengan 1, maka persamaan differensial tersebut adalah persamaan differensial linier. E. Bentuk Persamaan Umum PD linier orde 2 homogen



• • • • • •



Perhatikan kembali persamaan berikut ini : y” + p(x)y’ + g(x)y = r(x) Jika r(x) bernilai nol [r(x) = 0], maka persamaan tersebut dinamakan persamaan differensial homogen, karena tiap sukunya mengandung variable y atau turunannya. Tetapi jika r(x) tidak sama dengan nol, maka persamaan tersebut dinamakan persamaan differensial tak homogen, karena ada suku yang tidak bergantung y atau turunannya. Persamaan differensial linier homogen orde kedua selalu mempunyai dua solusi dasar u1(x) dan u2(x), yang berdiri sendiri atau tidak bergantung satu sama lain.[3] Solusi Persamaan differensial homogen dinyatakan dalam bentuk kombinasi linier dari dua solusi y1 dan y2: y = c1y1+c2y2 Bukti bahwa bentuk kombinasi linier dari y1 dan y2 dalah benar solusi dari persamaan differensial homogen dapat diperoleh dengan cara mensubstitusikan persamaan y = c1y1+c2y2 ke dalam persamaan y” + p(x)y’ + g(x)y = 0 : y” + p(x)y’ + g(x)y = 0 (c1y1+c2y2)” + p(x)(c1y2+c2y2)’ + g(x)(c1y1+c2y2) =0 c1y1”+ c2y2”+ p(x) c1y1’+ p(x) c2y2’+ g(x) c1y1+ g(x) c2y2 =0 c1(y1”+ p(x) y1’+ g(x) y1) + c2(y2”+ p(x)y2’+ g(x)y2) = 0 c1(0) + c2(0) = 0 0=0 Solusi Persamaan differensial orde kedua dapat dinyatakan dalam dua bentuk yaitu solusi umum (jika koefisien c1 dan c2 berupa sembarang konstanta) dan solusi khusus (jika koefisien c1 dan c2 berupa angka spesifik).[4]



b. Bentuk umum persamaan diferensial linear sebagai berikut:



84



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



dengan F adalah suatu fungsi real dalam (n + 2) argumen-argumen x, y,



. Notasi (1.3) menyatakan hubungan antara variabel bebas x dan variabel terikat (dependent variable) y dan berbagai variasi turunanturunannya. Persamaan diferensial linear (linear differential equation) dalam variabel bebas x dan variabel terikat y sering ditulis dalam bentuk



Persamaan diferensial tak linear (non linear differential equation) adalah persamaan diferensial yang tidak linear. Sebagai contoh



merupakan persamaan diferensial linear dan merupakan persamaan diferensial tak linear



Orde persamaan diferensial adalah tingkat dari turunan tertinggi yang termuat dalam persamaan tersebut. Persamaan diferensial (1.3) dan (1.4) adalah persamaan diferensial orde-n sebab turunan tertinggi yang terlibat dalam persamaan (1.3) dan (1.4) adalah turunan ke-n, contoh lain: persamaan diferensial pada contoh 1, 3 dan 6 orde satu (orde-1); 2, 5, dan 7 orde-2, dan 4 orde-3. Derajat atau pangkat atau tingkat persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan tertinggi pada persamaan diferensial tersebut.



85



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Persamaan diferensial pada notasi umum (1.4) berderajat-1. Contoh lain: persamaan diferensial pada Contoh 1, 2, 3, dan 4 berderajat satu (berderajat1) dan Contoh 5 berderajat-2. . Di samping itu, persamaan diferensial ada yang disebut homogen (homogeneous) dan tak homogen (non homogeneous). Pada persamaan (1.4) bila b(x) = 0 merupakan persamaan diferensial linear homogen dan bila b(x) 0 merupakan persamaan diferensial linear tak homogen. Persamaan diferensial



adalah persamaan diferensial linear orde-1 homogen dan



adalah persamaan diferensial linear orde-1 tak homogen. Contoh lain: pada Contoh 2 adalah persamaan diferensial homogen dan Contoh 1, 3, 4, dan 5 adalah tak homogen. Kepentingan utama mempelajari persamaan diferensial adalah mencari penyelesaian atau solusi persamaan diferensial tersebut. Apa makna solusi persamaan diferensial? Pada dasarnya suatu solusi persamaan diferensial adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial tersebut. F. Definisi (solusi persamaan diferensial) Perhatikan persamaan diferensial orde-n dalam bentuk (1.3). Suatu fungsi real f yang didefinisikan pada semua x dalam interval real I dan memiliki suatu turunan ke-n (dan juga semua turunan tingkat lebih rendah) untuk semua x I. Fungsi f disebut solusi (1.3) pada I jika memenuhi dua syarat:



untuk semua Yakni, subtitusi f(x) dan berbagai turunannya untuk y dan berturut-turut turunan-turunan yang berkaitan menghasilkan (1.3) pada suatu kesamaan (identity) pada interval I Contoh:



86



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



II. 7.



Menemukan Pers Differensial



A. Pembentukan Persamaan Diferensial Contoh 1 : Y = A.Sin x + B cos x → bentuklah PD nya.A dan B konstanta sembarang. Jawab : dy/dx = A.cos x – B sin x d2y/dx2 = - A sin x B cos x d2y/dx2 = -( A sin x + B cos x ) jadi :



d2y/dx2 = - y atau d2y/dx2 + y = 0



Contoh 2 : Bentuklah persamaan deferensial dari fungsi : y = x + A/x Jawab : dy/dx = 1 - Ax-2 dy/dx = 1 – A/x2 jika : y = x + A/x maka A = x ( y- x ) dy/dx = 1 – x.( y – x ) / x2 = 1 – ( y – x ) / x = x – ( y – x ) / x = 2x – y / x



87



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



dy/dx = 2x – y / x atau x.dy/dx = 2x – y



Kesimpulan : ➔ Jika suatu persamaan terdiri dari atas 1 konstanta sembarang menghasilkan pd orde i ➔ Jika suatu persamaan terdiri dari atas 2 konstanta sembarang menghasilkan pd orde ii



Contoh 3 : Persamaan y = Ax2 + Bx bentuk PD-nya. Jawab : dy/dx



= 2 Ax + B ….(1)



d2y/dx2 = 2 A



A = 1/2 d2y/dx2



A = 1/2 d2y/dx2 dimasukan ke pers (1)



dy/dx = 2x.{1/2.d2y/dx2}+B dy/dx = x d2y/dx2 + B B = dy/dx -d2y/dx2 x Harga A dan B dimasukan ke soal, Y = Ax2 + Bx = 1/2 d2y/dx2 x2 + { dy/dx – d2y/dx2.x }x = 1/2 x2 d2y/dx2 + x dy/dx – d2y/dx2.x2 Y = x dy/dx – ½ x2 .d2y/dx2 Kesimpulan : Persamaan diferensial Orde le N diturunkan dari fungsi yang mempunyai N buah konstanta sembarang.



B. Pemecahan Persamaan Diferensial 3 d(yx) dx =



x



88



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Maka yx= ∫x3 masing-masing ruas kemudian diintegrasikan ke x maka, d(yx) dx=∫x3dx ∫



dx



∫d(yx)=∫x3dx Ingat jika ∫d(x)=x maka ∫d(yx)= yx , sehingga



1 4 yx = x +c 4 Jika soal diatas dikerjakan dengan menggunakan rumus FI maka akan lebih singkat : y . FI = ∫Q . FI . dx



Dari penyelesaian diatas diketahui FI=x dan Q=x2 sehingga yx=∫ x2.x.dx yang menghasilkan yx = ¼ x4 + c



Contoh 2 : Pecahkanlah x dy/dx – 5y = x7



Jawab : x dy/dx – 5y =x7 → masing-masing dibagi x dy/dx – 5y/x = x6 sudah berbentuk persamaan linier orde pertama dy/dx + py = Q



dengan ; P = -5/x Q = x6 Faktor Integral (FI) = e∫p dx = e∫-5/x dx



Dimana



= -5 ln x = ln x-5



89



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Jadi (FI) = e



Rumus Faktor integral y . y . FI = ∫Q . FI . dx FI = ∫Q . FI . dx



y.x15 =∫x6. x15 .dx ⇔ xy5 =∫x.dx



y/x5= 1/2 x2 + c



à



jika semua ruas dikalikan x5



y = 1/2 x7 + c.x5



II. 8.



Persamaan Diferensial Orde Satu



A. Pengertian Persamaan Diferensial Orde Satu dan Solusinya Persamaan yang digunakan untuk menemukan fungsi satu variabel atau lebih, dengan menghubungkan nilai fungsinya sendiri dan juga turunannya dalam berbagai orde disebut dengan Persamaan Diferensial (PD). Persamaan diferensial (PD) banyak digunakan untuk menjelaskan masalahmasalah fisis yang dapat dimodelkan kedalam bentuk PD. Sudah banyak dijumpai dalam bidang sains, teknologi, biogi dsb. bahwa PD digunakan sebagai alat untuk mengetahui sifat solusi masalah yang ditinjau. 𝑑𝑦



𝑦′ atau 𝑑𝑥 merupakan



Definisi 1 Persamaan diferensial orde satu secara umum dapa



turunan pertama dari y terhadap variabel x. 𝑑2 𝑦



dinyatakan dalam dua bentuk, yaitu :



𝑦 ′′ atau 𝑑𝑥 2 merupakan



Bentuk implisit,



turunan kedua dari y terhadap variabel x.



𝑑𝑥



𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑑𝑦) = 𝟎 atau 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) = 0. ............ (1) Bentuk eksplisit,



90



Dst



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



𝒅𝒚 𝒅𝒙



= 𝒇(𝒙, 𝒚) atau 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦). .......................(2)



Contoh 1.1 Contoh identifikasi persamaan diferensial orde satu : a. 𝑥, 𝑦 ′ + 𝑦 2 + 𝑥 2 + 1 = 0 atau



𝑑𝑦



𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 2 + 𝑥 2 + 1 = 0



Persamaan Diferensial orde satu bentuk implisit b. 𝑦 ′′ − 2𝑦 + 𝑒 𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢



𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2



− 2𝑦 + 𝑒 𝑥 = 0



Bukan PD orde satu, tapi PD dua bentuk implisit c. 𝑦 ′ = 2𝑦 + 𝑒 𝑥 (PD orde satu berbentuk eksplisit 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 + 𝑒 𝑥 ) d. 𝑦 ′′ = 𝑥𝑦 + 𝑥 2 (Bukan merupakan PD orde satu, tetapi PD orde dua berbentuk eksplisit). Definisi 2 Fungsi 𝑦 = 𝑦(𝑥) dapat dikatakan sebagai solusi PD (1) atau (2) apabila 𝑦 = 𝑦(𝑥) dan turunannya 𝑦 ′ memenuhi persamaan dasar (1) atau (2). Contoh 1.2 Kita dapat memeriksa bahwa 𝑦 = 𝑥 2 + 1 merupakan solusi PD, 𝑦 ′ = 2𝑥. Begitu juga dengan 𝑦 = 𝑥 2 + 𝐶 untuk C konstanta sebarang juga merupakan sebuah solusi PD, 𝑦 ′ = 2𝑥. Solusi 𝑦 = 𝑥 2 + 1 disebut solusi khusus (Partikelir) untuk sebuah PD, 𝑦 ′ = 2𝑥, sedangkan untuk solusi 𝑦 = 𝑥 2 + 𝐶 dengan C konstanta disebut sebagai solusi umum PD, 𝑦 ′ = 2𝑥. Jadi solusi umum suatu PD masih memuat sebuah konstanta, sedangkan solusi khusus diperoleh dari solusi umum dengan mengambil konstanta (C) suatu bilangan tertentu atau solusi yang memenuhi syarat-syarat yang diberikan, misalnya saja syarat awal.



Contoh 1.3 Tinjau PD, 𝑦 ′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥. ............................................... (3)



Penyelesaian :



91



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Solusi umumnya adalah 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶. Fungsi-fungsi : 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 1, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 Dan 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 4 masing-masing merupakan solusi khusus PD (3) yang diperoleh dari solusi umum dengan mengambil suatu nilai 𝐶 = 1, 𝐶 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝐶 = −4.



Untuk menentukan solusi khusus yang memenuhi syarat awal 𝑦(𝜋/2) = 10, ditentukan C dari solusi umum 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝐶 dengan mengambil nilai 𝑦 = 10 dan 𝑥 = 𝜋/ 2. Jadi, 10 = 𝑠𝑖𝑛(𝜋/2) + 𝐶 → 𝐶 = 9 sehingga solusi → 𝐷𝑖𝑏𝑎𝑐𝑎 "maka" khusus yang memenuhi syarat awal 𝒚(𝜋/2) = 10 adalah 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 9. Contoh 1.4 Tinjau PD, (𝑦′)2 − 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0. ....................... (4) Penyelesaian : Kita dapat memeriksa solusi umum PD (4) adalah : 𝑦 = 𝐶𝑥 − 𝐶 2 . Dengan mengambil 𝐶 = 1, 𝐶 = 2, 𝐶 = −4 diperoleh masing-masing solusi khusus 𝑦 = 𝑥 − 1, 𝑦 = 2𝑥 − 4 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = −4𝑥 − 16. Solusi khusus yang memenuhi syarat awal dapat ditentukan dengan : 𝑦(1) = −6, kita tentukan 𝐶 dari persamaan 𝑦 = 𝐶𝑥 − 𝐶 2 dengan mengambil nilai 𝑦 = −6 untuk 𝑥 = 1. Ini akan memuat −6 = 𝐶. 1 − 𝐶 2 = 𝐶 − 𝐶 2 Atau 𝐶 2 − 𝐶 − 6 = 0 → (𝐶 − 3)(𝐶 + 2) = 0 → 𝐶1 = 3, 𝐶2 = −2 Jadi, ada dua solusi khusus yang memenuhi syarat awal 𝑦(1) = −6, yaitu 𝑦 = 3𝑥 − 9 dan 𝑦 = −2𝑥 − 4. Adanya dua solusi khusus ini disebabkan oleh persamaan dasar (4) yang mempunyai pangkat dua. B. Keluarga Lengkungan (Kurva) Setelah mengetahui solusi umum suatu persamaan dasar memuat sebuah (C) konstanta, jadi solusi umum dapat dituliskan dalam bentuk 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶). Contoh 1.5 Solusi umum PD, 𝑦 ′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥 adalah 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶. Grafik dari solusi umum 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶) merupakan kurva karena untuk setiap pengambilan nilai 𝐶 konstanta diperoleh suatu lengkungan solusi khusus. Contoh 1.6 Solusi umum PD, 𝑦 = 2𝑥 adalah 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶) = 𝑥 2 + 𝐶, yang merupakan parabola.



92



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Untuk 𝐶 = 1 diperoleh parabola 𝑦 = 𝑥 2 + 1 dan seterusnya. (lihat gambar 1.1)



Perhatian : (a). Solusi umum PD 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶) pada prinsipnya dapat dicari dengan mengeliminasi 𝐶 dari kedua persamaan : 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶) 𝑑 { ′ 𝑦 = (𝑦(𝑥, 𝐶)) 𝑑𝑥 Contoh 1.7 Tentukan PD yang mempunyai solusi umum 𝑦 = 𝐶𝑒 𝑥 Penyelesaian : Eliminasi 𝐶 dari kedua persamaan : {



𝑦 = 𝐶𝑒 𝑥 𝑦 ′ = 𝐶𝑒 𝑥



Dari dua persamaan ini dapat dilihat bahwa 𝑦 ′ = 𝑦 Jadi, PD : 𝑦 ′ = 𝑦 mempunyai solusi umum 𝑦 = 𝐶𝑒 𝑥 .



Perhatian : (b). Bila solusi umum diberikan dalam bentuk implisit Contoh 1.8 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0 maka pada prinsipnya PD-nya diperoleh dengan Tentukan PD yang mempunyai solusi umum 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝐶 mengeliminasi 𝐶 dari kedua persamaan : 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0 {𝑑 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0, 𝑑𝑥 Dengan mengingat y merupakan fungsi dari x. 93



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Penyelesaian : Dengan menurunkan 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝐶 terhadap 𝑥 secara implisit diperoleh : 2𝑥 + 2𝑦. 𝑦 ′ = 0. Karena persamaan ini tidak lagi memuat C maka secara langsung 𝑥 diperoleh PD : 𝑦 ′ = − 𝑦 sebagai PD yang solusi umumnya 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝐶 Contoh 1.9 Tentukan PD yang mempunyai solusi umum : 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 𝑥 2 − 𝐶𝑦 + 𝐶 2 = 0. Penyelesaian : Dengan menurunkan 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝐶) terhadap 𝑥 secara implisit diperoleh 2𝑥 − 𝐶𝑦 ′ = 0. Sekarang kita eliminasi C dari kedua persamaan : 𝑥 2 − 𝐶𝑦 + 𝐶 2 = 0 { 2𝑥 − 𝐶𝑦 ′ = 0 Dari persamaan kedua diperoleh 𝐶 =



2𝑥 𝑦′



. Ini dimasukkan kedalam persamaan



pertama, menghasilkan : 2𝑥 2𝑥 𝑥 2 − ′ . 𝑦 + ( ′ )2 = 0 atau 4x − 2yy ′ + x(y ′ )2 = 0 𝑦 𝑦 PD ini mempunyai solusi umum 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 𝑥 2 − 𝐶𝑦 + 𝐶 2 = 0 C. PD Variabel Terpisah dan PD Homogen Persamaan diferensial orde satu yang dapat ditulis dalam bentuk : 𝑔(𝑦)𝑦 ′ = 𝑓(𝑥). ............................(1) disebut PD orde satu variabel terpisah dengan 𝑑𝑦 Variabel y dan y’ dengan mengambil 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 , PD (1) dapat dituliskan variabel x terpisah diantara dalam bentuk : tanda “ = ” 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. .....................(2) Contoh 1.10 PD: 𝑥𝑦𝑦 ′ + 𝑥 2 + 1 = 0 merupakan PD variabel terpisah karena dapat dituliskan ke dalam bentuk (1), yaitu : 𝑥2 + 1 𝑥2 + 1 ′ ′ 𝑦𝑦 + ( ) = 0 atau 𝑦𝑦 = − ( ) 𝑥 𝑥 Contoh 1.11 PD: 𝑥(𝑦 + 1)𝑦 ′ + 𝑥 2 (𝑦 2 + 4) = 0 adalah PD variabel terpisah karena dapat dituliskan dalam bentuk (1), yaitu :



94



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



𝑦+1 𝑥2 𝑦+1 ( 2 ) 𝑦 ′ + ( ) = 0, atau ( 2 ) 𝑑𝑦 + 𝑥 𝑑𝑥 = 0 𝑦 +4 𝑥 𝑦 +4 atau dalam bentuk (2), yaitu : 𝑦+1 ( 2 ) 𝑑𝑦 = −𝑥 𝑑𝑥. 𝑦 +4 Contoh 1.12 PD: (𝑥 + 𝑦 2 )𝑦 ′ = (𝑥 + 𝑦) bukan merupakan PD dengan variabel terpisah karena tidak dapat dituliskan dalam bentuk (1) atau (2). Perhatian : Metode penyelesaian PD variabel terpisah dapat dilakukan dengan mengintegralkan langsung PD (2), yaitu : ∫ 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶. ...................................................... (3) Contoh 1.13 Tentukan PD: 𝑥𝑦𝑦 ′ + 𝑥 2 + 1 = 0. Penyelesaian: Dengan sedikit memanipulasi aljabar, dapat dituliskan ke dalam bentuk (2) sebagai 𝑥 2 +1



𝑦 𝑑𝑦 = − (



𝑥



) 𝑑𝑥.



Integralkan kedua ruas : 𝑥2 + 1 ) 𝑑𝑥 𝑥 1 2 1 1 𝑦 = − ∫ (𝑥 + ) 𝑑𝑥 = −( 𝑥 2 + 𝑖𝑛|𝑥|) + 𝐶 2 𝑥 2 Diperoleh solusi umum, yaitu 𝑦 2 = −𝑥 2 − 2𝑖𝑛|𝑥|+ 𝐶 ∫ 𝑦 𝑑𝑦 = − ∫ (



Contoh 1.14 Tentukan solusi PD: (𝑥 2 + 1)𝑦 ′ + 𝑦 2 + 1 = 0 ........................ (4) yang memenuhi syarat awal 𝑦(0) = 1 Penyelesaian: Dengan membagi persamaan dasar (4) dengan (𝑥 2 + 1)(𝑦 2 + 1) didapat PD: 𝑦′ 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + = 0 atau = − 𝑦2 + 1 𝑥2 + 1 𝑦2 + 1 𝑥2 + 1 dari pengintegralan kedua ruas akan menghasilkan arc tan 𝑦 = −𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 + 𝐶 Dari syarat awal y(0)=1 , diperoleh C sebagai berikut: 𝑎𝑟𝑐 tan 1 = −𝑎𝑟𝑐 tan 0 + 𝐶 → 𝐶 = 𝑎𝑟𝑐 tan 1 Jadi solusi PD (4) yang memenuhi syarat awal y(0) =1 adalah 𝜋 arc tan 𝑦 = −𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐 tan 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑦 + 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 = 4 95



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



𝜋



atau tan(𝑎𝑟𝑐 tan 𝑦 + 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥) = tan (4 ) = 1 Rumus tangen diperoleh : tan(𝑎𝑟𝑐 tan 𝑦 + 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥) =



tan (𝑎𝑟𝑐 tan 𝑦) + tan (𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥) 𝑦+𝑥 = 1 − tan(𝑎𝑟𝑐 tan 𝑦). tan(𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥) 1 − 𝑥𝑦



Jadi, solusi dari persamaan dasar (4) yang memenuhi syarat awal 𝑦(0) = 1 adalah 𝑦+𝑥 = 1 → 𝑦 + 𝑥 = 1 − 𝑥𝑦 1 − 𝑥𝑦 1−𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦 = 1 − 𝑥 → 𝑦 = 1+𝑥 Contoh 1.15 Suatu bola tembaga memiliki temperatur dengan suhu 100° C. Pada saat t = 0 bola tersebut dimasukkan ke dalam cairan dengan temperatur 30°𝐶. Setelah 3 menit, temperatur bola menjadi 70°𝐶. Tentukan setelah berapa menit temperatur bola tembaga menjadi 40°𝐶? Penyelesaian: Misalkan x(t) merupakan temperatur bola tembaga pada saat t. Berdasarkan hukum Newton, model matematika untuk temperatur adalah : 𝑑𝑥 = −𝑘(𝑥 − 30). … … … … … … … … … … … … . (5) 𝑑𝑡 Dimana (-k) merupakan konstanta dengan k > 0. Persamaan dasar (5) merupakan PD variabel terpisah dan dituliskan dalam bentuk



𝑑𝑥 𝑥−30



= −𝑘 𝑑𝑡. Dengan



mengintegralkan kedua ruas didapat 𝑖𝑛(𝑥 − 30) = −𝑘 𝑡 + 𝑖𝑛 𝐶 𝑥 − 30 ) = 𝑒 −𝑘𝑡 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥(𝑡) = 𝐶 𝑒 −𝑘𝑡 + 30. 𝑖𝑛 (𝑥 − 30) − 𝑖𝑛 𝐶 = −𝑘 𝑡 𝑎𝑡𝑎𝑢 ( 𝐶 Jadi, solusi umum dari PD (5) adalah: 𝑥(𝑡) = 𝐶 𝑒 −𝑘𝑡 + 30. Kita dapat mencari C dari syarat awal 𝑥(0) = 100 100 = 𝐶 + 30 → 𝐶 = 70 Jadi, temperatur suhu pada saat t adalah 𝑥(𝑡) = 70𝑒 −𝑘𝑡 + 30. ............................... (6) Kita dapat menentukan konstanta k dari syarat 𝑥(3) = 70 70 = 70𝑒 −3𝑘 + 30 → 70𝑒 −3𝑘 = 40 → 𝑒 −3𝑘 = 4 1 7 −3𝑘 = 𝑖𝑛 ( ) → 𝑘 = − 𝑖𝑛 ( ) 7 3 4



96



40 4 = 70 7



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Untuk menentukan waktu agar temperatur bola menjadi 40°, masukkan x(t) = 40 ke dalam persamaan (6). 10 1 1 40 = 70𝑒 −𝑘𝑡 + 30 → 𝑒 −𝑘𝑡 = = 𝑎𝑡𝑎𝑢 − 𝑘𝑡 = 𝑖𝑛 ( ) = −𝑖𝑛 7 70 7 7 −𝑖𝑛 7 𝑖𝑛 7 3𝑖𝑛7 3𝑖𝑛7 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡 = −𝑘 = 1 7 = 7 . Jadi, setelah waktu 𝑡 = 7 menit, temperatur bola 3



𝑖𝑛( )



𝑖𝑛( )



4



𝐼𝑛( )



4



4



menjadi 40°. Contoh 1.16 𝑦 𝑦 PD: (𝑥 sin ). 𝑦 ′ = 𝑦 sin + 𝑐 merupakan PD homogen yang dapat diubah 𝑥



𝑥



bentuknya menjadi bentuk : 𝑦 𝑦 𝑦 (𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑥) (𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 1) 𝑦 𝑢 sin 𝑢 + 1 ′ 𝑦 = = = 𝑔 ( ) , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔(𝑢) = 𝑦 𝑦 𝑥 sin 𝑢 (𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ) (sin 𝑥 ) Contoh 1.17 PD: 𝑥𝑦 ′ − (𝑦 + 𝑥 2 + 9𝑦 2 = 0, bukan merupakan PD homogen karena : 𝑦′ =



𝑦+𝑥 2 +9𝑦 2 𝑥



𝑦 𝑦′ = 𝑔 ( ) 𝑥



𝑦



=𝑥+𝑥+9



𝑦2 𝑥



tidak dapat ditulis ke dalam bentuk



C. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu Persamaan Diferensial linear orde satu merupakan persamaan diferensial orde satu yang berbentuk : 𝑑𝑦 𝑑𝑥



+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝜑(𝑥). .....................................(1)



Contoh 1.18 𝑑𝑦



PD: 𝑑𝑥 + 2𝑦 = 𝑒 𝑥 merupakan PD linear



Contoh 1.19 𝑑𝑦



PD: 𝑑𝑥 − 𝑥𝑦 = sin 𝑥 merupakan PD linear



Contoh 1.20 PD: 𝑦



𝑑𝑦 𝑑𝑥



+ 𝑦 = 𝑥 2 bukan merupakan PD linear karena tidak berbentuk PD(1).



97



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Bila PD (1) dikalikan dengan 𝑒 ∫ 𝑃𝑑𝑥 maka diperoleh : 𝑑𝑦



𝑒 ∫ 𝑃𝑑𝑥 [𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦] = 𝜑(𝑥)𝑒 ∫ 𝑃𝑑𝑥 . ....................................................... (2) Perhatikan bahwa 𝑑 𝑑𝑥



𝑑𝑦



𝑑𝑦



(𝑒 ∫ 𝑃𝑑𝑥 𝑦) = 𝑒 ∫ 𝑃𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦𝑃𝑒 ∫ 𝑃𝑑𝑥 = 𝑒 ∫ 𝑃𝑑𝑥 (𝑑𝑥 + 𝑃𝑦). .................... (3)



Dari PD (2) dan (3) diperoleh : 𝑑 𝑑𝑥



(𝑒 ∫ 𝑃𝑑𝑥 𝑦) = 𝜑(𝑥) 𝑒 ∫ 𝑃𝑑𝑥



Jika diintegralkan, akan diperoleh : 𝑒 ∫ 𝑃𝑑𝑥 𝑦 = ∫(𝜑(𝑥)𝑒 ∫ 𝑃𝑑𝑥 )𝑑𝑥 + 𝐶 atau 𝑦 = 𝑒 − ∫ 𝑃𝑑𝑥 [∫(𝜑(𝑥)𝑒 ∫ 𝑃𝑑𝑥 )𝑑𝑥 + 𝐶]



Contoh 1.21 𝑑𝑦



𝑦



Selesaikan PD: 𝑑𝑥 + 𝑥 = 3𝑥



Penyelesaian: 1



Disini 𝑃(𝑥) = 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝜑(𝑥) = 3𝑥, sehingga 1 1 ∫ 𝑃 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = 𝐼𝑛 𝑥 atau 𝑒 ∫ 𝑃 𝑑𝑥 = 𝑥 dan 𝑒 − ∫ 𝑃 𝑑𝑥 = . 𝑥 𝑥 Jadi solusi umum PD diatas adalah 1



4



1



1



𝐶



𝑦 = 𝑥 [∫(− 𝑥)𝑥𝑑𝑥 + 𝐶] = 𝑥 [∫(−4)𝑑𝑥 + 𝐶] = 𝑥 [−4𝑥 + 𝐶] = −4 + 𝑥



Contoh 1.22 Selesaikan PD: 𝑦 ′ + 𝑦 tan 𝑥 = sin 2𝑥 dengan syarat awal 𝑦(0) = 1.



Penyelesaian: Disini 𝑃(𝑥) = tan 𝑥 dan 𝜑(𝑥) = sin 2𝑥.



98



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



sin 𝑥



Sehingga ∫ 𝑃 𝑑𝑥 = ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (cos 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐼𝑛 (sec 𝑥), 1



𝑒 ∫ 𝑃 𝑑𝑥 = 𝑒 𝐼𝑛(sec 𝑥) = sec 𝑥 dan 𝑒 − ∫ 𝑃 𝑑𝑥 = sec 𝑥 = cos 𝑥. Jadi solusi umum dari PD diatas adalah : 𝑦 = cos 𝑥{∫(sin 2𝑥)(sec 𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶} = cos 𝑥(2 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) = (cos 𝑥)(−2 cos 𝑥 + 𝐶) = −2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝐶 cos 𝑥 Syarat awal 𝑦(0) = 1 memberikan 1 = −2 + 𝐶 → 𝐶 = 3. Jadi solusi PD yang memenuhi 𝑦(0) = 1 adalah : 𝑦 = −2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 3 cos 𝑥.



Persamaan Diferensial Bernoulli Bentuk PD Bernoulli : 𝑑𝑦 𝑑𝑥



+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝜑(𝑥)𝑦 𝛼



,



𝛼 𝑟𝑒𝑎𝑙, 𝛼 ≠ 0 dan α ≠ 1. .................. (4)



Dengan substitusi 𝑦1−𝛼 = 𝑧, PD (4) berubah menjadi PD linear. Contoh 1.23 𝑦



Tinjau PD: 𝑦 ′ + 𝑥 = −𝑥𝑦 2 . ............................................................. (5)



Penyelesaian: 1



Ambil substitusi 𝑦1−𝛼 = 𝑧 atau 𝑦 = 𝑧 . Maka 1



𝑑𝑧



𝑑𝑦 𝑑𝑥



1



1



𝑑𝑧



= − (𝑧 2) 𝑑𝑥, 1



Sehingga dari PD (5) didapat − (𝑧 2) 𝑑𝑥 + 𝑧𝑥 = −𝑥(𝑧)2 dikalikan dengan (−𝑧 2 ), menghasilkan PD : 𝑑𝑧



𝑧



− (𝑥) = 𝑥. ....................................................................... (6) 𝑑𝑥 1



PD (6) mempunyai 𝑃(𝑥) = − 𝑥 dan 𝜑(𝑥) = 𝑥.



1



1



Jadi, ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ − 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐼𝑛 𝑥; 𝑒 ∫ 𝑃 𝑑𝑥 = 𝑒 −𝐼𝑛 𝑥 = 𝑥 dan 𝑒 − ∫ 𝑃 𝑑𝑥 = 𝑥. dan solusi umum PD (6) adalah



99



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



1



𝑧 = 𝑥(∫ 𝑥. 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) = 𝑥(𝑥 + 𝐶) = 𝑥 2 + 𝐶𝑥. Jadi solusi umum PD (5) adalah 1



1



𝑦 = 𝑧 = 𝑥 2 +𝐶𝑥.



Latihan Agar Anda mampu memahami materi di atas dengan baik, kerjakanlah soal latihan berikut! 1) Manakah dari PD berikut yang linear? 𝑑𝑦



a. 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 sin 𝑥 = 𝑥 2 + 1 b.



𝑑𝑦 𝑑𝑥



+ 𝑦 2 = cos 𝑥 𝑑𝑦



c. (𝑥 2 + 1) 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 = 𝑥 2 𝑑𝑦



d. 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥 2 + 1)𝑦 = 𝑥 + 1 2) Manakah dari PD berikut yang merupakan PD Bernoulli? a. 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥𝑦 2 b. 𝑦𝑦 ′ + 𝑦 3 = 𝑦 4 𝑥 2 c. 𝑦 ′ = 𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥𝑦 d. 3𝑦 ′ + 𝑦 = (1 − 2𝑥)𝑦 4 3) Bila 𝜑(𝑥) = 0 maka PD linear akan berubah menjadi a. PD homogen b. PD variabel terpisah c. Bukan PD orde satu d. PD tidak eksak 4) Solusi untuk PD: 𝑦 ′ + 𝑦 = 2 adalah a. 𝑦 = 1 + 𝐶𝑒 𝑥 b. 𝑦 = 1 + 𝐶𝑒 −𝑥 c. 𝑦 = 2 + 𝐶𝑒 𝑥 d. 𝑦 = 2 + 𝐶𝑒 −𝑥



II. 9. Penerapan Diferensial Dalam Bidang Teknik A. Penerapan Differensial pada Teknologi



100



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Teknologi informasi menyediakan akses informasi yang dapat secara langsung mendukung pelaksanaan kegiatan proses belajar dan mengajar. Pemrograman web pada teknologi informasi menggunakan ilmu logika, perhitungan, bilangan biner, aritmatika, sistem bilangan, integral dan masih banyak yang dimanfaatkan untuk keperluan di bidang teknologi informasi. Banyaknya peranan dari matematika terhadap teknologi informasi menjadikan ilmu komputer suatu disiplin ilmu yang baru dengan berbagai ilmu di dalamnya seperti algoritma, aljabar boolean, matematika diskrit maupun statistika. Teknologi yang berkembang saat ini menunjukkan bahwa telah banyak penerapan dari matematika dalam pengembangan ilmu di bidang lain. Salah satu contoh penerapan ilmu komputer yang digunakan untuk pengembangan di berbagai bidang adalah Persamaan Diferensial Elementer. Persamaan Diferensial Elementer membahas mengenai bagaimana persamaan diferensial digunakan atau dimanfaatkan dalam memecahkan suatu masalah dalam kehidupan sehari-hari.



Gambar perkembangan teknologi



101



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Gambar perkembangan teknologi digital



B. Penerapan Differensial Awal mula komputer yang sebenarnya dibentuk oleh seorang profesor matematika Inggris,Charles Babbage (1791-1871). Tahun 1812,Babbage memperhatikan kesesuaian alam antara mesin mekanik dan matematika yaitu mesin mekanik sangat baik dalam mengerjakan tugas yang sama berulangkali tanpa kesalahan,sedang matematika membutuhkan repetisi sederhana dari suatu langkah-langkah tertentu.Masalah tersebut kemudain berkembang hingga menempatkan mesin mekanik sebagai alat untuk menjawab kebutuhan mekanik.Usaha Babbage yang pertama untuk menjawab masalah ini muncul pada tahun 1822 ketika ia mengusulkan suatu mesin untuk melakukanperhitungan persamaan differensial.Mesin tersebut dinamakan Mesin Differensial.Dengan menggunakan tenaga uap,mesin tersebut dapat menyimpan program dan dapat melakukan kalkulasi serta mencetak hasilnya secara otomatis. Setelah bekerja dengan Mesin Differensial selama sepuluh tahun,Babbage tiba-tiba terinspirasi untuk memulai membuat komputer general-purpose yang pertama,yang disebut Analytical Engine.Asisten Babbage,Augusta Ada King (1815-1842) memiliki peran penting dalam pembuatan mesin ini.Ia membantu merevisi rencana,mencari pendanaan dari pemerintah Inggris,dan mengkomunikasikan spesifikasi Analytical Engine kepada publik.Selain itu,pemahaman Augusta yang baik tentang mesin ini memungkinkannya membuat instruksi untuk dimasukkan ke dalam mesin dan juga membuatnya menjadi programmer wanita yang pertama.Pada tahun 1980,Departemen Pertahanan Amerika Serikat menamakan sebuah bahasa pemrograman dengan nama ADA sebagai penghormatan kepadanya. Mesin uap Babbage,walaupun tidak pernah selesai dikerjakan,tampak sangat primitif apabila dibandingkan dengan standar masa kini.Bagaimanapun juga,alat tersebut



102



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



menggambarkan elemen dasar dari sebuah komputer modern dan juga mengungkapkan sebuah konsep penting.Terdiri dari sekitar 50.000 komponen,disain dasar dari Analytical Engine menggunakan kartu-kartu perforasi (berlubang-lubang) yang berisi instruksi operasi bagi mesin tersebut. Pada Tahun 1889,Herman Hollerith (1860-1929) juga menerapkan prinsip kartu perforasi untuk melakukan penghitungan.Tugas pertamanya adalah menemukan cara yang lebih cepat untuk melakukan perhitungan bagi Biro Sensus Amerika Serikat.Sensus sebelumnya yang dilakukan di tahun 1880 membutuhkan waktu tujuh tahun untuk menyelesaikan perhitungan.Dengan berkembangnya populasi,Biro tersebut memperkirakan bahwa dibutuhkan waktu sepuluh tahun untuk menyelesaikan perhitungan sensus. Hollerith menggunakan kartu perforasi untuk memasukkan data sensus yang kemudian diolah oleh alat tersebut secara mekanik.Sebuah kartu dapat menyimpan hingga 80 variabel.Dengan menggunakan alat tersebut,hasil sensus dapat diselesaikan dalam waktu enam minggu.Selain memiliki keuntungan dalam bidang kecepatan,kartu tersebut berfungsi sebagai media penyimpan data.Tingkat kesalahan perhitungan juga dapat ditekan secara drastis.Hollerith kemudian mengembangkan alat tersebut dan menjualnya ke masyarakat luas.Ia mendirikan Tabulating Machine Company pada tahun 1896 yang kemudian menjadi International Business Machine (1924) setelah mengalami beberapa kali merger.Perusahaan lain seperti Remington Rand and Burroghs juga memproduksi alat pembaca kartu perforasi untuk usaha bisnis.Kartu perforasi digunakan oleh kalangan bisnis dan pemerintahan untuk permrosesan data hingga tahun 1960. Pada masa berikutnya,beberapa Insinyur membuat penemuan baru lainnya.Vannevar Bush (1890-1974) membuat sebuah kalkulator untuk menyelesaikan persamaan differensial di tahun 1931.Mesin tersebut dapat menyelesaikan persamaan differensial kompleks yang selama ini dianggap rumit oleh kalangan akademisi.Mesin tersebut sangat besar dan berat karena ratusan gerigi dan poros yang dibutuhkan untuk melakukan perhitungan.Pada tahun 1903,John V. Atanasoff dan Clifford Berry mencoba membuat komputer elektrik yang menerapkan aljabar Boolean pada sirkuit elektrik.Pendekatan ini didasarkan pada hasil kerja George Boole (1815-1864) berupa sistem biner aljabar,yang menyatakan bahwa setiap persamaan matematik dapat dinyatakan sebagai benar atau salah.Dengan mengaplikasikan kondisi benar-salah ke dalam sirkuit listrik dalam bentuk terhubung-terhubung.



103



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Gambar mesin uap



Gambar komputer jadul



Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu lain. Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan oleh fungsi matematika) dan laju perubahannya (dinyatakan sebagai turunan) diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diperikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu.



104



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda. Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untuk perusahaan yang sedang bersaing. Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak. Dalam membuat konstruksi bangunan, percampuran bahan bahan bangunan yang di lakukan oleh arsitek, pembuatan tiang – tiang, langit langit, ruangan,dan lain lain,menggunakan turunan. Sehingga bangunan terlihat cantik dan kokoh. Pembuatan kapal, pesawat, dan kendaraan lainnya menggunakan turunan. Kegunaan penurunan,terdapat juga pada quick count. Dalam perhitungan tersebut,terdapat juga perhitungan yang baik sehingga dapat mempunyai perhitungan yang maksimal. Dalam dunia penerbangan,turunan mempunyai fungsi terpenting untuk lajunya pesawat. Pesawat akan mengikuti navigasi dari tower yang berada di bandara. Setiap laju pesawat akan terdetek pada navigasi,sehingga laju pesawat tidak salah arah dan percepatannya sesuai dengan panduaan dari tower.



C. Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan-turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui, yang disebut dengan f(x). Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu atau dimodelkan oleh fungsi matematika dan laju perubahan dinyatakan sebagai turunan diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, dimana gerakan sebuah benda diperikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan untuk mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut dan menyatakan sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi



105



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak. Diferensial atau sering disebut turunan dapat dihitung dengan memakai uraian deret Taylor. Jika uraian deret Taylor di sekitar x dinyatakan dengan dan . Dimana masing-masing dinyatakan dengan persamaan: . Turunan Pertama ` Jika kita mengambil selisih antara kedua persamaan jika mengambil nilai h yang sangat kecil maka suku-suku dengan h pangkat dua atau lebih bisa diabaikan. Turunan Kedua Untuk mendapatkan Turunan Kedua dari fungsi menjumlahkan kedua persamaan dan dalam persamaan



f(x)



maka



D. TEOREMA 1 TURUNAN SEBAGAI SUATU FUNGSI DEFINISI Turunan suatu fungsi f pada bilangan a, dinotasikan dengan f’(a), adalah



Turunan Sebagai Suatu Fungsi DEFINISI Turunan f didefinisikan seperti ini.



untuk sembarang nilai x yang membuat nilai limit tersebut ada.



Fungsi Terdiferensialkan DEFINISI Fungsi f terdiferensialkan di a jika f’(a) ada. Fungsi tersebut terdiferensialkan di selang buka (a, b) [atau (a, ∞) atau (–∞, a) atau (– ∞, ∞)] jika fungsi tersebut terdiferensialkan di semua titik dalam selang



106



kita



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



tersebut.



Terdiferensialkan dan Kontinuitas TEOREMA Jika f terdiferensialkan di a, maka f kontinu di a.



Bagaimana Bisa Fungsi Tidak Terdiferensialkan?



Aturan – Aturan Turunan



Turunan Fungsi-Fungsi Trigonometri



107



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Aturan Rantai Aturan Rantai Jika f(u) terdiferensialkan di titik u = g(x) dan g(x) terdiferensialkan di x, maka fungsi komposit (f ∘ g)(x) = f(g(x)) terdiferensialkan di x, dan



Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x), maka



dengan dy/du ditentukan di u = g(x).



Maksimum dan Minimum Absolut DEFINISI Misalkan c adalah bilangan dalam doman D fungsi f. Maka f(c) merupakan • Nilai maksimum absolut dari f di D jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di D. • Nilai minimum absolut dari f di D jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di D. Nilai maksimum dan minimum disebut sebagai nilai ekstrem.



E. TEOREMA 2 ATURAN FUNGSI IDENTITAS Ide awal turunan



108



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Garis singgung



Definisi Turunan fungsi 𝑓 adalah fungsi lain 𝑓′ (dibaca “𝑓 aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan 𝑐 adalah



asalkan limitnya ini ada. Notasi dari turunan: 1. Notasi aksen, 𝑓′𝑥 2. Notasi d, 𝐷𝑥𝑦 3. Notasi Leibniz, 𝑑𝑦/𝑑𝑥



Contoh: Andaikan 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥. Cari 𝑓′ (3) . JAWAB :



109



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Contoh: Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2, cari 𝑓′ 𝑥



F. KETERDIFERENSIALAN MENUNJUKKAN KEKONTINUAN Jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis singgung di sebuah titik, maka kurva itu tidak dapat melompat atau sangat berayun di titik tersebut. Perumusan yang persis dari kenyataan ini merupakan sebuah teorema pentin. Teorema Jika 𝑓′ 𝑐 ada, maka 𝑓 kontinu di 𝑐. Kebalikan dari teorema ini tidak berlaku.



Contoh: Jika 𝑓 𝑥 = |𝑥| , tentukan 𝑓′ 0 JAWAB :



110



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Karena limit kanan dan kirinya tidak sama



Aturan Pencarian Turunan Fungsi konstanta Fungsi konstanta 𝑓 𝑥 = 𝑘 mempunyai grafik berupa garis horisontal, sehingga kemiringannya nol dimana-mana.



Teorema (Aturan Fungsi Konstanta) Jika 𝑓 𝑥 = 𝑘 dengan 𝑘 suatu konstanta maka untuk sebarang 𝑥, 𝑓′(𝑥) = 0, yakni 𝐷(𝑘) = 0 Bukti :



Teorema (Aturan Fungsi Identitas) Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥, maka 𝑓′(𝑥) = 1, yakni 𝐷(𝑥) = 1 Bukti :



111



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Teorema (Aturan Fungsi Aljabar)



CONTOH SOAL II. 10. 1.



PILIHAN GANDA



Diketahui f(x) = X³ + 7X – 5, berapa nilai dari f’(3) adalah ...



112



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



a.



6



b.



15



c.



34



d.



40



e.



28



Pembahasan: f(x) = X³ + 7X – 5 f’(x) = 3X² + 7 f’(3) = 3(3)² + 7 = 34 Jawaban: c



2.



Diketahui f(x) = 8X² – 3X² + 3X⁴ – X + 7,dan f’ adalah turunan pertama dari f. Berapa nilai dari f’(2) = ... a.



20



b.



48



c.



64



d.



115



e.



204



Pembahasan: f(x) = 8X² – 3X² + 3X⁴ – X + 7 f’(x) = 16X – 6X + 12X³ – 1 f’(2) = 16(2) – 6(2) + 12(2)³ – 1 f’(2) = 32 – 12 + 96 – 1 = 115 Jawaban: d



113



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



3. Diketahui F(x) = -X⁴ + 6X³ – 15X + 40, dan berapakah turunan pertama nilai f’(2) ?... a.



9



b.



25



c.



27



d.



34



e.



41



Pembahasan : f(x) = -X⁴ + 6X³ – 15X + 40 f’(x) = -4X³ + 18X² – 15 f’(2) = -4(2)³ + 18(2)² – 15 = -32 + 72 – 15 = 25 Jawaban: b



4.



Diketahui f(x) = (7X³ – 10)². Jika f’ adalah turunan pertama dari f, maka berapa nilai f’(x) = ... a. 9x(7x³ – 10)² b. 18x²(7x³ – 10)² c. 29x³(7x³ – 10)² d. 42x²(7x³ – 10)² e. 57x²(7x³ – 10)² Pembahasan : Misal —=> U = 7X³ U’ = 21X² Maka f’(x) = 2U . U’ f(x) = (7X³ – 10)² f’(x) = 2( 7X³ – 10 )² . 21X² f’(x) = 42X² ( 7X³ – 10 )²



114



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Jawaban: d



5.



Jika dengan f(x) = (x⁵ – 9)⁷, f’ adalah turunan pertama f, maka nilai f’(3) adalah ... a.



2835 . (234)⁶



b. 2673 . (721)⁶ c.



2412 . (524)⁶



d. 2246 . (136)⁶ e.



2145 . (143)⁶



Pembahasan: Misal —=> U = x⁵ U’ = 5x⁴ Maka f’(x) = 7U⁶ . U’ f(x) = (x⁵ – 9)⁷ f’(x) = 7(x⁵ – 9)⁶ . 5x⁴ f’(3) = ((3)⁵ – 9)⁶ . 35(3)⁴ = 2835 . (234)⁶ Jawaban: a



6.



Tentukan turunan dari f(x) = 6√x a. 8/√x b. 32/√x c. 11/√x d. 3/√x e. 6/√x Pembahasan: f(x) = 6√x f’(x) = 6 . x½



115



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



f’(x) = 6.1/2 x ^1/2-1 f'(x) = 3x-½ f’(x) = 3/√x jawaban : d



7.



Tentukan turunan dari f(x) = 8.³√x⁴ a. 6⅔ x⅓ b. 10⅔ x⅓ c. 11⅔ x⅓ d. 18⅔ x⅓ e. 25⅔ x⅓ Pembahasan : f(x) = 8.³√x⁴ f’(x) = 32/3 . x^4/3 – 1 f’(x) = 10⅔ x⅓ Jawabannya = b



8.



Tentukan turunan dari f(x) = 10 . 2x⁴ a. 42x3 b. 57x3 c. 68x3 d. 80x³ e. 95x3



Pembahasan : f(x) = 10 . 2x⁴ f’(x) = 10 . 2(4)x³ f’(x) = 10 . 8x³ f’(x) = 80x³ Jawabannya = d



116



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



9.



Tentukan turunan dari f(x) = (x⁴ – 2x² + 1)½ pada x = 2 a. 36 b. 21 c. 12 d. 8 e. 4



Pembahasan : Misal : u = x⁴ – 2x² + 1 du/dx = 4x³ – 4x v = u½ dy/du = 1/2 u-½ Maka : f’(x) = 1/2(x⁴ – 2x² + 1)-½ . (4x³ – 4x) f’(2) = 1/2(16 – 8 + 1)-½ . (32 – 8) = 24/2 . 9-½ = 12/9½ = 12/3 =4 Jawabannya = e



10. Diketahui suatu funsi 𝑓(x) = 𝑥 3 + 12𝑥 2 + 3x + 20, berapa nilai dari f’(5) adalah ........... a.



208



b.



187



c.



232



d.



156



e.



198 (e)



Pembahasan:



117



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



𝑓(x) = 𝑥 3 + 12𝑥 2 + 3x + 20 𝑓 ′(x) = 3𝑥 3−1 + 2 . 12𝑥 2−1 + 3 𝑓 ′(x) = 3𝑥 2 + 24𝑥 + 3



Jadi : 𝑓 ′(x) = 3(5)2 + 24(5) + 3 𝑓 ′(x) = 75 + 120 + 3 𝑓 ′(x) = 198



11. Diketahui suatu funsi 𝑓(x) = 5𝑥 3 + 4𝑥 2 – 50x + 1, berapa nilai dari f’(2) adalah ......... a.



52



b.



43



c.



73



d.



39



e.



42 (e)



Pembahasan: 𝑓(x) = 5𝑥 3 + 8𝑥 2 − 50x + 1 𝑓 ′(x) = 3.5𝑥 3−1 + 2 . 8𝑥 2−1 − 50 𝑓 ′(x) = 15𝑥 2 + 16𝑥 − 50



Jadi : 𝑓 ′(x) = 15(2)2 + 16(2) − 50 𝑓 ′(x) = 60 + 32 − 50 𝑓 ′(x) = 42



118



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



12. Tentukan turunan dari fungsi 𝑓(x) = (𝑥 4 + 10) (4x + 5) adalah



a.



20 (4𝑥 4 + 𝑥 3 + 2)



b.



10 (𝑥 4 + 𝑥 3 + 2)



c.



10 (𝑥 4 + 𝑥 3 + 3)



d.



20 (𝑥 4 + 𝑥 3 + 2) (d)



e.



20 (𝑥 4 + 2𝑥 3 + 2)



Pembahasan: Misal : u(x) = (𝑥 4 + 10) v(x) = (4x + 5) u’(x) = 4𝑥 3 v’(x) = 4 Maka: f’(x) = u v’ + u’v f’(x) = (𝑥 4 + 10)(4) + (4𝑥 3 ) (4x + 5) f'(x) = 4𝑥 4 + 40 + 16𝑥 4 + 20𝑥 3 f’(x) = 20𝑥 4 + 20𝑥 3 + 40 f’(x) = 20(𝑥 4 + 𝑥 3 + 2) 13. Turunan pertama fungsi 𝑓(x) = (3x + 6)2 (2x + 3) adalah f’(x). Nilai f’(1) = ...



a.



127



b.



267 (b)



c.



367



d.



366



e.



368



Pembahasan:



119



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Misal :



u = (3x + 6)2 u’ = 2(3x + 3) . 3 = 6(3x + 3) v = (2x + 3) v’ = 2



Sehingga: f’(x) = u v’ + u’v f’(x) = (3x + 6)2 (2) + (6(3x + 3)) + (2x + 3) f'(x) = (3(1) + 6)2 (2) + (6(3(1) + 3))(2(1) + 3) f’(x) = 162 + 105 f’(x) = 267 14. 1.Diketahui f(x) = 6X5– 4X6 + 3X9 – X + 12,dan f’ adalah turunan pertama dari f. Berapa nilai dari f’(7) =……. a.



546705



b.



430787



c.



-340600



d.



-340601



e.



340600



PEMBAHASAN: f(x) = 6X5– 4X6 + 3X4 – X +8 f’(x) = 30X4 – 24X5 + 27X3 – 1 f’(2) = 30(7)4 – 24(7)5 + 27(7)3 – 1 f’(2) = 72030– 403368 + 9261 – 1 =-340600 Jawaban = C 15. Diketahui f(x) = X2 + 10X – 5X3+2, berapa nilai dari f’(4) adalah ...... a.



258



120



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



b.



340



c.



230



d.



256



e.



290



PEMBAHASAN: f(x) = X2 + 10X – 5X3+2 f’(x) = 2X+ 10-15X2 f’(4) = 2(4) + 10+15(4)2 = 34 f’(4) = 8+ 10+240 = 258 JAWABAN: A 16. Diketahui F(x) =-2X⁴ +X³ +12X + 25, dan berapakah turunan pertama nilai f’(2) ?... a.



45



b.



39



c.



27



d.



40



e. - 40 PEMBAHASAN: f(x) = -2X⁴ +X³ +12X + 25 f’(x) = -8X3 + 3X² +12 f’(2) = -8(2)³ + 3(2)² +12 = -64 + 12 + 12 = -40 JAWABAN: E 17. Jika dengan f(x) = (x6 – 9)8, f’ adalah turunan pertama f, maka nilai f’(2) adalah ... a.



1334 . (234)7



b. 1536 . (55)7



121



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



c.



1441 . (524)7



d. 1546 . (136)7 e.



1235 . (143)7



PEMBAHASAN: Misal —=> U = x6 U’ = 6x5 Maka f’(x) = n.Un-1. U’ f(x) = (x6 – 9)8 f’(x) = 8(x6 – 9)7 . 6x5 f’(2) =(26–9)7.48(2)5 = 1536.(55)7 JAWABAN: B 18. Jika dengan f(x) = (x2 – 9)6, f’ adalah turunan pertama f, maka nilai f’(x) adalah ... a.



11x (x3 – 9)4



b. 15x (x6 – 9)4 c.



12x (x4 – 9)5



d. 12x (x6 – 9)5 e.



12x (x2 – 9)5



PEMBAHASAN: Misal —=> U = x2 U’ = 2x Maka f’(x) = n.Un-1. U’ f(x) = (x2 – 9)6 f’(x) = 6(x2 – 9)5 .2x f’(x) =12x (x2 – 9)5 JAWABAN:E



122



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



19. Diketahui f(x) = 6X5– 4X6 + 3X9 – X + 12,dan f’ adalah turunan pertama dari f. Berapa nilai dari f’(7) =……. a.



546705



b.



430787



c.



-340600



d.



-340601



e.



340600



PEMBAHASAN: f(x) = 6X5– 4X6 + 3X4 – X +8 f’(x) = 30X4 – 24X5 + 27X3 – 1 f’(2) = 30(7)4 – 24(7)5 + 27(7)3 – 1 f’(2) = 72030– 403368 + 9261 – 1 =-340600 Jawaban = C 20. Diketahui f(x) = X2 + 10X – 5X3+2, berapa nilai dari f’(4) adalah ...... a.



258



b.



340



c.



230



d.



256



e.



290



PEMBAHASAN: f(x) = X2 + 10X – 5X3+2 f’(x) = 2X+ 10-15X2 f’(4) = 2(4) + 10+15(4)2 = 34 f’(4) = 8+ 10+240 = 258 JAWABAN: A 21. Diketahui F(x) =-2X⁴ +X³ +12X + 25, dan berapakah turunan pertama nilai f’(2) ?... 123



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



a.



45



b.



39



c.



27



d.



40



e. - 40 PEMBAHASAN: f(x) = -2X⁴ +X³ +12X + 25 f’(x) = -8X3 + 3X² +12 f’(2) = -8(2)³ + 3(2)² +12 = -64 + 12 + 12 = -40 JAWABAN: E 22. Jika dengan f(x) = (x6 – 9)8, f’ adalah turunan pertama f, maka nilai f’(2) adalah ... a.



1334 . (234)7



b. 1536 . (55)7 c.



1441 . (524)7



d. 1546 . (136)7 e.



1235 . (143)7



PEMBAHASAN: Misal —=> U = x6 U’ = 6x5 Maka f’(x) = n.Un-1. U’ f(x) = (x6 – 9)8 f’(x) = 8(x6 – 9)7 . 6x5 f’(2) =(26–9)7.48(2)5 = 1536.(55)7 JAWABAN: B



124



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



23. Jika dengan f(x) = (x2 – 9)6, f’ adalah turunan pertama f, maka nilai f’(x) adalah ... a.



11x (x3 – 9)4



b. 15x (x6 – 9)4 c.



12x (x4 – 9)5



d. 12x (x6 – 9)5 e.



12x (x2 – 9)5



PEMBAHASAN: Misal —=> U = x2 U’ = 2x Maka f’(x) = n.Un-1. U’ f(x) = (x2 – 9)6 f’(x) = 6(x2 – 9)5 .2x f’(x) =12x (x2 – 9)5 JAWABAN:E



24. Tentukan turunan dari f(x) = (x4 + 2) (5x + 10) adalah Pembahasan: Misal : u(x) = (x4 + 2) v(x) = (5x + 10) u’(x) = 4x3 v’(x) = 5 Maka: f’(x) = u v’+ u’v f’(x) = (x4 + 2)(5)+ (4x3) (5x + 10) f'(x) = 5x4 + 10+20𝑥4+40𝑥3 f’(x) = 25x4+40x3+10 f’(x) = 5x4+8x3+5



125



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



25. Turunan pertama dari f(x) = 10/x + 6/x³ adalah ... Pembahasan: f(x) = 10/x + 6/x³ f(x) = 10X^-1 + 6X^-3 f’(x) = -10X^-2 + (-18X^-4) f’(x) = - 10X^-2 — 18X^-4 f’(x) = 10/X² — 18/X⁴



26. Turunan fungsi y = ³√(2x² – 3)³, adalah ... Pembahasan: y = ³√(2x² – 3)³ y = (2x² – 3)^3/3 y = U^n Maka : y’ = n . u^n-1 . u’ y = (2x² – 3)^3/3 y’ = (2x² – 3) . 3x y’ = 3x(2x² – 3)



27. Turunan pertama fungsi f(x) = (4x – 2)² (3x – 1) adalah f’(x). Nilai f’(1) = ... Pembahasan: Misal : u = (4x – 2)² u’ = 2(4x – 2) . 4 = 8(4x – 2)



126



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



v = (3x – 1) v’ = 3 Kita pakai rumus yang ini: f(x) = u.v --> f’(x) = u’.v + u.v’ Sehingga: f’(x) = 8(4x – 2) . (3x – 1) + (4x – 2)² . 3 f'(1) = 8(4(1) – 2) . (3(1) – 1) + (4(1) – 2)² . 3 = 16 . 2 + 12 = 32 + 12 = 44 28. Tentukan turunan dari f(x) = (x + 3) (2x + 8) adalah Pembahasan: Misal : u(x) = x + 3 v(x) = 2x + 8 u’(x) = 1 v’(x) = 2 Maka: f’(x) = (x + 3)(2) + (1)(2x + 8) f’(x) = 2x + 6 + 2x +8 f'(x) = 4x + 14 f’(x) = 2x + 7



29. Tentukan turunan dari f(x) = (4x^-2 + x)² yaitu? Pembahasan : Misal : u = 4x^-2 + x u’ = 8x^-3 + 1 f’(x) = 2(u) . u’ Maka : f(x) = (4x^-2 + x)²



127



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



f’(x) = 2(4x^-2 + x) . (-8x^-3 + 1) f’(x) = (-16x^-3 + 2) (4x^-2 + x)



30. Tentukan turunan dari dari f(x) = (x⁴ + x² – x)² adalah Pembahasan : Misal : u = x⁴ + x² – x du/dx = 4x³ + 2x – 1 y = u² dy/du = 2u Maka : f(x) = (x⁴ + x² – x)² f’(x) = 2u . u’ f’(x) = 2(x⁴ + x² – x)(4x³ + 2x – 1) f’(x) = (8x³ + 4x – 2)(x⁴ + x² – x)



31. Tentukan turunan dari f(x) = (3x² – 5x – 2)⁵ Pembahasan : Misal : u = 3x² + 5x –2 du/dx = 6x + 5 y = u⁵ dy/du = 5u⁴ Maka : f(x) = (3x² – 5x – 2)⁵ f’(x) = 5u⁴ . u’ f’(x) = 5(3x² + 5x – 2)⁴(6x + 5) f’(x) = (30x + 25)(3x² + 5x – 2)⁴



128



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



32. Tentukan turunan utama dari f(x) = (x + 3)(2x + 8) adalah Pembahasan : Misal : u(x) = x + 3 v(x) = 2x + 8 u’(x) = 1 v’(x) = 2 Maka : f(x) = u(x) . v(x) f’(x) = u(x) v’(x) + u’(x) . v(x) f(x) = (x + 3)(2x + 8) f’(x) = (x + 3)(2) + (1)(2x + 8) f’(x) = 2x + 6 + 2x + 8 f’(x) = 4x + 14 f’(x) = 2x + 7



33. Tentukan turunan utama dari f(x) = (5x² + 2)(x² + x) adalah Pembahasan : Misal : u(x) = 5x² + 2 v(x) = x² + x u’(x) = 10x v’(x) = 2x + 1 Maka : f(x) = u(x) . v(x) f’(x) = u(x) v’(x) + u’(x) . v(x) f(x) = (5x² + 2)(x² + x ) f’(x) = (5x² + 2)(2x + 1) + (10x)(x² + x) f’(x) = 10x³ + 5x² + 4x + 2 + 10x³ + 10x² f’(x) = 20x³ + 15x² + 4x + 2



129



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



34. Tentukan turunan pertama dari fungsi dibawah ini: a) f(x) = 5(2x2 + 4x) b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4) Pembahasan Rumus : f(x) = u(x) ± v(x) f’(x) = u’(x) ± v’(x) a) f(x) = 5(2x2 + 4x) f(x) = 10x2 + 20x f ‘ (x) = 20x + 20 b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4) Urai terlebih dahulu hingga menjadi f (x) = 10x2 + 8x + 15x + 12 f (x) = 10x2 + 13x + 12 Maka f ‘ (x) = 20x + 13



35. Berapa turunan pertama dari fungsi f(x) = (x² + 6x + 7)(5x + 6)? Pembahasan : Misalkan: u = x² + 6x + 7 v = 5x + 6 Maka : u’ = 2x + 6 v’ = 5 f'(x) = u’v + uv’ f'(x) = (2x + 6)(5x + 6) + (x² + 6x + 7)(5) f'(x) = 10x² + 42x + 36 + 5x² + 30x + 55



130



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



f'(x) = 15x² + 72x + 91



36. Berapa turunan pertama dari fungsi f(x) = (x³ + 3) / (2x + 3)? Pembahasan : Misal: u = x³ + 3 → u’ = 3x² v = 2x + 3 → v’ = 2 Maka, f'(x) = u’v – uv’ / v² f'(x) = 3x²(2x + 3) – (x³ + 3)2 / (2x + 3)² f'(x) = 6x³ + 9x² – 2x³ – 6 / 4x² + 12x + 9 f'(x) = 4x³ + 9x² – 6 / 4x² + 12x + 9 37. Berapakah turunan pertama dari fungsi f(x) = 6 √x3 ? Pembahasan f(x) = 6 √x f(x) = 6 x3/2 f’(x) = 3/2.6.x3/2 – 1 f’(x) = 9 x½ f’(x) = 9 √x Jadi, turunan pertama dari fungsi f(x) = 6 √x3 adalah f’(x) = 9 √x. 38. Hitunglah turunan dari fungsi f(x) = sin x . cos x, yaitu Pembahasan : Misal: u = sin x v = cos x u’ = cos x v’ = – sin x Maka :



131



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



f’(x) = u’v + uv’ f’(x) = cos x cos x + sin x (-sin x) f’(x) = cos2 x – sin2 x f’(x) = cos 2x



Dari identitas trigonometri



39. Tentukan turunan dari dari f(x) = (x3 + x3 – x)² adalah Pembahasan : Misal : u = x3 + x3 – x du/dx = 3x2 + 3x2 – 1 y = u² dy/du = 2u Maka : f(x) = (x3 + x3 – x)² f’(x) = 2u . u’ f’(x) = 2(x⁴ + x² – x)(3x2 + 3x2 – 1) f’(x) = (6x2 + 6x2 – 2)(x⁴ + x² – x) f’(x) = (12x2 – 2)( x⁴ + x² – x)



40. Turunan pertama fungsi f(x) = (4x – 2)² (3x – 1) adalah f’(x). Nilai f’(2) = ... Pembahasan: Misal : u = (4x – 2)² u’ = 2(4x – 2) . 4 = 8(4x – 2) v = (3x – 1) v’ = 3 Kita pakai rumus yang ini: f(x) = u.v --> f’(x) = u’.v + u.v’ Sehingga:



132



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



f’(x) = 8(4x – 2) . (3x – 1) + (4x – 2)² . 3 f'(2) = 8(4(2) – 2) . (3(2) – 1) + (4(2) – 2)² . 3 = 48 . 5 + 108 = 240 + 108 = 348



41. Turunan pertama fungsi f(x) = (4x – 1)² (3x – 1) adalah f’(x). Nilai f’(2) = ... Pembahasan: Misal : u = (4x – 1)² u’ = 2(4x – 1) . 4 = 8(4x – 1) v = (3x – 1) v’ = 3 Kita pakai rumus yang ini: f(x) = u.v --> f’(x) = u’.v + u.v’ Sehingga:



f’(x) = 8(4x – 1) . (3x – 1) + (4x – 1)² . 3 f'(2) = 8(4(2) – 1) . (3(2) – 1) + (4(2) – 1)² . 3 = 56 . 5 + 147 = 280 + 147 = 427



42. Tentukan turunan utama dari f(x) = (5x² + 4)(x² + x) adalah Pembahasan : Misal : u(x) = 5x² + 4 v(x) = x² + x u’(x) = 10x v’(x) = 2x + 1



133



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Maka : f(x) = u(x) . v(x) f’(x) = u(x) v’(x) + u’(x) . v(x) f(x) = (5x² + 4)(x² + x ) f’(x) = (5x² + 4)(2x + 1) + (10x)(x² + x) f’(x) = 10x³ + 5x² + 8x + 4 + 10x³ + 10x² f’(x) = 20x³ + 15x² + 8x + 4



43. Tentukan turunan dari f(x) = (x⁴ – 2x² + 1)½ pada x = 2 Pembahasan : Misal : u = x⁴ – 2x² + 1 du/dx = 4x³ – 4x v = u½ dy/du = 1/2 u-½ Maka : f’(x) = 1/2(x⁴ – 2x² + 1)-½ . (4x³ – 4x) f’(2) = 1/2(16 – 8 + 1)-½ . (32 – 8) = 24/2 . 9-½ = 12/9½ = 12/3 =4



44. Turunan pertama fungsi f(x) = (4x – 2)² (4x – 1) adalah f’(x). Nilai f’(1) = ... Pembahasan: Misal : u = (4x – 2)² u’ = 2(4x – 2) . 4 = 8(4x – 2) v = (4x – 1)



134



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



v’ = 4 Kita pakai rumus yang ini: f(x) = u.v --> f’(x) = u’.v + u.v’ Sehingga:



f’(x) = 8(4x – 2) . (4x – 1) + (4x – 2)² . 4 f'(1) = 8(4(1) – 2) . (4(1) – 1) + (4(1) – 2)² . 4 = 16 . 3 + 16 = 48 + 16 = 64



45. Tentukan turunan dari f(x) = 8√x Pembahasan: f(x) = 8√x f’(x) = 8 . x½ f’(x) = 8.1/2 x ^1/2-1 f'(x) = 4x-½ f’(x) = 4/√x



46. Berapa turunan pertama dari fungsi f(x) = (x² + 4x + 7)(5x + 6)? Pembahasan : Misalkan: u = x² + 4x + 7 v = 5x + 6 Maka : u’ = 2x + 4 v’ = 5 f'(x) = u’v + uv’ f'(x) = (2x + 4)(5x + 6) + (x² + 4x + 7)(5)



135



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



f'(x) = 10x² + 18x + 20x + 24 + 5x² + 20x + 55 f'(x) = 15x² + 58x + 79



32. Tentukan turunan pertama dari fungsi dibawah ini: a) f(x) = 2(2x2 + 4x) b) f(x) = (2x + 3)(5x + 2) Pembahasan Rumus : f(x) = u(x) ± v(x) f’(x) = u’(x) ± v’(x) a) f(x) = 2(2x2 + 4x) f(x) = 4x2 + 20x f ‘ (x) = 8x + 20 b) f(x) = (2x + 3)(5x + 2) Urai terlebih dahulu hingga menjadi f (x) = 10x2 + 4x + 15x + 6 f (x) = 10x2 + 19x + 6 Maka f ‘ (x) = 20x + 19



33. Diketahui f(x) = 5x² – 3x² + 3x⁴ – x + 7,dan f’ adalah turunan pertama dari f. Berapa nilai dari f’(2) = ... Pembahasan: f(x) = 5x² – 3x² + 3x⁴ – x + 7 f’(x) = 10x – 6x + 12x³ – 1 f’(2) = 10(2) – 6(2) + 12(2)³ – 1 f’(2) = 20 – 12 + 96 – 1 = 113



136



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



1. Tentukan turunan dari f(x) = (4x + 3) (2x + 8) adalah Pembahasan: Misal : u(x) = 4x + 3 v(x) = 2x + 8 u’(x) = 4 v’(x) = 2 Maka: f’(x) = (4x + 3)(2) + (4)(2x + 8) f’(x) = 8x + 6 + 8x + 32 f'(x) = 16x + 38 f’(x) = 2x + 6



2. Tentukan turunan dari f(x) = ( x4 – 2x2 + 1)1/2 pada x = 2 Pembahasan : Misal : u = x4 – 2x2 + 1 du/dx = 4x3 – 4x v = u 1/2 dy/du = 1/2 u -1/2 maka : f”(x) = 1/2(x4 – 2x2 + 1)1/2 . (4x3 – 4x) f”(x) = 1/2(16 – 9)1/2 . (40) = 24/2 . 9-1/2 = 12/9-1/2 = 12/3 =4



3. Tentukan turunan dari f(x) = (5x + 2)/x2, padaa x = 4 Pembahasan :



137



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



f(x) = (5x + 2)/x2 f”(x) = ((5x + 2)(2x) – (5)(x2))/(x2)2 f”(4) = (10x2 + 4x – 5x2)/(4)4 f”(4) = 96/256 f”(4) = 12/32 f”(4) = 3/8



4. Tentukan turunan utama dari y = x3/(2x + 1) Pembahasan : Missal : u = x3 v = 2x + 1 u’ = 3x2 v’ = 2 maka : y = u/v y’ = (u’v – uv’)/v2 y’ = (x3(2) – (3x2)(2x + 1))/(2x + 1)2 y’ = (2x3 – 6x3 – 3x2)/(2x + 1)2 y’ = (- 4x3 – 3x2)/(2x + 1)2



5. Tentukan turunan dari f(x) = (sin(x + 2) + 3)3 Pembahasan : Missal : u = sin(x + 2) + 3 u’ = cos(x + 2) maka : f(x) = (sin(x + 2) + 3)3



138



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



f’(x) = 3( sin(x + 2) + 3)2 . cos(x + 2) f’(x) = 3cos(x + 2)(sin(x + 2) + 3)2



6. Tentukan turunan dari f(x) = (cos2x + 3)2 Pembahasan : Missal : u = cos2x + 3 u’ = 2 – sinx f’(x) = 2(u) . u’ maka : f(x) = (cos2x + 3)2 f’(x) = 2(cos2x + 3) . 2 – sinx f’(x) = - 4sinx (cos2x + 3) 7. Tentukan turunan dari f(x) = (3x – 3)/(4x + 7), pada x = 2 Pembahasan : Missal : u = 3x – 3 v = 4x + 7 u’ = 3 v’ = 4 maka : f(x) = (3x – 3)/(4x + 7) f’(x) = ((3x – 3)(4) – (3)(4x + 7))/(4x + 7)2 f’(x) = (12x – 12 – 12x – 21)/(4x + 7)2 f’(x) = (-33)/(8 + 7)2 f’(2) = -33/(8 + 7)2 = -33/225



139



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



2𝑥−3



47. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 4𝑥+7 ? Penyelesaian : Misal u(x) = 2x -3 dan v(x) = 4x + 7 maka u’(x) =2 dan v’(x) = 4 f’(x)



=



=



𝑢′ (𝑥).𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥).𝑣′(𝑥) 𝑣(𝑥)2



(2)(4𝑥+7)−(2𝑥−3)(4)



= =



(4𝑥+7)2 8𝑥+14−8𝑥+12 16𝑥 2 +56𝑥+49 26 16𝑥 2 +56𝑥+49



48. Tentukan turunan dari f(x) = (x4 + 2) (5x + 10) adalah Pembahasan: Misal : u(x) = (x4 + 2) v(x) = (5x + 10) u’(x) = 4x3 v’(x) = 5 Maka: f’(x) = u v’+ u’v f’(x) = (x4 + 2)(5)+ (4x3) (5x + 10) f'(x) = 5x4 + 10+20𝑥4+40𝑥3 f’(x) = 25x4+40x3+10 f’(x) = 5x4+8x3+5 49. Turunan pertama fungsi f(x) = (5x – 3)² (2x – 4) adalah f’(x). Nilai f’(2) =



140



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



PEMBAHASAN: Misal : u = (5x – 3)² u’ = 2(5x – 3) .5 = 10(5x – 3) v = (2x – 4) v’ = 2 maka rumusnya : f(x) = u.v --> f’(x) = u’.v + u.v’ Sehingga: f’(x) = 10(5x – 3). (2x – 4)+ (5x – 3)².2 f'(2) = 10(5(2) – 3). (2(2) – 4)+ (5(2) – 3)².2 = 70+98 = 168 𝑥3



50. Diketahui sebuah fungsi f(x) =



4𝑥+10



,maka f’(x) adalah……



PEMBAHASAN: Misal: : u = x3 u’ = 3x2 v = 4x+10 v’ = 4 𝑢



𝑢’.𝑣− 𝑢.𝑣’



𝑣



𝑣2



maka rumusnya : f’(x) =( ) ’ = f’(x) =



3𝑥 2 .(4𝑥+10)− 𝑥 3 .4



II. 11.



4𝑥+10



=



12𝑥 3 +30𝑥 2 − 4𝑥 3 4𝑥+10



=



𝟖𝒙𝟑 +𝟑𝟎𝒙𝟐 𝟒𝒙+𝟏𝟎



SOAL URAIAN



51. Apa yang dimaksud dengan fungsi Diferensial?... JAWAB : fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tak beraturan. Turunan ( diferensial ) dipakai sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika



141



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



52. Tentukan turunan pertama dari y = (5x5)4+(3x-2)3 adalah . . . Jawab: Kita uraikan satu per satu dulu masing-masing persamaan, misalnya : f (x) = y = (5x-5)4 = 4. (5x-5)41 .5 = 20 (5x-5)3 Terus berlanjut ke persamaan berikutnya : f (x) = y = (3x-2)3 = 3. (3x-2)3-1. 3 = 9 (3x-2)2 Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkankedua persamaan tersebut : f (x) = y = (5x-5)4+(3x-2)3 = 20 (5x-5)3+ 9 (3x-2)2 53. Diketahui sebuah fungsi f(x) =



𝑥4 2𝑥+8



Pembahasan: Misal: : u = x4



142



,maka f’(x) adalah……



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



u’ = 4x3 v = 2x+8 v’ = 2 𝑢



𝑢’.𝑣− 𝑢.𝑣’



𝑣



𝑣2



maka rumusnya : f’(x) =( ) ’ = f’(x) =



4𝑥 3 .(2𝑥+8)− 𝑥 4 .2 2𝑥+8



=



6𝑥 4 +32𝑥 3 2𝑥+8



=



𝟖𝒙𝟒 +𝟑𝟎𝒙𝟑 𝟒𝒙+𝟏𝟎



=



𝟒𝒙𝟒 +𝟑𝟎𝒙𝟑 𝟐𝒙+𝟓



54. Jika jumlah penduduk suatu daerah dalam t tahun mendatang dapat dinyatakan dalam fungsi t : f (t) = 20.000.000 + 15.000t − 500 𝑡 2 maka dapatkan laju pertumbuhan penduduk didaerah tersebutpada saat tiga tahun mendatang ! Jawab : 𝑓(t) = 20.000.000 + 15.000t − 500 𝑡 2 f’ (t) = 15.000 − 500 𝑡 sehingga laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah f’ (5) = 15.000- 500 . (3) = 15.000 – 1.500 = 13.500 Jadi laju pertambahan penduduk 3 tahun mendatang adalah 13.500 orang 55. Jika terdapat fungsi total cost untuk memproduksi x satuan barang adalah TC = 2x3-3x2+12x+40, maka tentukan MC pada saat memproduksi 25 satuan barang ! Jawab : TC = 2x3-3x2+12x+40 MC = TCI = 3.2 𝑥 2 − 2.3𝑥 + 12 TCI = 6 𝑥 2 − 6𝑥 + 12 Sehingga MC 143



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



untuk x = 20 adalah MC = 6 (25)2 − 6.25 + 12 = 3.750 – 150 + 12 = 3.612 Satuan rupiah MC = 3 (20)2 – 8 (20) + 16 = 3.612 satuan rupiah Ini berarti pada posisi x = 20 satuan baran, akan terjadi tingkat perubahan biaya sebesar 3.612 satuan rupiah jika x berubah 1 unit.



56. Suatu proyek pembagunan jalan akan diselesaikan dalam x hari dengan biaya 30.000 proyek perhari adalah y = (3x + - 60) dalam ribuan rupiah, biaya proyek minimum dalam x hari adalah . . . jawab : y = (3x + - 60) y (x) = (3x2 + 30.000 – 60x) biaya minimum diperoleh jika yI (x) = 0 3x-60 = 0 x = 20 Biaya minimum adalah : y (20) = 3(20)2 + 30.000 – 60(20) = 1.200 + 30.000 – 1.200 =



30.000 20



=1500



57. Turunan pertama dari f ( x) = 6 x23 adalah f′( x) :



144



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Jawab : f ( x) = 6 x23 f′( x) =23.6 x123−=9x21 58. Turunan pertama fungsi f(x)=(4x2−12x)(x+2)f(x)=(4x2−12x)(x+2) adalah Jawab : f(x)=(4x2−12x)(x+2) u=4x2−12x→u′=8x−12 v=x+2→v′=1 f′(x)=u′⋅v+u⋅v′ =(8x−12)(x+2)+(4x2−12x)(1) =8x2+16x−12x−24+4x2−12x =12x2−8x−24



59. Jika f(x)=1x2−1x+1f(x)=1x2−1x+1, maka f′(12)=⋯f′(12) : Jawab : f(x)=1x2−1x+1 =x−2−x−1+1 f′(x)=−2x−2−1−(−1)x−1−1+0 =−2x−3+x−2 f′(1/2)=−2(12)−3+(12)-2 =−2(2−1)−3+(2−1)-2 =−2(23)+(22) =−16+4 =−12 60. Turunan pertama dari fungsi f(x)=(x−1)2(x+1)f(x)=(x−1)2(x+1) adalah f′(x) ? Jawab :



145



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



f(x)=(x−1)2(x+1) u=(x−1)2→u′=2(x−1) v=(x+1)→v′=1 f′(x)=u′⋅v+u⋅v′ =2(x−1)(x+1)2+(x−1)2(1) =2(x2−1)+x2−2x+1 =2x2−2+x2−2x+1 =3x2−2x−1 x2−7



61. Turunan pertama dari f(x)=x√



X



adalah ?



Jawab : f(x) =x2−7/x√x =x2−7/x⋅x1/2 =x2−7x3/2 u=x2−7→u′=2x’ v=x3/2→v′=3/2x1/2 f ′ (x) = = =



𝑢′ (𝑥). 𝑢(𝑥). 𝑣 ′ (𝑥) 𝑣2(𝑋) 2x⋅x32−(x2−7)⋅32x12 (x3/2)2 5 3 5 21 1 2 2 2 2 2



2𝑥 − 𝑥 + 𝑥 𝑥3 1 5 21 1 𝑥 2 + 2 𝑥2



=2



x3



1



= = =



( 𝑥12)(𝑥 2 +21) 2 𝑥3 (𝑥 2 +21) 2𝑥52 (x2+21) 2𝑥2√𝑥



62. Fungsi f(x)=x3+3x2−9x−7f(x)=x3+3x2−9x−7 turun pada interval ?



146



DIFERENSIAL MATEMATIKA TEKNIK



Jawab : Syarat suatu fungsi akan turun adalah turunan pertama kurang dari nol, turunan pertama f(x)f(x) adalah f′(x)=3x2+6x−9f′(x)=3x2+6x−9 f′(x)