Diagonal Bidang Kubus [PDF]

Citation preview

Diagonal Bidang Kubus Diagonal bidang suatu kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi kubus. Sekarang coba perhatikan bidang ABEF pada gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.



Ruas garis yang menghubungkan titik sudut B dan E disebut diagonal bidang kubus. Setiap bidang pada kubus mempunyai dua diagonal bidang. Karena kubus memiliki 6 bidang sisi, maka kubus memiliki 12 diagonal bidang atau diagonal sisi. Bagaimana cara menghitung panjang diagonal bidang atau diagonal sisi pada kubus? Diagonal bidang atau sisi dapat ditentukan dengan menggunakan teorema phytagoras. Sekarang perhatikan gambar kuubus di bawah ini.



Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk s. Maka panjang BE dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras, di mana segitiga ABE siku-siku di A. Sehingga: BE = √(AB2 + AE2) BE = √(s2 + s2) BE = √2s2 BE = s√2 Misalkan diagonal bidang kubus adalah b maka secara umum diagonal bidang kubus dapat dirumuskan: b = s√2



Diagonal Ruang Kubus Diagonal ruang pada kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang di dalam kubus. Sekarang coba perhatikan gambar berikut di bawah ini.



Garis BH disebut diagonal ruang. Selain garis BH, ada juga garis AG, garis DF, dan garis CE yang merupakan diagonal ruang kubus. Diagonaldiagonal ruang tersebut akan berpotongan di satu titik. Suatu kubus memiliki empat buah diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan pada satu titik. Bagaimana menghitung panjang diagonal



ruang



balok?



Sama seperti mencari diagonal bidang, untuk mencari diagonal ruang juga menggunakan teorema phyagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.



Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk s. Maka panjang BH dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras. Tetapi sebelum itu harus cari panjang BD, di mana BD merupakan diagonal sisi. Sekarang perhatikan segitiga ABD siku-siku di A. Sehingga: BD = s√2 Sekarang cari panjang BH dengan teorema phytagoras juga. Sekarang perhatikan segitiga BDH siku-siku di D. Sehingga: BH = √(BD2 + DH2) BH = √(s√2)2 + s2) BH = √(2s2 + s2) BH = √(3s2) BH = s√3 Misalkan diagonal ruang kubus adalah d, maka secara umum diagonal ruang kubus dapat dirumuskan: d = s√3



Bidang Diagonal Kubus Bidang diagonal suatu kubus adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu kubus. Perhatikan balok ABCD.EFGH pada gambar di bawah ini.



Bidang ABGH disebut bidang diagonal. Kubus memiliki enam bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya kongruen. Bagaimana menghitung luas bidang diagonal? Untuk menghitung luas bidang diagonal dapat menggunakan rumus luas persegi panjang. Sekarang coba perhatikan kembali gambar kubus ABCD.EFGH di atas, jika rusuknya s, maka luas bidang ABGH yakni: Luas ABGH Luas ABGH Luas ABGH



=



AB



.



BG = s . s√2 = s2√2



Untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal ruang, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh



Soa



Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 5 cm. Hitunglah panjang diagonal bidang, diagonal ruang dan luas salah satu bidang diagonal kubus tersebut.



Penyelesaian: Panjang diagonal bidang yakni: b = s√2 b = 5√2 cm Panjang diagonal ruang yakni: d = s√3 d = 5√3 cm Luas bidang diagonal yakni: Luas = s2√2 Luas = (5 cm)2√2 Luas = 25√2 cm2 Kesimpulan: Karena balok dan kubus memiliki sifat yang hampir sama maka berikut sifat-sifat yang dimiliki oleh kubus juga dimiliki oleh balok. 1. Memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi yang saling kongruen. Sisi (bidang) tersebut adalah bidang ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH. 2. Memiliki 12 rusuk yang sama panjang, yaitu AB , BC, CD , AD , EF , FG , GH , EH , AE , BF , CG , dan DH. 3. Memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H. 4. Memiliki 12 diagonal bidang yang sama panjang, di antaranya AC , BD , BG , dan CF . 5. Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan di satu titik, yaitu AG , BH , CE , dan DF. 6. Memiliki 6 bidang diagonal berbentuk persegi panjang yang saling kongruen, di antaranya bidang ACGE, BGHA, AFGD, dan BEHC. Tentu kalian semua tahu bahwa ada berbagai jenis bangun datar. Masing-masing bangun datar tersebut pastinya terbentuk atau terdiri dari berbagai unsur yang



membentuk dan membangunnya. Salah satu jenis bangun datar adalah lingkaran. Sebuah lingkaran memiliki bagian-bagian tersendiri yang menjadi unsur-unsur pembentuk lingkaran. Unsur-unsur lingkaran bisa dibilang cukup banyak mulai dari jari-jari, busur, diameter, titik pusat, juring, sudut pusat, apotema dan juga sudut lingkaran. Berikut adalah gambaran unsur yang ada pada lingkaran:



Pada pembahasan di bawah ini rumus matematika dasar akan menjelaskan masing-masing unsur tersebut sehingga kalian dapat mengetahui unsur apa saja yang ada di dalam sebuah lingkaran. Amati uraian berikut ini untuk mengetahuinya:



Unsur-Unsur Pembentuk Bangun Datar Lingkaran Titik Pusat Yang disebut sebagai titik pusat pada lingkaran adalah sebuah titik yang berada tepat ditengah lingkaran. Jika kalian melihat pada gambar di atas, titik pusat terletak pada huruf O.



Jari-jari Jari-jari biasa dilambangkan dengan huruf 'r'. Pada bangun datar lingkaran, jarijari adalah jarak antara titik pusat lingkaran dengan garis lengkung lingkaran. Garis OD, OC, OB, dan OA pada gambar di atas menunjukkan jari-jari dari sebuah lingkaran.



Diameter Diameter pada lingkaran biasa dilambangkan dengan huruf 'd'. Diameter adalah jarak antara dua titik lengkung yang ada pada lingkaran. Jika kita menggambar sebuah garis melintang dari salah satu titik lengkung melintasi titik pusat dan berhenti pad titik lengkung lingaran yang lain, maka garis itu disebut sebagai diameter lingkaran. Perhatikan gambar di atas, diameter dilambangkan dengan garis A menuju B dan C menuju D atau sebaliknya. Dengan begitu kita dapat menarik kesimpulan bahwa diameter memiliki nilai dua kali lipat dari jari-jari maka biasanya diameter dituliskan menjadi : d = 2r



Busur Busur lingkaran dapat didefinisikan sebagai garis lengkung yang berada pada keliling lingkaran. Jika kalian memperhatikan gambar lingkaran di atas, Busur pada lingkaran merupakan garis lengkung dari A ke C, C ke B, dan B ke D. Garis tersebut disebut sebagai busur lingkaran karena bentuknya yang menyerupai busur panah.



Tali Busur Bagian lingkaran yang disebut sebagai tali busur adalah garis yang ditarik lurus dari salah satu titik lengkung lingkaran menuju titik lengkung yang lain tanpa melalui titik pusat lingkaran. Garis yang menghubungkan titik A dengan titk Dpada gambar diatas merupakan unsur lingkaran yang disebut sebagai tali busur. Seperti pada busur panah, tali busur adalah yang diikatkan pada kedua ujung busur.



Tembereng Tembereng bisa diartikan sebagai luas daerah yang berada di dalam lingkaran dimana daerah tersebut dibatasi oleh tali busur dan busur. Daerah berwarna hijau yang dibatasi garis AD pada gambar di atas, adalah salah satu contoh bagian lingkaran yang disebut sebagai tembereng.



Juring Juring merupakan daerah yang lebih luas dari tembereng. Juring adalah luas daerah yang dibatasi oleh dua buah garis jari-jari dan sebuah busur lingkaran yang posisinya diapit oleh dua buah jari-jari tersebut. Untuk lebih mudahnya,



kalian bisa melihat daerah tembereng pada lingkaran di atas yaitu bagian hijau yang dibatasi oleh garis OB dan OC yang mengapit busur BC.



Apotema Jika kita menarik sebuah garis tegak lurus dari titik pusat sampai pada salah satu tali busur, maka garis tersebutlah yang dinamakan sebagai Apotema. pada gambar di atas, kita bisa melihat bahwa apotema adalah garis yang ditarik dariO menuju F. Unsur lingkaran yang selanjutnya, akan dijelaskan melalui gambar berikut ini:



Sudut Pusat pada gambar di atas, sudut pusat adalah sudut yang terbentuk oleh dua buah jari-jari (OA dan OB). Sudut yang terbentuk antara titik A, O, dan B merupakan sudut pusat lingkaran.



Sudut Keliling jika sudut pusat terbentuk oleh bertemunya dua buah jari-jari pada titik pusat. maka sudut keliling adalah sudut yang terbentuk oleh bertemunya dua buah tali busur. seperti bisa kalian lihat pada gambar si atas, sudut yang terbentuk antara titik A, C, dan B adalah sudut keliling lingkaran dengan titik sudut berada di C.