Distribusi Dan Ekspektasi Bersyarat [PDF]

Citation preview

2.3. Distribusi dan Ekspektasi Bersyarat Pada bagian ini, kita akan membahas distribusi bersyarat, yaitu distribusi salah satu variabel acak saat yang lain mengasumsikan nilai tertentu. Kami membahas ini terlebih dahulu untuk kasus diskrit, dengan mengikuti konsep probabilitas bersyarat. Pada X1 dan X2 menunjukkan variabel acak dari tipe diskrit, yang memiliki gabungan pmf p x1 ( x 1 ) dan p x 2 (x2 ) p x1 , x2 ( x 1 , x 2 ) yang positif pada syarat S dan bernilai 0 . Pada menunjukkan, masing-masing, fungsi massa probabilitas marjinal dari X 1 dan X2. Pada x 1 menjadi titik dari X1. Karena, p x1 ( x 1 )> 0. Menggunakan definisi probabilitas bersyarat, maka: P ( X 2=x 2 ⃓ X 1=x 1 )=



P( X 1=x 1 , X 2=x 2 ) p x 1 , x 2( x1 , x2 ) = P( X 1=x1 ) p x 1( x1 )



Untuk x 2 dengan syarat S x 2 dari X 2 . Mendefinisikan fungsi ini menjadi P X 2 ⃓ X 1 ( x2 ⃓ x 1) =



p X1 , X2 ( x1 , x2 ) P X 1 ( x1 )



, x2 ∈ S X 2



Untuk setiap x 1 dengan P X 1 ( x 1)>0 , fungsi ini P X 2 ⃓ X 1 (x 2 ⃓ x 1) memenuhi kondisi sebagai pmf dari tipe diskrit karena P X 2 ⃓ X 1 ( x 2 ⃓ x 1) tidak negative, dan



∑ P X 2 ⃓ X 1 ( x 2 ⃓ x 1 )= ∑ x2



¿



x2



P X 1 , X2 ( x1 , x2 ) P X 1 ( x 1) p



P X 1 ( x1 ) 1 P X 1 , X 2( x1 , x2 )= =1 ∑ P X 1(x 1 ) x P X 1 ( x1 ) 2



Kita sebut P X 2 ⃓ X 1 (x 2 ⃓ x 1) sebagai pmf bersyarat dari tipe diskrit variabel acak X2, mengingat tipe diskrit dari variabel acak X1 = x1. Dengan cara yang sama, disediakan x 2 ∈ S X 2, kita mendefinisikan symbol P X 1 ⃓ X 2 (x 1 ⃓ x 2) dengan hubungan P X 1 ⃓ X 2 ( x1 ⃓ x 2) =



p X 1 , X 2 ( x1 , x2 ) P X 2 ( x2 )



, x1 ∈ S X 1



dan kita sebut P X 1 ⃓ X 2 (x 1 ⃓ x 2) pmf bersyarat dari tipe diskrit variabel acak X 1, mengingat tipe diskrit dari variabel acak X2 = x2. Kita sering menyingkat P X 1 ⃓ X 2 ( x1 ⃓ x 2) menjadi p1 ⃓ 2 ( x 1 ⃓ x 2 ) P X 2 ⃓ X 1 ( x2 ⃓ x 1) menjadi p2 ⃓ 1 ( x 2 ⃓ x 1 ). dan Demikian pula, p1 ( x1 ) dan p2 (x 2) digunakan untuk menunjukkan masing-masing pmfs marjinal. Sekarang pada X1 dan X2 menunjukkan variabel acak dari tipe kontinu dan memiliki titik pdf f X 1 , X 2 (x 1 , x 2 ) dan fungsi kepadatan probabilitas marginal masing-masing f X 1 ( x 1 ) dan f X 2 (x 2 ) ,Kita menggunakan hasil paragraf sebelumnya untuk definisi pdf bersyarat dari jenis variabel acak kontinu. Ketika f X 1 ( x1 )>0 , kita mendefinisikan symbol f X 2 ⃓ X 1 ( x 2 ⃓ x1 ) dengan hubungan



f X 2 ⃓ X 1 ( x 2 ⃓ x1 ) =



f X 1 , X 2( x1 , x2 ) f X 1( x1 )



Dalam hubungan ini, x1 dianggap memiliki nilai tetap f X 2 ⃓ X 1 ( x 2 ⃓ x1 ) tidak negatif dan, ∞



∞



∫ f X 2 ⃓ X 1 ( x 2 ⃓ x 1 ) d x 2= ∫ −∞



f X1 , X 2 ( x1 , x2 )



−∞



f X 1 ( x1 )



untuk f X 1 ( x1 )>0. Jelas bahwa



d x2



∞



¿



1 ∫ f X 1 , X 2( x 1 , x 2 ) dx2 f X 1 ( x 1) −∞



¿



f X 1 ( x 1) =1 f X 1 ( x 1)



Artinya, f X 2 ⃓ X 1 ( x 2 ⃓ x1 ) memiliki properti pdf dari satu jenis variabel acak kontinu. Ini disebut pdf bersyarat dari jenis variabel acak kontinu X2, mengingat bahwa jenis variabel acak berkelanjutan X1 memiliki nilai x1. Jika f X 2 ( x2 )>0 pdf bersyarat dari variabel acak kontinu X1, berikan bahwa jenis variabel acak kontinu X2 memiliki nilai x2, didefinisikan oleh f X1 ⃓ X 2 ( x1 ⃓ x2 )=



f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) f X 2 ( x2 )



, f X 2 (x 2)>0



Kita sering menyingkat pdf bersyarat ini dengan f 1⃓ 2 (x 1 ⃓ x 2 ) dan f 2⃓ 1 (x 2 ⃓ x 1 ). Demikian pula, f 1 ( x 1 ) dan f 2 ( x 2 ) digunakan untuk menunjukkan masing-masing pdf marginal. Karena masing-masing dari f 1⃓ 2 ( x 1 ⃓ x 2 ) dan f 2⃓ 1 ( x 2 ⃓ x 1 ) adalah pdf dari satu variabel acak, masing-masing memiliki semua properti dari pdf seperti itu. Dengan demikian kita dapat menghitung probabilitas dan ekspektasi matematika-ematical. Jika variabel acak berjenis kontinu, probabilitas b



P ( a< X 2< b⃓ X 1 =x1 ) =∫ f 2 ⃓ 1 ( x2 ⃓ x 1)d x 2 a



disebut "probabilitas bersyarat yang a< X 2