Bunga Majemuk [PDF]

Citation preview

Bunga Majemuk Untuk memahami perbedaan bunga tunggal dan bunga majemuk, perhatikan tabel berikut



Sistem Bunga Tunggal Thn.



Modal Awal



Bunga



Ke 1



Initial Capital



interest



1.000.000



2



Sistem Bunga Majemuk



Modal Akhir



Thn.



Modal



Bunga



Modal Akhir



8%



1.080.000



Ke 1



Awal 1.000.000



8%



1.080.000



1.000.000



8%



1.160.000



2



1.080.000



8%



1.166.400



3



1.000.000



8%



1.240.000



3



1.166.000



8%



1.259.712



4



1.000.000



8%



1.230.000



4



1.259.712



8%



1.360.488,96



Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa, mulai dari tahun kedua pertumbuhan modal dengan sistem bunga majemuk lebih besar dibandingkan dengan bunga tunggal karana pada bunga tunggal besarnya bunga dihitung dari modal yang tetap ( awal ) sedangkan pada bunga majemuk bunga dihitung dari modal akhir ( bunga ikut berbunga ) A. Nilai Akhir Bunga Majemuk Suatu modal yang besarnya M dibungakan dengan suku bunga majemuk i=p% perperiode, selama n periode, maka besarnya modal akhir periode ke-n Mn dapat dihitung sebagai berikut : Periode 1 :



Modal Awal = Mo = M Modal Akhir = M1 = M + iM = M ( 1 + i )



Periode 2:



Modal Awal = M1 = M ( 1 + i ) Modal Akhir = M2 = M1 + iM = M1( 1 + i ) M2 = M ( 1 + I )( 1 + i ) = M ( 1 + I )2



Perode 3:



Modal Awal = M2 = M ( 1 + I )2 Modal Akhir = M3 = M2 + iM2 = M2 ( 1 + i ) M3 = M ( 1 + I )2( 1 + i ) = M ( 1 + I )3 Dan seterusnya.



Maka :



M4 = M ( 1 + I )4



.



Mn = M ( 1 + I )n Jadi nilai akhir modal pada akhir periode ke n adalah: Mn = M ( 1 + I )n , dengan n ε A Nilai ( 1 + i )n = Sn, dapat dilihat pada tabel bunga I. Catatan : Periode tersebut bisa perbulan, persemester dsbnya. 1



Contoh 10 Modal sebesar Rp5.000.000,00 debungakan dengan bunga majemuk 10%/tahun. Tentukan modal akhir dan bunga yang diperoleh setelah 6 tahun. Jawab: M = Rp5.000.000,00 i = 10%/tahun = 0,1/tahun n = 6 tahun Mn = M(1 + i)n M6 = 5.000.000,00 (1 + 0,1)6 = 5.000.000,00 (1,1) Menentukan nilai (1,1)6 dengan kalkulator scientific sebagai berikut: 1,1 → xy → 6 → =, maka diperoleh 1,771561 = 5.000.000 x 1,771561 = Rp8.857.805,00 Bunga = Rp8.857.805,00 – Rp5.000.000,00 = Rp3.857.805,00 Contoh 11 Modal sebesar Rp2.000.000,00 debungakan dengan bunga majemuk 5%/semester. Tentukan modal akhir setelah 5 tahun. Jawab: M = Rp2.000.000,00 i = 5%/semester = 0,05/semester n = 5 tahun = 10 semester Mn = M(1 + i)n M6 = 2.000.000,00 (1 + 0,05)10 = 2.000.000,00 (1,05)10



dengan Daftar I maupun kalkulator diperoleh



= 2.000.000 x 1,62889467



= Rp3.257.789,25



Contoh 12 Modal sebesar Rp1.500.000,00 debungakan dengan bunga majemuk 4%/ triwulan selama 3 tahun 9 bulan. Tentukan modal akhir. Jawab: M = Rp1.500.000,00 i = 4%/triwulan = 0,04/triwulan n = 3 tahun 9 bulan = 15 triwulan Mn = M(1 + i)n M6 = 1.500.000,00 (1 + 0,04)15 = 1.500.000,00 (1,04)15



dengan Daftar I maupun kalkulator diperoleh



= 1.500.000 x 1,800943506 = Rp2.701.415,26 2



Contoh 13 Modal sebesar Rp3.000.000,00 debungakan dengan bunga majemuk 4%/ semester, setelah berapa tahun modal akhir menjadi Rp4.440.732,87? Jawab: M = Rp3.000.000,00 i = 4%/semester = 0,04/semester Mn = Rp4.440.732,87 Mn = M(1 + i)n 4.440.732,87 = 3.000.000,00 (1 + 0,04)n



4.440.732,87 3.000.000,00 = (1,04)n 1,48024429 = (1,04)n



dilogaritmakan dengan bilangan pokok 10



Log 1,48024429 = n. log 1,04



log 1,48024429 n = log 1,04 = 10 semester = 5 tahun



Contoh 14 Modal sebesar Rp2.500.000,00 debungakan dengan bunga majemuk tiap bulan, setelah 2 tahun modal akhir menjadi Rp4.021.093,12. Tentukan suku bunganya ! Jawab: M = Rp2.500.000,00 N = 2 tahun = 24 bulan Mn = Rp4.021.093,12 Mn = M(1 + i)n 4.021.093,12 = 2.500.000,00 (1 + i)24



4.021.093,12 2.500.000,00 = (1 + i)24 1,608437249 = (1 + i)24 dilogaritmakan dengan bilangan pokok 10 1+i =



24



√1,608437249



log 1 ,608437249 0 ,206404122 Log 1 + i = 24 = 24 = 0,008600171 3



1 + I = 1,02



(antilog)



i = 1,02 – 1 = 0,02 = 2% Jadi, suku bunganya 2% perbulan. So the interest rate of 2% per month.



B. Nilai Akhir Bunga Majemuk dengan Masa Bunga Pecahan. Jika suatu modal dibungakan dengan masa bunga pecahan, dalam hal ini n bilangan



w pecahan, berarti n = q + v maka nilai akhir modal adalah: Mn = M ( 1+i ) Nilai (1 + )



w v



q+



w v



= M(1 + i)q(1 + )



w v



w .i v ) sehingga nilai akhir modal dengan



hampir sama dengan ( 1 +



masa



w w w 1+ . i q v pecahan q v dapat ditulis : Mn = M v = M(1+i)q



(



)



,



w dengan catatan n = q + v , w < v dan q,w,vεA Contoh 15 Modal sebesar Rp 100.000,00 dibungakan secara majemuk dengan suku bunga 9% persemester. Berapakah nilai modal itu setelah 5 tahun 4 bulan? Jawab :



4 2 M = 100.000,00 ; i = 9% ; n = 10 6 = 10 3 M



10



2 2 1+ . 0 , 09 3 3 = 100.000(1+0,09)10



(



)



= 250.940,55



Jadi besar modal itu setelah 5 tahun 4 bulan adalah Rp 250.940,55 Contoh 16 Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan secara majemuk dengan suku bunga 12% pertahun. Tentukan modal akhir setelah 6 tahun 3 bulan? Jawab :



3 1 M = 5.000.000,00 ; i = 12% ; n = 6 12 = 6 4 = 6,25 tahun M6,25 = 5.000.000(1+0,12)6



(1+ 14 . 0 ,12)



= 5.000.000 x 1,973822689 x 1,03 = 10.165.186,83 Jadi besar modal itu setelah 6 tahun 3 bulan adalah Rp10.165.186,83 C. Nilai Tunai Bunga Majemuk 4



Secara singkat dapat dikatakan bahwa nilai akhir nilai modal setelah mengalami proses pembungaan, sedangkan nlai tunai adalah nilai modal sebelum dibungakan Dengan demikian rumus untuk menghitung nilai tunai dapat kita turunkan dari rumus nilai akhir sebagai berikut: Nilai akhir Na = Mn = M ( 1 + I )n M adalah modal sebelum dibungakan = Nilai tunai. Dengan demikian maka



Mn



( 1+i )



Nt = M = Jadi ,



n



Na



=



( 1+i )n = Na(1+ i )-n



Nt = Na(1+i)-n = Na x An┐i



Dimana Na = Mn = nilai akhir modal setelah n periode yang akan dating



1 n An┐i = (1+i) = (1 + I)-n ……….* Nilai tersebut (*) dapat dilihat pada daftar bagian II atau dapat juga dengan menggunakan kalkulator dengan langkah sebagai berikut : Contoh : ( 1+0,05 )-6 = ….. Example : 1



+



0



.



0



5



=



IN



xy



6



=



INV



V



1 x



Contoh 17 Example 17 : Tentukan modal mula-mula (nilai tunai dari suatu modal) jika nilai akhir modal sebesar Rp17.262.804.24 setelah dibungakan selama 4 tahun 9 bulan dengan suku bunga 8%/kwartal. Jawab: Mn = Rp17.262.804.24 i = 8%/kwartal = 0,08%/kwartal n = 4 tahun 9 bulan = 19 kwartal



Mn Nt = M =



( 1+i )



n



=



17 .262.804,24 ( 1+0,08 )19



(1 tahun = 4 kwartal)



17 .262.804,24 ( 1,08 )19 =



5



=



17 .262.804,24 4,315701059



= Rp4.000.000,00



D. Nilai Tunai Bunga Majemuk dengan Masa Bunga Pecahan. Untuk menghitung nilai tunai dari modal yang mempunyai masa bunga pecahan, maka analog dengan cara diatas maka kita dapat menurunkannya melalui rumus nilai akhir sebagai berikut: Rumus nilai akhir untuk masa bunga pecahan :



q



Mn = M



w w 1+ . i v v = M(1+i)q



(



)



,



maka nilai tunai :



Na Nt =



w ( 1+i )n (1+ . i) i



Contoh 18 Sebuah modal disimpan di Bank dengan suku bunga majemuk 3% per kuartal. Setelah 4 tahun 8 bulan modal itu menjadi Rp 694.593,00. Berapakah besar uang yang dipinjam waktu itu? Jawab :



2 i =3%, n = 4 tahun 8 bulan=56 bulan = 18 3 kuartal,



Na= 694.593.00



Na Nt =



w ( 1+i )n (1+ . i) i



694 . 593 ,00 2 ( 1 , 03 )18 1+ .0 , 03 3 Nt =



(



=



)



694 .593 , 00 694 .593 , 00 = =400. 000 , 18 18 ( 1 , 03 ) ( 1 , 02 ) 1 , 70243306 x 1, 02



Jadi besar unag yng disimpan waktu itu adalah Rp 400.000,18 dibulatkan menjadi Rp 400.000,00 Contoh 19 Pada tangal 1 Januari 2004 Ali meminjam uang kepada BANK MANDIRI sebesar Rp 400.000,00. Pinjaman itu akan dikembalikan sekaligus pada tanggal 31 Desember 2007 sebesar Rp 600.000,00. Jika pinjaman itu dimajemukan setiap semester, maka berapakah suku bunga pinjaman itu? Jawab : Nt = 400.000,00,



Na Nt =



( 1+i )



n



Na = 600.000,00,



n = 4 tahun,= 8 semester=8



600.000,00 Na → (1+i)n = Nt = 400.000,00 = 1,5



(1 + i )8 = 1,5 → Log(1+i)8 = log 1,5 6



log 1,5 0,176 8 → 8log(1+i) = log 1,5 → log(1+i) = = 8 =0,022 1 + i = anti log 0,022 = 1,05→ i = 1,05 – 1 = 0,05 = 5% Jadi besar bunga suku bunga adalah 5% persemester. Catatan : Dalam perhitungan diatas dilakuakan pembulatan- pembulatan logritma. Rangkuman: 1. Jika suatu modal M dibungakan dengan bunga majemuk i% / perioe selama n periode, maka modal akhir Mn: Mn = M(1 + I)n 2. Rumus nilai akhir bunga majemuk dengan masa bunga pecahan: Mn = M(1+i)n(1+p.i) dengan p masa bunga pecahan. 3. Rumus nilai tunai bunga majemuk adalah:



M n Nt = M(1 + i)-n atau Nt = (1+i) 4. Rumus nilai tunai bunga majemuk dengan masa bunga pecahan:



M n Nt = (1+i) (1+ p.i ) dengan p = suku bunga pecahan.



LATIHAN 2 1. Hitunglah nilai akhir modal sebesar Rp 1.000.000,00 yang disimpan di Bank selama 5 tahun dengan suku bunga majemuk 6% pertahun! 2. Modal sebesar Rp 200.000,00 disimpan di Bank dengan suku majemuk 20% setahun. Hitunglah besar modal tersebut setelah 3 tahun jika dimajemukan setiap kuartal.



1 3. Modal sebesar Rp 10.000,00 disimpan di Bank, setelah 2 2



tahun modal itu



menjadi Rp 14.803,44. Berapakah suku bunga yang diberikan terhadap simpanan itu. 4. Pak Yohanes menyimpan uangnya di bank sebesar Rp100.000,00. Setelah 2,5 tahun uang Pak Yohanes menjadi Rp163.000,00. Jika simpanan berdasarkan suku bunga majemuk i = p% per kuartal, maka tentukan nilai p ? 5. Pada tanggal 1 Januari 2000, Nita menabungkan uangnya di Bank sebesar Rp 20.000,00 dengan suku bunga majemuk 18% pertahun. Tanggal 1 Juli 2001 ia menabung lagi pada Bank yang sama sebesar Rp 50.000,00 dan mulai tanggal tersebut 7



(1–7–2001) suku bunga tabungan naik menjadi 20% pertahum. Berapakan nilai tabungan Nita pada tanggal 32 Desember 2002?



8