Tugas 1 Geometri Diferensial [PDF]

Citation preview

TUGAS GEOMETRI DIFERENSIAL “KEREGULERAN KURVA” Diajukan untuk memenuhi tugas dari matakuliah Geometri Diferensial



Disusun oleh: Nama: Sella Aji Oktarin Nim : 111810101023



JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 2013



TUGAS 1 GEOMETRI DIFERENSIAL Evaluasi kereguleran permukaan berikut (berikan ilustrasi gambar dan penjelasannya) 1. S(u,v) = (𝑢2 )𝒊 + (𝑢2 𝑣)𝒋 + (𝑣)𝒌 Jawab: 𝜕𝑺 𝜕 2 (𝑢 𝒊 + 𝑢2 𝑣 𝒋 + 𝑣 𝒌) = 𝜕𝑢 𝜕𝑢 = 2𝑢𝒊 + 2𝑢𝑣𝒋 𝜕𝑺 𝜕 2 (𝑢 𝒊 + 𝑢2 𝑣 𝒋 + 𝑣 𝒌) = 𝜕𝑣 𝜕𝑣 = 𝑢2 𝒋 + 1𝒌 𝜕𝑺 𝜕𝑺 × 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝒊 𝒋 = [2𝑢 2𝑢𝑣 0 𝑢2



𝒏𝒔 =



𝒌 𝒊 0] 2𝑢 1 0



𝒋 2𝑢𝑣 𝑢2



= (2𝑢𝑣)𝒊 + (2𝑢3 )𝒌 − (2𝑢)𝒋 = (2𝑢𝑣)𝒊 − (2𝑢)𝒋 + (2𝑢3 )𝒌



Dari hasil diatas dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian silang tersebut menghasilkan suatu nilai yang artinya hasil perkalian tidak bernilai nol. Karena tidak bernilai nol maka kurva tersebut adalah kurva reguler. Dalam hal ini apakah kereguleran tersebut terdapat di semua titik. Maka dari itu kita akan menguji apakah grafik dari kurva tersebut reguler disemua titik atau tidak. Untuk mempermudah pengujian maka dengan cara mensubtitusikan nilai v=0 dan u=0.  𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑢 = 0, 𝜕𝑺 𝜕𝑺 × = (2𝑢𝑣)𝒊 − (2𝑢)𝒋 + (2𝑢3 )𝒌 𝜕𝑢 𝜕𝑣 = (2.0𝑣)𝒊 − (2.0)𝒋 + (2(0)3 )𝒌 =0



 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑣 = 0, 𝜕𝑺 𝜕𝑺 × = (2𝑢𝑣)𝒊 − (2𝑢)𝒋 + (2𝑢3 )𝒌 𝜕𝑢 𝜕𝑣 = (2𝑢(0))𝑖 − (2𝑢)𝑗 + (2𝑢3 )𝑘 = −(2𝑢)𝑗 + (2𝑢3 )𝑘 = 2𝑢3 − 2𝑢 Untuk u=0 menghasilan nilai 0 maka dapat diambil kesimpulan kurva tersebut tidak reguler di titik 𝑢 = 0 atau 𝑠 = 0. Berikut gambar grafik dengan mengunakan maple: > plot3d([u^2,u^2*v,v],u=-3...3,v=-7...7);



dari gambar yang telah ditampilkan diatas memiliki batas interval −3 ≤ 𝑢 ≤ 3, 𝑑𝑎𝑛 − 7 ≤ 𝑣 ≤ 7. Memiliki tingginya (sumbu z) 6 dan berpusat pada (x,y,z)=(0,9,60)



2. S(u,v) = 𝐶𝑜𝑠 𝑢 𝒊 + 𝑆𝑖𝑛 𝑢 𝒋 + 𝑣𝒌 Jawab: 𝜕𝑺 𝜕 (𝐶𝑜𝑠 𝑢 𝒊 + 𝑆𝑖𝑛 𝑢 𝒋 + 𝑣𝒌) = 𝜕𝑢 𝜕𝑢 = (− sin 𝑢) 𝒊 + (cos 𝑢) 𝒋 𝜕𝑺 𝜕 (𝐶𝑜𝑠 𝑢 𝒊 + 𝑆𝑖𝑛 𝑢 𝒋 + 𝑣𝒌) = 𝜕𝑣 𝜕𝑣 =𝒌 𝜕𝑺 𝜕𝑺 × 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝒊 𝒋 = [− sin 𝑢 cos 𝑢 0 0



𝒏𝒔 =



𝒌 𝒊 0 ] − sin 𝑢 0 1



𝒌 cos 𝑢 0



= (cos 𝑢)𝒊 + (sin 𝑢)𝒋



Dari hasil diatas dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian silang menghasilkan suatu nilai yang artinya hasil perkalian tidak bernilai nol. Karena tidak bernilai nol maka kurva tersebut adalah kurva reguler dalam selang 0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋 dan 0 ≤ 𝑣 ≤ ∞ .



Berikut gambar grafik dengan mengunakan maple:



> plot3d([cos(u),sin(u),v],u=Pi...3*Pi,v=Pi...3*Pi);



dari gambar yang telah ditampilkan diatas dapat terlihat jelas merupakan silinder terbuka dengan batas 𝜋 ≤ 𝑢 ≤ 3𝜋, 𝑑𝑎𝑛 𝜋 ≤ 𝑣 ≤ 3𝜋. Memiliki jari-jari 1 satuan , tingginya (sumbu z) 9,6 dan berpusat pada (x=v,0,0)



3. S(u,v) = (𝑢 + 𝑣)𝒊 + (𝑢 − 𝑣 + 1)𝒋 + (𝑢 − 𝑣)𝒌 Jawab: 𝜕𝑺 𝜕 = ((𝑢 + 𝑣)𝒊 + (𝑢 − 𝑣 + 1)𝒋 + (𝑢 − 𝑣)𝒌) 𝜕𝑢 𝜕𝑢 = (1)𝒊 + (1)𝒋 + (1)𝒌 𝜕𝑺 𝜕 = ((𝑢 + 𝑣)𝒊 + (𝑢 − 𝑣 + 1)𝒋 + (𝑢 − 𝑣)𝒌) 𝜕𝑣 𝜕𝑣 = (1)𝒊 + (−1)𝒋 + (−1)𝒌 𝜕𝑺 𝜕𝑺 × 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝒊 𝒋 𝒌 𝒊 = [1 1 1 ]1 1 −1 −1 1



𝒏𝒔 =



𝒋 1 −1



= −𝒊 + 𝒋 − 𝒌 − 𝒌 + 𝒊 + 𝒋 = (0)𝒊 + 2𝒋 − 2𝒌 = 2𝒋 − 2𝒌



Dari hasil diatas dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian silang menghasilkan nilai 0 . Karena bernilai nol maka kurva tersebut bukanlah kurva reguler.



Berikut gambar grafik dengan mengunakan maple: > plot3d([(u+v),(u+v+1),(u-v)],u=5...16,v=5...16);



dari gambar yang telah ditampilkan diatas memiliki batas interval 5 ≤ 𝑢 ≤ 16, 𝑑𝑎𝑛 5 ≤ 𝑣 ≤ 16.



4. S(u,v) = 𝑣 𝒊 + (2 + 𝐶𝑜𝑠 𝑢)𝒋 + 𝑆𝑖𝑛 𝑢 𝒌 Jawab : 𝜕𝑺 𝜕 (𝑣 𝒊 + (2 + 𝐶𝑜𝑠 𝑢)𝒋 + 𝑆𝑖𝑛 𝑢 𝒌) = 𝜕𝑢 𝜕𝑢 = − sin 𝑢 𝒋 + cos 𝑢 𝒌 𝜕𝑺 𝜕 (𝑣 𝒊 + (2 + 𝐶𝑜𝑠 𝑢)𝒋 + 𝑆𝑖𝑛 𝑢 𝒌) = 𝜕𝑣 𝜕𝑣 =1 𝜕𝑺 𝜕𝑺 × 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝒊 𝒋 = [0 − sin 𝑢 1 0



𝒏𝒔 =



𝒋 𝒌 𝒊 cos 𝑢] 0 − sin 𝑢 0 0 1



= cos 𝑢 𝒋 + sin 𝑢 𝒌



Dari diatas dapat disimpulkan bahwa perkalian silang diatas menghasilkan suatu nilai artinya hasil perkalianya tidak bernilai nol maka kurva dari persamaan diatas adalah reguler pada selang 0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋 𝑑𝑎𝑛 − ∞ ≤ 𝑣 ≤ ∞.



Berikut gambar grafik dengan mengunakan maple: > plot3d([v,(2+cos(u)),sin(u)],u=0...Pi,v=0...Pi);



dari gambar yang telah ditampilkan diatas memiliki batas interval 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝜋, 𝑑𝑎𝑛0 ≤ 𝑣 ≤ 𝜋. Memiliki tingginya (sumbu z) 1 dan berpusat pada (x,y,z)=(0,0,3)