Contoh Modul Ajar Polinomial Ag [PDF]

Citation preview

MODUL AJAR MATA PELAJARAN FASE PENYUSUN



: MATEMATIKA : F+ : AGUN SUTRIANTO, S.Pd., M.Pd. DKK



SATUAN PENDIDIKAN ALOKASI WAKTU



: SMA KOTA JAMBI : 12 JP



A. Kompetensi Awal Pada Fase E, Peserta didik telah memahami Persamaan dan fungsi kuadrat yang meliputi, menentukan akar-akar, dengan cara faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna dan menggunakan rumus ABC. Menentukan nilai diskriminan dan melukis grafik fungsi kuadrat. B. Profil Pelajar Pancasila 1. Beriman, bertakwa kepada Tuhan YME, dan berakhlak mulia 2. Berkebinekaan global 3. Bergotong royong 4. Mandiri 5. Bernalar kritis 6. Kreatif C. Target Peserta Didik Modul ajar ini dirancang untuk mengajar peserta didik reguler/tipikal (umum, tidak ada kesulitan dalam mencerna dan memahami materi ajar). D. Model Pembelajaran Model pembelajaran yang digunakan pada modul ajar ini adalah tatap muka dengan pendekatan Saintifik-TPACK E. Tujuan Pembelajaran Peserta didik dapat: 1. Menentukan Nilai Polinomial 2. Menentukan hasil penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian polinomial 3. Menyelesaikan masalah yang terkait dengan Teorema Sisa 4. Menentukan faktor-faktor linier polinomial 5. Menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan Polinomial 6. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan polinomial F. Asesmen Asesmen yang digunankan adalah tes tertulis



G. Pemahaman Bermakna Peserta didik dapat menggunakan konsep polinomial dalam menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. H. Pertanyaan Pemantik. 1. Bagaimana menentukan factor-faktor linier pada polinom 2. Bagaimana menentukan akar-akar pada suku banyak (polinom) 3.



I. Kegiatan Pembelajaran Pertemuan Pertama : Menentukan nilai polinom (2 jp) Kegiatan Kegiatan Guru dan Peserta Didik Waktu Pendahulu 1. Guru mengunggah materi ajar serta LKPD pada GCR (sebelum KBM 5 menit dimulai) an 2. Guru memberi salam kepada peserta didik, dan berdoa (PPK) 3. Guru mengecek kehadiran peserta didik 4. Guru memberi motivasi 5. Guru menyampaikan tujuan dan manfaat pembelajaran tentang topik yang akan diajarkan yaitu definisi polinom dan menentukan nilai polinom 6. Guru menyampaikan garis besar cakupan materi dan langkah pembelajaran Kegiatan 1. Guru menayangkan materi ajar yang telah diunggah pada GCR di infokus 55 menit (Teknologi−TPACK ) Inti 2. Peserta didik diberi motivasi dan panduan untuk melihat, mengamati, (4C dan membaca, terkait materi definisi polinom dan menentukan nilai Literasi) polinom (Literasi) 3. Guru memberikan pertanyaan dari gambar yang telah di tayangkan pada screen (content knowledge-TPACK) 4. Peserta didik memberikan umpan balik atas pertanyaan guru (critical thinking-4C) 5. Guru dan siswa bersama-sama mendiskusikan dari permasalahan di atas (collaboration-4C) 6. Guru memberikan beberapa permasalahan tentang bagaimana menentukan nilai polinom 7. Guru dan peserta didik berdiskusi untuk menyelesaikan permasalahan di atas (communication-4C) 8. Guru memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk bertanya tentang materi yang belum dipahami (communication-4C) 9. Guru memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk mengerjakan LKPD yang telah diunggah pada GCR 10.Guru memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk bertanya jika ada sesuatu yang belum dapat dipahami pada LKPD melalui forum pada GC 11.Peserta didik mengumpulkan/mengunggah hasil kerja pada GCR Catatan: langkah 1-8 Online dan 9-10 offline, pada langka 9-11 kretaifitas dan berpikir kritis siswa akan timbul (4C) Penutup 1. Guru bersama peserta didik merefleksikan pengalaman belajar dan 10 menit menarik kesimpulan (creativity-4C) 2. Guru memberikan penilaian lisan secara acak dan singkat 3. Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan berikutnya dan berdoa (PPK) Pertemuan Kedua : Menentukan hasil penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian polinomial Kegiatan Kegiatan Guru dan Peserta Didik Waktu Pendahulu 7. Guru mengunggah materi ajar serta LKPD pada GCR (sebelum KBM 5 menit dimulai) an



8. Guru memberi salam kepada peserta didik, dan berdoa (PPK) 9. Guru mengecek kehadiran peserta didik 10.Guru memberi motivasi 11.Guru menyampaikan tujuan dan manfaat pembelajaran tentang topik yang akan diajarkan yaitu definisi polinom dan menentukan nilai polinom 12.Guru menyampaikan garis besar cakupan materi dan langkah pembelajaran Kegiatan 12.Guru menayangkan materi ajar yang telah diunggah pada GCR di infokus 55 menit (Teknologi−TPACK ) Inti 13.Peserta didik diberi motivasi dan panduan untuk melihat, mengamati, (4C dan membaca, terkait materi definisi polinom dan menentukan nilai Literasi) polinom (Literasi) 14.Guru memberikan pertanyaan dari gambar yang telah di tayangkan pada screen (content knowledge-TPACK) 15.Peserta didik memberikan umpan balik atas pertanyaan guru (critical thinking-4C) 16.Guru dan siswa bersama-sama mendiskusikan dari permasalahan di atas (collaboration-4C) 17.Guru memberikan beberapa permasalahan tentang bagaimana menentukan nilai polinom 18.Guru dan peserta didik berdiskusi untuk menyelesaikan permasalahan di atas (communication-4C) 19.Guru memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk bertanya tentang materi yang belum dipahami (communication-4C) 20.Guru memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk mengerjakan LKPD yang telah diunggah pada GCR 21.Guru memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk bertanya jika ada sesuatu yang belum dapat dipahami pada LKPD melalui forum pada GC 22.Peserta didik mengumpulkan/mengunggah hasil kerja pada GCR Catatan: langkah 1-8 Online dan 9-10 offline, pada langka 9-11 kretaifitas dan berpikir kritis siswa akan timbul (4C) Penutup 4. Guru bersama peserta didik merefleksikan pengalaman belajar dan 10 menit menarik kesimpulan (creativity-4C) 5. Guru memberikan penilaian lisan secara acak dan singkat 6. Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan berikutnya dan berdoa (PPK) J. REFLEKSI PESERTA DIDIK DAN PENDIDIK  Guru bersama peserta didik merefleksikan pengalaman belajar dan menarik kesimpulan (creativity-4C)  Guru memberikan penilaian lisan secara acak dan singkat  Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan berikutnya dan berdoa (PPK) K. LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK



LKPD 1



LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK



1. s



Kompetensi Dasar



- POLINOMIAL -



e



3.4 Menjelaskan polinomial dan melakukan operasi pada polinomial (penjumlahan dan perkalian) 4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi hitung pada polinomial



Indikator Pencapaian Kompetensi 3.4.1 Menjelaskan pengertian polinom dan unsur-unsur pembentuknya. 3.4.2 Menentukan nilai polinomial dengan metode subtitusi dan metode bagan/skema. 4.4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai polinomial



Materi Pokok 1. Pengertian Polinomial 2. Nilai Polinomial Nama Kelompok : 1. 2. 3. 4.



Nilai



:



Catatan Guru :



Petunjuk : Diskusikanlah bersama teman sekolompokmu untuk mengerjakan setiap perintah yang ada pada LKPD ini, jika ada yang tidak di mengerti silahkan tanyakan kepada guru ! == Selamat Mengerjakan == KERJAKAN KEGIATAN INI SECARA BERKELOMPOK ! A. PENGERTIAN POLINOMIAL Mengamati



Perhatikan beberapa bentuk aljabar berikut ini a. 3x + 5 b. x2 - 4x + 3 c.



1 x–4 2



d. 2x2 - 5x + 3 e. 2x2 - 4x3 + x -13 1. Perhatikan tabel berikut ini ! tuliskan variabel, koefisien-koefisien, konstanta, dan suku dari polinomial berikut ! Bentuk aljabar a. 3x + 5



Variabel



Koefisien -koefisien



Konstanta (suku tetap)



X



3



5



Pangkat tertinggi (Derajat) 1



Banyaknya suku 2 yaitu 3x dan 5



b. x2 - 4x + 3 c.



1 x–4 2



d. 2x2 - 5x + 3 e. 2x2 - 4x3 + x -13



2. Kelompokkanlah bentuk-bentuk aljabar diatas pada tabel berikut. Berdasarkan apa kalian mengelompokkannya? Bentuk aljabar Bentuk aljabar linear Bentuk aljabar kuadrat kubik



Bentuk aljabar di atas dikelompokkan berdasarkan …………………………………… 3. Apabila dikatakan :  Bentuk Aljabar linear adalah polinomial berderajat …………………..  Bentuk Aljabar kuadrat adalah polinomial berderajat ……………….  Bentuk Aljabar kubik adalah polinomial berderajat …………………..



Ingat! Syarat dari polinomial, konstanta merupakan bilangan real dan pangkat variabel



merupakan bilangan cacah



4. Perhatikan bentuk aljabar berikut ini ! Tentukan apakah bentuk aljabar tersebut termasuk polinomial atau tidak ? Berikan alasanmu ! Bentuk Aljabar a. 2x2 - 5x + 3 b. 3x5 +4x2 -



Polinomial Ya Tidak



Alasan



5 x



c. x cos x d. x2 + √ x + 2



Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa :



Polinomial adalah : Ekspresi aljabar yang dapat disusun dari ………………… dan ………………… menggunakan operasi …………………......……………dengan syarat …………………………………………………………………………………………………… bilangan yang muncul dalam suatu suku dinamakan ………………………………….. pangkat tertinggi dari variabel dalam suatu suatu suku dinamakan ………………….



Polinomial dalam x yang berderajat n, dengan n bilangan cacah dan a ≠ 0dituliskan dalam bentuk : n



a n xPOLINOMIAL +…+…+ …+a 1 x +a0 , an ≠ 0 B. NILAI Suatu polinomial dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi f(x), yaitu : f(x)= ……………………. jika f(x)=ax3+bx2+cx+d, maka nilai fungsi f(x) untuk x=k adalah f(k)= ……………………. jika suatu polinomial dinyatakan sebagai fungsi, maka niali polinomial dapat ditentukan dengan : 1. Metode Subtitusi 2. Metode Bagan/Skema Contoh :



Tentukan nilai polinomial x3-5x+3 untuk x = 2 dan x = -2 Penyelesaian :



Metode Subtitusi



Tulis polinomial itu sebagai fungsi f(x) = x3 - 5x +3



Untuk nilai x = 2 yaitu : f(x) = (…..)3 – ……… + …… = ….. -….. +…… = …… Untuk nilai x = - 2 yaitu : f(x) = (…..)3 – ……… + …… = …… + …… + ….. = …… Metode Bagan/Skema x3-5x+3, berarti a3 = 1, a2 = 0, a1 = -5, a0 = 3 Langkah-langkah : 1. Kalikan 1 dengan 2 (tanda berarti dikalikan dengan 2) lalu tambahkan dengan 0 2. Kemudian hasil penjumlahan dari langkah 1 dikalikan lagi dengan 2 lalu ditambahkan dengan -5 3. Lakukan seterusnya sehingga mendapatkan nilai polinomial



1



0



-5



3



….



….



….



1



….



….



….



1



0



-5



3



….



….



….



….



….



….



x=2



x=-2 ….



+ jadi, f(….) = ….



+ jadi, f(….) = ….



Latihan Kelompok Diskusikan bersama kelompok soal-soal berikut. Kemudian presentasikan hasilnya di depan kelas. Dengan menggunakan kedua metode, tentukan nilai fungsi dari : a. f(x)=3x3-x+6 untuk x=2 b. g(x,y)=4x3y2-5x2y2+6x-y2+2 untuk x=1 Jawab :



LKPD 2



LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK



2. s



Kompetensi Dasar



- POLINOMIAL -



e



3.4 Menjelaskan polinomial dan melakukan operasi pada polinomial (penjumlahan dan perkalian) 4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi hitung pada polinomial



Indikator Pencapaian Kompetensi 3.4.3 Menentukan hasil operasi penjumlahan, dan pengurangan pada polinomial. 3.4.4 Menentukan hasil operasi perkalian dua polinom 4.4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi hitung pada polinomial



Materi Pokok 1. Operasi penjumlahan dan pengurangan polinom 2. Operasi perkalian polinom Nama Kelompok : 1. 2. 3. 4.



Nilai



:



Catatan Guru :



Petunjuk : Diskusikanlah bersama teman sekolompokmu untuk mengerjakan setiap perintah yang ada pada LKPD ini, jika ada yang tidak di mengerti silahkan tanyakan kepada guru ! == Selamat Mengerjakan =



KERJAKAN KEGIATAN INI SECARA BERKELOMPOK ! OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN ANTAR SUKU BANYAK A. penjumlahan polinomial Tentukan penjumlahan dari dua polinomial berikut ini ! cermati langkah-langkahnya ! ( 2t4 + t2 - 5t + 4) + (4t3 + 3t2 – 1) Penyelesaian : Langkah-langkah 1. ( susun dari variabel pangkat tertinggi) (……………………………………………………………….) 2. ( kelompokan suku-suku sejenis) (……………………………………………………………….) 3. ( jumlah suku-suku sejenis) (……………………………………………………………….) B. Pengurangan Polinomial Tentukan pengurangan dari dua polinomial berikut ini ! cermati langkah-langkahnya ! Cara mendatar : ( 2t4 + t2 - 5t + 4) - (4t3 + 3t2 – 1) 1. ( susun dari variabel pangkat tertinggi) (……..…………………………………………………..) 2. ( kelompokan suku-suku sejenis) (…………………………………………………………..) 3. ( kurangkan suku-suku sejenis) (…………………………………………………………..) Cara menurun : …… + …… + ..… + …… +….. …… + …… + ..… + …… +….. …………………………………… C. Perkalian polinomial Tentukan perkalian dari dua polinomial berikut ini ! cermati langkah-langkahnya ! Langkah-langkah : Setiap suku dalam polinomial pertama harus dikalikan dengan setiap suku dalam polinomial kedua ( 2t4 + t2 - 5t + 4) - (4t3 + 3t2 – 1)



2t4



t2



- 5t



4



x



4t3



=



…………..



x



3t2



=



…………..



x



–1



=



…………..



x



4t3



=



…………..



x



3t2



=



…………..



x



–1



=



…………..



x



4t3



=



…………..



x



3t2



=



…………..



x



–1



=



…………..



x



4t3



=



…………..



x



3t2



=



…………..



x



–1



=



…………..



( kelompokan dan jumlahkan suku-suku sejenis) = = ….. + ….. + ….. -….. +….. -….. + ….. - ….. + ….. -…. + ….-…. sejenis



kelompokan suku-suku



= ….+ …. + …. +(-….+….-….)t4 + (…..-….)t3+(…. -….) t2+ ….- ….



jumlahkan suku-suku sejenis



= ……………………………………………..



Latihan Kelompok Diketahui sukubanyak-sukubanyak 3 2 f ( x )=x +3 x −2 x +6 g ( x )=x 2+ 4 x +10 Tentukanlah : 1. f ( x ) + g ( x ) Jawaban :



2. f ( x )−g ( x ) Jawaban :



\



3. f ( x ) . g (x) Jawaban :



LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK 3 Kompetensi Dasar : 3.5 Menganalisis keterbagian dan faktorisasi polinomial 4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan faktorisasi polinomial



INDIKATOR : Menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak f(x) dengan (x – k) 3.5.2 Menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b) 3.5.3 Menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak f(x) dengan (ax2 + bx + c) 4.5.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pembagian suku banyak (polinomial)



KELOMPOK : NAMA KELOMPOK :     



3.5.1



TUJUAN PEMBELAJARAN :  Siswa dapat menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak f(x) dengan (x – k)  Siswa dapat menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b)  Siswa dapat menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak f(x) dengan (ax2 + bx + c)



PETUNJUKPENGGUNAANLKPD 1. Bacalah setiap permasalahan dengan teliti, kemudian diharapkan kamu dapat menuliskan apa yang diketahui, apa yang ditanyakan, model matematika serta kemungkinan cara penyelesaiannya yang berhubungan dengan masalah tersebut. 2. Setelah itu diskusikan dalam kelompokmu, setiap orang dalam kelompok harus mendapat giliran mengeluarkan pendapat serta mendengarkan dengan seksama ide dari temanmu. Jika dalam kelompokmu mendapat masalah yang tidak dapat kamu selesaikan, kamu dapat bertanya



kepada guru. 3. Setelah selesai, setiap kelompok masing-masing menuliskan jawabannya pada bagian yang telah disediakan.



Kegiatan 1 : Pembagian Kawan, masih ingat nggak tentang pembagian dengan cara bersusun pendek?



Untuk mengingat kembali ayo kita kerjakan kegiatan di bawah ini…^_^ ^_^



Tentukanlah pembagian dari 412 : 7 dengan cara bersusun pendek. Alternatif Penyelesaian : ...... Hasil bagi .......



Pembagi



412 ..... –



Bilangan yang dibagi



...... ...... – .....



Sisa pembagian



Dari kegiatan di atas, diperoleh bahwa :



412 ……. =¿ ........ + 7 7



Bagaimana halnya dengan pembagian pada suku banyak? Apakah cara di atas dapat digunakan pada pembagian suku banyak? Atau adakah cara lainnya?



Untuk menjawabnya, lakukan kegiatan berikut.



KEGIATAN 2



PEMBAGIAN SUKU BANYAK f(x) dengan (x – k)



A. Cara Bersusun Tentukan hasil bagi dan sisa dari f(x) = x3 + 4x2 – 2x + 4 dibagi dengan (x – 1) dengan cara bersusun. Alternatif Penyelesaian : ...... + ....... + ...... hasil bagi x–1



x3 + 4x2 – 2x + 4 ..... – ...... – (1) ...... – 2x (2) pembagi ...... – ...... – (3) ...... + ...... (4) ...... – ...... – (5) ...... sisa Jadi, hasil baginya adalah ................................ dan sisanya adalah .........



Nah, sekarang kalian sudah tahu pembagian suku banyak dengan cara bersusun kan.... Ayo kita berlatih!!!



Langkah Penyelesaian : Bagilah suku pertama x3 dengan x, diperoleh hasilnya ...... Kalikan hasil tersebut dengan pembagi (x–1) diperoleh .........(x–1) = ....................... Lalu kurangkan sehingga diperoleh sisanya ........ Kemudian, turunkan suku kedua –2x menjadi ...... – 2x (perhatikan tanda panah biru) Bagilah hasil dari langkah (2) dengan x, diperoleh hasilnya ....... Kalikan hasilnya dengan (x–1) diperoleh ........................ Lalu kurangkan sehingga diperoleh sisanya ........ Kemudian, turunkan suku berikutnya 4 menjadi ....... + ....... Bagilah hasil dari langkah (4) dengan x, diperoleh hasilnya ....... Kalikan hasilnya dengan (x–1) diperoleh ........................ Lalu kurangkan sehingga diperoleh sisanya ........ Jika semua suku dari suku banyak f(x) telah digunakan, maka pembagian selesai. Dari langkah-langkah tersebut, dapat dituliskan : x3+4x2–2x+4 = (x – 1) (...........................) + .......... suku banyak pembagi yang dibagi



hasil bagi sisa



1. Tentukan hasil bagi dan sisa dari f(x) = 4x3 – 7x2 + 2x + 3 dibagi dengan (x – 2) dengan cara bersusun. Alternatif Penyelesaian :



B. Cara Horner / Sintetik Tentukan hasil bagi dan sisa dari f(x) = x3 + 4x2 – 2x + 4 dibagi dengan (x – 1) dengan cara Horner. Alternatif Penyelesaian : Suku banyak f(x) = x3 + 4x2 – 2x + 4 diperoleh : Koefisien x3 : ..... Koefisien x2 : ..... Koefisien x : ..... Koefisien konstanta (c) : ..... Pembuat nol pembagi : x – 1 berarti x – 1 = 0 atau x = ..... Bagan cara Horner diperlihatkan sebagai berikut : x3 x2 x c suku banyak f(x) 1 ..... ..... ..... koefisien f(x) 1 1 ..... ..... hasil kali dengan + pembagi yaitu 1 1 ..... ..... ...... sisa pembagi



Langkah Penyelesaian : Suku banyak ditulis dalam urutan pangkat menurun. Jika ada pangkat yang tidak ditulis dalam soal, tuliskan dengan memberi koefisien 0 untuk pangkat tersebut Tentukan pembuat nol pembagi yaitu x – k = 0 atau x = k Tuliskan koefisien – koefisien suku banyak f(x) dan gunakan cara bagan untuk menyelesaikannya Tanda berarti kalikan dengan pembagi Hasil bagi diperoleh dengan melihat koefisien pada bagian bawah bagan dan sisa pembagiannya terletak di bagian ujung kanan bagan



koefisien hasil bagi



Jadi, hasil baginya adalah ................................ dan sisanya adalah .........



Ayo Berlatih



Ingat ya..... Jika derajat suku banyak f(x) adalah n dan derajat pembagi p(x) adalah m maka derajat hasil bagi H(x) = (n – m) Derajat sisa pembagiannya merupakan konstanta



2. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak f(x) = x5 – 2x3 + 7x – 1 dengan (x + 2) dengan cara Horner. Alternatif Penyelesaian :



Apa yang dapat kamu amati dari pembagian suku banyak di atas dengan menggunakan cara bersusun maupun cara Horner? Berikan alasanmu. .............................................................................................................. .............................................................................................................. ............................................................................................



KESIMPULAN Dari kegiatan di atas, dengan menggunakan cara bersusun maupun cara Horner diperoleh : x3+4x2–2x+4 = (x – 1) (...........................) + .......... Misalkan suku banyak yang dibagi adalah f(x)=x3+4x2–2x+4, pembaginya p(x) = (x–1), hasil baginya H(x) = ......................, dan sisanya S(x) = ....... Secara umum dapat dirumuskan dalam bentuk berikut : f(x) = f(x) (..................) ........ + ...... = p(x) ........ + ...... Dengan demikian, jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x – k), hasil baginya H(x) dan sisanya S(x), maka berlaku



KEGIATAN 3 : PEMBAGIAN SUKU BANYAK f(x) DENGAN (ax + b)



 CARA BERSUSUN Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari suku banyak f(x) = 4x3 – 2x2 + 4x – 3 dibagi (2x + 3) dengan cara bersusun. Alternatif Penyelesaian : ............................... 2x + 3



4x3 – 2x2 + 4x – 3



Apakah cara Horner dapat digunakan untuk pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b)?? Apakah hasil bagi dan sisanya akan sama dengan cara bersusun??



 CARA HORNER Untuk menjawabnya, lakukan kegiatan berikut : Ayo Analisis Dengan menggunakan pembagian suku banyak f(x) dengan ( x−k ), maka dapat dituliskan



f ( x ) ≡ ( x−k ) H ( x )+ S ( x ) −b −b =k , maka dapat dituliskan ax +b=a ( …−. … ) . Jika ax +b=a x− , dengan memisalkan a a −b =k , maka diperoleh: Karena a f ( x ) ≡ ( x−k ) H ( x )+ S ( x )



( ( ))



( (



))



f ( x ) ≡ x− −❑ H ( x ) +S ( x ) ❑ f (x)≡



… H ( x )+ S ( x ) ( … .....+. … .. )



f ( x ) ≡ ( … ..+. … . )



( H…( x. ) )+ S ( x )



Berdasarkan uraian di atas diperoleh bahwa jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) maka hasil baginya adalah Hasil bagi



….…. dan sisa pembagian ......... … … ..



….…. inilah yang akan digunakan dalam cara Horner. … … ..



Nah, agar lebih memahami cara menentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b) menggunakan cara Horner, perhatikan kembali masalah pada kegiatan 3 dengan cara bersusun.



\ Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari suku banyak f(x) = 4x3 – 2x2 + 4x – 3 dibagi (2x + 3) dengan cara Horner. Alternatif Penyelesaian :



Suku banyak f(x) = 4x3 – 2x2 + 4x – 3 diperoleh : Koefisien x3 : ..... Koefisien x2 : ..... Koefisien x : ..... Koefisien konstanta (c) : ..... Pembagi : 2x + 3 = 2 berarti a = ....... dan k = Bagan cara Horner : 4 ...... ...... ...... ...... ...... ...... + 4 ...... ...... ...... H(x) Dari bagan tersebut diperoleh hasil baginya adalah = = .............................. dan sisanya adalah ......... Jadi, diperoleh H(x) = ....................... dan S(x) = ......



KESIMPULAN Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) dengan hasil baginya H(x) dan sisa S(x) maka dapat dituliskan sebagai berikut



f(x) = (...... + ......)



Kegiatan 4



…….



+ S(x)



Pembagian Suku Banyak f(x) dengan ax 2 +bx +c , a ≠ 0 Teman-teman, masih ingatkan cara memfaktorkan suatu persamaan kuadrat??? Yuk, kita kerjakan soal-soal berikut...



Faktorkan persamaan-persamaan kuadrat berikut. a. x 2+ 7 x +12=0 b. 3 x 2−11 x−4=0 Alternatif Penyelesaian : a. x 2+ 7 x +12=0



( x +. … . )( x +. … . )=0 ( … … … … )=0 ∨ ( … … … … )=0 x=. … ...∨ x=. … … b. 3 x 2−11 x−4=0 ( 3 x+ . …. )( x−. … . )=0 ( … … … … )=0 ∨ ( … … … … )=0 3 x=. … … ∨ x=. … … x=. … ...∨ x=. … …



Apakah pembagian suku banyak f(x) dengan pembagi berbentuk persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan cara bersusun dan



A. CARA BERSUSUN Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak f(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1 dengan x2 – x – 2 dengan cara bersusun. Alternatif Penyelesaian : ................................ 2 x –x–2 x4 – 3x2 + 2x – 1



B. CARA HORNER Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak f(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1 dengan x2 – x – 2 dengan cara Horner. Alternatif Penyelesaian : Faktor dari x2 – x – 2 = (x – ......) (x + ......)(1) Bagan Horner dengan pembagi (x – ......) = 0 atau x = ..... (2) 1



......



............ ......



....... ...... ............ ...... + 1 ...... ...... ...... ......S1 H1(x) Hasil bagi H1(x) = ..................................... dan S1 = ...... Bagan Horner dengan pembagi (x + ......) = 0 atau x = ..... (3) 1...... ...... ......



Langkah Penyelesaian : Tentukan faktor dari pembagi ax2 + bx + c atau dapat dituliskan a(x – k1) (x – k2), a0. Dengan menggunakan bagan, bagilah suku banyak f(x) dengan (x – k1), maka diperoleh Hasil bagi dibagi lagi dengan (x – k2), diperoleh Jika disubstitusi ke bentuk kesamaan , diperoleh : sisa



hasil bagi Dari persamaan di atas, maka diperoleh : hasil bagi sisa



............. ...... ..... + 1...... ...... ......S2 H2(x) Hasil bagi H2(x) = ................................... dan S2 = ........ Substitusi S2 = ........ dan S1 = ....... ke persamaan (4)



Jadi, diperoleh = dan ...........................



................................................



Kalau persamaan kuadratnya tidak dapat difaktorkan, apakah bisa digunakan cara bersusun dan Horner??



Bagan Horner hanya dapat digunakan untuk pembagi yang dapat difaktorkan saja. Jika pembagi tidak dapat difaktorkan, maka hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak itu dapat ditentukan dengan cara bersusun. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak f(x) = x3 + x2 + 2x + 10 dengan x2 – x + 3 dengan cara bersusun. Alternatif Penyelesaian : ................................... x2 – x + 3 x3 + x2 + 2x + 10



KESIMPULAN Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax2 + bx + c) dengan hasil baginya S2 ( x−k 1 ) + S1 maka dapat dituliskan sebagai berikut : f ( x )=( … …..+. … ..+. … . )



…… + S ( x−. … .. )+ S 1 …… 2



H2( x ) dan sisa a



LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK 4



Kompetensi Dasar : 3.6 Menganalisis keterbagian dan faktorisasi polinomial 4.6 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan faktorisasi polinomial



KELOMPOK : NAMA KELOMPOK :     



INDIKATOR : 3.5.4 Menentukan teorema sisa dengan pembagi (x – k) 3.5.5 Menentukan teorema sisa dengan pembagi (ax + b) 3.5.6 Menentukan teorema sisa dengan pembagi (ax2 + bx + c) 4.5.2 Menggunakan teorema sisa dalam pemecahan masalah



TUJUAN PEMBELAJARAN :  Siswa dapat menentukan teorema sisa dengan pembagi (x – k)  Siswa dapat menentukan teorema sisa dengan pembagi (ax + b)  Siswa dapat menentukan teorema sisa dengan pembagi (ax2 + bx + c)  Siswa dapat menggunakan teorema sisa dalam pemecahan masalah



PETUNJUKPENGGUNAANLKPD 4. Bacalah setiap permasalahan dengan teliti, kemudian diharapkan kamu dapat menuliskan apa yang diketahui, apa yang ditanyakan, model matematika serta kemungkinan cara penyelesaiannya yang berhubungan dengan masalah tersebut. 5. Setelah itu diskusikan dalam kelompokmu, setiap orang dalam kelompok harus mendapat giliran mengeluarkan pendapat serta mendengarkan dengan seksama ide dari temanmu. Jika dalam kelompokmu mendapat masalah yang tidak dapat kamu selesaikan, kamu dapat bertanya



kepada guru. 6. Setelah selesai, setiap kelompok masing-masing menuliskan jawabannya pada bagian yang telah disediakan.



KEGIATAN 5



TEOREMA SISA



Pada pembahasan sebelumnya, misalkan suku banyak f(x) dibagi dengan p(x) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa pembagian S(x), maka hubungan yang terdapat antara f(x), p(x), H(x), dan S(x) dapat dirumuskan : f ( x )=.… … . × … ….+ .… …



Selain hubungan di atas, adakah hubungan antara pembagi p(x) dengan sisa S(x)? Apakah hubungan tersebut berlaku untuk pembagi linear dan kuadrat?



A. Pembagi Berbentuk (x – k) Teorema 1 Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x – k) maka sisanya ditentukan oleh S = f (k) Teorema tersebut dikenal sebagai Teorema Sisa atau Dalil Sisa. Ayo Buktikan... Perhatikan kembali persamaan, f(x) = (x – k) . H(x) + S Pembuat nol pembagi (x – k) berarti (x – k) = 0 atau x = ...... Karena persamaan itu berlaku untuk semua bilangan real x, maka dengan mensubstitusi x = ...... ke dalam persamaan itu, diperoleh : f(x) = (x – k) . H(x) + S f(......) = (...... – k) . H(x) + S f(......) = ...... × H(x) + S f(......) = ...... + S ⇔ f ( … … ) =. …. . Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian S = .........



Perhatikan masalah berikut. Tentukan sisa dari pembagian suku banyak dengan . Alternatif Penyelesaian : Dik : berarti atau Dit : Jawab : Untuk menentukan sisa pembagian dapat ditentukan dengan cara berikut : Cara Substitusi ke Teorema 1 Substitusi ke



Cara Horner Pembaginya , berarti , sehingga bagan Hornernya : 1............ –1 ............+ 1............ Sisa



B. Pembagi Berbentuk (ax + b) Teorema 2 Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka sisanya ditentukan oleh −b S=f a



( )



Ayo Buktikan... Perhatikan kembali persamaan,



f(x) = (ax + b) . H(x) + S



Pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b) memberikan hasil bagi sehingga dapat dituliskan dalam persamaan berikut.



H (x ) +S a −❑ Pembuat nol pembagi (ax + b) berarti (ax + b) = 0 atau x = ❑



H ( x) dan sisa pembagian S, a



f ( x )=( ax+ b ) .



−❑ Karena persamaan itu berlaku untuk semua bilangan real x, maka dengan mensubstitusi x = ❑ ke dalam persamaan itu, diperoleh :



H (x ) +S a H −❑ ❑ −❑ −❑ f =a +b . +S ❑ ❑ a H −❑ ❑ +S −❑ f =( … …+ b ) × ❑ a H −❑ ❑ +S −❑ f =. … … × ❑ a f ( x )=( ax+ b ) .



) ((



(



(



) )



)



(



(



)



(



(



(



)



(



(



)



)



)



)



)



⇔ f −❑ =. …. . ❑ Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian S = .........



(



)



Perhatikan masalah berikut. Tentukan sisa dari pembagian suku banyak dengan . Alternatif Penyelesaian : Dik : berarti atau Dit : Jawab : Untuk menentukan sisa pembagian dapat ditentukan dengan cara berikut : Cara Substitusi ke Teorema Sisa 1 Substitusi ke



Cara Horner Pembaginya dapat ditulis menjadi , berarti dan , sehingga bagan Hornernya: 2...... ...... ...... ...... ...... ......+ 2...... ...... ...... Sisa



C. Pembagi Berbentuk (ax2 + bx + c), a ≠ 0 Teorema 2 Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b), maka sisanya ditentukan oleh f ( a ) −f ( b ) a . f ( b )−b . f ( a ) S ( x )= .x+ a−b a−b Ayo Buktikan... Pembagi ( x−a )( x−b ) berderajat 2, maka sisanya maksimum berderajat 1. Misalkan sisanya berbentuk ( ax +b ) dan hasilnya H ( x ) . Hal ini berarti : f ( x )=( x−a ) ( x−b ) . H ( x ) + ( ax +b )  Substitusikan : ( x−a )=0 ⟹ x=. … …, diperoleh : S1=f ( … … ) ⟹ a …..+ b=f ( a ) ..... (1)  Substitusikan : ( x−b )=0 ⟹ x=. … …, diperoleh : S2=f ( … … ) ⟹ a …..+ b=f ( b ) ..... (2)  Eliminasi-substitusi persamaan (1) dan (2), diperoleh : f ( … … . )−f ( b ) … … . f ( b )−b . f ( a ) a= dan b= a−b a−. … … . Jadi, terbukti sisa pembagiannya adalah f ( … .. )−f ( … … ) … … .. f ( … … ) −. … … . f ( … … . ) S ( x )= . x+ a−b a−b Perhatikan masalah berikut. Suku banyak f ( x ) dibagi (x – 2) sisanya 8 dan jika dibagi (x + 3) sisanya –7. Tentukan sisa pembagian suku banyak f ( x ) dengan x 2+ x−6. Alternatif Penyelesaian : Dik : f(x) dibagi (x – 2) bersisa ...... f(x) dibagi (x + 3) bersisa ...... Dit : S(x) Jawab : Pembagi ( x 2 + x−6 ) dapat difaktorkan menjadi (x........) (x........) f(x) dibagi (x – 2) bersisa ....., berarti f ( 2 ) =8 f(x) dibagi (x + 3) bersisa ....., berarti f ( … … )=. … . . Untuk dapat menentukan sisa pembagian maka digunakan Teorema Sisa 3. Berdasarkan teorema sisa 3, diperoleh : f ( a ) −f ( … .. ) … ... f ( … .. )−. … .. f ( … .. ) S ( x )= . x+ a−. … . a−.… .



Jadi, f(x) dibagi (x2 + x – 6) bersisa ..........................



Ayo Analisis 1. Apa hasil yang kalian peroleh dari cara substitusi dan cara



Horner pada kegiatan di atas sama? ................................................................................................. .......................................................................................................................... ........................................................................................................................ 2. Apakah hubungan yang kalian peroleh dari kegiatan 5 mengenai sisa pembagian? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .................................................................................................................... .........................................................................................................................



Kesimpulan



Dalam Teorema Sisa terdapat 2 macam pembagi yaitu pembagi berbentuk (x – k) dan (ax + b)  Pembagi berbentuk (x – k) Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x – k) maka sisanya ditentukan oleh S = f (.....)  Pembagi berbentuk (ax + b) Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka sisanya ditentukan oleh S=f −❑ ❑



(



)



 Pembagi berbentuk (ax2 + bx + c), a ≠ 0 Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (ax2 + bx + c) dengan faktor (x – a) (x – b) maka sisanya ditentukan oleh f ( … . )−f ( … . ) … . f ( … . )−. … f ( … . ) S= .x+ … .−. … … .−. …



Catatan :  Derajat suku banyak f(x) ditentukan oleh pangkat x yang terbesar (misalkan berderajat n)  Derajat pembagi p(x) (misalkan berderajat m) lebih kecil dari derajat suku banyak f(x) atau (m < n)  Derajat hasil bagi H(x) = derajat suku banyak f(x) – derajat pembagi p(x) atau H(x) berderajat (n – m)  Sisa S(x) berderajat maksimum satu kurangnya dari derajat pembagi p(x) atau S(x) berderajat (m – 1)



LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK 5 KOMPETENSI DASAR 1. Menganalisis keterbagian dan faktorisasi polynomial 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan faktorisasi polinomial



INDIKATOR



 Mengidentifikasi sifat keterbagian dan faktorisasi polynomial  Menganalisis teorema sisa serta faktorisasi polinomial untuk menyelesaikan masalah  Menyelesaikan masalah yang berkaiatan dengan faktorisasi polinomial



TUJUAN PEMBELAJARAN



 Siswa mampu mengidentifikasi sifat keterbagian dan faktorisasi polynomial  Siswa mampu menganalisis teorema sisa serta faktorisasi polynomial untuk menyelesaikan masalah  Siswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaiatan dengan faktorisasi polinomial



PETUNJUK:



1. Cermatilah permasalahan yang ada dalam lembar kerja ini 2. Selesaikan permasalahan tersebut secara berkelompok 3. Ikutilah langkah-langkah dalam lembar kerja ini 4. Jika ada yang kurang dimengerti, silahkan tanyakan kepada guru



POLYNOMIAL



KELOMPOK: NAMA ANGGOTA: 1..................................................... 2.....................................................



KEGIATAN 1



Kata faktor pasti tidak asing lagi bagi kalian. Karena mulai dari sekolah dasar kalian sudah sering mencari faktor dari suatu bilangan tertentu. Untuk mengingat kembali faktor suatu bilangan dan faktor suku banyak, selesaikan soal berikut:



a. 8 merupakan faktor dari 72, karena 72 dibagi 8 hasilnya 9 tanpa sisa pembagian, secara matematis dapat kalian tulis: 72 =…+… atau 72=…×(…+ …) 8



b. ( x +1) merupakan faktor dari x 2+ 3 x +2, karena x 2+ 3 x +2 dibagi dengan (x +1) hasilnya (x +2) tanpa memiliki sisa atau sisa sama dengan nol. Secara matematis dapat ditulis: 2



x +3 x +2 =…+… atau x 2+ 3 x +2=… × ( …+ … ) d engan S = 0 (x+ 1)



Tunjukkan bahwa jika ( x – k ) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 0 danJika f(k) = 0 maka ( x – k ) adalah faktor dari f(x)



Algoritma pembagian: Dari teorema sisa yang telah dipelajari sebelumnya Misalkan suku banyak: dengan pembagi: maka dengan algoritma pembagian dapat ditulis: , disebut ........... disebut ........... Dari teorema tersebut, pembagian dengan faktor , Maka substitusi lah jika algoritma pembagian dengan faktor menjadi: , tanpa sisa karena ……….. = ………… = 0 Dengan demikian karena , maka …….. merupakan faktor dari Sebaliknya karena …….. merupakan faktor dari maka dapat ditulis: ...... = (..... .....).



KESIMPULAN Dari uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa: Suatu suku banyak memiliki faktor ……….. Suatu suku banyak memiliki faktor jika dan hanya jika



KEGIATAN 2



Tentukanlah nila , dengan menggunakan teorema faktor sehingga .



Diketahui:, memiliki faktor Ditanya: Nilai yang memenuhi adalah? Alternatif penyelesaian: ......................... Dengan faktor = ......................( merupakan bentuk dari Maka diperoleh: ................ ................. Berdasarkan teorema faktor yang telah kalian buktikan, maka jika merupakan faktor dari .........., maka



Oleh karena itu, secara matematis dapat kita tuliskan:



Jadi , agar merupakan faktor dari suku banyak maka nilai ..................



KEGIATAN 3



Menentukan Faktor-Faktor Linear dari Suku Banyak (Polynomial)



Mari Mengingat Kembali.... Bagaimana kalian menentukan faktor dari suatu bilangan? Misalkan kita akan menentukan faktor dari 123. Maka langkah yang bisa kita gunakan adalah sebagai berikut:



Kita pilih pembagi yang pertama adalah bilangan 2, Maka coba kalian bagi bilangan 123 tersebut dengan 2 …… pembagi



2



Hasil bagi



123 …



…. ….



-



….



Sisa,



Apakah sisa pembagian bilangan tersebut 0…..?



Lakukan kembali dengan cara yang sama untuk pembagi 3 …… Pembagi



3



Hasil bagi



123 … ….



-



….



-



….



Sisa,



Apakah sisa pembagian untuk pembagi 3 sama dengan nol ...........? Ternyata bilangan 123 dibagi 3 bersisa ......... Dengan kata lain, pembagian tersebut tidak bersisa. Hasil bagi.... merupakan bilangan prima,sehingga dapat dituliskan



123=3× … . Jadi faktor dari 123 adalah 3 dan ......



Tentukan faktor-faktor dari suku banyak 2 x 4−5 x 3−8 x 2+ 17 x −6.



 CARA SUBSTITUSI Diketahui: f(x) = 2 x 4−5 x 3−8 x 2+ 17 x −6 Ditanya: faktor suku banyak…….? Penyelesaian : f(x) = 2 x 4−5 x 3−8 x 2+ 17 x −6 Maka suku tetapan a 0=−6 Nilai-nilai k yang mungkin adalah faktor bulat dari a 0 yaitu ± 1, ± 2 ,± 3 , dan ±6 Substitusikan nilai-nilai x=k sehingga diperolehf (k ) Jika f ( k )=0 artinya ( x−k ) adalah faktor dari f (x ) Jika f ( k ) ≠ 0 artinya ( x−k ) adalah bukan faktor dari f ( x )







Untuk k =1 4



f ( 1 ) =2 ( … ) −5 ¿



f ( 1 ) =… 4



3



2







Untuk k =−1 …



f ( 1 ) =( … ) −¿



f ( 1 ) =…



Nilai f (−1 ) …. nol (0), sehingga ( x +1 ) adalah……. dari 2 x 4−5 x 3−8 x 2+ ¿ 17 x−6 



Untuk k =2



f ( 1 ) =( … )… −¿ f ( 1 ) =…



Nilai f ( 2 ) …. nol (0), sehingga ( x−2 ) adalah……. dari 2 x 4−5 x 3−8 x 2+¿ 17 x−6 



Untuk k =−2 …



f ( 1 ) =( … ) −¿



f ( 1 ) =…



Nilai f (−2 )…. nol (0), sehingga ( x +2 ) adalah……. dari 2 x 4−5 x 3−8 x 2+ ¿ 17 x−6



 CARA HORNER Untuk menentukan hasil bagi dari f ( x )=2 x 4 −5 x 3−8 x 2 +¿ 17 x−6 oleh pembagi atau faktor-faktor di atas kalian gunakan kembali cara horner yang telah dipelajari Uji kembali satu persatu faktor bulat x=k sampai ditemukan faktor



sebelumnya.



pertama (x−k) yang memberikan nilai f ( k )=0 . Tentukan nilai koefisien-koefisien x dari f( x )=2 x 4−5 x 3−8 x 2 +¿ 17 x−6 Koefisien x 4 =¿ …………



Koefisien x 3=¿ …………



Koefisien x 2=¿ …………



Koefisien x=¿ ………….



Konstanta = …………. 



4



x Untuk k =1 1



….



….



x



3



x



2



x



a0



….



….



….



….



….



….



….



….



…..



….



….



….



Apakah sisa pembagian yang kalian peroleh sama dengan nol……….? Karna sisa pembagian……maka ( x−1 )..…. dari f( x )=2 x 4−5 x 3−8 x 2 +¿ 17 x−6







Selanjutnya, kita uji k =−1 pada H (x ) x -1



3



….



….



x



b0



x



2



….



….



….



….



….



….



…..



….



….



Apakah sisa pembagian yang kalian peroleh sama dengan nol……….? Karna sisa pembagian……maka ( x +1 ) ..…. dari f( x )=2 x 4−5 x 3−8 x 2 +¿ 17 x−6







Uji k =2 pada H 1 ( x ) x 2



3



….



….



x



2



b0



x



….



….



….



….



….



….



…..



….



….



Apakah sisa pembagian yang kalian peroleh sama dengan nol……….? Karna sisa pembagian……maka ( x−2 ) ..…. dari f( x )=2 x 4−5 x 3−8 x 2 +¿ 17 x−6







Uji k =−2 pada H 1 ( x ) x -2



3



….



….



x



2



b0



x



….



….



….



….



….



….



…..



….



….



Apakah sisa pembagian yang kalian peroleh sama dengan nol……….? Karna sisa pembagian……maka ( x +2 ) ..…. dari f( x )=2 x 4−5 x 3−8 x 2 +¿ 17 x−6



Karena



H 2 ( x)



berderajat



dua



telah



diperoleh



maka,



pengujian



± 1, ± 2 ,± 3 dan ±6 kita hentikan. Dengan demikian hasil yang diperoleh



faktor-faktor adalah f



( x )=2 x 4−5 x 3−8 x 2 +¿ 17 x−6 = (……..)(……..)(…...…) Hasi bagi berderajat dua tersebut kalian faktorkan kembali, yaitu ……. = (……..)(……..) Jadi , hasil pemfaktoran f( x ) adalah f( x )=2 x 4−5 x 3−8 x 2 +17 x−6= (……..)(……..)(……..)(…….)



KEGIATAN 4



Menentukan akar-akar rasional Suku Banyak (Polynomial) F(x)= 0 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan polinom



x 4 −15 x 2−10 x +24=0 : f ( x )=x 4 −15 x 2−10 x +24=0



Diketahui



Ditanya :himpunan penyelesaian.......? Penyelesaian: Untuk menyelesaiakan masalah di atas maka ikutilah langkah-langkah berikut ini. Langkah 1 Selidiki apakah jumlah koefisien –koefisien f(x) = 0? Jika ya, maka x = 1 merupakan akar-akar dari f(x) = 0 Koefisien x 4 =¿...........



Jumlah seluruh koefisien= ......+.....+.....+......=.....



Koefisien x 2=¿...........



Apakah jumlah tersebut sama dengan nol (0)?



Koefisien x=¿ ............. Konstanta



= ..........



Karena jumlah koefisien ....... nol, maka x=1 adalah..... dari f ( x )=0. Uji kembali dengan cara horner .... 1 ....



....



....



....



....



....



....



....



....



....



.....



.....



… . f (1)



Dari hasil bagi yang kalian dapatkan, selidiki kembali apakah jumlah koefisien-koefisiennya sama dengan nol. Hasil bagi H ( x ) =¿....... Koefisien x 2=¿........... Koefisien x=¿ ............. Konstanta



= ..........



Jumlah seluruh koefisien: ......+.....+.....+......=..... Apakah jumlah tersebut sama dengan nol (0)? Karena jumlah koefisien ....... nol, maka x=1 adalah..... dari H ( x ) =0. Langkah 2 Periksa apakah jumlah koefisien-koefisien variabel berpangkat genap sama dengan jumlah koefisien-koefisien berpangkat ganjil? Jika ya, maka x =1 merupakan akar-akar dari f(x) = 0



-



Jumlah koefisien-keofisien variabel berpangkat genap= ….+….=…… Jumlah koefisien-keofisien variabel berpangkat ganjil= ….+….=……



Apakah jumlah keduanya bernilai sama? Langkah 3 Dari suku banyak f ( x )=x 4 −15 x 2−10 x +24=0 dapat kita tentukan suku tetapan



a 0=24 dan faktor-faktor nya adalah:± 1, ± 2 ,± 3 , ± 4 , ± 6 ,± 8 , ±12 , ± 24 Karena : x=± 1 telah kita uji,maka kita lanjutkan untuk faktor x=± 2 Coba dengan cara horner dari H 1 ( x ) yang sudah kalian dapatkan pada langkah 1 untuk x=−2



....



....



....



.....



Akar-akar persamaan 4



2



x −15 x −10 x +24 adalah ...,....,..., dan -2



....



....



.....



.... Jadi, HP {...,....,....,....,}



.....



.....



....



....



Apakah sisa pembagian sama dengan nol?



H 2 ( x ) =¿………



KEGIATAN 5



Menentukan Jumlah dan Hasi Kali Akar Persamaan Polynomial Kalian tentu telah mempelajari dan masih mengingat bagaimana menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan berderajat dua atau persamaan kuadrat di sekolah menengah pertama dan mengulang kembali di kelas X. Pada kegiatan pembelajaran kali ini kita akan membahas bagaimana menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan polynomial atau persamaan derajat tinggi seperti persamaan berderajat tiga atau empat. Nah kita mulai dari ilmu yang telah kalian peroleh dalam menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat, maka ikutilah langkah berikut untuk menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan polynomial atau persamaan derajat tinggi seperti persamaan berderajat tiga atau empat.



 Persamaan Suku Banyak f ( x )=0 Berderajat Dua 1) Bentuk umumnya a x 2 +bx+ c=0 , dengan akar −akarnya x 1 dan x 2 2) Jumlah akar-akarnya, x 1+ x2=



−Koefisien Suku Kedua −b = Koefisien Suku Pertama a



3) Hasil kali kedua akar, x 1 . x 2=



Konstanta … = Koefisien Suku Pertama …



 Persamaan Suku Banyak f ( x )=0 Berderajat Tiga 1) Bentuk umumnya a x 3 +bx 2+ cx +d=0 , dengan akar −akarnya x 1 , x 2 , dan … 2) Jumlah akar-akarnya, x 1+ x2 +…=



−Koefisien Suku Kedua −… = Koefisien Suku Pertama …



3) Jumlah Hasil kali kedua akar, x 1 . x 2+ x 1 x3 + x 2 x 3= 4) Hasil kali ketiga akar, x 1 . x 2 . x 3=



Koefisien Suku Ketiga … = Koefisien Suku Pertama …



Konstanta … = Koefisien Suku Pertama …



 Persamaan Suku Banyak f ( x )=0 Berderajat Empat 4



3



2



1) Bentuk umumnya a x +bx +c x + dx+ e=0 , dengan akar−akarnya x1 , x 2 , … , dan … 2) Jumlah akar-akarnya, x 1+ x2 +…+ …−



Koefisien Suku Kedua −… = Koefisien Suku Pertama …



3) Jumlah Hasil kali kedua akar, x 1 . x 2+ …+…+ x 2 x 3 +…=



Koefisien Suku Ketiga … = Koefisien Suku Pertama …



4) Jumlah Hasil kali ketiga akar,



x 1 . x 2 . x 3+ x 1 . x 2 . x 4 + x 2 . x 3 . x 4 =



Koefisien Suku Keempat … = Koefisien Suku Pertama …



5) Hasil kali keempat akar, x 1 . x 2 . x 3 . x 4=



Konstanta … = Koefisien Suku Pertama …



KESIMPULAN Berdasarkan ketiga suku di atas maka dapat kita simpulkan, untuk menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan polynomial adalah. Kita



umum a x +bx +c x + dx+ e=0 , dengan akar−akarnya x1 , x 2 , … , dan … maka: 4



3



2



lihat



dari



bentuk



1) Jumlah akar-akarnya, x 1+ x2 +…+ …−



Koefisien Suku Kedua −… = Koefisien Suku Pertama …



2) Jumlah Hasil kali kedua akar, x 1 . x 2+ …+…+ x 2 x 3 +…=



Koefisien Suku Ketiga … = Koefisien Suku Pertama …



3) Jumlah Hasil kali ketiga akar,



x 1 . x 2 . x 3+ x 1 . x 2 . x 4 + x 2 . x 3 . x 4 =



Koefisien Suku Keempat … = Koefisien Suku Pertama …



4) Hasil kali keempat akar x 1 . x 2 . x 3 . x 4=



Konstanta … = Koefisien Suku Pertama …



Untuk mencari jumlah dan hasil kali akar persamaan polynomial berderajat tinggi atau berderajat n adalah: n



Bentuk Umum: f ( x )=an x + an−1 x



n−1



+an−2 x n−2 +…+ a0



Koefisien suku pertama: a n Koefisien suku kedua: a n−1 Koefisien suku ketiga: a n−2 Konstanta: a 0 5) Jumlah akar-akarnya, x 1+ x2 +…+ x n = 6) Jumlah Hasil kali kedua akar,



persamaan:



−Koefisien Suku Kedua −… = Koefisien Suku Pertama …



Jika salah satu akar persamaan p x3 −5 x 2−6 x+8=0 adala h1 , tentukan nilai berikut :



a. x 1+ x2 + x 3 . b. x 1 x 2 + x1 x 3+ x2 x3 . c. x 1 . x 2 . x 3 d. x 12+ x 22 + x 22 Diketahui: f ( x )= p x 3−5 x 2−6 x+ 8=0 Salah satu akarnya adalah 1 Ditanya: a. x 1+ x2 + x 3 . b. x 1 x 2 + x1 x 3+ x2 x3 . c.



x1 . x2 . x3 2



2



2



d. x 1 + x 2 + x 2 Penyelesaian:



Untuk menyelesaikan masalah tersebut gunakanlah rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan polynomial atau suku banyak yang telah kalian ketahui. Bentuk umum: f ( x )= p ¿ Suku banyak tersebut berderajat ….? Karena salah satu akar nya = 1, maka substitusi x 1=1 ke persamaan f ( x )=0, sehingga kita dapat menentukan nilai p , yaitu:



f ( x )= p x 3−5 x 2−6 x+ 8=0 f ( 1 ) =p (…)… −5(…)… −6 ( … )+ …=0 p−…=0 p=… Sehingga diperoleh persamaan f ( x )=…( x 3)−5 x 2−6 x +8=0 Kemudian bandingkan persamaan di atas dengan bentuk umum persamaan suku banyak



Kemudian tentukanlah:



a. x 1+ x2 + x 3=



… … = =… … …



b. x 1 x 2 + x1 x 3+ x2 x3 =



c. x 1 . x 2 . x 3=



… … = … …



d. x 12+ x 22 + x 32 Ingat Kembali!!!!



x 12+ x 22=¿ Maka:



Sehingga: 2



2



2



x 1 + x 2 + x 3 =¿



( ) +2 ( … )



… ¿ …



…



¿…



… … = =… … …



(Jumlah akar-akar)



(Jumlah hasil kali kedua akar)



(Hasil Kali Ketiga Akar)



L. REMEDIAL DAN PENGAYAAN 1. REMEDIAL Bentuk Pelaksanaan Remedial a. Cara yang ditempuh 1. Pemberian bimbingan secara khusus dan perorangan bagi peserta didik yang belum atau mengalami kesulitan dalam mencapai CP 2. Pemberian tugas-tugas atau perlakuan (treatment) secara khusus, yang sifatnya penyederhanaan dari pelaksanaan pembelajaran reguler. b. Materi dan waktu pelaksanaan program remedial 1. Program remedial diberikan hanya pada tujuan pemebelajaran yang belum tercapai 2. Program remedial dilaksanakan setelah mengikuti tes sumatif 3. PENGAYAAN