![Distribusi Bersyarat Waktu Antar Kedatangan [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/distribusi-bersyarat-waktu-antar-kedatangan.jpg)
8 0 559 KB
DISTRIBUSI BERSYARAT WAKTU ANTAR KEDATANGAN A.
Proses Poisson Proses Poisson adalah proses menghitung (counting process) untuk banyaknya kejadian
yang terjadi hingga suatu waktu. Contoh: kedatangan nasabah suatu bank, munculnya item cacat pada proses pemeriksaan, masuknya pesan SMS pada handphone anda, dll. B.
Proses Menghitung Proses stokastik * ( )
( ) atau
+ dikatakan proses menghitung (counting process) jika
menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi selama waktu t.
Contoh: ( ) adalah banyaknya bayi yang lahir selama waktu t. Maka * ( )
1.
+ merupakan
proses menghitung. ( ) adalah banyaknya orang yang dating ke Grand Toserba dalam selang waktu ,
2.
Maka * ( )
+ merupakan proses menghitung.
Proses menghitung * ( ) i. ii.
* ( )
+ memenuhi sifat:
+
( ) adalah bilangan bulat
iii.
Jika
iv.
Untuk
, maka
( )
( )
interval waktu (
C.
-.
( ) ( ) menhyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada
-.
Waktu Antar Kedatangan Berdasarkan proses menghitung * ( )
+
( ) menyatakan banyaknya kejadian
sampai waktu . Perhatikan bahwa kejadian – kejadian tersebut dapat terjadi kapan saja dalam interval , ( ) untuk
untuk
-. Misalkan kejadian pertama terjadi pada saat . Kejadian kedua terjadi pada saat . Perhatikan bahwa
, disini
, disini ( )
( ) dan
dan ( )
adalah panjang waktu terjadinya kejadian ke
setelah kejadian ke . Panjang selang ini disebut dengan waktu antar kedatangan atau waktu antar kejadian. Atau dapat ditulis dengan kedatangan orang ke- dan orang kepertama. Dapat ditulis pula bahwa * kedatangan (interarrival time).
dengan
, dimana
adalah waktu antar
menyatakan waktu kedatangan orang
+ adalah barisan waktu antar kejadian atau
Ilustrasi: Waktu Antar Kedatangan 𝑋𝑖
𝑋
𝑋
𝑡
𝑡
𝑁(𝑡 )
𝑁(𝑡 )
𝑁(𝑡)
→ 𝑁(𝑡 )
untuk 𝑡
𝑡
𝑁(𝑡)
untuk 𝑡
Berdasarkan proses menghitung * ( ) pertama. Untuk
D.
𝑡
+, misalkan
𝑡
adalah waktu dari kejadian
adalah waktu antar kejadian ke (
, misalkan
. Maka *
𝑡𝑖
𝑡𝑖
𝑡𝑖
𝑡
→ 𝑁(𝑡 )
𝑡𝑖
) dan kejadian ke-
+ disebut barisan waktu antar kedatangan atau waktu antar kejadian.
Distribusi Waktu Antar Kedatangan
Teorema: Waktu antar kedatangan
dari suatu proses Poisson adalah saling bebas
dan berdistribusi eksponensial dengan parameter . Bukti: ( )
Akan ditunjukkan *
+ terjadi jika tidak ada kejadian dari proses Poisson yang terjadi pada interval ,
Ini identic dengan * ( ) ( Jadi, Untuk
+. Hal ini identic dengan * ( ) )
(
)
( ( )
+. Maka: )
( ). , didapatkan distribusi bersyarat dengan kejadian pertama terjadi pada waktu . (
)
( (
)
( )
( (
)
( )
( ( )
)
( )
)
)
-.
( ).
Maka,
Tiap waktu antar kedatangan
adalah saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan
parameter . ( )→ ,
-
,
-
Contoh: Kerusakan terjadi di sepanjang kabel di bawah laut, dengan jumlah kerusakan yang mengikuti proses Poisson dengan laju
per mil. Berapa peluang bahwa tidak terdapat
kerusakan pada 2 mil pertama sepanjang kabel tersebut? Penyelesaian: Diketahui: per mil Ditanyakan: ( ( )
)
Jawab: ( )( )
( ( )
)
( ( )
)
( ( )
)
( ( )
)
E.
((
(
)( ))
)( )
Distribusi Bersyarat Waktu Antar Kedatangan Distribusi bersyarat dari waktu antar kedatangan pertama
pada waktu ,
- untuk
, diberikan ada kejadian
, (
( )
)
(
( ) ( ( )
( ( ) ( ( )
) )
) ( ( ) ( ) ( ( ) ) ) ( ( ) ( ( ) ) (
)
) )
Teorema: Diketahui bahwa
( )
,
waktu kedatangan
sama dengan statistik terurut sesuai dengan interval (
memiliki distribusi yang
variabel acak bebas berdistribusi seragam pada
).
Bukti: Akan dihitung fungsi kepadatan bersyarat dari Diketahui bahwa
( )
Misalnya
dan misalnya
*
( ) *
+
, * ( )
cukup kecil sehingga
-
+
+
(
)
( )
Karena *
( )
Dengan
→
( )
adalah
(
+
diperoleh bahwa kepadatan bersyarat
memberikan bahwa
)
Prosisi: ( ) menyatakan banyaknya kejadian tipe-I yang terjadi pada waktu ,
Jika
( ) dan
maka
( ) adalah bebas Poisson variabel acak dengan mean
dan
, (
dimana ∫
( )
Bukti: ( ) dan
Akan dihitung distribusi bersama dari *
( )
( )
+
*
( )
*
∑ ( )
( )
( ) berdasarkan pada ( )
( )
( ) + * ( )
( ):
+ * ( ) +
+
),
Berdasarkan sebarang kejadian yang terjadi pada interval ,
-. Jika terjadi pada waktu ,
( ). Karena berdasarkan teorema bahwa
maka probabilitasnya adalah tipe-I yang sebagai kejadian ini akan berdistribusi seragam pada (
). Hal tersebut sesuai dengan probabilitas
tipe-I ∫
( )
Kejadiannya saling bebas dari kejadian yang lainnya. Karena ( )
+ sehingga sama dengan probabilitas dari
bebas ketika *
( )
*
sukses dan
( )
( )
gagal pada
adalah probabilitas dari sukses tiap ulangannya. Yaitu: ( )
( )
+
.
(
/
)
Akibatnya: *
( )
( )
+
(
) (
(
( ) (
)
)
)(
(
(
)
))
Contoh: Mahasiswa – mahasiswa statistika akan dating ke gedung baru FMIPA melewati pintu barat atau pintu timur gedung. Kedatangan mahasiswa melalui dua pintu tersebut berturut – turut mengikuti proses Poisson dengan parameter
dan
per menit.
a.
Berapa peluang tidak ada mahasiswa datang pada selang waktu 5 menit?
b.
Hitung mean waktu antar kedatangan mahasiswa – mahasiswa tersebut!
c.
Berapa peluang seorang mahasiswa benar – benar datang melalui pintu barat?
d.
Berapa peluang setidaknya ada 2 orang yang masuk gedung dalam 5 menit?
Jawab: ( )
( ) ( )
Maka
( )
( )
Karena Maka a.
( ) Peluang tidak ada mahasiswa datang pada selang waktu 5 menit adalah (
b.
( )
)
Mean waktu antar kedatangan mahasiswa – mahasiswa adalah (
)
c.
Peluang seorang mahasiswa benar – benar datang melalui pintu barat adalah (
d.
)
Peluang setidaknya ada 2 orang masuk gedung dalam 5 menit adalah (
)
(
) ( )
( ( )(
) )
